Doğal logaritma - Natural logarithm

Doğal logaritma fonksiyonunun grafiği. İşlev, x arttıkça yavaş yavaş pozitif sonsuza büyür ve x 0'a yaklaştıkça yavaşça negatif sonsuza gider ( x'in herhangi bir kuvvet yasasına kıyasla "yavaşça" ); Y -Axis bir bir asimptot .

Doğal logaritma , bir sayısı ile ilgili olan logaritması için bazın bir matematik sabiti $e$ bir olduğu, mantık dışı ve aşkın sayı yaklaşık olarak eşit $2.718 281828459$ . $x'in$ doğal logaritmasıgenellikle $ln x$ , $log e x şeklinde$ yazılırveya bazen, $e$ tabanıörtük ise, basitçe $log x şeklinde$ yazılır. Parantez bazen veren, açıklık sağlamak için ilave edilir $ln (x)$ , $giriş e (X)$ , ya da $log (x)$ . Bu, özellikle logaritma argümanı tek bir sembol olmadığında, belirsizliği önlemek için yapılır.

Doğal logaritması $x$ olan güç olduğu $e$ eşit yükseltilmiş olması gerekir $x$ . Örneğin, $ln 7.5$ , $2.0149...'dur$ , çünkü $e 2.0149... = 7.5$ . Doğal logaritması $e$ kendisi, $ln E$ , bir $1$ , çünkü $E 1 = E$ , doğal logaritması ise $1$ olduğu $0$ , çünkü $e 0 = 1$ .

Doğal logaritma herhangi bir pozitif için tanımlanabilir gerçek sayı $a$ kadar eğri altındaki alan $, y = 1 / X$ den $1$ için $bir$ (bölge olmak negatif ile zaman $, 0 < a <1$ ). Doğal logaritmayı içeren diğer birçok formülde eşleşen bu tanımın basitliği, "doğal" terimine yol açmaktadır. Doğal logaritmanın tanımı daha sonra negatif sayılar ve sıfır olmayan tüm karmaşık sayılar için logaritma değerleri verecek şekilde genişletilebilir , ancak bu çok değerli bir işleve yol açar : daha fazlası için bkz. Karmaşık logaritma .

Doğal logaritma işlevi, gerçek bir değişkenin gerçek değerli bir işlevi olarak kabul edilirse , üstel işlevin ters işlevidir ve özdeşliklere yol açar:

{\begin{hizalanmış}e^{\ln x}&=x\qquad {\metin{ eğer }}x{\metin{ kesinlikle pozitifse }},\\\ln e^{x}&= x\qquad {\text{ eğer }}x{\text{ herhangi bir gerçek sayıysa .}}\end{hizalı}}

Tüm logaritmalar gibi, doğal logaritma da pozitif sayıların çarpımını toplamaya eşler:

\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.

Logaritmalar, yalnızca $e$ değil, 1'den başka herhangi bir pozitif taban için tanımlanabilir . Bununla birlikte, diğer tabanlardaki logaritmalar, doğal logaritmadan yalnızca sabit bir çarpan ile farklılık gösterir ve ikincisi cinsinden tanımlanabilir. Örneğin, baz-2 logaritma (aynı zamanda ikili logaritma ) bölünmesiyle elde edilen doğal logaritma eşittir $ln 2$ , 2 doğal logaritması ile çarpılan veya eş anlamlı olarak $günlük 2 e$ .

Logaritmalar, bilinmeyenin başka bir niceliğin üssü olarak göründüğü denklemleri çözmek için kullanışlıdır. Örneğin, üstel bozunma problemlerinde yarı ömür , bozunma sabiti veya bilinmeyen zamanı çözmek için logaritmalar kullanılır . Matematiğin birçok dalında ve bilimsel disiplinde önemlidirler ve finansta bileşik faiz içeren problemleri çözmek için kullanılırlar .

Tarih

Doğal logaritmanın kavramı tarafından irdelenmiştir Gregoire de Saint-Vincent ve Alphonse Antonio de Sarasa 1649. Çalışmaları dahil önce dördün içinde hiperbol denklemi ile $xy = 1$ alanının belirlenmesi ile, hiperbolik sektörler . Çözümleri , artık doğal logaritma ile ilişkili özelliklere sahip olan gerekli "hiperbolik logaritma" fonksiyonunu üretti .

