Logaritma - Logarithm

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Yaygın olarak kullanılan üç tabana sahip logaritma fonksiyonlarının grafikleri. Olduğu özel bir log b b = 1 noktalı çizgilerle gösterilir ve kesişme her eğrileri olarak log b 1 = 0.

In matematik , logaritma olan ters fonksiyon için üs . Bu, belirli bir x sayısının logaritmasının, bu x sayısını üretmek için başka bir sabit sayının, b tabanının yükseltilmesi gereken  üs olduğu anlamına gelir  . En basit durumda, logaritma, tekrarlanan çarpmada aynı faktörün gerçekleşme sayısını sayar; örneğin, çünkü 1000 = 10 x 10 x 10 = 10 3 , "logaritma tabanı 10 arasında" 1000 olup 3 veya log 10 3 = (1000) . Logaritması x için temel , b olarak adlandırılır günlük b ( x ) ya da parantez olmadan, log b X , ya da açık bir baz olmadan günlük  x hiçbir karışıklık mümkündür, ya da baz, gibi önemli değil zaman büyük O gösterimi .  

Daha genel olarak, üs alma, herhangi bir pozitif gerçek sayının taban olarak herhangi bir gerçek kuvvete yükseltilmesine izin verir ve her zaman pozitif bir sonuç üretir; bu nedenle ,  b'nin 1'e eşit olmadığı  herhangi iki pozitif gerçek sayı b ve  x için  log b ( x ) , her zaman benzersiz bir gerçek sayı  y . Daha açık bir şekilde, üs alma ve logaritma arasındaki tanımlayıcı ilişki şudur:

tam olarak eğer ve ve ve .

Örneğin, log 2  64 = 6 , 2 6 = 64 olarak .

10 tabanındaki logaritma (yani b = 10 ), ondalık veya ortak logaritma olarak adlandırılır ve genellikle bilim ve mühendislikte kullanılır. Doğal logaritması olan sayı e  (olduğunu b ≈ 2.718 tabanı gibi); Daha basit integrali ve türevi nedeniyle kullanımı matematik ve fizikte yaygındır . İkili logaritma kullandığı temel 2 (olduğunu b = 2 ) ve sıkça kullanılan bilgisayar bilimi . Logaritmalar, içbükey işlevlerin örnekleridir .

Logaritmalar, hesaplamaları basitleştirme aracı olarak 1614'te John Napier tarafından tanıtıldı . Yüksek doğruluklu hesaplamaları daha kolay gerçekleştirmek için gezginler, bilim adamları, mühendisler, araştırmacılar ve diğerleri tarafından hızla benimsendi. Kullanılması logaritma tabloları , sıkıcı Çok basamaklı çarpma adımlar tablo göz-up ve daha basit ilavesiyle değiştirilebilir. Bunun nedeni aslında çok önemli, kendi içinde mümkündür sağ bir logaritması ürünü olan toplam faktörlerin logaritma:

b , x ve y'nin pozitif ve b ≠ 1 olması şartıyla . Slayt kural da logaritma dayalı, tablolar kalmadan hızlı hesaplamalar sağlar, ancak daha düşük hassasiyet de. Günümüz logaritma kavramı, onları 18. yüzyılda üstel fonksiyona bağlayan ve aynı zamanda e harfini doğal logaritmaların temeli olarak tanıtan Leonhard Euler'den geliyor .

Logaritmik ölçekler , çok çeşitli miktarları küçük kapsamlara indirgemektedir. Örneğin, desibel (dB), oranı logaritma olarak ifade etmek için kullanılan bir birimdir , çoğunlukla sinyal gücü ve genlik için ( ses basıncı yaygın bir örnektir). Kimyada, pH değeri için logaritmik ölçüsüdür asit , bir ait sulu bir çözelti . Logaritmalar, bilimsel formüllerde ve algoritmaların karmaşıklığının ve fraktal adı verilen geometrik nesnelerin ölçümlerinde yaygındır . Müzik aralıklarının frekans oranlarını açıklamaya yardımcı olurlar , asal sayıları veya yaklaşık faktörleri sayan formüllerde görünürler , psikofizikteki bazı modelleri bilgilendirir ve adli muhasebeye yardımcı olabilirler .

Logaritma tersine çevirir aynı şekilde üs , kompleks logaritma olan ters dönüşüm uygulanan olup, üstel fonksiyon reel sayılar ya da karmaşık sayılar . Modüler ayrık logaritma başka bir varyanttır; içeri kullanımları vardır açık anahtarlı şifreleme .

Motivasyon ve tanım

X = 1'de x eksenini geçen ve y ekseni boyunca eksi sonsuza yaklaşan logaritmik bir eğriyi gösteren grafik.
Grafik logaritma tabanı 2 sahasına x -Axis de x = 1 ve noktadan geçen (2, 1) , (4, 2) , ve (8, 3) , örneğin, betimleyen log 2 (8) = 3 ve 2 3 = 8 . Grafik keyfi olarak y eksenine yaklaşır , ancak onu karşılamaz .

Toplama , çarpma ve üs alma, en temel aritmetik işlemlerden üçüdür. Toplama, bu en basit, çıkarılması ile geri olduğunu: eklediğinizde 5 için x olsun x + 5 Gerekirse bu işlemi tersine çevirmek için, çıkarma 5 ila x + 5 . Çarpma, sonraki en basit operasyon, tarafından geri olduğunu bölünme : Eğer çarpma durumunda x tarafından 5 almak için 5 x , daha sonra bölebilirsiniz 5 x tarafından 5 orijinal ifadesi dönmek için x . Logaritmalar ayrıca temel bir aritmetik işlemi, üs alma işlemini geri alır. Üs alma, bir sayıyı belirli bir kuvvete yükseltmenizdir. Örneğin, 2'yi 3 üssüne çıkarmak 8'e eşittir :

Genel durum, x'i elde etmek için bir b sayısını y'nin kuvvetine yükselttiğiniz zamandır :

Sayısı b bu ifadenin temel olarak adlandırılır. Baz güç Yukarıdaki örnekte, ekspresyon baz belirli yükseltilir sayıdır olan 2 . Üssü ifadesinin konusu yapmak kolaydır: Çektiğiniz yapmanız gereken tüm y oyunu bırakanların her iki tarafın kök. Bu şunu verir:

Yapması az kolaydır y ifadesinin konusunu. Logaritmalar bunu yapmamıza izin verir:

Bu ifade, y'nin x'i elde etmek için b'yi yükselteceğiniz kuvvete eşit olduğu anlamına gelir . Logaritması, çünkü bu işlem Undoes üs alma x size söyler üs üs olarak yükseltilmiştir söyledi.

Üs alma

Bu alt bölüm, logaritmaları anlamak için temel olan üs alma işlemine kısa bir genel bakış içerir. Yükseltilmesi b için , n -inci güç, burada n, a, doğal sayıdır , çarparak yapılır n faktörler eşit b . N oyunu bırakanların gücü b yazılır b n böylece,

Üs alma, b y'ye uzatılabilir ; burada b , pozitif bir sayıdır ve üs y , herhangi bir gerçek sayıdır . Örneğin, B -1 olan karşılıklı bir b olduğu, 1 / b . Raising b gücüne 1/2 etmektir karekök içinde b .

Daha genel olarak, yetiştirme b a rasyonel güç p / q , s ve q tam sayı, tarafından verilmektedir edilir

q hakkındaki inci kökü .

Son olarak, herhangi bir irrasyonel sayı ( rasyonel olmayan gerçek bir sayı) y , rasyonel sayılarla keyfi kesinliğe yaklaştırılabilir. Bu hesaplamak için kullanılabilir y arasında inci güç b , örneğin: ve giderek daha iyi yaklaşılır . Daha ayrıntılı bir açıklama ve b m + n = b m · b n formülü üs alma ile ilgili makalede yer almaktadır .

