Taylor serisi - Taylor series

Taylor polinomunun derecesi yükseldikçe doğru fonksiyona yaklaşır. Bu görüntü dosyası sin x ve derece polinom tarafından Taylor yaklaşımlar 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , ve 13 de x = 0 .

Gelen matematik , Taylor serisi a fonksiyonu bir bir sonsuz toplam fonksiyon bakımından ifade edilmiştir terimlerin türevleri tek bir noktada. En yaygın fonksiyonlar için, Taylor serisinin fonksiyonu ve toplamı bu noktaya yakın eşittir. Taylor'ın serisi, adını onları 1715'te tanıtan Brook Taylor'dan almıştır .

Türevlerin dikkate alındığı nokta sıfır ise, Taylor serisinin bu özel durumunu 18. yüzyılda yaygın olarak kullanan Colin Maclaurin'den sonra bir Taylor serisine Maclaurin serisi de denir .

Kısmi toplam birinci oluşan n + 1 , bir Taylor serisi terimler olan polinom derecesi n olarak adlandırılır N inci Taylor polinom fonksiyonu. Taylor polinomları, n arttıkça genellikle daha iyi hale gelen bir fonksiyonun yaklaşımlarıdır . Taylor teoremi , bu tür yaklaşımların kullanılmasıyla ortaya çıkan hata hakkında nicel tahminler verir. Bir Taylor serisi ise yakınsak olarak, toplamı sınırı arasında sonsuz dizisinin Taylor polinomlarının. Bir fonksiyon, Taylor serisi yakınsak olsa bile, Taylor serisinin toplamından farklı olabilir. Bir fonksiyonu analitik bir noktasında x bazı kendi Taylor serisi toplamına eşitse açık aralık (ya da açık bir disk olarak kompleks düzlem ihtiva eden) x . Bu, fonksiyonun aralığın (veya diskin) her noktasında analitik olduğu anlamına gelir.

Tanım

Bir Taylor serisi gerçek veya karmaşık-değerli fonksiyonu f  ( x ) ise , sonsuz türevlenebilir bir de gerçek veya karmaşık sayı a olan kuvvet serileri

nerede n ! temsil eder faktöriyel bir n . Daha kompakt sigma notasyonunda bu şu şekilde yazılabilir:

burada f ( n ) ( a ) temsil eder , n inci türevi arasında f noktasında değerlendirilir a . (Sırayla sıfır türevi f olarak tanımlanır f kendisi ve ( x - bir ) 0 ve ! 0 her ikisi de 1 olarak tanımlanmıştır .)

Ne zaman bir = 0 , seri de denir Maclaurin serileri .

Örnekler

Herhangi bir polinom için Taylor serisi , polinomun kendisidir.

Maclaurin serisi için 1/1 - xbir geometrik dizi

bu yüzden Taylor serisi 1/xde bir = 1 olduğu

Yukarıdaki Maclaurin serisini entegre ederek, ln(1 − x ) için Maclaurin serisini buluruz , burada ln doğal logaritmayı gösterir :

Karşılık gelen Taylor serisi ln X de bir = 1 olduğu

ve daha genel olarak, ln x için rastgele sıfırdan farklı bir a noktasında karşılık gelen Taylor serisi :

Maclaurin serisi üstel fonksiyon E x olan

Türevi için yukarıda genişleme tutar e X göre x de , e X ve E 0 1. Yaprakları eşit şartlar ( x - 0) n, pay ve n ! sonsuz toplamdaki her terimin paydasında.

Tarih

Yunan filozofu Zeno , sonlu bir sonuç elde etmek için sonsuz bir seriyi toplama problemini düşündü, ancak bunu imkansız olarak reddetti; sonuç Zeno'nun paradoksuydu . Daha sonra, Aristoteles paradoksun felsefi bir çözümünü önerdi, ancak matematiksel içerik, Arşimet tarafından ele alınana kadar, görünüşe göre , Aristoteles'ten önce Presokratik Atomist Demokritus tarafından olduğu gibi çözülmedi . Sonlu bir sonuç elde etmek için sonsuz sayıda aşamalı alt bölümler gerçekleştirilebilmesi, Arşimet'in tükenme yöntemiyle oldu . Liu Hui , birkaç yüzyıl sonra bağımsız olarak benzer bir yöntem kullandı.

