Doğal sayı - Natural number

Çift vurdu genellikle tüm doğal sayılar kümesi göstermek için kullanılan büyük N sembolü, (bkz matematiksel sembollerin Sözlüğü ).
Saymak için doğal sayılar kullanılabilir (bir elma, iki elma, üç elma, ...)

In matematik , doğal sayılar olanlardır sayılar ( "vardır gibi sayımı için kullanılan altı ve masaya paralar") sipariş (olduğu gibi "bu üçüncü ülkenin en büyük şehri"). Yaygın matematiksel terminolojide, halk dilinde saymak için kullanılan kelimeler " kardinal sayılar " ve sıralama için kullanılan kelimeler " sıra sayıları " dır . Doğal sayılar, zaman zaman, matematiksel anlamda bir sayı olmanın birçok veya tüm özelliklerinden vazgeçerek, dilbilimcilerin nominal sayılar dediği, uygun bir kodlar dizisi (etiketler veya "adlar") olarak görünebilir .

Standart dahil olmak üzere bazı tanımlar, ISO 80000-2 , doğal sayılar başlamak 0 karşılık gelen negatif olmayan tamsayılar , ... 0, 1, 2, 3 diğerleri ile başlar, oysa 1 karşılık gelen pozitif tamsayılar 1, 2, 3, ... Doğal sayılardan sıfırı çıkaran metinler bazen tam sayılar olarak sıfırla birlikte doğal sayılara atıfta bulunurken, diğer yazılarda tam sayılar (negatif tam sayılar dahil) yerine bu terim kullanılır.

Doğal sayılar, uzantı yoluyla diğer birçok sayı kümesinin oluşturulabileceği bir temeldir: tamsayılar , (henüz içinde değilse) nötr eleman 0'ı ve sıfırdan farklı her doğal sayı n için bir toplamalı tersini ( - n ) dahil ederek ; rasyonel sayılardır bir içerecek şekilde, çarpımsal ters ( her sıfırdışı bir tamsayı için) n (ve aynı zamanda tam sayılar bu terslerinin ürünü); Rasyonellerin (yakınsayan) Cauchy dizilerinin sınırlarını rasyonellerle birlikte dahil ederek reel sayılar ; karmaşık sayılar , gerçek sayılar ile çözülmemiş içerecek eksi bir kare kökünü (ve aynı zamanda toplam ve bunların ürünleri); ve benzeri. Bu uzantılar zinciri, doğal sayıların diğer sayı sistemlerine kanonik olarak gömülü (tanımlanmış) olmasını sağlar.

Doğal sayıların bölünebilme ve asal sayıların dağılımı gibi özellikleri sayılar teorisinde incelenir . Bölme ve numaralandırma gibi sayma ve sıralama ile ilgili problemler kombinatorikte incelenir .

Ortak bir dil olarak, özellikle ilkokul eğitiminde, doğal sayılar denebilir sayma sayılar sezgisel negatif tamsayılar ve sıfır hariç, hem de kontrast ayrıklığı ait sayım için süreklilik içinde ölçüm arasında -a özelliğidir karakteristik gerçek sayılar .

Tarih

Antik kökler

Ishango kemik (sergileniyor Doğa Bilimleri Belçika Kraliyet Enstitüsü ) doğal sayı aritmetik için 20.000 yıl önce kullanılmış olduğuna inanılmaktadır.

Bir doğal sayıyı temsil etmenin en ilkel yöntemi, her nesne için bir işaret koymaktır. Daha sonra, bir nesne kümesi eşitlik, fazlalık veya eksiklik açısından test edilebilir - bir işarete işaret edilerek ve kümeden bir nesne çıkarılarak.

