Euler sabiti - Euler's constant

Euler sabiti

Mavi bölgenin alanı Euler sabitine yakınsar.
temsiller
Ondalık	0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 ...
Devamlı kesir (doğrusal)	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, ...] Periyodik ise bilinmiyor Sonlu ise bilinmiyor
İkili	0.1001 0011 1100 0100 0110 0111 1110 0011 0111 1101 ...
onaltılık	0.93C4 67E3 7DB0 C7A4 D1BE 3F81 0152 CB56 A1CE CC3A ...

Euler sabiti (bazen Euler-Mascheroni sabiti olarak da adlandırılır ), analiz ve sayı teorisinde meydana gelen ve genellikle küçük Yunanca gama ( γ ) ile gösterilen matematiksel bir sabittir .

Burada ile gösterilen harmonik seri ile doğal logaritma arasındaki sınırlayıcı fark olarak tanımlanır .${\görüntüleme stili \log :}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k) }}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\sağ)\,dx.\end{hizalı}}}$

Burada, kat fonksiyonunu temsil eder . ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

Euler sabitinin 50 ondalık basamağa kadar sayısal değeri:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ... 

Tarih

Sabit ilk olarak İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'in De Progressionibus harmonicis gözlemleri (Eneström Index 43) başlıklı 1734 tarihli bir makalesinde ortaya çıktı . Euler , sabit için C ve O gösterimlerini kullandı . 1790'da İtalyan matematikçi Lorenzo Mascheroni , sabit için A ve a gösterimlerini kullandı . γ gösterimi , Euler veya Mascheroni'nin yazılarında hiçbir yerde görünmez ve belki de sabitin gama işleviyle bağlantısı nedeniyle daha sonraki bir zamanda seçilmiştir . Örneğin, Alman matematikçi Carl Anton Bretschneider , γ gösterimini 1835'te kullandı ve Augustus De Morgan , 1836'dan 1842'ye kadar bölümler halinde yayınlanan bir ders kitabında kullandı.

görünüşler

Euler sabiti, diğer yerlerin yanı sıra aşağıdakilerde görünür (burada '*' bu girdinin açık bir denklem içerdiği anlamına gelir):

• Üstel integrali içeren ifadeler *
• Laplace dönüşüm ait * doğal logaritma
• İlk dönem Laurent serisi için genişleme Riemann zeta fonksiyonu o ilkidir *, Stieljes sabitler *
• Digamma fonksiyonunun hesaplamaları
• Gama işlevi için bir ürün formülü
• Küçük argümanlar için gama fonksiyonunun asimptotik genişlemesi .
• Euler'in totient işlevi için bir eşitsizlik
• Bölen fonksiyonunun büyüme oranı
• Gelen boyutlu regularization ait Feynman'da diyagramları içinde kuantum alan teorisinin
• Meissel-Mertens sabitinin hesaplanması
• Mertens teoremlerinin üçüncüsü *
• Bessel denkleminin ikinci türü çözümü
• Düzenlileştirme In / yeniden normalizasyonunun ait harmonik seri bir sonlu değer olarak
• Ortalama bir Gumbel dağılımı
• Bilgi entropi arasında Weibull ve Lévy ait örtük dağılımları ve, ki-kare dağılımının serbestlik bir veya iki derece için.
• Kupon koleksiyoncusu sorununun cevabı *
• Zipf yasasının bazı formülasyonlarında
• Kosinüs integralinin tanımı *
• Asal bir boşluğa alt sınırlar
• Üst üzerinde bağlı bir Shannon entropi içinde kuantum bilgi teorisi

Özellikler

γ sayısının cebirsel veya aşkın olduğu kanıtlanmamıştır . Aslında, bile olmadığı bilinmemektedir γ ise mantıksız . Bir kullanma devam fraksiyonu analizi, Papanikolaou ise 1997'de gösterdi γ olan rasyonel , paydası daha büyük 10 olmalıdır ^244.663 . Ubiquity y aşağıda mantıksızlığını yapar denklemlerin çok sayıda ortaya γ matematik büyük bir açık soru.