14. yüzyılda Taylor serilerinin ve yakından ilişkili yöntemlerin kullanımının ilk örnekleri Sangamagramalı Madhava tarafından verilmiştir . Çalışmalarıyla ilgili hiçbir kayıt günümüze ulaşmamış olsa da, daha sonraki Hintli matematikçilerin yazıları , sinüs , kosinüs , tanjant ve arktanjantın trigonometrik fonksiyonları da dahil olmak üzere Taylor serisinin bir dizi özel durumunu bulduğunu ileri sürer . Astronomi ve Matematik Kerala Okulu ayrıca 16. yüzyıla kadar çeşitli serisi açılımları ve rasyonel yaklaşımları eserlerini genişletmiştir.

17. yüzyılda James Gregory de bu alanda çalıştı ve birkaç Maclaurin serisi yayınladı. Ancak 1715'e kadar, bu serileri var oldukları tüm fonksiyonlar için inşa etmek için genel bir yöntem nihayet Brook Taylor tarafından sağlanmamıştı , bu seriler şimdi onun adını taşıyor.

Maclaurin serisi, 18. yüzyılda Taylor sonucunun özel durumunu yayınlayan Edinburgh'da bir profesör olan Colin Maclaurin'in adını almıştır .

analitik fonksiyonlar

İşlev e (-1 / x 2 ) ile analitik değildir x = 0 : işlev değil, ancak Taylor serisi, aynı 0'dır.

Eğer f  ( x ) karmaşık düzlemde b merkezli açık bir diskte (veya gerçek doğrudaki aralıkta) yakınsak bir güç serisi ile veriliyorsa , bu diskte analitik olduğu söylenir . Böylece bu diskteki x için f , yakınsak bir güç serisi tarafından verilir.

Yukarıdaki formülü n kez x ile farklılaştırarak , ardından x = b'yi ayarlamak şunları verir:

ve böylece kuvvet serisi açılımı Taylor serisi ile uyumludur. Bu nedenle, b merkezli bir açık diskte bir fonksiyon, ancak ve ancak onun Taylor serisi, diskin her noktasında fonksiyonun değerine yakınsarsa analitiktir .

Eğer f  ( x ) her için Taylor serisi eşittir x kompleks düzlemde, denir tüm . Polinomlar, üstel fonksiyon e x ve trigonometrik fonksiyonlar sinüs ve kosinüs, tüm fonksiyonların örnekleridir. Tam olmayan fonksiyonlara örnek olarak karekök , logaritma , trigonometrik fonksiyon tanjantı ve onun tersi arctan verilebilir . Bu fonksiyonlar için, eğer x , b'den uzaksa Taylor serisi yakınsamaz . Kendisine, Taylor serisi ıraksamaktadır de x arasındaki mesafe ise x ve b daha büyük olan yakınsama yarıçapı . Taylor serisi, fonksiyonun ve tüm türevlerinin değeri tek bir noktada biliniyorsa, tüm bir fonksiyonun her noktadaki değerini hesaplamak için kullanılabilir.

Taylor serisinin analitik fonksiyonlar için kullanımları şunları içerir:

  1. Serinin kısmi toplamları ( Taylor polinomları ), fonksiyonun yaklaşık değerleri olarak kullanılabilir. Yeterince çok terim dahil edildiğinde bu yaklaşımlar iyidir.
  2. Kuvvet serilerinin türevlenmesi ve entegrasyonu terim terim yapılabilir ve bu nedenle özellikle kolaydır.
  3. Bir analitik fonksiyon , karmaşık düzlemde açık bir disk üzerindeki bir holomorfik fonksiyona benzersiz bir şekilde genişletilir . Bu, karmaşık analiz makinelerini kullanılabilir hale getirir .
  4. (Kesilmiş) seri, fonksiyon değerlerini sayısal olarak hesaplamak için kullanılabilir (genellikle polinomu Chebyshev formuna yeniden dökerek ve Clenshaw algoritması ile değerlendirerek ).
  5. Kuvvet serileri gösterimi üzerinde cebirsel işlemler kolaylıkla yapılabilir; örneğin, Euler'in formülü , trigonometrik ve üstel fonksiyonlar için Taylor serisi açılımlarından gelir. Bu sonuç, harmonik analiz gibi alanlarda temel öneme sahiptir .
  6. Bir Taylor serisinin ilk birkaç terimini kullanan yaklaşımlar, sınırlı bir alan için aksi takdirde çözülemez problemleri mümkün kılabilir; bu yaklaşım genellikle fizikte kullanılır.