Soyutlamadaki ilk büyük ilerleme, sayıları temsil etmek için sayıların kullanılmasıydı. Bu, büyük sayıları kaydetmek için sistemlerin geliştirilmesine izin verdi. Eski Mısırlılar , 1, 10 ve 10'dan 1 milyona kadar tüm güçler için farklı hiyerogliflere sahip güçlü bir sayı sistemi geliştirdiler . 1500 yıllarından kalma ve şimdi Paris'teki Louvre'da bulunan Karnak'tan bir taş oyma, 276'yı 2 yüz, 7 onluk ve 6 birlik olarak gösteriyor; ve benzer şekilde 4.622 sayısı için. Babilliler bir vardı yer-değeri altmış sembolü kapsamında tespit edilen bir değeri için sembol ile aynı olduğu ve böylece, baz altmış kullanılarak 1 ve 10 için rakamları esas olarak buna dayanmaktadır sistemi.

Çok daha sonraki bir gelişme, 0'ın kendi rakamıyla bir sayı olarak kabul edilebileceği fikrinin gelişmesiydi  . Yer değeri gösteriminde (diğer sayılar içinde) 0 rakamının kullanılması, sayıdaki son sembol olacağı halde böyle bir rakamı atlayan Babilliler tarafından MÖ 700 kadar erken bir tarihe dayanmaktadır. Olmek ve Maya uygarlıkları erken olduğunca ayrı numarasına 0 kullanılan MÖ 1. yüzyılda , ancak bu kullanım ötesinde yayıldı vermedi Mezoamerika . Modern zamanlarda 0 rakamının kullanımı, MS 628'de Hintli matematikçi Brahmagupta ile ortaya çıkmıştır . Bununla birlikte, 0, MS 525'te Dionysius Exiguus'tan başlayarak , ortaçağ hesaplamasında (Paskalya tarihinin hesaplanmasında) bir sayı olarak belirtilmeden (standart Roma rakamlarında 0 sembolü yoktur) bir sayı olarak kullanılmıştır . Bunun yerine, "yok" anlamına gelen Latince nullus kelimesinden gelen nulla (veya tamlayan formu nullae ), 0 değerini belirtmek için kullanıldı.

Soyutlamalar olarak sayıların ilk sistematik çalışması genellikle Yunan filozofları Pisagor ve Arşimet'e atfedilir . Bazı Yunan matematikçiler 1 sayısını büyük sayılardan farklı şekilde ele aldılar, hatta bazen bir sayı olarak bile değil. Öklid , örneğin, önce bir birimi ve sonra bir sayıyı çok sayıda birim olarak tanımladı, bu nedenle tanımına göre, bir birim sayı değildir ve benzersiz sayılar yoktur (örneğin, sınırsız sayıda birimden herhangi iki birim a 2'dir). .

Hindistan , Çin ve Mezoamerika'da sayılarla ilgili bağımsız çalışmalar da aynı zamanlarda gerçekleşti .

Modern tanımlar

19. yüzyıl Avrupa'sında, doğal sayıların kesin doğası hakkında matematiksel ve felsefi tartışmalar vardı. Bir Natüralizm okulu , doğal sayıların insan ruhunun doğrudan bir sonucu olduğunu belirtti. Henri Poincaré ve Leopold Kronecker , inancını "Tamsayıları Tanrı yarattı , geri kalan her şey insanın eseridir" şeklinde özetleyen savunucularından biriydi .

Naturalistlerin aksine, yapılandırmacılar matematiğin temellerindeki mantıksal titizliği geliştirme ihtiyacı gördüler . 1860'larda Hermann Grassmann , doğal sayılar için özyinelemeli bir tanım önerdi , böylece onların gerçekten doğal olmadıklarını, tanımların bir sonucu olduklarını belirtti. Daha sonra, bu tür biçimsel tanımların iki sınıfı oluşturulmuştur; daha sonra yine de çoğu pratik uygulamada eşdeğer oldukları gösterildi.