Tanım

Logaritma pozitif bir reel sayı ve x tabanı ile ilgili olarak b üsttür b vermek üzere yükseltilmelidir x . Başka bir deyişle, x'in b tabanına olan logaritması , denklemin y'nin çözümüdür.

Logaritma belirtilmektedir " günlük b   X " ( "logaritması olarak telaffuz x baza b " ya da " baz- b logaritması x " log, taban "ya da (en sık) b arasında, x ").

Denklem olarak y = log b   x değeri, y "güç gerekenleri için sorunun cevabı B elde etmek amacıyla, kaldırılabilir x ?".

Örnekler

  • log 2  16 = 4 , çünkü 2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 .
  • Logaritmalar ayrıca negatif olabilir: çünkü
  • log 10  150 , yaklaşık olarak 2.176'dır, bu da 2 ile 3 arasında, tıpkı 150'nin 10 2 = 100 ile 10 3 = 1000 arasında olması gibi.
  • Herhangi bir b tabanı için , sırasıyla b 1 = b ve b 0 = 1 olduğundan , log b b = 1 ve log b  1 = 0'dır .

Logaritmik kimlikler

Bazen logaritmik kimlikler veya logaritmik yasalar olarak adlandırılan birkaç önemli formül, logaritmaları birbirleriyle ilişkilendirir.

Ürün, bölüm, güç ve kök

Bir ürünün logaritması, çarpılan sayıların logaritmalarının toplamıdır; iki sayının oranının logaritması, logaritmaların farkıdır. Logaritması p bir dizi inci gücü olan p sayısının kendisine katı logaritması; Bir logaritması p'nin inci kök bölünmesiyle sayısının logaritmasıdır p . Aşağıdaki tablo bu kimlikleri örneklerle listelemektedir. Kimliklerin her biri, logaritma tanımlarının değiştirilmesinden sonra veya sol taraflarda türetilebilir .

Formül Misal
Ürün
Bölüm
Güç
Kök

Baz değişimi

Logaritma günlüğü b x , aşağıdaki formül kullanılarak rastgele bir k tabanına göre x ve b logaritmalarından hesaplanabilir :

Keyfi tabanın logaritmaları arasındaki dönüştürme faktörünün türetilmesi

Tanımlayıcı kimlikten başlayarak

log k'yi bu denklemin her iki tarafına da uygulayabiliriz.

.

Verim için çözüm :

,

verilen değerlerden karşılık gelen değerlerine dönüşüm faktörünü gösterme

Tipik bilimsel hesap makineleri, logaritmaları 10 ve e tabanlarına göre hesaplar . Herhangi bir b tabanına göre logaritmalar, önceki formülle bu iki logaritmadan biri kullanılarak belirlenebilir:

Bir x sayısı ve logaritması y = log b x verildiğinde bilinmeyen bir b tabanına göre, taban şu şekilde verilir:

bu, tanımlayıcı denklemi gücüne almaktan görülebilir

Özel bazlar

0.5, 2 ve
e tabanları için logaritma grafikleri

Baz için tüm seçenekler arasında, üçü özellikle yaygındır. Bunlar b = 10 , b = e ( irrasyonel matematik sabiti ≈ 2.71828) ve b = 2'dir ( ikili logaritma ). Gelen matematiksel analiz , logaritma tabanı e analitik özelliklerin aşağıda açıklanmıştır çünkü yaygındır. Öte yandan, ondalık sayı sisteminde manuel hesaplamalar için 10 tabanlı logaritmaların kullanımı kolaydır :

Bu nedenle, log 10 x , pozitif bir x tamsayısının ondalık basamak sayısıyla ilişkilidir : basamak sayısı, log 10 x'ten kesin olarak büyük olan en küçük tam sayıdır . Örneğin, log 10 1430 yaklaşık olarak 3.15'tir. Bir sonraki tamsayı 4'tür ve bu, 1430'un basamak sayısıdır. Hem doğal logaritma hem de ikiye tabana logaritma , sırasıyla temel bilgi birimleri olarak nats veya bit kullanımına karşılık gelen bilgi teorisinde kullanılır . İkili logaritmalar , ikili sistemin her yerde olduğu bilgisayar biliminde de kullanılır ; içinde müzik teorisi iki (bir zift oranı, oktav ) yerde bulunur ve yüzde Avrupa iki komşu eşit huylu sahalar arasındaki oranın (1200 tarafından ölçülen) ikili logaritmasıdır klasik müzik ; ve fotoğrafçılıkta pozlama değerlerini ölçmek için .

Aşağıdaki tablo, bu tabanlara ve bunların kullanıldığı alanlara logaritmalar için genel gösterimleri listelemektedir. Birçok disiplinler bilgileri günlük  x yerine log b x amaçlanan bir baz bağlamında tespit edilebilir. B log  x gösterimi de oluşur. "ISO gösterimi" sütunu, Uluslararası Standardizasyon Örgütü ( ISO 80000-2 ) tarafından önerilen atamaları listeler . X gösterim logu her üç temel için de kullanıldığından (veya taban belirsiz veya önemsiz olduğunda), amaçlanan temel genellikle bağlama veya disipline dayalı olarak çıkarılmalıdır. Bilgisayar bilimlerinde log genellikle log 2'ye , matematikte log genellikle log e'ye atıfta bulunur . Diğer bağlamlarda ise log genellikle araçlar log 10 .

Baz b Günlük b x için isim ISO notasyonu Diğer gösterimler Kullanılan
2 ikili logaritma lb x ld x , günlük x , lg x , günlük 2 x bilgisayar bilimi , bilgi teorisi , biyoinformatik , müzik teorisi , fotoğrafçılık
e doğal logaritma ln x log x
(matematikte ve birçok programlama dilinde ), log e x
matematik, fizik, kimya,
istatistik , ekonomi , bilgi teorisi ve mühendislik
10 ortak logaritma lg x log x , log 10 x
(mühendislik, biyoloji, astronomide)
çeşitli mühendislik alanları ( desibele bakın ve aşağıya bakın),
logaritma tabloları , el tipi hesap makineleri , spektroskopi
b b tabanına logaritma günlük b x matematik

Tarih

Logaritma tarihçesi on yedinci yüzyıl Avrupa'da yeni bir keşfidir fonksiyonu cebirsel yöntemlerin kapsamı dışındadır analizi âlemini uzatıldı. Logaritma yöntemi, 1614'te John Napier tarafından Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Logaritmanın Harika Kuralının Açıklaması) adlı bir kitapta ortaya atıldı . Napier'in icadından önce, 1600 civarında Jost Bürgi tarafından kapsamlı bir şekilde geliştirilen protaferez veya ilerleme tablolarının kullanımı gibi benzer kapsamlara sahip başka teknikler de vardı. Napier, logaritma terimini Orta Latince, "logaritmik" olarak türetmiştir. Yunanca, kelimenin tam anlamıyla "oran-sayı" anlamına gelen, logolardan "oran, oran, kelime" + aritmos "sayı" anlamına gelir.

Ortak logaritma Bir sayının sayısına eşittir on bu gücün endeksidir. Bir sayıdan bu kadar çok rakam gerektirdiğinden bahsetmek, ortak logaritmaya kabaca bir atıftır ve Arşimet tarafından “bir sayı sırası” olarak anılırdı . İlk gerçek logaritmalar, çarpmayı toplamaya dönüştürmek için sezgisel yöntemlerdi, böylece hızlı hesaplamayı kolaylaştırdı. Bu yöntemlerden bazıları, trigonometrik kimliklerden türetilen tabloları kullandı. Bu tür yöntemlere protaferez denir .