Yaklaşım hatası ve yakınsama

Sinüs fonksiyonu (mavi), orijinde merkezlenmiş tam bir periyot için 7 dereceli (pembe) Taylor polinomuyla yakından ilişkilidir.
ln(1 + x ) için Taylor polinomları yalnızca −1 < x ≤ 1 aralığında doğru yaklaşımlar sağlar . İçin x > 1 , yüksek derece Taylor polinomları kötü yaklaşımları sağlarlar.
ln(1 + x ) (siyah) için Taylor yaklaşımları . İçin x > 1 , yaklaşımlar sapmak.

Sağdaki resimde, sin x'in x = 0 noktası etrafında doğru bir tahmini görülmektedir . Pembe eğri, yedinci dereceden bir polinomdur:

Bu yaklaşımdaki hata, | x | 9/9!. Özellikle, −1 < x < 1 için hata 0,00003'ten küçüktür.

Buna karşılık, ln(1 + x ) doğal logaritma fonksiyonunun ve a = 0 civarındaki Taylor polinomlarından bazılarının bir resmi de gösterilmektedir . Bu yaklaşımlar sadece −1 < x ≤ 1 bölgesinde fonksiyona yakınsar ; bu bölgenin dışında, yüksek dereceli Taylor polinomları, fonksiyon için daha kötü yaklaşımlardır.

Hata da bir işlev tarafından yaklaşan katlanılan N inci dereceden Taylor polinom adlandırılan geriye kalan ya da kalıntı ve fonksiyon ile gösterilir R , n ( x ) . Taylor teoremi , kalanın boyutu için bir sınır elde etmek için kullanılabilir .

Genel olarak, Taylor serisinin yakınsak olması gerekmez . Ve aslında bir yakınsak Taylor serisi ile fonksiyonların seti olduğu belirlenen yetersiz içinde Fréchet alanı içinde düzgün fonksiyonları . Ve bir f fonksiyonunun Taylor serisi yakınsasa bile , limitinin genel olarak f  ( x ) fonksiyonunun değerine eşit olması gerekmez . Örneğin, işlev

bir sonsuz türevlenebilir de x = 0 , ve türevlerinin sıfır sahiptir. Sonuç olarak, Taylor serisi f  ( x ) yaklaşık x = 0 aynı sıfırdır. Ancak f  ( x ) sıfır işlevi değildir, dolayısıyla orijin etrafındaki Taylor serisine eşit değildir. Bu nedenle f  ( x ) analitik olmayan düzgün bir fonksiyon örneğidir .

In gerçek analiz , bu örnek gösterir olduğuna sonsuz türevlenebilir fonksiyonlar f  ( x ) olan Taylor serisidir değil eşit f  ( x ) onlar yakınsama bile. Buna karşılık, karmaşık analizde incelenen holomorfik fonksiyonlar her zaman yakınsak bir Taylor serisine sahiptir ve hatta tekillikleri olabilen Taylor serisi meromorfik fonksiyonlar bile fonksiyonun kendisinden farklı bir değere asla yakınsar. Bununla birlikte, karmaşık fonksiyon e -1/ z 2 , sanal eksen boyunca z 0'a yaklaştığında 0'a yaklaşmaz, bu nedenle karmaşık düzlemde sürekli değildir ve Taylor serisi 0'da tanımsızdır.

Daha genel olarak, her gerçek veya karmaşık sayı dizisi, Borel'in lemmasının bir sonucu olarak, gerçek çizgi üzerinde tanımlanan sonsuz türevlenebilir bir fonksiyonun Taylor serisinde katsayılar olarak görünebilir . Sonuç olarak, bir Taylor serisinin yakınsaklık yarıçapı sıfır olabilir. Taylor serileri her yerde yakınsaklık yarıçapı 0 olan gerçek doğru üzerinde tanımlanmış sonsuz türevlenebilir fonksiyonlar bile vardır.