Doğal sayıların küme teorik tanımları Frege tarafından başlatılmıştır . Başlangıçta doğal bir sayıyı, belirli bir kümeyle birebir eşleşen tüm kümelerin sınıfı olarak tanımladı. Ancak bu tanımın Russell paradoksu da dahil olmak üzere paradokslara yol açtığı ortaya çıktı . Bu tür paradokslardan kaçınmak için, formalizm, doğal bir sayı belirli bir küme olarak tanımlanacak şekilde değiştirildi ve bu kümeyle birebir örtüşen herhangi bir kümenin, bu sayıda öğeye sahip olduğu söyleniyor.

İkinci sınıf tanımlar Charles Sanders Peirce tarafından tanıtıldı , Richard Dedekind tarafından rafine edildi ve Giuseppe Peano tarafından daha fazla araştırıldı ; bu yaklaşım artık Peano aritmetiği olarak adlandırılmaktadır . Sıralı sayıların özelliklerinin aksiyomlaştırılmasına dayanır : her doğal sayının bir ardılı vardır ve sıfır olmayan her doğal sayının benzersiz bir önceli vardır. Peano aritmetiği, birkaç zayıf küme teorisi sistemiyle eşdeğerdir . Böyle bir sistem olup ZFC ile sonsuz aksiyomu onun reddi ile yer değiştirir. ZFC'de ispatlanabilen ancak Peano Aksiyomları kullanılarak ispatlanamayan teoremler arasında Goodstein teoremi bulunur .

Tüm bu tanımlarla birlikte 0'ı ( boş kümeye karşılık gelen ) doğal sayı olarak almak uygundur. 0'ı dahil etmek artık küme teorisyenleri ve mantıkçılar arasında ortak bir gelenektir . Diğer matematikçiler de 0'ı içerir ve bilgisayar dilleri , döngü sayaçları ve dize veya dizi öğeleri gibi öğeleri numaralandırırken genellikle sıfırdan başlar . Öte yandan, birçok matematikçi, 1'i ilk doğal sayı olarak almak için eski geleneği sürdürdü.

gösterim

Matematikçiler , tüm doğal sayılar kümesine atıfta bulunmak için N veya kullanır . Böyle bir kümenin varlığı küme teorisinde sabittir . Daha eski metinler de zaman zaman bu kümenin simgesi olarak J'yi kullanmıştır .

Farklı özellikler geleneksel olarak 0 ve 1 belirteçleriyle ilişkilendirildiğinden (örneğin sırasıyla toplama ve çarpma için nötr elemanlar), söz konusu durumda doğal sayıların hangi versiyonunun kullanıldığını bilmek önemlidir . Bu, düzyazıda açıklama yaparak, kümeyi açıkça yazarak veya genel tanımlayıcıyı bir üst veya alt simgeyle niteleyerek, örneğin aşağıdaki gibi yapılabilir:

  • Sıfır olmadan doğal:
  • Sıfır ile doğal:

Doğal sayı, doğal olarak meydana çünkü Alternatif olarak, alt kümesi arasında tamsayılar (genellikle belirtilen ), sırasıyla, pozitif veya negatif olmayan tam olarak ifade edilebilir. 0'ın dahil edilip edilmediği konusunda net olmak için, bazen ilk durumda bir alt simge (veya üst simge) "0" eklenir ve ikinci durumda bir " * " üst simge eklenir:

Özellikler

İlave

Grubu göz önüne alındığında, doğal sayılar ve ardıl fonksiyonu sonraki her doğal sayı gönderme, tek bir tanımlayabilir ilave yinelemeli ayarlayarak doğal sayılar bir + = 0 , bir ve bir + S ( b ) = S ( a + b ) için tüm bir , b . Daha sonra (ℕ +) a, değişmeli monoid ile kimlik elemanının  bir 0'dır serbest monoid bir jeneratör. Bu değişmeli monoid, iptal özelliğini karşılar , böylece bir gruba gömülebilir . Doğal sayıları içeren en küçük grup tam sayılardır .

1, S (0) olarak tanımlanırsa , b + 1 = b + S (0) = S ( b + 0) = S ( b ) . Yani, b + 1 basitçe b'nin halefidir .