Ancak, bazı ilerlemeler kaydedildi. Kurt Mahler numarası o 1968 yılında gösterdi aşkındır (burada, ve vardır Bessel fonksiyonları ). 2009 yılında Alexander Aptekarev en az Euler'in sabit biri olduğunu kanıtladı y ve Euler-Gompertz sabit δ mantıksız. Bu sonuç, 2012 yılında en az birinin aşkın olduğunu kanıtlayan Tanguy Rivoal tarafından geliştirildi. ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$${\displaystyle J_{\alfa }(x)}$${\displaystyle Y_{\alfa }(x)}$

2010 yılında M. Ram Murty ve N. Saradha, aşağıdakileri içeren sonsuz bir sayı listesi düşündüler: y/4ve en fazla biri dışında hepsinin aşkın olduğunu gösterdi. 2013'te M. Ram Murty ve A. Zaytseva, yine γ içeren sonsuz bir sayı listesi düşündüler ve en fazla biri dışında hepsinin aşkın olduğunu gösterdiler.

Gama işleviyle ilişkisi

γ ilgilidir digamma fonksiyonu Ψ ve dolayısıyla türevi ve gama fonksiyonu Γ her iki işlevi Böylece 1. değerlendirilir:

${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}$

Bu, sınırlara eşittir:

${\displaystyle {\begin{hizalı}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\sağ)\\&=\ lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\sağ).\end{hizalı}}}$

Diğer limit sonuçları şunlardır:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\ frac {1}{\Gamma (1-z)}}\sağ)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\sol({\frac { 1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\sağ)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^ {2}}}.\end{hizalı}}}$

Beta işleviyle ilgili bir sınır ( gama işlevleri cinsinden ifade edilir )

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\sağ)\Gama) (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\sağ)}}-{ \frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \seç k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{hizalı}}}$

zeta işleviyle ilişkisi

γ , terimleri pozitif tamsayılarda değerlendirilen Riemann zeta fonksiyonunu içeren sonsuz bir toplam olarak da ifade edilebilir :

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\ &=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^ {m-1}m}}.\end{hizalı}}}$

Zeta işleviyle ilgili diğer seriler şunları içerir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\ ,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k) }{n^{k}}}\sağ)\sağ)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n) }}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\ frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\sol({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\sağ)\sağ ).\end{hizalanmış}}}$

Son denklemdeki hata terimi, n'nin hızla azalan bir fonksiyonudur . Sonuç olarak, formül, sabitten yüksek hassasiyete kadar verimli hesaplama için çok uygundur.

Euler sabitine eşit olan diğer ilginç limitler, antisimetrik limittir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n) ^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\sağ)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta(s)-{\frac { 1}{s-1}}\sağ)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end {hizalı}}}$

ve 1898'de de la Vallée-Poussin tarafından oluşturulan aşağıdaki formül :

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac) {n}{k}}\sağ\rceil -{\frac {n}{k}}\sağ)}$

burada olan tavan çerçeveleri. Bu formül, herhangi bir pozitif n tamsayısını alırken ve onu n'den küçük her bir pozitif k tamsayısına bölerken, n/k bölümünün bir sonraki tamsayıdan eksik olduğu ortalama kesrin , n sonsuza gitme eğiliminde olduğu için (0,5'ten ziyade) olma eğiliminde olduğunu gösterir. . ${\görüntüleme stili \lceil \,\rceil }$${\görüntüleme stili \gama }$

Bununla yakından ilgili olan rasyonel zeta serisi ifadesidir. Yukarıdaki dizinin ilk birkaç terimini ayrı ayrı alarak, klasik seri limiti için bir tahmin elde edilir:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac { \zeta (m,n+1)}{m}},}$

burada ζ ( s , k ) olan Hurwitz zeta fonksiyonu . Bu denklemdeki toplam, harmonik sayıları , H _{n'yi içerir} . Hurwitz zeta işlevindeki bazı terimlerin genişletilmesi şunları verir:

${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{ 120n^{4}}}-\varepsilon ,}$

nerede 0 < ε <1/252 n ⁶.

γ , A Glaisher-Kinkelin sabiti olduğunda aşağıdaki gibi de ifade edilebilir :

${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$

γ , zeta fonksiyonunun bir Laurent serisi olarak ifade edilmesiyle ispatlanabilen aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir :

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\biggl (}-n+\zeta {\Bigl (}{\frac {n+1}{n}}{\Bigr )}{\biggr )}}$

integraller

γ , bir dizi belirli integralin değerine eşittir :

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty}e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{ 1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\sağ)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\sol({\frac {1}{e^) {x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\sağ)dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac { 1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\sağ)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\sol({\frac {1}{ 1+x^{k}}}-e^{-x}\sağ){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\ ,dx,\end{hizalanmış}}}$

burada H _x olan fraksiyonel harmonik sayısı .