Şimdi doğal logaritma olarak bilinen işlevin icadı, Prag'da ikamet eden Belçikalı bir Cizvit olan Grégoire de Saint-Vincent tarafından dikdörtgen bir hiperbolun dörtgenini gerçekleştirme girişimi olarak başladı . Arşimet yazmıştı parabol ve dördün üçüncü yüzyılda, ama Saint-Vincent logaritma bir arasında sağladığı 1647 yılında ilişkiyi dergisinde yayımladı kadar hiperbol için dördün tüm çabaları atlatmış geometrik ilerleme bunun içinde argüman ve bir aritmetik ilerlemesi değerlerin, istendiğinde Sarasa de AA Saint-Vincent karesel bağlantısını ve logaritma geleneğini yapmak için prosthaphaeresis dönem “hiperbolik logaritma”, doğal logaritma ile eşanlamlı yol açan. Yakında yeni işlev Christiaan Huygens ve James Gregory tarafından takdir edildi . Log y notasyonu 1675'te Leibniz tarafından kabul edildi ve sonraki yıl onu integrale bağladı.

Euler, modern karmaşık doğal logaritma anlayışını geliştirmeden önce, Roger Cotes 1714'te şunu gösterdiğinde neredeyse eşdeğer bir sonuç elde etti:

Logaritma tabloları, slayt kuralları ve geçmiş uygulamalar

Logaritmaların 1797 Encyclopædia Britannica açıklaması

Hesap makineleri ve bilgisayarlar kullanıma sunulmadan önce zor hesaplamaları basitleştirerek, logaritmalar bilimin, özellikle astronominin ilerlemesine katkıda bulundu . Etüt , göksel seyrüsefer ve diğer alanlardaki gelişmeler için kritik öneme sahiplerdi . Pierre-Simon Laplace logaritmaları çağırdı

"... [a] n aylarca emeğini birkaç güne düşürerek, gökbilimcinin ömrünü iki katına çıkaran ve onu uzun hesaplardan ayrılmaz hata ve tiksintilerden kurtaran takdire şayan bir hüner."

Fonksiyon olarak f ( x ) = b X günlük ters fonksiyonu olan b , x , bu adı olmuştur antilogarithm .

Günlük tabloları

Logaritmaların pratik kullanımını mümkün kılan anahtar bir araç, logaritma tablosuydu . Bu tür ilk tablo, 1617'de, Napier'in icadından hemen sonra, ancak temel olarak 10'u kullanmanın yeniliğiyle Henry Briggs tarafından derlendi . Briggs'in ilk tablosu , 1–1000 aralığındaki tüm tam sayıların ortak logaritmalarını , 14 basamaklı bir hassasiyetle içeriyordu . Daha sonra kapsamı artan tablolar yazılmıştır. Bu tablolar , belirli bir aralıktaki herhangi bir x sayısı için log 10 x değerlerini belirli bir hassasiyetle listelemiştir . 10'un çarpanlarına göre farklılık gösteren sayılar, tamsayılarla farklılık gösteren logaritmalara sahip olduğundan, temel 10 logaritmaları hesaplama için evrensel olarak kullanılmıştır, bu nedenle ortak logaritma adı verilmiştir. X'in ortak logaritması , karakteristik ve mantis olarak bilinen bir tam sayı kısmına ve kesirli bir kısma ayrılabilir . Logaritma tablolarının sadece mantisi içermesi gerekir, çünkü karakteristik ondalık noktadan itibaren rakamları sayarak kolayca belirlenebilir. Karakteristik 10 · X , bir artı karakteristiği olan x ve bunların matrisin aynıdır. Böylece, üç basamaklı bir günlük tablosu kullanılarak, 3542'nin logaritması yaklaşık olarak hesaplanır

Enterpolasyon ile daha fazla doğruluk elde edilebilir :

Logaritma tekdüze bir fonksiyon olduğundan, 10 x değeri aynı tabloda ters bakılarak belirlenebilir .

Hesaplamalar

İki pozitif sayının çarpımı ve bölümü c ve d rutin olarak logaritmalarının toplamı ve farkı olarak hesaplandı. Ürün cd'si veya bölüm c / d , aynı tablo aracılığıyla toplamın veya farkın antilogaritmasına bakılarak geldi:

ve

Kayda değer bir hassasiyet gerektiren manuel hesaplamalar için, iki logaritmanın aramalarını yapmak, toplamlarını veya farklarını hesaplamak ve antilogaritmayı aramak , trigonometrik kimliklere dayanan protaferez gibi daha önceki yöntemlerle çarpma yapmaktan çok daha hızlıdır .

Güçlerin ve köklerin hesaplamaları, çarpma veya bölme ve aramalara indirgenir.

ve

Trigonometrik hesaplamalar, trigonometrik fonksiyonların ortak logaritmalarını içeren tablolarla kolaylaştırılmıştır .

Slayt kuralları

Bir başka önemli uygulama olduğu slayt kural hesaplama için kullanılır, logaritmik bölünmüş bir terazi. Kaymayan logaritmik ölçek Gunter'ın kuralı , Napier'in icadından kısa bir süre sonra icat edildi. William Oughtred , sürgülü hesap cetvelini - birbirine göre hareket edebilen bir çift logaritmik ölçek oluşturmak için geliştirdi. Sayılar, logaritmaları arasındaki farklarla orantılı mesafelerde kayan ölçekler üzerine yerleştirilir. Üst ölçeği uygun şekilde kaydırmak, burada gösterildiği gibi mekanik olarak logaritma eklemek anlamına gelir:

Bir hesap cetveli: logaritmik olarak işaretlenmiş eksenlere sahip iki dikdörtgen, 1'den 2'ye, 1'den 3'e kadar olan mesafeyi toplamaya yönelik düzenleme, çarpımı gösteren 6.
Bir sürgülü cetvelin şematik gösterimi. Bu tür işaretlenmiş çünkü daha düşük ölçekte 2'den itibaren, bir ürün 6. kayar kural işler ulaşmak için üst ölçekte 3'e mesafe eklemek 1'den mesafe x isimli orantılı logaritmasına x .

Örneğin, alt ölçekte 1'den 2'ye, üst ölçekte 1'den 3'e olan mesafenin eklenmesi, alt kısımda okunan 6'nın bir çarpımını verir. Hesap cetveli, 1970'lere kadar mühendisler ve bilim adamları için önemli bir hesaplama aracıydı, çünkü kesinlik pahasına, tablolara dayalı tekniklerden çok daha hızlı hesaplamaya izin veriyordu.

Analitik özellikler

Daha derin bir logaritma çalışması, bir fonksiyon kavramını gerektirir . İşlev, bir sayı verildiğinde başka bir sayı üreten bir kuraldır. Bir örnek üretim fonksiyonudur x arasında inci güç b gerçek sayısı, x baz, b sabit bir sayıdır. Bu işlev yazılmıştır:

Logaritmik fonksiyon

Logaritmanın tanımını doğrulamak için, denklemin

bir x çözümüne sahiptir ve bu çözüm, y'nin pozitif ve b'nin pozitif ve 1'e eşit olmaması koşuluyla benzersizdir . Bunun bir kanıtı, temel hesaplamadan ara değer teoremini gerektirir . Bir bu Bu teorem sürekli fonksiyon iki değer üretir m ve n, aynı zamanda herhangi bir değer üretir arasında durmaktadır m ve n . Bir fonksiyon "zıplamıyorsa", yani grafiği kalemi kaldırmadan çizilebiliyorsa süreklidir .

Bu özelliğin f ( x ) = b x işlevi için geçerli olduğu gösterilebilir . Çünkü f rasgele büyük ve keyfi küçük pozitif değerler, herhangi bir sayıda alır y > 0 arasında durmaktadır f ( x 0 ) ve f ( x 1 ) uygun için x , 0 ve x 1 . Dolayısıyla, ara değer teoremi f ( x ) = y denkleminin bir çözüme sahip olmasını sağlar . İşlev Dahası, bu denkleme sadece bir çözüm vardır f olduğu kesin artan için ( b , 1> ) ya da katı için (azalan 0 < b <1 ).