Çarpma işlemi

Benzer şekilde, ekleme tanımlanmış olduğu göz önüne alındığında, bir çarpma operatörü ile tanımlanabilir bir x 0 = 0 ve bir X, S ( b ) = ( a x b ) + bir . Bu tur (ℕ * , x) bir içine serbest değişmeli Monoid kimlik elemanı 1 ile; bu monoid için bir jeneratör seti, asal sayılar kümesidir .

Toplama ve çarpma arasındaki ilişki

Toplama ve çarpma, dağıtım yasasında ifade edilen uyumludur : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) . Bu toplama ve çarpma özellikleri, doğal sayıları değişmeli bir semiring örneği yapar . Yarı halkalar, çarpmanın mutlaka değişmeli olmadığı doğal sayıların cebirsel bir genellemesidir. Aslında eşdeğerdir katkı tersleri eksikliği, değildir kapalı olduğu (her zaman bir başka doğal neden olmayan başka bir doğal bir çıkarılarak olan), çıkarma altında aracı olan olmayan bir halka ; bunun yerine bir semiring'dir ( rig olarak da bilinir ).

Doğal sayılar "0 hariç" ve "1'den başlayan" olarak alınırsa, + ve × tanımları, a + 1 = S ( a ) ve a × 1 = a ile başlamaları dışında yukarıdaki gibidir .

Emir

Bu bölümde, ab gibi yan yana gelen değişkenler , a × b çarpımını gösterir ve standart işlem sırası varsayılır.

Bir toplam sipariş doğal sayılar izin tanımlanır birb bir doğal sayı vardır, ancak ve ancak c bir + c = b . Bu sıralama şu anlamda aritmetik işlemlerle uyumludur : a , b ve c doğal sayılarsa ve ab ise a + cb + c ve acbc .

Doğal sayıların önemli bir özelliği, iyi sıralanmış olmalarıdır : boş olmayan her doğal sayı kümesinin bir en küçük elemanı vardır. İyi sıralı kümeler arasındaki sıralama, bir sıra sayısı ile ifade edilir ; doğal sayılar için bu ω (omega) olarak gösterilir .

Bölünme

Bu bölümde, ab gibi yan yana gelen değişkenler , a × b çarpımını gösterir ve standart işlem sırası varsayılır.

Bir doğal sayıyı diğerine bölmek ve sonuç olarak doğal bir sayı elde etmek genellikle mümkün olmamakla birlikte, kalanla bölme işlemi veya Öklid bölünmesi prosedürü ikame olarak kullanılabilir: orada b ≠ 0 olan herhangi iki doğal sayı a ve b için. q ve r doğal sayıları öyle ki

Sayısı q adlandırılan bölüm ve r adlandırılır kalan bölünmesi bir göre  b . Numaraları q ve r, benzersiz belirlenir bir ve  b . Bu Öklid bölünmesi, diğer bazı özelliklerin ( bölünebilirlik ), algoritmaların ( Öklid algoritması gibi ) ve sayı teorisindeki fikirlerin anahtarıdır .

Doğal sayılar tarafından sağlanan cebirsel özellikler

Yukarıda tanımlandığı gibi doğal sayılar üzerinde toplama (+) ve çarpma (×) işlemleri birkaç cebirsel özelliğe sahiptir:

  • Kapatma çarpma altında: doğal sayılar için bir ve b , her ikisi de bir + b ve bir x b doğal sayılardır.
  • İlişkililik : tüm doğal sayılar a , b ve c için , a +( b + c )=( a + b )+ c ve a ×( b × c )=( a × bc .
  • Yerdeğiştirme : doğal sayılar için bir ve b , bir + b = b + bir ve bir x b = b × bir .
  • Özdeşlik elemanlarının varlığı : her doğal sayı için a , a + 0 = a ve a × 1 = a .
  • a , b ve c tüm doğal sayıları için çarpmanın toplamaya göre dağılımı , a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) .
  • Sıfırdan farklı sıfır bölen yok : a ve b , a × b = 0 olacak şekilde doğal sayılarsa , o zaman a = 0 veya b = 0 (veya her ikisi).

Sonsuzluk

Doğal sayılar kümesi sonsuz bir kümedir . Tanım olarak, bu tür sonsuzluğa sayılabilir sonsuz denir . Bir içine konabilir Tüm setleri bijective doğal sayılar ile ilgili sonsuz bu tür söylenir. Bu aynı zamanda kümenin kardinal sayısının aleph- nought ( 0 ) olduğu söylenerek de ifade edilir .

genellemeler

Doğal sayıların iki önemli genellemesi, sayma ve sıralamanın iki kullanımından ortaya çıkar: kardinal sayılar ve sıra sayıları .

  • Sonlu bir kümenin boyutunu ifade etmek için bir doğal sayı kullanılabilir; daha kesin olarak, bir kardinal sayı, sonsuz kümeler için bile uygun olan bir kümenin boyutu için bir ölçüdür. Bu "boyut" kavramı, kümeler arasındaki haritalara dayanır, öyle ki iki küme aynı boyuta sahiptir , tam olarak aralarında bir önerme varsa . Doğal sayılar kümesinin kendisinin ve onun herhangi bir bijektif görüntüsünün sayılabilir sonsuz olduğu ve kardinalitenin aleph-null ( 0 ) olduğu söylenir .
  • Doğal sayılar aynı zamanda dilsel sıra sayıları olarak da kullanılır : "birinci", "ikinci", "üçüncü" vb. Bu şekilde, tamamen sıralı bir sonlu kümenin elemanlarına ve ayrıca herhangi bir iyi sıralı sayılabilir sonsuz kümenin elemanlarına atanabilirler . Bu atama, sıra sayılarını vermek için sayılabilirliğin ötesinde bir kardinaliteye sahip genel iyi sıralamalara genelleştirilebilir. Sıra sayısı, iyi sıralı bir küme için "büyüklük" kavramını tanımlamak için, kardinaliteden farklı bir anlamda da kullanılabilir: iki iyi sıralı küme arasında bir sıra izomorfizmi (bir bijeksiyondan daha fazlası!) varsa, bunlar aynı sıra numarasına sahiptir. Doğal sayı olmayan ilk sıra sayısı ω olarak ifade edilir ; bu aynı zamanda doğal sayılar kümesinin kendisinin sıra sayısıdır.

Cardinality azından sıra 0 (olup, ilk sıra arasında 0 ) 'dir ω ancak ana numarası ile çok iyi sıralı kümeler 0 fazla bir sıra sayısı daha büyük, w .

İçin sonlu iyi sıralı kümeler, ordinal ve kardinal sayılar arasında bire-bir uygunluk vardır; bu nedenle her ikisi de aynı doğal sayı, kümenin eleman sayısı ile ifade edilebilir. Bu sayı, daha büyük bir sonlu veya sonsuz dizideki bir elemanın konumunu tanımlamak için de kullanılabilir .

Bir sayılabilir aritmetik olmayan standart model tarafından geliştirilmiştir (sayıların aksiyomatik birinci dereceden) Peano Aritmetik tatmin Skolem 1933 yılında hypernatural numaraları ile sıradan doğal sayılar inşa edilebilir bir sayılamaz modeldir UltraPower yapımı .

Georges Reeb , kışkırtıcı bir şekilde , saf tam sayıların ℕ'yi doldurmadığını iddia ederdi . Diğer genellemeler, sayılarla ilgili makalede tartışılmaktadır.