İntegral listesindeki üçüncü formül şu şekilde kanıtlanabilir:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}\mathrm {d } x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)+x-1}{x[\exp(x)-1]}}\mathrm {d} x=\ int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[\exp(x)-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1) ^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{( m+1)![\exp(x)-1]}}\mathrm {d} x=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![\exp(x)-1]}}\mathrm {d} x=\sum _{m=1} ^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}} {\exp(x)-1}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1) =\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1 }^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{ m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m +1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1} }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}{\frac {1}{n}}-\ln { \bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}{\bigr ]}=\gamma }$

Denklemin ikinci satırındaki integral , m!ζ(m+1) olan + sonsuz'un Debye fonksiyon değeri anlamına gelir .

y'nin göründüğü belirli integraller şunları içerir:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\int _{0}^{\infty}e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2 ){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2} +{\frac {\pi ^{2}}{6}}.\end{hizalı}}}$

Hadjicostas formülünün özel bir durumu kullanılarak γ eşdeğer serili bir çift ​​katlı integral olarak ifade edilebilir :

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy) }}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{\frac {n+1}} n}}\sağ).\end{hizalı}}}$

Sondow'un ilginç bir karşılaştırması, çift katlı ve değişen serilerdir.

${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x- 1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\ sol({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\sağ)\sağ).\end{hizalı}}}$

Bu günlüğü gösterir4/π "alternatif Euler sabiti" olarak düşünülebilir.

İki sabit de seri çifti ile ilişkilidir.

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n) +1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0 }(n)}{2n(2n+1)}},\end{hizalı}}}$

burada K ₁ ( n ) ve N ₀ ( n ) , sırasıyla 1 ve 0'ların, sayısı olan taban 2 genişlemesi n .

Katalan'ın 1875 integraline de sahibiz.

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{ n}-1}\sağ)\,dx.}$

Seri genişletmeler

Genel olarak,

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3} }+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$

herhangi biri için . Ancak bu genişlemenin yakınsama hızı önemli ölçüde . Özellikle konvansiyonel genişlemeye göre çok daha hızlı yakınsama sergiler . Bunun nedeni ise ${\görüntüleme stili \alfa >-n}$${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili \gama _{n}(1/2)}$${\görüntüleme stili \gama _{n}(0)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$

süre

${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2} }}.}$

Buna rağmen, bundan daha hızlı yakınsayan başka seri açılımları da vardır; bunlardan bazıları aşağıda tartışılmaktadır.

Euler, aşağıdaki sonsuz serinin γ 'ye yaklaştığını gösterdi :

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}) \doğru doğru).}$

İçin seri y dizisinin eşdeğerdir Nielsen 1897 bulundu:

${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{\ k+1}}.}$

1910'da Vacca , yakından ilişkili seriyi buldu.

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\ sağ\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4} }-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\sağ)+3\left({\tfrac {1}{8 }}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\ sağ)+\cdots ,\end{hizalı}}}$

burada log ₂ , taban 2'nin logaritmasıdır ve ⌊ ⌋ , kat fonksiyonudur .

1926'da ikinci bir dizi buldu:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt { k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt ]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2 \cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2} {\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{hizalı}}}$

Gönderen Malmsten - Kummer : aldığımız gama fonksiyonunun logaritmasının genişleme

${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \sol(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\sağ)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{ k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}$

Euler sabiti için önemli bir açılım Fontana ve Mascheroni'den kaynaklanmaktadır.

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac { 1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$

nerede G _n olan Gregory katsayıları Bu seri özel bir durumdur genişletme ${\görüntüleme stili k=1}$

${\displaystyle {\begin{hizalı}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n }|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+) 2)(k+3)}}+\cdots &&\end{hizalı}}}$

yakınsak ${\görüntüleme stili k=1,2,\ldots }$

İkinci tür C _n'nin Cauchy sayılarına sahip benzer bir seri ,

${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1 }{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}- \ldotlar }$

Blagouchine (2018), Fontana-Mascheroni serisinin ilginç bir genellemesini buldu

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n} (a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$

burada ψ _n, ( a ) olan ikinci tür Bernoulli polinomları üretme fonksiyonu ile tanımlanır,

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _ {n}(ler),\qquad |z|<1,}$

Herhangi bir rasyonel a için bu dizi yalnızca rasyonel terimler içerir. Örneğin, a = 1'de olur

${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}- {\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }$

Aynı polinomlara sahip diğer seriler şu örnekleri içerir:

${\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)} {n}},\qquad \Re (a)>-1}$

ve

${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi ) +{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{ n}}\sağ\},\qquad \Re (a)>-1}$

burada Γ ( a ) bir gama fonksiyonu .