Eşsiz çözüm x , y'nin b tabanına logaritmasıdır , log b y . Logaritmasını y'ye atayan işleve logaritma işlevi veya logaritmik işlev (veya yalnızca logaritma ) denir .

İşlev günlüğü b x , esas olarak ürün formülü ile karakterize edilir

Daha doğrusu, herhangi bir b > 1 tabanının logaritması , pozitif gerçeklerden f ( b ) = 1'i sağlayan gerçeklere kadar tek artan f fonksiyonudur ve

Ters fonksiyon

İki fonksiyonun grafikleri.
Logaritma fonksiyonu log b ( x ) (mavi) grafiği , diyagonal çizgideki (
x = y ) b x (kırmızı) fonksiyonunun grafiğini yansıtarak elde edilir .

Bir gücünün logaritması için formül herhangi bir sayıda için bu özel diyor x ,

Nesir olarak, alma x oyunu bırakanların gücünü b ve daha sonra baz- b logaritma geri verir x . Tersine, pozitif bir y sayısı verildiğinde formül

İlk logaritması alınarak ve daha sonra exponentiating geri verir söylüyor y . Bu nedenle, logaritmaları ve üssü birleştirmenin (veya oluşturmanın ) iki olası yolu orijinal sayıyı geri verir. Bu nedenle, temel göre logaritmasıdır b olan ters fonksiyonu arasında f ( x ) = b X .

Ters fonksiyonlar, orijinal fonksiyonlarla yakından ilişkilidir. Bunların grafikleri alışverişi üzerine birbirlerine karşılık x - ve y -coordinates (ya da çapraz çizgi ile yansıma ile x = y ), sağ tarafta gösterildiği gibi bir noktadan ( t , u = b t ) grafiği üzerinde f logaritma grafiğinde bir nokta ( u , t = log b u ) verir ve bunun tersi de geçerlidir. Bunun bir sonucu olarak, günlük b ( x ) sonsuza ıraksamaktadır halinde (herhangi bir sayıda daha büyük olur) x sonsuza büyür koşuluyla, b bir daha büyüktür. Bu durumda, günlük b ( x ) bir olduğu artan bir fonksiyonu . İçin b <1 , günlük b ( x ) yerine eksi sonsuz eğilimindedir. Tüm X sıfıra yaklaşırken, log b X eksi sonsuz gider b > 1 (artı sonsuz b <1 , sırasıyla).

Türev ve ters türev

Logaritma fonksiyonunun bir grafiği ve bir noktada ona dokunan bir çizgi.
Doğal logaritmanın (yeşil) grafiği ve x = 1.5 (siyah) noktasındaki tanjantı

Fonksiyonların analitik özellikleri tersine döner. Böylece, f ( x ) = b x sürekli ve türevlenebilir bir fonksiyon olduğundan, log b y de öyle . Kabaca, sürekli bir fonksiyon, grafiğinde keskin "köşeler" yoksa, ayırt edilebilir. Dahası, türev ve f ( x ) olarak değerlendirilir ln ( b ) b x özelliklerine göre üstel fonksiyon , zincir kuralı türevi anlamına gelir log b X ile verilir

Kendisine, eğim arasında teğet grafiği dokunmadan baz- b noktasında logaritması ( x , günlük b ( x )) eşittir 1 / ( x  ln ( b )) .

Ln x'in türevi 1 / x'tir ; bu, ln eder x benzersizdir İlkel bir 1 / X değeri 0 olduğu X = 1 . Doğal logaritmayı "doğal" olarak nitelendirmek için motive eden bu çok basit formüldür; bu aynı zamanda e sabitinin öneminin ana nedenlerinden biridir .

Genelleştirilmiş fonksiyonel bağımsız değişken f ( x ) olan türev ,

Sağ taraftaki bölüm, f'nin logaritmik türevi olarak adlandırılır . F ' ( x ) ' i ln ( f ( x )) ' in türevi aracılığıyla hesaplamak , logaritmik farklılaşma olarak bilinir . Doğal logaritma ln ( x ) ' in ters türevi :

Logaritmaların diğer bazlara karşı türevleri gibi ilgili formüller , bazların değişimi kullanılarak bu denklemden türetilebilir.

Doğal logaritmanın integral gösterimi

Altındaki alanın bir kısmı gri ile gölgelenmiş bir hiperbol.
Doğal logaritması arasında t fonksiyonu grafiği altında gölgeli alan f ( x ) 1 / = X (karşılıklı x ).

Doğal logaritması arasında t olarak tanımlanabilir kesin integrali :

Bu tanımın avantajı, üstel fonksiyona veya herhangi bir trigonometrik fonksiyona dayanmamasıdır; tanım, basit bir karşılıklılığın ayrılmaz bir parçasıdır. Tamamlayıcı olarak ln ( t ) arasındaki alanı eşittir x -Axis ve fonksiyon grafiği 1 / x arasında değişen gelen x = 1 için X = t . Bu, analizin temel teoreminin ve ln ( x ) ' in türevinin 1 / x olmasının bir sonucudur . Ürün ve güç logaritma formülleri bu tanımdan türetilebilir. Örneğin, ürün formülü ln ( tu ) = ln ( t ) + ln ( u ) şu şekilde çıkarılır:

Eşitlik (1) integrali iki parçaya ayırırken, eşitlik (2) değişkenin bir değişikliğidir ( w = x / t ). Aşağıdaki resimde bölme, alanı sarı ve mavi bölümlere ayırmaya karşılık gelir. Sol taraftaki mavi alanı dikey olarak t faktörüyle yeniden ölçeklendirmek ve yatay olarak aynı faktörle küçültmek boyutunu değiştirmez. Uygun şekilde hareket ettirildiğinde, alan f ( x ) = 1 / x fonksiyonunun grafiğine tekrar uyar . Bu nedenle, bütünleyici olan sol mavi alan, f ( x ) gelen t için tu 1'den integrali olarak aynıdır u . Bu, eşitliği (2) daha geometrik bir ispatla haklı çıkarır.

Hiperbol iki kez tasvir edildi.  Alttaki alan farklı bölümlere ayrılmıştır.
Doğal logaritmanın ürün formülünün görsel bir kanıtı

Güç formülü ln ( t r ) = r ln ( t ) benzer şekilde türetilebilir:

İkinci eşitlik değişkenlerde bir değişiklik kullanır ( ikame ile entegrasyon ), w = x 1 / r .

Doğal sayıların karşılığının toplamı,

harmonik seri olarak adlandırılır . Doğal logaritmaya yakından bağlıdır : n sonsuzluğa meylettiği için , fark,

Euler – Mascheroni sabiti γ = 0.5772 ... olarak bilinen bir sayıya yakınsar (yani keyfi olarak yaklaşır) . Bu ilişki, hızlı sıralama gibi algoritmaların performansının analiz edilmesine yardımcı olur .

Logaritmanın aşkınlığı

Cebirsel olmayan gerçek sayılara aşkın denir ; örneğin, π ve e böyle sayılardır, ancak değildir. Neredeyse tüm gerçek sayılar aşkındır. Logaritma, aşkın bir işlevin bir örneğidir . Gelfond-Schneider teoremi logaritma genellikle transandantal, yani "zor" değerlerini aldığını belirtmektedir.

Hesaplama

TI-83 Plus grafik hesap makinesinde logaritma tuşları (10 tabanı için LOG ve e tabanı için LN ) .