Matematik öğretmeni John Speidell , 1619'da aslında doğal logaritmaların gerçekte ne olduğuna dair bir tablo hazırlamış olmasına rağmen , doğal logaritmadan ilk kez Nicholas Mercator tarafından 1668'de yayınlanan Logarithmotechnia adlı çalışmasında bahsedilmiştir. Speidell'in logaritmalarının $e$ tabanına kadar , ancak tamsayı olarak ifade edilen değerlerle ilgili komplikasyonlar nedeniyle bu tamamen doğru değildir.

notasyon kuralları

Gösterimler $ln X$ ve $log e X$ hem de doğal logaritması ile açıkça ifade $x$ ve $log x$ doğal logaritması ile ilgili olabilir açık bir baz olmadan. Bu kullanım, matematikte, bazı bilimsel bağlamlarda ve birçok programlama dilinde yaygındır . Bununla birlikte kimya gibi bazı diğer bağlamlarda , $log x$ ortak (10 tabanlı) logaritmayı belirtmek için kullanılabilir . Ayrıca bilgisayar bilimi bağlamında , özellikle zaman karmaşıklığı bağlamında ikili (taban 2) logaritmasına atıfta bulunabilir .

Tanımlar

ln bir

eğri altında gölgeli bölge alanı olarak

f (x) 1 / = X

den

1

için

bir

. Eğer

bir

daha azdır

1

, alan negatif olarak kabul.

Hiperbolün altındaki alan logaritma kuralını sağlar. Burada

A (s, t)

,

s

ve

t

arasındaki hiperbolün altındaki alanı gösterir .

Doğal logaritma birkaç eşdeğer yolla tanımlanabilir. Pozitif, gerçek $bir a$ sayısının doğal logaritması, $x$ $= 1$ ve $x$ $=$ $a$ arasındaki denklem $y$ $= 1/$ $x$ olan hiperbolün grafiğinin altındaki alan olarak tanımlanabilir . bu integral

\ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.

Eğer $bir$ daha azdır $1$ , daha sonra bu alanda negatif olarak kabul edilir.

Bu fonksiyon bir logaritmadır çünkü bir logaritmanın temel çarpımsal özelliğini karşılar:

\ln(ab)=\ln a+\ln b.

Bu, $ln ab'yi$ tanımlayan integrali iki parçaya bölerek ve ardından ikinci kısımda $x$ $=$ $at$ (yani $dx$ $=$ $a$ $dt$ ) değişkenini aşağıdaki gibi yaparak gösterilebilir:

{\begin{hizalanmış}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a} {\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1} ^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+ \ln b.\end{hizalanmış}}

Temel anlamda, bu sadece ile ölçekleme $1 / bir$ yatay yönde tarafından $bir$ dikey yönde. Bu dönüşüm altında alan değişmez, ancak $a$ ve $ab$ arasındaki bölge yeniden yapılandırılır. Fonksiyon için $bir / (ax)$ işlevi eşittir $1 / x$ , elde edilen alanı tam olarak $ln b$ .

Sayı $e$ daha sonra özel gerçek sayı olduğu tanımlanabilir $bir$ şekilde $ln bir 1 =$ . Alternatif olarak, eğer $e$ $x$ veya $exp$ $x$ olarak gösterilen üstel fonksiyon , $örneğin$ sonsuz bir seri kullanılarak ilk olarak tanımlanmışsa , o zaman doğal logaritma, onun ters fonksiyonu olarak tanımlanabilir . Başka bir deyişle, $ln$ , $ln(exp$ $x$ $) =$ $x olacak$ şekilde bu fonksiyondur . Üstel fonksiyonun aralığının tamamı pozitif reel sayılar olduğundan ve üstel fonksiyon kesinlikle artan olduğundan, bu tüm pozitif $x$ için iyi tanımlanmıştır .