Resmi tanımlar

Peano aksiyomları

Doğal sayıların birçok özelliği, beş Peano aksiyomundan türetilebilir :

  1. 0 bir doğal sayıdır.
  2. Her doğal sayının aynı zamanda bir doğal sayı olan bir ardılı vardır.
  3. 0, herhangi bir doğal sayının ardılı değildir.
  4. Ardılı Eğer halefi eşittir , o zaman eşittir .
  5. İndüksiyon aksiyomu : Bir deyim 0 doğrudur ve Bir numara için bu ifadenin gerçeği bu sayının halefi için doğruyu ima, sonra ifadesi Her doğal sayı için de geçerlidir.

Bunlar Peano tarafından yayınlanan orijinal aksiyomlar değil, onun onuruna adlandırılmıştır. Peano aksiyomlarının bazı biçimleri 0 yerine 1'e sahiptir. Sıradan aritmetikte, halefi is . Aksiyom 5'i bir aksiyom şemasıyla değiştirerek, Peano aritmetiği adı verilen (daha zayıf) birinci dereceden bir teori elde edilir .

Küme teorisine dayalı yapılar

Von Neumann sıra sayıları

Küme teorisi adı verilen matematik alanında, John von Neumann'a bağlı belirli bir yapı , doğal sayıları aşağıdaki gibi tanımlar:

  • Küme 0 = { } , boş küme ,
  • Tanımla S ( a ) = bir ∪ { a } her kümesi için a . S ( a ) bir devamı niteliğinde bir ve S olarak adlandırılan ardıl fonksiyonu .
  • Tarafından sonsuz aksiyomu , 0 içerir ve ardıl işlevi altında kapalı olan bir dizi mevcuttur. Bu tür kümelere endüktif kümeler denir . Bu tür tüm endüktif kümelerin kesişimi, doğal sayılar kümesi olarak tanımlanır. Doğal sayılar kümesinin Peano aksiyomlarını sağladığı kontrol edilebilir .
  • Her bir doğal sayı, kendisinden küçük tüm doğal sayılar kümesine eşittir:
  • 0 = { } ,
  • 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }} ,
  • 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}} ,
  • 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} ,
  • n = n −1 ∪ { n −1} = {0, 1, ..., n −1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, .. .}} vb.

Bu tanım, bir doğal sayı ile N ile belirli bir dizi N elemanlar ve nm, ancak ve ancak n, a, alt küme ve m . Şimdi von Neumann sıra sayıları tanımı olarak adlandırılan standart tanım şudur: "her sıra sayısı, tüm küçük sıra sayıların iyi sıralanmış kümesidir."

Ayrıca, bu tanım, benzer gösterimler farklı muhtemel yorumlar n ( n eşleşmelerini karşı -tuples n içine denk).

Sonsuzluk aksiyomunu kabul etmesek ve bu nedenle tüm doğal sayılar kümesinin var olduğunu kabul edemesek bile , bu kümelerden herhangi birini tanımlamak yine de mümkündür.

Zermelo sıra sayıları

Standart yapı kullanışlı olsa da, mümkün olan tek yapı değildir. Ernst Zermelo'nun yapımı şöyle devam ediyor:

  • 0 = { } ayarla
  • S ( a ) = { a } tanımlayın ,
  • Daha sonra bunu takip eder
  • 0 = { } ,
  • 1 = {0} = {{ }} ,
  • 2 = {1} = {{{ }}} ,
  • n = { n -1} = {{{...}}} , vb.
Her doğal sayı, kendisinden önceki doğal sayıyı içeren kümeye eşittir. Bu, Zermelo sıra sayılarının tanımıdır . Von Neumann'ın yapısından farklı olarak, Zermelo sıra sayıları sonsuz sıra sayıları hesaba katmaz.

Ayrıca bakınız

Sayı sistemleri
karmaşık
Gerçek
Akılcı
tamsayı
Doğal
Sıfır : 0
bir : 1
asal sayılar
Bileşik sayılar
Negatif tam sayılar
kesir
sonlu ondalık
İkili (sonlu ikili)
yinelenen ondalık
mantıksız
Cebirsel
Transandantal
Hayali

notlar

Referanslar

bibliyografya

Dış bağlantılar