Logaritmaların, log 10 (1000) = 3 gibi bazı durumlarda hesaplanması kolaydır . Genel olarak, logaritmalar, kuvvet serileri veya aritmetik-geometrik ortalama kullanılarak hesaplanabilir veya sabit bir hassasiyet sağlayan önceden hesaplanmış bir logaritma tablosundan alınabilir . Denklemleri yaklaşık olarak çözmek için yinelemeli bir yöntem olan Newton yöntemi , logaritmayı hesaplamak için de kullanılabilir, çünkü ters işlevi, üstel işlevi verimli bir şekilde hesaplanabilir. Arama tablolarını kullanarak, CORDIC benzeri yöntemler, yalnızca toplama ve bit kaydırma işlemlerini kullanarak logaritmaları hesaplamak için kullanılabilir . Dahası, ikili logaritma algoritması , x'in yinelenen karelerine dayalı olarak lb ( x ) 'i özyinelemeli olarak hesaplar ve ilişkiden yararlanarak

Güç serisi

Taylor serisi
Logaritma grafiğinin giderek daha iyi tahminlerini gösteren bir animasyon.
Taylor serisi  ln ( z ) z = 1 merkezlidir  . Animasyon, 99. ve 100. ile birlikte ilk 10 yaklaşımı gösterir. Yaklaşımlar, merkezden 1 uzaklığının ötesinde yakınsamaz.

0 < z <2'yi karşılayan herhangi bir z gerçek sayısı için aşağıdaki formül geçerlidir:

Bu, aşağıdaki ifadelerle ln ( z ) 'nin giderek daha doğru bir değere yaklaştırılabileceğini söylemenin kısaltmasıdır :

Örneğin, z = 1.5 ile üçüncü yaklaşım 0.4167 verir, bu da ln (1.5) = 0.405465'ten yaklaşık 0.011 daha büyüktür . Bu dizi yaklaşmaktadır (ln z ) summands sayısı yeterince büyük olması şartıyla, isteğe bağlı hassas. Temel analizde, ln ( z ) bu nedenle bu serinin sınırıdır . Bu ise Taylor serisi arasında doğal logaritma olarak z = 1 . Taylor serisi ln ( z ) , z küçük olduğunda ln (1+ z ) için özellikle yararlı bir yaklaşım sağlar , | z | <1 , o zamandan beri

Örneğin, z = 0.1 ile birinci dereceden yaklaşım ln (1.1) ≈ 0.1 verir , bu da doğru değer 0.0953'ten% 5 daha azdır.

Daha verimli seriler

Başka bir seri, alan hiperbolik tanjant fonksiyonuna dayanmaktadır :

herhangi bir gerçek sayı için z > 0 . Sigma gösterimi kullanılarak bu aynı zamanda şöyle yazılır:

Bu seri, yukarıdaki Taylor serisinden türetilebilir. Taylor serisinden daha hızlı yakınsar, özellikle z 1'e yakınsa. Örneğin, z = 1.5 için , ikinci serinin ilk üç terimi ln (1.5) yaklaşık bir hata ile yaklaşık 3 × 10 −6 . 1'e yakın z için hızlı yakınsamadan şu şekilde yararlanılabilir: düşük doğruluklu bir yaklaşım verildiğinde y ≈ ln ( z ) ve koyarak

z'nin logaritması :

İlk yaklaşım y ne kadar iyi olursa , A 1'e o kadar yakın olur, bu nedenle logaritması verimli bir şekilde hesaplanabilir. A , y'nin çok büyük olmaması koşuluyla hızla yakınsayan üstel seriler kullanılarak hesaplanabilir . Daha büyük z'nin logaritmasının hesaplanması, z = a · 10 b yazarak daha küçük z değerlerine indirgenebilir , böylece ln ( z ) = ln ( a ) + b · ln (10) .

Tamsayıların logaritmasını hesaplamak için yakından ilişkili bir yöntem kullanılabilir. Yukarıdaki seriyi koyarsak , şunu takip eder:

Büyük bir tamsayı logaritması halinde N bilinmektedir, bu dizi için hızlı bir yakınsak dizi elde edilir log ( n + 1), a, yakınsama hızı arasında .

Aritmetik-geometrik ortalama yaklaşımı

Aritmetik geometrik ortalama verimler yüksek hassasiyetli yaklaşımlar doğal logaritması . Sasaki ve Kanada 1982'de, 400 ile 1000 ondalık basamak arasındaki hassasiyetlerin özellikle hızlı olduğunu, Taylor serisi yöntemlerinin ise daha az hassasiyet gerektiğinde tipik olarak daha hızlı olduğunu gösterdi. Çalışmalarında ln ( x ) , aşağıdaki formülle ( Carl Friedrich Gauss'a bağlı olarak) 2 - p'lik bir hassasiyete (veya p kesin bitlere) yaklaştırılır :

Burada M ( x , y ) belirtmektedir aritmetik geometrik ortalama bir x ve y . X ve y'nin ortalamasını ( aritmetik ortalama ) ve ( geometrik ortalama ) tekrar tekrar hesaplanarak elde edilir ve ardından bu iki sayının sonraki x ve y olmasına izin verilir . İki sayı hızla M ( x , y ) değeri olan ortak bir sınıra yakınsar . m öyle seçilir ki

gerekli hassasiyeti sağlamak için. Daha büyük bir m , M ( x , y ) hesaplamasının daha fazla adım atmasına neden olur (başlangıçtaki x ve y birbirinden uzaktır, bu nedenle yakınsamak için daha fazla adım gerekir), ancak daha fazla hassasiyet sağlar. Pi ve ln (2) sabitleri hızlı yakınsayan serilerle hesaplanabilir.

Feynman'ın algoritması

En iken Los Alamos Ulusal Laboratuvarı'nda çalışan Manhattan Projesi , Richard Feynman uzun bölünme benzer ve daha sonra kullanılan bir bit işleme algoritma geliştirdi Bağlantı Machine . Algoritma, her gerçek sayının formun farklı faktörlerinin bir ürünü olarak gösterilebilir olduğu gerçeğini kullanır . Algoritma sırayla söz konusu ürünü oluşturur : if , o zaman değişir için . Daha sonra ne olursa olsun birer birer artar . Algoritma , istenen doğruluğu verecek kadar büyük olduğunda durur . Çünkü şekil terimlerin bir toplamıdır , bu karşılık gelen bir faktör olan ürüne dahil edilmiştir , bir tablo kullanılarak, basit eklenmesi ile hesaplanabilir tüm . Logaritma tablosu için herhangi bir taban kullanılabilir.

Başvurular

Bir nautilus kabuğunun fotoğrafı.
Bir Nautilusun logaritmik spiral görüntülendiği

Logaritmaların matematiğin içinde ve dışında birçok uygulaması vardır. Bu olaylardan bazıları, ölçek değişmezliği kavramıyla ilgilidir . Örneğin, bir nautilus'un kabuğunun her odası , bir sonrakinin sabit bir faktörle ölçeklendirilmiş yaklaşık bir kopyasıdır. Bu, logaritmik bir spirale yol açar . Benford'un önde gelen basamakların dağılımına ilişkin yasası , ölçek değişmezliği ile de açıklanabilir. Logaritmalar aynı zamanda öz benzerlikle de bağlantılıdır . Örneğin, bir problemi benzer daha küçük iki probleme bölerek ve çözümlerini yamalarak çözen algoritmaların analizinde logaritmalar görünür. Kendine benzeyen geometrik şekillerin, yani parçaları genel resme benzeyen şekillerin boyutları da logaritmalara dayanmaktadır. Logaritmik ölçekler , bir değerin mutlak farkının aksine göreceli değişimini ölçmek için kullanışlıdır. Dahası, logaritmik fonksiyon log ( x ) büyük x için çok yavaş büyüdüğünden , büyük ölçekli bilimsel verileri sıkıştırmak için logaritmik ölçekler kullanılır. Logaritmalar ayrıca Tsiolkovsky roket denklemi , Fenske denklemi veya Nernst denklemi gibi çok sayıda bilimsel formülde de bulunur .