Özellikler

${\görüntüleme stili \ln 1=0}$
${\görüntüleme stili \ln e=1}$
$\ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{için }}\;x>0\;{\text{ve }}\;y>0$
$\ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{için }}\;x>0$
$\ln x<\ln y\quad {\text{için }}\;0<x<y$
$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
$\lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0$
${\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0$
$\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{için}}\quad x\geq 0\;{\text{ve }}\;\alpha \geq 1$

Kanıt

İfade için doğrudur ve şimdi ispatı kalkülüsün temel teoremi ile tamamlayan herkes için olduğunu gösteriyoruz . Bu nedenle, bunu göstermek istiyoruz ${\görüntüleme stili x=0}$ ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ ${\görüntüleme stili x}$

{\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{1+x^{\ alpha }}}\leq \alpha ={\frac {d}{dx}}(\alpha x)

(Bu ifadenin doğruluğunu henüz kanıtlamadığımıza dikkat edin.) Eğer bu doğruysa, ortadaki ifadeyi pozitif nicelikle çarparak ve çıkararak elde ederiz. $(1+x^{\alpha })/\alpha$ ${\görüntüleme stili x^{\alfa }}$

x^{\alpha -1}\leq x^{\alpha }+1

x^{\alpha -1}(1-x)\leq 1

Bu ifade, sol taraf negatif veya sıfır olduğu için önemsiz derecede doğrudur . İçin soldaki her iki faktör 1'den az (hatırlama olduğunu, çünkü bunun hala geçerlidir ). Dolayısıyla bu son ifade doğrudur ve adımlarımızı ters sırada tekrarlayarak bunu herkes için buluruz . Bu ispatı tamamlar. $x\geq 1$ $0\leq x<1$ $\alpha \geq 1$ ${\frac {d}{dx}}\ln {(1+x^{\alpha })}\leq {\frac {d}{dx}}(\alpha x)$ ${\görüntüleme stili x}$

Alternatif bir kanıt, verilen koşullar altında bunu gözlemlemektir . Bu, örneğin norm eşitsizlikleri ile kanıtlanabilir. Logaritma almak ve kullanmak ispatı tamamlar. $(1+x^{\alpha })\leq (1+x)^{\alpha }$ $\ln(1+x)\leq x$

Türev

Türev pozitif reals bir gerçek değerli fonksiyonu olarak doğal logaritma verilir

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.

Doğal logaritmanın bu türevinin nasıl oluşturulacağı, ilk elden nasıl tanımlandığına bağlıdır. Doğal logaritma integral olarak tanımlanırsa

\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,

daha sonra türev , kalkülüsün temel teoreminin ilk kısmından hemen sonra gelir .

Öte yandan, doğal logaritma, (doğal) üstel fonksiyonun tersi olarak tanımlanırsa , logaritmanın özellikleri ve üstel fonksiyonun tanımı kullanılarak türev ( x > 0 için) bulunabilir. Sayının tanımından üstel fonksiyon olarak tanımlanabilir , burada türev daha sonra ilk ilkelerden bulunabilir. $e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},$ $e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}$ ${\görüntüleme stili u=hx,h=u/x.}$

{\begin{hizalanmış}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h }}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\sağ)\sağ ]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(\left(1+{\frac {h}{x}}\sağ)^{\frac {1}{h} }\right)\right]\quad &&{\text{logaritmik özellikler için yukarıdakilerin tümü}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h} {x}}\sağ)^{\frac {1}{h}}\sağ]\quad &&{\text{logaritmanın sürekliliği için}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{}}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x} tanımı için }\quad &&{\text{ln'nin ters fonksiyon olarak tanımlanması için.}}\end{hizalanmış}}

Ayrıca, elimizde:

{\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{ \frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.

bu nedenle, ters fonksiyonunun aksine, fonksiyondaki bir sabit, diferansiyeli değiştirmez. ${\görüntüleme stili e^{ax}}$

Dizi

ln(1 + x ) için Taylor polinomları yalnızca −1 < x ≤ 1 aralığında doğru yaklaşımlar sağlar. Bazı x > 1'in ötesinde , daha yüksek dereceli Taylor polinomları giderek daha kötü yaklaşımlardır.

eğer o zaman $\vert x-1\vert \leq 1{\text{ ve }}x\neq 0,$

{\begin{hizalanmış}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{ \frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots ) \,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}} -{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k -1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{hizalı}}

Bu, 1 civarında ln x için Taylor serisidir . Değişkenlerdeki bir değişiklik, Mercator serisini verir :

\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x -{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,

için geçerlidir | x | ≤ 1 ve x ≠ -1.