Akiyama-Tanigawa algoritması ile ilgili bir dizi

${\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)} {n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\ frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$

burada G, _n, (2) olan Gregory katsayıları ikinci düzenin.

Asal sayılar dizisi :

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\sağ). }$

asimptotik açılımlar

γ aşağıdaki asimptotik formülleri eşittir (burada H _{, n} olup , n inci harmonik sayısı ):

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n ^{4}}}+\cdots }$( Euler )

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^ {3}}}+\cdots }\sağ)}$( Negoi )

${\displaystyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\ frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$( Cesaro )

Üçüncü formül aynı zamanda Ramanujan açılımı olarak da adlandırılır .

Alabdulmohsin, bu yaklaşımların hatalarının toplamı için kapalı biçimli ifadeler türetmiştir. Şunu gösterdi (Teorem A.1):

üstel

Sabit e ^γ sayı teorisinde önemlidir. Bazı yazarlar bu miktarı basitçe γ' olarak belirtirler . E ^γ aşağıdaki eşit sınırı , p _{, n} bir , n inci asal sayı :

${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}$

Bu, Mertens teoremlerinin üçüncüsünü yeniden ifade eder . e ^γ'nin sayısal değeri :

1.78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 ... .

e ^γ ile ilgili diğer sonsuz ürünler şunları içerir:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1 }^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\sağ)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty}e^{-2+{\frac {2}{n}}}\ sol(1+{\frac {2}{n}}\sağ)^{n}.\end{hizalı}}}$

Bu ürünler, Barnes G- fonksiyonundan kaynaklanmaktadır .

Ek olarak,

${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3} }}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$

burada n, inci faktördür ( n + 1) inci kök

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \k}} seçin.}$

İlk olarak 1926'da Ser tarafından keşfedilen bu sonsuz ürün, Sondow tarafından hipergeometrik fonksiyonlar kullanılarak yeniden keşfedildi .

Şunu da tutar

${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}= \prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac) {1}{2n^{2}}}\sağ)\sağ).}$

Devam eden kesir

Devam fraksiyonu genişlemesi y başlar 0 [; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] , belirgin bir deseni yoktur . Devam eden kesrin en az 475.006 terime sahip olduğu bilinmektedir ve ancak ve ancak y irrasyonel ise sonsuz sayıda terime sahiptir .

genellemeler

Euler'in genelleştirilmiş sabitleri şu şekilde verilir:

${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }} }-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\sağ),}$

için 0 < α <1 ile y özel bir durum olarak α = 1 . Bu daha da genelleştirilebilir

${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f( x)\,dx\sağ)}$

bazı keyfi azalan fonksiyon f için . Örneğin,

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}}$

Stieltjes sabitlerine yol açar ve

${\displaystyle f_{a}(x)=x^{-a}}$

verir

${\displaystyle \gamma _{f_{a}}={\frac {(a-1)\zeta (a)-1}{a-1}}}$

yine sınır nerede

${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\sağ)}$

görünür.

İki boyutlu bir limit genellemesi, Masser-Gramain sabitidir .

Euler-Lehmer sabitleri , ortak bir modulo sınıfındaki sayıların tersinin toplanmasıyla verilir:

${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\ frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\sağ).}$

Temel özellikler

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\gamma (0,q)&={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\\sum _{a=0}^{q-1} \gamma (a,q)&=\gamma ,\\q\gamma (a,q)&=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2 \pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\sağ),\end{hizalı}}}$

ve eğer gcd ( a , q ) = d sonra

${\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\sağ) )-\log d.}$

yayınlanan rakamlar

Euler başlangıçta sabitin değerini 6 ondalık basamak olarak hesapladı. 1781'de 16 ondalık basamak olarak hesapladı. Mascheroni, sabiti 32 ondalık basamağa kadar hesaplamaya çalıştı, ancak 20.-22. ve 31.-32. ondalık basamaklarda hatalar yaptı; 20. basamaktan başlayarak doğru değer ... 065 12090082 40 iken ... 181 12090082 39 hesapladı .

Yayınlanmış Ondalık Genişletmeleri y

Tarih	Ondalık basamak	Yazar	Kaynaklar
1734	5	Leonhard Euler
1735	15	Leonhard Euler
1781	16	Leonhard Euler
1790	32	Lorenzo Mascheroni , 20-22 ve 31-32 hatalı
1809	22	Johann G. von Soldner
1811	22	Carl Friedrich Gauss
1812	40	Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai
1857	34	Christian Fredrik Lindman
1861	41	Ludwig Oettinger
1867	49	William Shanks
1871	99	James WL Glaisher
1871	101	William Shanks
1877	262	JC Adams
1952	328	John William İngiliz Anahtarı Jr.
1961	1 050	Helmut Fischer ve Karl Zeller
1962	1 271	Donald Knuth
1962	3 566	Dura W. Sweeney
1973	4 879	William A. Beyer ve Michael S. Waterman
1977	20 700	Richard P. Brent
1980	30 100	Richard P. Brent ve Edwin M. McMillan
1993	172 000	Jonathan Borwein
1999	108 000 000	Patrick Demichel ve Xavier Gourdon
13 Mart 2009	29 844 489 545	Alexander J. Yee ve Raymond Chan
22 Aralık 2013	119 377 958 182	Alexander J. Yee
15 Mart 2016	160 000 000 000	Peter Trueb
18 Mayıs 2016	250 000 000 000	Ron Watkins
23 Ağustos 2017	477 511 832 674	Ron Watkins
26 Mayıs 2020	600 000 000 100	Seungmin Kim ve Ian Cutress

Referanslar

• Bretschneider, Carl Anton (1837) [1835]. "Theoriae logaritmi integralis lineamenta nova" . Crelle's Journal (Latince). 17 : 257–285.
• Havil, Julian (2003). Gama: Euler Sabitini Keşfetmek . Princeton Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-691-09983-5.
• Ram Murty, M.; Saradha, N. (2010). "Euler-Lehmer sabitleri ve bir Erdos varsayımı" . Sayı Teorisi Dergisi . 130 (12): 2671–2681. doi : 10.1016/j.jnt.2010.07.004 . ISSN  0022-314X .

Dipnotlar

daha fazla okuma

• Borwein, Jonathan M.; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Riemann Zeta Fonksiyonu için Hesaplamalı Stratejiler" (PDF) . Hesaplamalı ve Uygulamalı Matematik Dergisi . 121 (1–2): 11. Bibcode : 2000JCoAM.121..247B . doi : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 .Riemann zeta fonksiyonları üzerinden toplamlar olarak γ türetir .
• Gerst, I. (1969). "Euler sabiti için bazı seriler". Amer. Matematik. Aylık . 76 (3): 237-275. doi : 10.2307/2316370 . JSTOR  2316370 .
• Glaisher, James Whitbread Lee (1872). "Euler sabitinin tarihi üzerine". Matematik elçisi . 1 : 25–30. JFM  03.0130.01 .
• Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2002). "Euler sabiti, γ için formüllerin toplanması " .
• Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2004). "Euler sabiti: y " .
• Karatsuba, EA (1991). "Aşkın fonksiyonların hızlı değerlendirilmesi". sorun Enf. transm . 27 (44): 339–360.
• Karatsuba, EA (2000). "Euler sabiti γ hesaplanması üzerine ". Sayısal Algoritmalar Dergisi . 24 (1–2): 83–97. doi : 10.1023/A:1019137125281 . S2CID  21545868 .
• Knuth, Donald (1997). Bilgisayar Programlama Sanatı, Cilt. 1 (3. baskı). Addison-Wesley. 75, 107, 114, 619-620. ISBN'si 0-201-89683-4.
• Lehmer, DH (1975). "Aritmetik ilerlemeler için Euler sabitleri" (PDF) . Acta Arith . 27 (1): 125–142. doi : 10.4064/aa-27-1-125-142 .
• Lerch, M. (1897). "İfadeler nouvelles de la Constante d'Euler". Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften . 42 : 5.
• Mascheroni, Lorenzo (1790), Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur , Galeati, Ticini
• Sondow, Jonathan (2002). "Euler sabiti için mantıksızlık kriterlerine logaritma içeren lineer formlar aracılığıyla hipergeometrik bir yaklaşım". Mathematica Slovakya . 59 : 307–314. arXiv : matematik.NT/0211075 . Bibcode : 2002math.....11075S .Ek ile Sergey Zlobin

Dış bağlantılar

• "Euler sabiti" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Euler-Mascheroni sabiti" . Matematik Dünyası .
• Jonathan Sondow.
• Hızlı Algoritmalar ve FEE Yöntemi , EA Karatsuba (2005)
• Sabiti kullanan diğer formüller: Gourdon ve Sebah (2004).