Bir fonksiyon, tekillik merkezli bir Taylor serisi olarak yazılamaz ; bu durumlarda, x değişkeninin negatif güçlerine de izin verilirse, genellikle bir seri açılımı elde edilebilir ; Laurent serisine bakın . Örneğin f  ( x ) = e −1/ x 2 Laurent serisi olarak yazılabilir.

genelleme

Bununla birlikte, (0,∞) üzerinde herhangi bir sınırlı sürekli fonksiyon için fonksiyonun değerine yakınsayan Taylor serisinin , sonlu farklar hesabı kullanılarak bir genellemesi vardır . Spesifik olarak, bir nedeniyle, aşağıdaki teoremi sahip Einar Hille , herhangi için t > 0 ,

burada Δn
saat
olduğu , n adım boyutu ile sonlu fark operatör inci saat . Seri tam olarak Taylor serisidir, ancak farklılaşma yerine bölünmüş farklar ortaya çıkar: seri resmen Newton serisine benzer . Fonksiyon ne zaman f de analitik olan bir serinin terimler Taylor serisinin açısından yakınsama ve bu anlamda her zamanki Taylor serisini yaygınlaştırır.

Genel olarak, herhangi bir sonsuz dizisi için bir i , aşağıdaki güç serisi kimlik tutar:

Yani özellikle,

Sağdaki seri, f  ( a + X ) ' in beklenen değeridir ; burada X , e t / h olasılıkla jh değerini alan Poisson dağıtılmış bir rastgele değişkendir · ( t / s ) j/j !. Buradan,

Büyük sayılar kanunu kimlik tutan anlamına gelir.

Bazı ortak işlevlerin Maclaurin serisinin listesi

Bunu birkaç önemli Maclaurin serisi genişletmesi takip eder. Tüm bu açılımlar karmaşık argümanlar x için geçerlidir .

üstel fonksiyon

Üstel fonksiyon E x (mavi) ve ilk toplamı n + 1 (kırmızı) 0 olarak Taylor serisi açısından.

Üstel fonksiyon (baz ile e ) MacLaurin dizi

.

Tüm x için yakınsar .

Doğal logaritma

Doğal logaritması (baz ile e ) MacLaurin dizi

için birleşirler . (Ayrıca, ln(1 − x ) dizisi x = -1 için yakınsar ve ln(1 + x ) dizisi x = 1 için yakınsar .)

Geometrik seriler

Geometrik dizi ve türevleri Maclauren dizi var

Hepsi için yakınsaktır . Bunlar , bir sonraki bölümde verilen binom serisinin özel durumlarıdır .

Binom serisi

Binom serisi güç dizisidir

katsayıları genelleştirilmiş binom katsayıları olan

( n = 0 ise , bu çarpım boş bir çarpımdır ve 1 değerine sahiptir.) Herhangi bir gerçel veya karmaşık sayı α için yakınsar .

Tüm α = -1 , büyük ölçüde, bir önceki bölümde bahsedilen sonsuz geometrik dizisidir. Özel durumlar α =1/2ve α = -1/2vermek karekök fonksiyonu ve onun tersini :

Yalnızca doğrusal terim korunduğunda, bu iki terimli yaklaşımı basitleştirir .

Trigonometrik fonksiyonlar

Olağan trigonometrik fonksiyonlar ve bunların tersleri aşağıdaki Maclaurin serilerine sahiptir:

Tüm açılar radyan cinsinden ifade edilir . Sayılar B k genişlemelere görünen bronzluk x olan Bernoulli sayıları . E k genişlemesinde sn x olan Euler sayıları .

hiperbolik fonksiyonlar

Hiperbolik fonksiyonlar yakından ilgili trigonometrik fonksiyonlar için seri ilişkin Maclaurin serisi vardır:

Sayılar B k için seri olarak görünen tanh x olan Bernoulli sayıları .