Logaritmik ölçek

Zaman içinde bir işaretin değerinin grafiği.  Değerini gösteren çizgi, logaritmik ölçekte bile çok hızlı artıyor.
Bir değerini gösteren bir logaritmik grafik Altın Marka içinde Papiermarks sırasında 1920'lerde Alman hiperinflasyona

Bilimsel nicelikler genellikle logaritmik bir ölçek kullanılarak diğer niceliklerin logaritmaları olarak ifade edilir . Örneğin, desibel , logaritmik ölçekli miktarlarla ilişkili bir ölçü birimidir . Bir güç oranının ortak logaritmasının 10 katı veya bir gerilim oranının ortak logaritmasının 20 katı olan oranların ortak logaritmasına dayanır . Elektrik sinyallerinin iletilmesinde voltaj seviyelerinin kaybını ölçmek, akustikteki seslerin güç seviyelerini ve spektrometri ve optik alanlarındaki ışığın emilimini tanımlamak için kullanılır . Sinyal-gürültü oranı istenmeyen miktarını açıklayan gürültü bir (anlamlı) göre sinyal desibel cinsinden ölçülür. Benzer şekilde, en yüksek sinyal-gürültü oranı , ses kalitesini ve logaritmayı kullanarak görüntü sıkıştırma yöntemlerini değerlendirmek için yaygın olarak kullanılır .

Depremde salınan enerjinin ortak logaritması alınarak depremin gücü ölçülür. Bu, moment büyüklüğü ölçeğinde veya Richter büyüklük ölçeğinde kullanılır . Örneğin, bir 5.0 deprem 32 kez serbest (10 , 1.5 ) ve bir 6,0 1000 kat (10 3 ) , bir 4.0 enerjisini. Başka bir logaritmik ölçek, görünen büyüklüktür . Yıldızların parlaklığını logaritmik olarak ölçer. Yine bir başka örnek olarak , pH içinde kimya ; pH, ortak logaritma negatif etkinlik ve hidronyum iyonu (şekilde hidrojenin iyonları H +
su alın). Nötr su içinde hidronyum iyonu aktivitesi 10 -7   moll -1 bundan dolayı 7. Vinegar pH tipik olarak 10 arasında bir oranda 4 tekabül farkı yaklaşık 3 arasında bir pH değerine sahip, 4 aktivitesinin, bir , sirkenin hidronyum iyon aktivitesi yaklaşık 10 ± 3 mol.L- 1'dir .

Semilog (log – lineer) grafikler, görselleştirme için logaritmik ölçek kavramını kullanır: bir eksen, tipik olarak dikey olan, logaritmik olarak ölçeklenir. Örneğin, sağdaki grafik 1 milyondan 1 trilyona olan dik artışı aynı alana (dikey eksende) 1'den 1 milyona artışla sıkıştırıyor. Bu özellik, grafik olarak, üstel fonksiyon biçimi f ( x ) = a · b X ile düz çizgiler olarak görünür eğim logaritmasına eşit b . Log-log grafikleri şekilde fonksiyonlarını neden olan, logaritmik olarak her iki aksı ölçek f ( x =) bir · x k eğimli düz çizgiler üs için eşit olarak tasvir edilmesi k . Bu, güç yasalarının görselleştirilmesi ve analiz edilmesinde uygulanır .

Psikoloji

Logaritmalar, insan algısını tanımlayan çeşitli yasalarda ortaya çıkar : Hick yasası , bireylerin bir alternatif seçmek için harcadıkları süre ile sahip oldukları seçeneklerin sayısı arasında logaritmik bir ilişki önerir. Fitts yasası , bir hedef alana hızla hareket etmek için gereken sürenin, mesafenin ve hedefin boyutunun logaritmik bir işlevi olduğunu öngörür. Gelen psikofizik , Weber-Fechner yasası arasındaki logaritmik bir ilişki olduğunu öne sürer uyarıcı ve duyum böyle fiili vs gibi bir kişi taşıyan bir öğenin algılanan ağırlığı. (Bununla birlikte, bu "yasa", Stevens'ın güç yasası gibi daha yeni modellerden daha az gerçekçidir .)

Psikolojik araştırmalar, matematik eğitimi az olan bireylerin, nicelikleri logaritmik olarak tahmin etme eğiliminde olduklarını, yani logaritmasına göre işaretlenmemiş bir çizgi üzerine bir sayı yerleştirdiklerini, böylece 10'un 100'e 1000'e yakın olarak konumlandırıldığını bulmuştur. Eğitimin artması bunu değiştirir. Bazı durumlarda doğrusal bir tahmine göre (1000 kez 10 kat uzakta konumlandırma), logaritmalar ise çizilecek sayıların doğrusal olarak çizilmesi zor olduğunda kullanılır.

Olasılık teorisi ve istatistik

Üç asimetrik PDF eğrisi
Log-normal dağılımlı rastgele değişkenlerin üç olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF). Gösterilen PDF'lerin üçü için de sıfır olan konum parametresi μ , değişkenin kendisinin ortalaması değil, rastgele değişkenin logaritmasının ortalamasıdır.
Sütun grafik ve üst üste bindirilmiş ikinci grafik.  İkisi biraz farklıdır, ancak her ikisi de benzer şekilde azalır.
Dünyanın 237 ülkesinin nüfusunda ilk rakamların dağılımı (% olarak, kırmızı çubuklar) . Siyah noktalar, Benford yasası tarafından tahmin edilen dağılımı gösterir.

Logaritma ortaya çıkan olasılık teorisi : Büyük sayılar kanunu bir için, dikte fuar madalyonun sonsuza madeni para fırlatır sayısı arttıkça, kafaları gözlenen oranı yarısını yaklaşır . Bu oranın yaklaşık yarısı kadar olan dalgalanmaları , yinelenen logaritma yasası ile açıklanmaktadır .

Logaritmalar ayrıca log-normal dağılımlarda ortaya çıkar . Bir logaritması zaman rastgele değişkenin bir sahiptir normal dağılım , değişken bir log-normal dağılımı sahip olduğu söylenmektedir. Log-normal dağılımlar, birçok alanda, örneğin türbülans çalışmasında, birçok bağımsız pozitif rastgele değişkenin ürünü olarak bir değişkenin oluşturulduğu yerlerde karşılaşılır.

Logaritmalar, parametrik istatistiksel modellerin maksimum olasılık tahmini için kullanılır . Böyle bir model için, olabilirlik fonksiyonu tahmin edilmesi gereken en az bir parametreye bağlıdır . Olabilirlik fonksiyonunun bir maksimum değeri, olasılığın maksimum logaritması (" log olabilirlik ") olarak aynı parametre değerinde gerçekleşir , çünkü logaritma artan bir fonksiyondur. Özellikle bağımsız rasgele değişkenler için çarpma olasılıkları için, günlük olabilirliğini maksimize etmek daha kolaydır .

Benford yasası , binaların yükseklikleri gibi birçok veri kümesindeki rakamların oluşumunu açıklar . Benford'un yasasına göre, veri örneğinin bir öğenin ilk ondalık basamaklı olduğu olasılık d (1'den 9'a kadar) eşittir log 10 ( d + 1) - log 10 ( d ) , bağımsız ölçüm biriminin. Bu nedenle, verilerin yaklaşık% 30'unda birinci basamak olarak 1 olması,% 18'inin 2 ile başlaması vb. Beklenebilir. Denetçiler, hileli muhasebeyi tespit etmek için Benford yasasından sapmaları inceler.