Leonhard Euler'i dikkate almadan , yine de harmonik serinin 1/(1 − 1)'nin (doğal) logaritmasına, yani sonsuzluğun logaritmasına eşit olduğunu göstermek için bu seriyi x = -1'e uyguladı . Günümüzde daha resmi, bir kesilmiş harmonik dizi olduğunu kanıtlayan N yakın logaritması olan N olduğunda, N yakınsak fark büyük, Euler-Mascheroni sabiti . $x\neq -1$

Sağda ln(1 + x ) ve onun Taylor polinomlarından bazılarının 0 civarında bir resmi bulunmaktadır. Bu yaklaşımlar fonksiyona sadece −1 < x ≤ 1 bölgesinde yakınsar ; bu bölgenin dışında, yüksek dereceli Taylor polinomları , fonksiyon için daha kötü yaklaşımlara evrilir .

n pozitif tamsayıları için yararlı bir özel durum , alarak şöyledir: $x={\tfrac {1}{n}}$

\ln \left({\frac {n+1}{n}}\sağ)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1 }}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}} }-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots

eğer o zaman $\operatör adı {Re} (x)\geq 1/2,$

{\begin{hizalanmış}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\sağ)=-\sum _{k=1}^{\infty } {\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^ {2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}} {4x^{4}}}+\cdots \end{hizalı}}

Şimdi, n pozitif tamsayılarını alarak şunu elde ederiz: $x={\tfrac {n+1}{n}}$

\ln \left({\frac {n+1}{n}}\sağ)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1) ^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n +1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots

eğer o zaman $\operatöradı {Re} (x)\geq 0{\text{ ve }}x\neq 0,$

\ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\sağ)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+) 1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\sağ)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\sağ) )-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\sağ).

Dan beri

{\begin{hizalanmış}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\ sol((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\sağ)=\sum _{i=1}^{ \infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\sağ)\\&=y\sum _{i=1}^{ \infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\sağ){\overset {i-1\to 2k}{= }}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{hizalı}}

varıyoruz

{\begin{hizalanmış}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac { 1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\sağ)}^{k}\\&= {\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1) ^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+) 1)^{2}}}\sağ)}^{2}+\cdots \sağ).\end{hizalı}}

n pozitif tamsayıları için ikameyi tekrar kullanarak , şunu elde ederiz: $x={\tfrac {n+1}{n}}$

{\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0 }^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\sol({\frac {1}{ 2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right ).\end{hizalanmış}}

Bu, burada açıklanan serilerin açık ara en hızlı yakınsamasıdır.

Entegrasyonda doğal logaritma

Doğal logaritma basit sağlar entegrasyon formu fonksiyonların g ( x ) = f '( x ) / f ( x Bir:) İlkel ait gr ( x (| ln ile verilir) f ( x ) |). Zincir kuralı ve aşağıdaki gerçek nedeniyle durum budur:

{\frac {d}{dx}}\ln \left|x\sağ|={\frac {1}{x}}.

Başka bir deyişle, eğer ile gerçek bir sayı ise , o zaman ${\görüntüleme stili x}$ ${\görüntüleme stili x\değil =0}$

\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C

ve

\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.

İşte g ( x ) = tan( x ) durumunda bir örnek :

{\begin{hizalı}&\int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\[6pt]&\int \tan x\ ,dx=\int {\frac {-{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx.\end{hizalı}}

İzin vermek f ( x ) = cos ( x ):

\int \tan x\,dx=-\ln \sol|\cos x\sağ|+C

\int \tan x\,dx=\ln \sol|\sn x\sağ|+C

burada C , keyfi bir entegrasyon sabitidir .

Doğal logaritma, parçalara göre entegrasyon kullanılarak entegre edilebilir :

\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.