Taylor serisinin hesaplanması

Çok sayıda fonksiyonun Taylor serisinin hesaplanması için çeşitli yöntemler mevcuttur. Taylor serisinin tanımını kullanmak için girişimde bulunulabilir, ancak bu genellikle katsayıların formunun hali hazırda belirgin bir kalıba göre genelleştirilmesini gerektirir. Alternatif olarak, Taylor serisinin kuvvet serisi olması nedeniyle, bir fonksiyonun Taylor serisini oluşturmak için standart Taylor serilerinin ikame, çarpma veya bölme, toplama veya çıkarma gibi manipülasyonlar kullanılabilir. Bazı durumlarda, tekrar tekrar parçalara göre entegrasyon uygulanarak Taylor serisi türetilebilir . Taylor serisini hesaplamak için bilgisayar cebir sistemlerinin kullanılması özellikle uygundur .

İlk örnek

Fonksiyon için 7. dereceden Maclaurin polinomunu hesaplamak için

,

biri önce işlevi şu şekilde yeniden yazabilir:

.

Doğal logaritma için Taylor serisi ( büyük O notasyonu kullanılarak )

ve kosinüs fonksiyonu için

.

İkinci seri açılımı sıfır sabit terime sahiptir , bu da ikinci seriyi birinci seriyle değiştirmemize ve büyük O gösterimini kullanarak 7. dereceden daha yüksek dereceli terimleri kolayca çıkarmamıza olanak tanır :

Kosinüs çift ​​bir fonksiyon olduğundan , tüm tek güçler x , x 3 , x 5 , x 7 , ... için katsayıların sıfır olması gerekir.

İkinci örnek

Taylor serisini fonksiyonun 0'ında istediğimizi varsayalım.

Üstel fonksiyon için elimizde

ve ilk örnekte olduğu gibi,

kuvvet serisi olduğunu varsayalım

Sonra payda ile çarpma ve kosinüs verimleri serisinin ikamesi

Dördüncü mertebe verimlere kadar olan terimlerin toplanması

değerleri, katsayıların en üstteki ifadeyle karşılaştırılmasıyla bulunabilir ve şu sonucu verir:

Üçüncü örnek

Burada verilen işlevi genişletmek için "dolaylı genişleme" adı verilen bir yöntem kullanıyoruz. Bu yöntem, üstel fonksiyonun bilinen Taylor açılımını kullanır. Amacıyla genişletmek için (1 + x ) e X bir Taylor serisi olarak x , fonksiyon bilinen Taylor serisi kullanmak e X :

Böylece,

Tanım olarak Taylor serisi

Klasik olarak, cebirsel fonksiyonlar bir cebirsel denklem ile tanımlanır ve aşkın fonksiyonlar (yukarıda tartışılanlar dahil), diferansiyel denklem gibi onlar için geçerli olan bazı özellikler tarafından tanımlanır . Örneğin üstel fonksiyon , her yerde kendi türevine eşit olan ve orijinde 1 değerini alan fonksiyondur. Bununla birlikte, bir analitik fonksiyon , Taylor serisi ile eşit derecede iyi tanımlanabilir .

Taylor serileri, matematiğin çeşitli alanlarında fonksiyonları ve " operatörleri " tanımlamak için kullanılır . Özellikle bu, klasik fonksiyon tanımlarının bozulduğu alanlar için geçerlidir. Örneğin, Taylor serisi kullanılarak, analitik fonksiyonlar matris üstel veya matris logaritması gibi matris ve operatör kümelerine genişletilebilir .

Biçimsel analiz gibi diğer alanlarda, doğrudan güç serileriyle çalışmak daha uygundur . Böylece, bir diferansiyel denklemin çözümünü, ispatlamayı umduğumuz, arzu edilen çözümün Taylor serisi olan bir güç serisi olarak tanımlayabiliriz .

Birkaç değişkenli Taylor serisi

Taylor serisi aynı zamanda birden fazla değişkenli fonksiyonlara genelleştirilebilir.

Örneğin , x ve y gibi iki değişkene bağlı olan bir fonksiyon için , ( a , b ) noktasında ikinci dereceden Taylor serisi şu şekildedir :

burada alt simgeler ilgili kısmi türevleri gösterir .

Birden fazla değişkenli skaler değerli bir fonksiyonun ikinci dereceden Taylor serisi açılımı, kompakt olarak şu şekilde yazılabilir:

burada D f  ( a ) bir gradyan ve f değerlendirilen X = bir ve D 2 f  ( a ) olan Hessian matris . Taylor serisinin birden çok değişken için çoklu indeks gösterimi uygulanması,

bu, bu paragrafın ilk denkleminin tek değişkenli duruma tam bir benzetme ile daha da kısaltılmış bir çok indeksli versiyonu olarak anlaşılmalıdır .

Örnek

Bir f  ( x , y ) = e x ln(1 + y ) fonksiyonunun orijin çevresinde ikinci dereceden Taylor serisi yaklaşımı (turuncu renkte) .

Fonksiyonun ( a , b ) = (0, 0) noktası etrafında ikinci dereceden Taylor serisi açılımını hesaplamak için

önce gerekli tüm kısmi türevler hesaplanır:

Bu türevlerin orijinde değerlendirilmesi Taylor katsayılarını verir.

Bu değerleri genel formülde yerine koymak

üretir

Yana ln (1 + y ) analitik olup | y | < 1 , elimizde

Fourier serisi ile karşılaştırma

Trigonometrik Fourier serisi , periyodik bir fonksiyonun (veya kapalı bir aralıkta [ a , b ] tanımlanmış bir fonksiyonun ) trigonometrik fonksiyonların ( sinüs ve kosinüs ) sonsuz toplamı olarak ifade edilmesini sağlar . Bu anlamda Fourier serisi, Taylor serisine benzer, çünkü ikincisi bir fonksiyonu sonsuz güçler toplamı olarak ifade etmeye izin verir . Bununla birlikte, iki seri birkaç ilgili konuda birbirinden farklıdır:

  • Taylor serisi sonlu kesilmeleri f  ( x ) noktası etrafında X = bir bütün tam olarak eşit olan f de bir . Buna karşılık, Fourier serisi tüm bir aralık üzerinden integral alınarak hesaplanır, bu nedenle serinin tüm sonlu kesmelerinin kesin olduğu bir nokta genellikle yoktur.
  • Taylor serisinin hesaplanması, bir noktanın keyfi bir küçük komşuluğundaki fonksiyonun bilgisini gerektirirken, Fourier serisinin hesaplanması, fonksiyonun tüm etki alanı aralığında bilinmesini gerektirir . Bir anlamda Taylor serisinin "yerel" ve Fourier serisinin "küresel" olduğu söylenebilir.
  • Taylor serisi, tek bir noktada sonsuz sayıda türevi olan bir fonksiyon için tanımlanırken, Fourier serisi herhangi bir integrallenebilir fonksiyon için tanımlanır . Özellikle, fonksiyon hiçbir yerde türevlenebilir olamaz. (Örneğin, f  ( x ) bir Weierstrass işlevi olabilir .)
  • Her iki serinin yakınsaması çok farklı özelliklere sahiptir. Taylor serisi pozitif yakınsama yarıçapına sahip olsa bile, elde edilen seri fonksiyonla çakışmayabilir; ancak fonksiyon analitik ise, o zaman seri fonksiyona noktasal olarak ve yakınsama aralığının her kompakt alt kümesinde düzgün bir şekilde yakınsar. Fonksiyonu ise, Fourier serilerini ilgili karesi integrallenebilir sonra seri halinde yakınsak kuadratik ortalama , ancak ek gereksinimler noktasal veya üniforma yakınlaşma sağlamak için gerekli olan (örneğin, fonksiyon periyodik ise ve sınıf C 1 o zaman yakınsama üniforma).
  • Son olarak, pratikte, bir Taylor polinomu ya da trigonometrik serilerin kısmi toplamı gibi, sonlu sayıda terimle fonksiyon yaklaşık olarak hesaplanmalıdır. Taylor serisi durumunda hata, hesaplandığı noktanın bir komşuluğunda çok küçükken, uzak bir noktada çok büyük olabilir. Fourier serisi durumunda hata, fonksiyonun etki alanı boyunca dağıtılır.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar