Ana şube - Principal branch

Gelen matematik , bir ana dal bir seçen bir fonksiyonudur dal a ( "dilim") , çok değerli fonksiyonu . Çoğu zaman bu, karmaşık düzlemde tanımlanan işlevler için geçerlidir .

Örnekler

Trigonometrik tersler

Ana dallar, birçok ters trigonometrik fonksiyonun tanımlanmasında kullanılır , örneğin bunu tanımlamak için seçim gibi.

${\ displaystyle \ arcsin: [- 1, + 1] \ rightarrow \ sol [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ sağ]}$

yada bu

${\ displaystyle \ arccos: [- 1, + 1] \ rightarrow [0, \ pi]}$ .

Kesirli üslere üs alma

Gerçek sayılarla sınırlı daha tanıdık bir temel dal işlevi, 1 / 2'nin kuvvetine yükseltilmiş bir pozitif gerçek sayıdır .

Örneğin, y = x ^1/2 ilişkisini alın , burada x herhangi bir pozitif gerçek sayıdır.

Bu ilişki, herhangi bir değer ile tatmin edilebilir y a eşit kare kökünün bir x (pozitif ya da negatif). Geleneksel olarak, √ x pozitif karekökünü belirtmek için kullanılır x .

Bu durumda, pozitif karekök fonksiyonu, çok değerli x ^1/2 ilişkisinin ana dalı olarak alınır .

Karmaşık logaritmalar

Bir ana dalı görüntülemenin bir yolu , karmaşık analizde tanımlandığı şekliyle özellikle üstel işleve ve logaritmaya bakmaktır .

Üstel fonksiyon tek değerlidir, burada e ^z şu şekilde tanımlanır:

${\ displaystyle e ^ {z} = e ^ {a} \ cos b + yani ^ {a} \ sin b}$

nerede . ${\ displaystyle z = a + ib}$

Bununla birlikte, ilgili trigonometrik fonksiyonların periyodik doğası, logaritmanın o kadar benzersiz bir şekilde belirlenmediğini açıkça ortaya koymaktadır. Bunu görmenin bir yolu şunlara bakmaktır:

${\ displaystyle \ operatorname {Re} (\ log z) = \ log {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

ve

${\ displaystyle \ operatöradı {Im} (\ log z) = \ operatöradı {atan2} (b, a) +2 \ pi k}$

burada k, bir tamsayıdır ve atan2 değerlerini devam arctan (b / a) kendi asıl değer aralığından taşımasının avantajlı tekabül eden, temel değer aralığı içine arg (z) taşımasının avantajlı kompleks düzlemde dört kadran kapsayan, . ${\ displaystyle (- \ pi / 2, \; \ pi / 2]}$${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle (- \ pi, \; \ pi]}$

Bu tür ölçütlerle tanımlanan herhangi bir sayı log z , e ^{log z} = z özelliğine sahiptir .

Bu şekilde, günlük işlevi çok değerli bir işlevdir (genellikle karmaşık analiz bağlamında "çok işlevli" olarak anılır). Genellikle negatif gerçek eksen boyunca bir dal kesiği, hayali kısmı sınırlayabilir, böylece −π ve π arasında uzanır . Bunlar seçilen temel değerlerdir .

Bu, log işlevinin ana dalıdır. Genellikle büyük harf, Log z kullanılarak tanımlanır .

Ayrıca bakınız

• Dallanma noktası
• Dal kesimi
• Karmaşık logaritma
• Riemann yüzeyi

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Ana Şube" . MathWorld .
• Karmaşık Fonksiyonların Dalları Modülü, John H.Mathews