İzin vermek:

u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}

dv=dx\Rightarrow v=x

sonra:

{\begin{hizalı}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1 \,dx\\&=x\ln x-x+C\end{hizalı}}

Verimli hesaplama

Ln (For x ) x > 1, daha yakından değeri x olan 1 olarak, onun Taylor serisinin yakınlaşma daha hızlı oran logaritma ile ilişkili kimlikler bu istismar için de yararlanılabilir 1'den merkezli:

{\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456 +2\ln 10\\&\yaklaşık \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{hizalı}}

Bu tür teknikler, hesap makinelerinden önce, sayısal tablolara atıfta bulunarak ve yukarıdakiler gibi manipülasyonlar gerçekleştirerek kullanıldı.

10'un doğal logaritması

Ondalık açılımı 2.30258509... olan 10'un doğal logaritması, örneğin bilimsel gösterimde temsil edilen sayıların doğal logaritmasının hesaplanmasında bir mantis ile 10'un bir kuvvetinin çarpımı olarak rol oynar :

\ln(a\cdot 10^{n})=\ln bir+n\ln 10.

Bu $, [1, 10]$ aralığında nispeten küçük bir ondalık sayı kümesinin logaritmasını kullanarak çok büyük veya çok küçük büyüklüğe sahip sayıların logaritmasını etkili bir şekilde hesaplayabileceği anlamına gelir .

Yüksek hassasiyet

Doğal logaritmayı çok sayıda kesinlik ile hesaplamak için, yakınsama yavaş olduğundan Taylor serisi yaklaşımı verimli değildir. Özellikle $x$ 1'e yakınsa, üstel işlevi tersine çevirmek için Halley yöntemini veya Newton yöntemini kullanmak iyi bir alternatiftir , çünkü üstel işlevin serisi daha hızlı yakınsar. Halley yöntemini kullanarak $exp($ $y$ $) -$ $x$ $= 0$ verecek veya Newton'un yöntemini kullanarak eşdeğer olarak $exp($ $y$ $/2) -$ $x$ $exp(-$ $y$ $/2) = 0$ verecek $y$ değerini bulmak için , yineleme aşağıdakileri basitleştirir:

y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}

burada sahip kübik yakınsama için $ln (x)$ .

Son derece yüksek hassasiyetli hesaplama için başka bir alternatif de formüldür.

\ln x\yaklaşık {\frac {\pi }}-m\ln 2,

burada $M$ , 1 ve $4/$ $s'nin$ aritmetik-geometrik ortalamasını gösterir ve

s=x2^{m}>2^{p/2},

$p$ hassasiyet elde edilecek şekilde $m$ seçilir . (Çoğu amaç için, m için 8 değeri yeterlidir.) Aslında, bu yöntem kullanılırsa, doğal logaritmanın Newton ters çevrilmesi, üstel fonksiyonu verimli bir şekilde hesaplamak için tersine kullanılabilir. (ln 2 ve π sabitleri , bilinen birkaç hızlı yakınsak seriden herhangi biri kullanılarak istenen kesinlikte önceden hesaplanabilir.) Veya aşağıdaki formül kullanılabilir:

\ln x={\frac {\pi }{M\left(\theta _{2}^{2}(1/x),\theta _{3}^{2}(1/x)) \sağ)}},\dört x\in (1,\infty )

nerede

\theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3} (x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}

Hangi Jacobi teta fonksiyonları .

William Kahan'ın önerisine dayanarak ve ilk olarak 1979'da Hewlett-Packard HP-41C hesap makinesinde uygulandı (yalnızca ekranda "LN1" altında belirtilir), bazı hesap makineleri, işletim sistemleri (örneğin Berkeley UNIX 4.3BSD ), bilgisayar cebir sistemleri ve programlama dilleri (örneğin C99 ) , alternatif olarak LNP1 veya log1p olarak adlandırılan özel bir doğal logaritma artı 1 işlevi sağlar ve sıfıra yakın logaritmalar için x , yine sıfıra yakın argümanları log1p() ileterek daha doğru sonuçlar verir. x ), bu , 1'e yakın bir y değerini ln( y ) döndüren bir işleve geçirmek yerine ln(1+ x ) değerini döndürür . log1p işlevi, kayan nokta aritmetiğinde, ln'nin Taylor açılımından ikinci terimle mutlak terim 1'in neredeyse sıfırlanmasını önler. Bu, argümanı, sonucu ve ara adımların tümünü, kayan nokta sayıları olarak en doğru şekilde temsil edilebilecekleri sıfıra yakın tutar.

Baz yanı sıra $e$ IEEE 754-2008 için 1 civarındaki tanımlamış benzer logaritmik fonksiyon , ikili ve ondalık logaritma : $log 2 (1 + x)$ ve $log 10 (1 + x)$ .

" expm1 ", "expm" veya "exp1m" adlı benzer ters fonksiyonlar da mevcuttur, hepsi $expm1(x) = exp(x) - 1 anlamına gelir$ .

Ters hiperbolik tanjant cinsinden bir özdeşlik ,

\mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\sağ)\,,

$log1p($ $x$ $)$ uygulamayan sistemlerde küçük $x$ değerleri için yüksek kesinlik değeri verir .

hesaplama karmaşıklığı

Hesaplama karmaşıklığı (Yukarıdaki yöntemlerin her ikisi için de), aritmetik geometrik ortalaması kullanılarak doğal logaritma işlem O (bir M ( n ln) n ). Burada n , doğal logaritmanın değerlendirileceği kesinlik basamaklarının sayısıdır ve M ( n ) iki n basamaklı sayıyı çarpmanın hesaplama karmaşıklığıdır .

Devam eden kesirler

Basit sürekli kesirler mevcut olmasa da, aşağıdakileri içeren birkaç genelleştirilmiş sürekli kesir vardır:

{\begin{hizalı}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\ frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt] &={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2} }x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{hizalı}}

{\begin{hizalanmış}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\sağ)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\ cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt ]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y) +x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{hizalı}}

Bu sürekli kesirler, özellikle son kesirler, 1'e yakın değerler için hızla yakınsarlar. Bununla birlikte, çok daha büyük sayıların doğal logaritmaları, benzer şekilde hızlı yakınsama ile daha küçük sayıların tekrar tekrar eklenmesiyle kolayca hesaplanabilir.

Örneğin, 2 = 1.25 ³ × 1.024 olduğundan, 2'nin doğal logaritması şu şekilde hesaplanabilir:

{\begin{hizalı}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125} }}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{ 2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}}.\end{hizalı}}

Ayrıca, 10 = 1.25 ¹⁰ × 1.024 ^{3 olduğundan} , 10'un doğal logaritması bile benzer şekilde şu şekilde hesaplanabilir:

{\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{) 125}}\sağ)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\ cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^ {2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}

Karmaşık logaritmalar

Üstel fonksiyon, herhangi bir rasgele karmaşık sayı $x$ için karmaşık bir sayıyı $e x$ olarak veren bir fonksiyona genişletilebilir ; sadece $x$ kompleksi ile sonsuz seriyi kullanın . Bu üstel fonksiyon, sıradan logaritmanın özelliklerinin çoğunu sergileyen karmaşık bir logaritma oluşturmak için tersine çevrilebilir. İlgili iki zorluklar vardır: Hiçbir $x$ vardır $e$ $x$ $= 0$ ; ve $e$ $2$ $iπ$ $= 1 =$ $e$ $0$ olduğu ortaya çıkıyor . $Çarpımsal$ özellik, karmaşık üstel fonksiyon için hala çalıştığından , tüm karmaşık $z$ ve $k$ tam sayıları için $e$ $z$ $=$ $e$ $z$ $+2$ $kiπ$ .

Yani logaritma bütün için tanımlanamaz karmaşık düzlemde , ve o zaman bile o çok değerli -Herhangi kompleks logaritma herhangi tamsayı katları ekleyerek "eşdeğer" logaritma dönüşebilir $2 iπ$ at will. Karmaşık logaritma, yalnızca kesme düzleminde tek değerli olabilir . Örneğin, $ln i =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} iπ/2$ veya $5 iπ / 2$ veya $- 3 iπ / 2$ , vesaire.; ve $i 4 = 1$ olmasına rağmen $, 4 ln$ $i$ $2 iπ$ veya $10 iπ$ veya $-6 iπ$ olarak tanımlanabilir , vb.