Hesaplama karmaşıklığı

Algoritma analizi bir dalıdır bilgisayar bilimleri o çalışmalar performans ait algoritmalar (belli bir problem çözme bilgisayar programları). Logaritmalar, bir problemi daha küçük olanlara bölen ve alt problemlerin çözümlerini birleştiren algoritmaları tanımlamak için değerlidir .

Örneğin, sıralı bir listede bir sayı bulmak için, ikili arama algoritması ortadaki girişi kontrol eder ve numara hala bulunamıyorsa, ortadaki girişten önce veya sonra yarım ile ilerler. Bu algoritma ortalama olarak log 2 ( N ) karşılaştırmalarını gerektirir, burada N listenin uzunluğudur. Benzer şekilde, birleştirme sıralama algoritması, listeyi yarıya bölerek ve sonuçları birleştirmeden önce bunları ilk önce sıralayarak sıralanmamış bir listeyi sıralar. Birleştirme sıralama algoritmaları tipik olarak, yaklaşık olarak N · log ( N ) ile orantılı bir süre gerektirir . Logaritmanın tabanı burada belirtilmemiştir, çünkü sonuç yalnızca başka bir taban kullanıldığında sabit bir faktörle değişir. Standart tek tip maliyet modeli altında algoritmaların analizinde sabit bir faktör genellikle göz ardı edilir .

Bir fonksiyon f ( x ) olduğu söylenir logaritmik büyüme ise f ( x ) (yaklaşık veya tam olarak) orantılı logaritmasına olan x . (Bununla birlikte, organizma büyümesinin biyolojik tanımları bu terimi üstel bir işlev için kullanır.) Örneğin, herhangi bir doğal sayı N , log 2 ( N ) + 1 bitten fazla olmayan ikili biçimde temsil edilebilir . Diğer bir deyişle, miktarı, bellek depolamak için gereken N logaritmik büyür N .

Entropi ve kaos

İki parçacığın yörüngesine sahip oval bir şekil.
Bilardo oval ile bilardo masası . Merkezden bir derece farklı bir açı ile başlayan iki parçacık, sınırdaki yansımalar nedeniyle kaotik olarak birbirinden ayrılan yollar izler .

Entropi , genel olarak bazı sistemlerin düzensizliğinin bir ölçüsüdür. Olarak istatistik termodinamik , entropi S bazı fiziksel sistem olarak tanımlanmaktadır

Toplam, bir kaptaki gaz parçacıklarının konumları gibi, söz konusu sistemin tüm olası durumları i üzerindedir . Ayrıca, p ı durum olasılığıdır ı elde edilir ve k ise Boltzmann sabiti . Benzer şekilde, bilgi teorisindeki entropi, bilgi miktarını ölçer. Bir mesaj alıcısı, eşit olasılıkla N olası mesajdan herhangi birini bekleyebilirse , bu tür mesajlardan herhangi biri tarafından iletilen bilgi miktarı, log 2 ( N ) bit olarak ölçülür .

Lyapunov üsleri , dinamik bir sistemin kaotiklik derecesini ölçmek için logaritmaları kullanır . Örneğin, oval bir bilardo masası üzerinde hareket eden bir parçacık için, başlangıç ​​koşullarındaki küçük değişiklikler bile parçacığın çok farklı yollarına neden olur. Bu tür sistemler kaotik bir de deterministik başlangıç durumuna küçük ölçüm hataları tahmin edilebileceği ölçüde farklı nihai durumlarına neden çünkü, bu arada. Belirleyici olarak kaotik bir sistemin en az bir Lyapunov üssü pozitiftir.

Fraktallar

Bir üçgenin parçaları yinelenen bir şekilde kaldırılır.
Sierpinski üçgeni (sağda), eşkenar üçgenlerin art arda üç küçük
üçgenle değiştirilmesiyle oluşturulmuştur .

Logaritmalar , fraktal boyutunun tanımlarında ortaya çıkar . Fraktallar, kendilerine benzeyen geometrik nesnelerdir : küçük parçalar, en azından kabaca, tüm küresel yapıyı yeniden üretir. Sierpinski üçgeni (resimde) kendisi üç kopya, her biri iki tarafın yarım orijinal uzunluğu ile örtülebilir. Bu , bu yapının Hausdorff boyutunu ln (3) / ln (2) ≈ 1.58 yapar . Logaritmaya dayalı başka bir boyut kavramı, söz konusu fraktalın kapsanması için gereken kutuların sayılmasıyla elde edilir .

Müzik

Doğrusal ölçekte gösterilen dört farklı oktav.
Logaritmik ölçekte gösterilen dört farklı oktav.
Doğrusal ölçekte gösterilen dört farklı oktav, daha sonra logaritmik ölçekte gösterilir (kulak onları duyduğunda).

Logaritmalar müzik tonları ve aralıklarla ilgilidir . Olarak eşit mizaç , frekans oranı değil belirli bir frekans ya da, sadece iki ton arasında aralığına bağlıdır son münferit tonlarının. Örneğin, nota A'nın frekansı 440 Hz ve B-flat'in frekansı 466 Hz'dir. Arasındaki zaman aralığı , A ve B düz a, yarım ton olarak arasındaki biri, B-düz ve B (frekans 493 Hz). Buna göre, frekans oranları aynı fikirde:

Bu nedenle, aralıkları tanımlamak için logaritmalar kullanılabilir: bir aralık, frekans oranının baz-2 1/12 logaritması alınarak yarım tonlarla ölçülür , frekans oranının taban-2 1/1200 logaritması ise aralığı sent cinsinden ifade eder. , yarım tonun yüzde biri. İkincisi, eşit olmayan mizaçlar için gerekli olduğundan daha ince kodlama için kullanılır.

Aralık
(iki ton aynı anda çalınır)
1/12 ton çalmaBu ses hakkında  Yarı ton çalmaBu ses hakkında Sadece büyük üçüncü oyunBu ses hakkında Başlıca üçüncü oyunBu ses hakkında Triton çalmaBu ses hakkında Oktav çalmaBu ses hakkında
Frekans oranı r
Karşılık gelen yarım ton sayısı
Karşılık gelen sent sayısı

Sayı teorisi

Doğal logaritmalar , sayı teorisinde önemli bir konu olan asal sayıların (2, 3, 5, 7, 11, ...) sayılmasıyla yakından bağlantılıdır . Herhangi biri için bir tamsayı , x , miktarı asal sayılar daha az ya da eşit x isimli ifade edilmiş π ( x ) . Teoremi asal sayı olduğunu iddia π ( x ) yaklaşık verilir

π ( x ) ve bu kesrin oranının x sonsuza meylettiğinde 1'e yaklaşması anlamında . Sonuç olarak, 1 ile n arasında bir rasgele seçilen sayısı o olasılık olarak X asal ters olan orantılı bir ondalık hane sayısı x . Π ( x ) için çok daha iyi bir tahmin, şununla tanımlanan ofset logaritmik integral fonksiyonu Li ( x ) tarafından verilir.

En eski açık matematiksel varsayımlardan biri olan Riemann hipotezi , π ( x ) ve Li ( x ) 'i karşılaştırarak ifade edilebilir . Erdos-Kac teoremi farklı sayısını tanımlayan ana faktörler de kapsar doğal logaritma .

N faktöriyelinin logaritması , n ! = 1 · 2 · ... · n , tarafından verilir

Bu, Stirling'in formülünü elde etmek için kullanılabilir , bir n ! Büyük için n .

Genellemeler

Karmaşık logaritma

Kutupsal formun bir örneği: Bir nokta, bir okla veya eşdeğer olarak uzunluğu ve x eksenine olan açısıyla tanımlanır.
Z = x + iy'in kutupsal formu . Hem φ hem de φ ' z'nin argümanlarıdır .

Denklemi çözen tüm karmaşık sayılar a

denir kompleks logaritma arasında z zaman, Z , bir karmaşık sayının (olarak kabul gibi). Karmaşık bir sayı genellikle z = x + iy olarak temsil edilir , burada x ve y gerçek sayılardır ve i , karesi −1 olan hayali bir birimdir . Böyle bir sayı , sağda gösterildiği gibi karmaşık düzlemdeki bir nokta ile görselleştirilebilir . Kutupsal olmayan bir sıfır karmaşık sayı kodlayan z onun tarafından mutlak değer , (pozitif gerçek) mesafe, R için kökenli ve gerçek (arasında bir açı x ) ekseni Re ve her iki başlangıç noktasından geçen bir çizgi ve z . Bu açı, adı bağımsız değişken bölgesinin z .

Mutlak değer r ve z ile verilmektedir

Geometrik yorumlanması ile ve ve bunların periyodiklik herhangi bir karmaşık sayı z olarak ifade edilebilir

herhangi bir tam sayı için k . Açıktır ki argüman z benzersiz belirtilmemişse: Her iki φ ve φ '= φ + 2 k π arasında geçerli argümanlar z , tam sayı için k , ekleme, çünkü 2 k π radyan ya da k ⋅360 ° φ tekabül yaklaşık 'sargı' ile başlangıç ​​saat yönünün tersine k dönüşlü . Sağda k = 1 için gösterildiği gibi , elde edilen karmaşık sayı her zaman z'dir . Bir tam olarak olası argümanlar bir seçebilir z adlandırılan olarak ana değişken ile gösterilen Arg ( Z ) sermaye ile, A gerektirerek, cp , birine uygun seçilen dönüş, örneğin, ait ya da bu bölge, burada z'nin argümanı benzersiz olarak belirlenir , argüman işlevinin dalları olarak adlandırılır .

Bir yoğunluk grafiği.  Ortada siyah bir nokta vardır, negatif eksende ton keskin bir şekilde zıplar ve aksi takdirde yumuşak bir şekilde gelişir.
Karmaşık logaritmanın ana dalı (- π , π ), Log ( z ) . Z = 1'deki siyah nokta mutlak sıfır değerine karşılık gelir ve daha parlak, daha doygun renkler daha büyük mutlak değerlere karşılık gelir. Renk renk argümanı kodlayan Log ( z ) .

Euler'in formülü , trigonometrik fonksiyonları sinüs ve kosinüs ile karmaşık üstel fonksiyona bağlar :

Bu formülü ve tekrar dönemselliği kullanarak, aşağıdaki kimlikler tutulur:

burada ln ( r ) , benzersiz gerçek doğal logaritmadır, a k , z'nin karmaşık logaritmalarını belirtir ve k , keyfi bir tamsayıdır. Bu nedenle, karmaşık logaritma z tüm bu karmaşık değerler, bir k olan bir k inci gücü e eşit z , sonsuz sayıda değerlerdir

keyfi tamsayılar için k .

Alarak k , örneğin ana bağımsız değişkenler için belirlenen aralık içinde, daha sonra , bir k adlandırılan asıl değer logaritma, gösterilen Log ( Z ) sermaye ile tekrar, L . Gerçeldir başlıca bağımsız değişken x = 0; dolayısıyla Log ( x ) gerçek bir sayıdır ve gerçek (doğal) logaritmaya eşittir. Bununla birlikte, ürün ve güçlerin logaritma için yukarıdaki formüller yok değil genelleme kompleks logaritmanın asıl değer elde edilir.

Sağdaki çizim tasvir Log ( z ) , argüman sınırlayıcı z aralığı - ( tt , π ] kompleksi logaritma mukabil dal tüm negatif gerçek boyunca süreksizlikler sahip olan bu şekilde. X ekseninde, görülebilir Bu süreksizlik, bir sınırı geçerken, yani sürekli komşu dalın karşılık gelen k- değerine geçerken aynı daldaki diğer sınıra atlamaktan kaynaklanır . Böyle bir lokusa dal kesiği denir. Argümandaki aralık kısıtlamalarının kaldırılması ilişkileri " z argümanı " ve sonuç olarak " z'nin logaritması ", çok değerli fonksiyonlar yapar .

Diğer üstel fonksiyonların tersleri

Üs alma matematiğin birçok alanında meydana gelir ve ters işlevi genellikle logaritma olarak adlandırılır. Örneğin, bir matrisin logaritması , matris üstelinin (çok değerli) ters fonksiyonudur . Bir başka örnek ise p -adic logaritması , ters fonksiyonu s -adic üstel . Her ikisi de Taylor serisi aracılığıyla gerçek duruma benzer şekilde tanımlanır. Diferansiyel geometri bağlamında , üstel harita , bir manifoldun bir noktasındaki teğet uzayını o noktanın bir mahallesine eşler . Tersi aynı zamanda logaritmik (veya günlük) harita olarak da adlandırılır.

Sonlu gruplar bağlamında üstlenme, bir grup elemanı b'nin kendisiyle tekrar tekrar çarpılmasıyla verilir . Diskre logaritma tamsayıdır , n denklemi çözme

burada x , grubun bir öğesidir. Üs alma işleminin gerçekleştirilmesi verimli bir şekilde yapılabilir, ancak ayrık logaritmanın bazı gruplarda hesaplanmasının çok zor olduğuna inanılmaktadır. Bu asimetri, açık anahtar kriptografisinde önemli uygulamalara sahiptir , örneğin Diffie-Hellman anahtar değişimi , güvenli olmayan bilgi kanalları üzerinden şifreleme anahtarlarının güvenli değişimine izin veren bir rutin . Zech'in logaritması , sonlu bir alanın sıfır olmayan elemanlarının çarpımsal grubundaki ayrık logaritma ile ilgilidir .

Diğer logaritma benzeri ters fonksiyonlar arasında çift ​​logaritma ln (ln ( x )), süper veya hiper-4-logaritma (bunun küçük bir varyasyonu bilgisayar biliminde yinelenen logaritma olarak adlandırılır ), Lambert W fonksiyonu ve logit bulunur. . Bunlar ters fonksiyonları çift üstel fonksiyon , tetrasyon , bir f ( a ) = biz ağırlık , ve lojistik fonksiyonu sırasıyla.

Ilgili kavramlar

Grup teorisi perspektifinden bakıldığında , özdeşlik log ( cd ) = log ( c ) + log ( d ) , çarpma altındaki pozitif gerçekler ile toplama altındaki gerçekler arasındaki bir grup izomorfizmini ifade eder . Logaritmik fonksiyonlar, bu gruplar arasındaki tek sürekli izomorfizmlerdir. Bu izomorfizm sayesinde, gerçeklerdeki Haar ölçümü ( Lebesgue ölçümü ) dx , pozitif gerçeklerdeki Haar ölçümü dx / x'e karşılık gelir . Negatif olmayan gerçekler yalnızca bir çarpma işlemine sahip değildir, aynı zamanda toplamaya da sahiptir ve olasılık semiringi adı verilen bir yarı bağlantı oluşturur ; bu aslında bir yarı alandır . Logaritma daha sonra çarpmayı toplamaya (log çarpma) götürür ve log toplamaya ( LogSumExp ) ek alarak olasılık semiringi ile log semiringi arasında yarıhalkaların izomorfizmini verir .

Logaritmik tek formlar df / f , karmaşık analizde ve cebirsel geometride logaritmik kutuplu diferansiyel formlar olarak görünür .

Polylogarithm fonksiyonu ile tanımlanır

Bu ilgilidir doğal logaritma ile Li 1 ( z (- 1) = -ln z ) . Dahası, Li s (1) Riemann zeta fonksiyonu ζ ( s ) 'ye eşittir .

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar