Bir fonksiyonun logaritmasını ayırt etmenin fonksiyonun kendisinden daha kolay olduğu durumlarda sıklıkla farklılaştırma yöntemi kullanılır.
Olarak hesap , logaritmik farklılaşma ya da logaritma alarak farklılaşma için kullanılan bir yöntemdir ayırt etme fonksiyonları kullanılarak logaritmik türevinin bir fonksiyonu f ,
(
ln
f
)
′
=
f
′
f
⟹
f
′
=
f
⋅
(
ln
f
)
′
.
{\ displaystyle (\ ln f) '= {\ frac {f'} {f}} \ quad \, \ quad f '= f \ cdot (\ ln f)' anlamına gelir.}
Bu teknik genellikle, fonksiyonun kendisinden ziyade bir fonksiyonun logaritmasını ayırt etmenin daha kolay olduğu durumlarda gerçekleştirilir. Bu genellikle, ilgilenilen işlevin birkaç parçadan oluşan bir üründen oluştuğu durumlarda meydana gelir, böylece logaritmik bir dönüşüm onu ayrı parçaların toplamına dönüştürecektir (bu, ayırt edilmesi çok daha kolaydır). Değişkenlerin veya işlevlerin gücüne yükseltilen işlevlere uygulandığında da yararlı olabilir. Logaritmik farklılaşma , ürünleri toplamlara ve bölmeleri çıkarmalara dönüştürmek için zincir kuralına ve ayrıca logaritmaların özelliklerine (özellikle, doğal logaritma veya e tabanındaki logaritma ) dayanır . İlke, en azından kısmen, neredeyse tüm türevlenebilir işlevlerin farklılaştırılmasında , bu işlevlerin sıfır olmaması koşuluyla uygulanabilir.
Genel Bakış
Bir işlev için
y
=
f
(
x
)
{\ displaystyle y = f (x) \, \!}
logaritmik farklılaşma tipik olarak , her iki tarafta da doğal logaritmayı veya e tabanına logaritmayı alarak başlar ve mutlak değerler almayı hatırlayarak:
ln
|
y
|
=
ln
|
f
(
x
)
|
.
{\ displaystyle \ ln | y | = \ ln | f (x) |. \, \!}
Örtülü farklılaştırmadan sonra :
1
y
d
y
d
x
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
.
{\ displaystyle {\ frac {1} {y}} {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {f '(x)} {f (x)}}.}
Daha sonra 1 / y'yi ortadan kaldırmak ve sol tarafta sadece dy / dx'i bırakmak için y ile çarpma yapılır :
d
y
d
x
=
y
×
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
.
{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = y \ times {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = f' (x).}
Yöntem, logaritmaların özellikleri, farklılaştırılacak karmaşık işlevleri hızlı bir şekilde basitleştirmek için yollar sağladığından kullanılır. Bu özellikler, her iki tarafta doğal logaritmaların alınmasından sonra ve ön farklılaştırmadan önce manipüle edilebilir. En sık kullanılan logaritma yasaları
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
,
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
-
ln
(
b
)
,
ln
(
a
n
)
=
n
ln
(
a
)
.
{\ displaystyle \ ln (ab) = \ ln (bir) + \ ln (b), \ qquad \ ln \ sol ({\ frac {a} {b}} \ sağ) = \ ln (a) - \ ln (b), \ qquad \ ln (a ^ {n}) = n \ ln (a).}
Genel dava
Sermaye pi gösterimini kullanarak ,
f
(
x
)
=
∏
ben
(
f
ben
(
x
)
)
α
ben
(
x
)
.
{\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i} (f_ {i} (x)) ^ {\ alpha _ {i} (x)}.}
Doğal logaritmaların uygulanmasıyla sonuçlanır ( büyük harf sigma gösterimi ile )
ln
(
f
(
x
)
)
=
∑
ben
α
ben
(
x
)
⋅
ln
(
f
ben
(
x
)
)
,
{\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ toplamı _ {i} \ alfa _ {i} (x) \ cdot \ ln (f_ {i} (x)),}
ve farklılaşmadan sonra,
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
∑
ben
[
α
ben
′
(
x
)
⋅
ln
(
f
ben
(
x
)
)
+
α
ben
(
x
)
⋅
f
ben
′
(
x
)
f
ben
(
x
)
]
.
{\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = \ toplamı _ {i} \ sol [\ alfa _ {i}' (x) \ cdot \ ln (f_ {i} ( x)) + \ alpha _ {i} (x) \ cdot {\ frac {f_ {i} '(x)} {f_ {i} (x)}} \ sağ].}
Orijinal fonksiyonun türevini elde etmek için yeniden düzenleyin,
f
′
(
x
)
=
∏
ben
(
f
ben
(
x
)
)
α
ben
(
x
)
⏞
f
(
x
)
×
∑
ben
{
α
ben
′
(
x
)
⋅
ln
(
f
ben
(
x
)
)
+
α
ben
(
x
)
⋅
f
ben
′
(
x
)
f
ben
(
x
)
}
⏞
[
ln
(
f
(
x
)
)
]
′
.
{\ displaystyle f '(x) = \ overbrace {\ prod _ {i} (f_ {i} (x)) ^ {\ alpha _ {i} (x)}} ^ {f (x)} \ kere \ overbrace {\ sum _ {i} \ left \ {\ alpha _ {i} '(x) \ cdot \ ln (f_ {i} (x)) + \ alpha _ {i} (x) \ cdot {\ frac {f_ {i} '(x)} {f_ {i} (x)}} \ sağ \}} ^ {[\ ln (f (x))]'}.}
Daha yüksek mertebeden türevler
Faà di Bruno formülünü kullanarak , n'inci dereceden logaritmik türev,
d
n
d
x
n
ln
f
(
x
)
=
∑
m
1
+
2
m
2
+
⋯
+
n
m
n
=
n
n
!
m
1
!
m
2
!
⋯
m
n
!
⋅
(
-
1
)
m
1
+
⋯
+
m
n
-
1
(
m
1
+
⋯
+
m
n
-
1
)
!
f
(
x
)
m
1
+
⋯
+
m
n
⋅
∏
j
=
1
n
(
f
(
j
)
(
x
)
j
!
)
m
j
.
{\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} \ ln f (x) = \ sum _ {m_ {1} + 2m_ {2} + \ cdots + nm_ {n} = n} {\ frac {n!} {m_ {1}! \, m_ {2}! \, \ cdots \, m_ {n}!}} \ cdot {\ frac {(-1) ^ {m_ {1} + \ cdots + m_ {n} -1} (m_ {1} + \ cdots + m_ {n} -1)!} {f (x) ^ {m_ {1} + \ cdots + m_ {n}}}} \ cdot \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {f ^ {(j)} (x)} {j!}} \ sağ) ^ {m_ {j}}.}
Bunu kullanarak, ilk dört türev,
d
2
d
x
2
ln
f
(
x
)
=
f
″
(
x
)
f
(
x
)
-
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
2
{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' (x)} {f (x)}} - \ sol ( {\ frac {f '(x)} {f (x)}} \ sağ) ^ {2}}
d
3
d
x
3
ln
f
(
x
)
=
f
‴
(
x
)
f
(
x
)
-
3
f
′
(
x
)
f
″
(
x
)
f
(
x
)
2
+
2
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
3
{\ displaystyle {\ frac {d ^ {3}} {dx ^ {3}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' '(x)} {f (x)}} - 3 { \ frac {f '(x) f' '(x)} {f (x) ^ {2}}} + 2 \ left ({\ frac {f' (x)} {f (x)}} \ sağ ) ^ {3}}
d
4
d
x
4
ln
f
(
x
)
=
f
⁗
(
x
)
f
(
x
)
-
4
f
′
(
x
)
f
‴
(
x
)
f
(
x
)
2
-
3
(
f
″
(
x
)
f
(
x
)
)
2
+
12
f
′
(
x
)
2
f
″
(
x
)
f
(
x
)
3
-
6
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
4
{\ displaystyle {\ frac {d ^ {4}} {dx ^ {4}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' '' (x)} {f (x)}} - 4 {\ frac {f '(x) f' '' (x)} {f (x) ^ {2}}} - 3 \ left ({\ frac {f '' (x)} {f (x)} } \ sağ) ^ {2} +12 {\ frac {f '(x) ^ {2} f' '(x)} {f (x) ^ {3}}} - 6 \ left ({\ frac { f '(x)} {f (x)}} \ sağ) ^ {4}}
Başvurular
Ürün:% s
Bir doğal logaritma iki işlevi bir ürüne uygulanan
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\ displaystyle f (x) = g (x) h (x) \, \!}
ürünü bir tutara dönüştürmek
ln
(
f
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
h
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
)
+
ln
(
h
(
x
)
)
.
{\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ ln (g (x) h (x)) = \ ln (g (x)) + \ ln (h (x)). \, \!}
Zincir ve toplam kurallarını uygulayarak farklılaşma getirileri
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
g
′
(
x
)
g
(
x
)
+
h
′
(
x
)
h
(
x
)
,
{\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = {\ frac {g' (x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} { h (x)}},}
ve yeniden düzenlemeden sonra ürün
f
′
(
x
)
=
f
(
x
)
×
{
g
′
(
x
)
g
(
x
)
+
h
′
(
x
)
h
(
x
)
}
=
g
(
x
)
h
(
x
)
×
{
g
′
(
x
)
g
(
x
)
+
h
′
(
x
)
h
(
x
)
}
.
{\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g' (x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} { h (x)}} {\ Bigg \}} = g (x) h (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g '(x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} {h (x)}} {\ Bigg \}}.}
Bölümler
Bir doğal logaritma iki işlevi bir bölüm uygulanmaktadır
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\ displaystyle f (x) = {\ frac {g (x)} {h (x)}} \, \!}
bölümü çıkarmaya dönüştürmek için
ln
(
f
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
h
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
)
-
ln
(
h
(
x
)
)
{\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ ln {\ Bigg (} {\ frac {g (x)} {h (x)}} {\ Bigg)} = \ ln (g (x)) - \ ln (h (x)) \, \!}
Zincir ve toplam kurallarını uygulayarak farklılaşma getirileri
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
g
′
(
x
)
g
(
x
)
-
h
′
(
x
)
h
(
x
)
,
{\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = {\ frac {g' (x)} {g (x)}} - {\ frac {h '(x)} { h (x)}},}
ve yeniden düzenlemeden sonra ürün
f
′
(
x
)
=
f
(
x
)
×
{
g
′
(
x
)
g
(
x
)
-
h
′
(
x
)
h
(
x
)
}
=
g
(
x
)
h
(
x
)
×
{
g
′
(
x
)
g
(
x
)
-
h
′
(
x
)
h
(
x
)
}
.
{\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g' (x)} {g (x)}} - {\ frac {h '(x)} { h (x)}} {\ Bigg \}} = {\ frac {g (x)} {h (x)}} \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g '(x)} {g ( x)}} - {\ frac {h '(x)} {h (x)}} {\ Bigg \}}.}
Çarpma işleminden ve ortak payda formülünü kullandıktan sonra sonuç, bölüm kuralını doğrudan uyguladıktan sonraki sonuçla aynıdır .
f
(
x
)
{\ displaystyle f (x)}
Bileşik üs
Formun bir işlevi için
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\ displaystyle f (x) = g (x) ^ {h (x)} \, \!}
Doğal logaritma bir ürün haline dönüştürür üs
ln
(
f
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
h
(
x
)
)
=
h
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
{\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ ln \ sol (g (x) ^ {h (x)} \ sağ) = h (x) \ ln (g (x)) \, \!}
Zincir ve ürün kurallarını uygulayarak farklılaşma getirileri
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
h
′
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
+
h
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
,
{\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = h' (x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} { g (x)}},}
ve yeniden düzenlemeden sonra ürün
f
′
(
x
)
=
f
(
x
)
×
{
h
′
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
+
h
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
}
=
g
(
x
)
h
(
x
)
×
{
h
′
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
+
h
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
}
.
{\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} h' (x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} { g (x)}} {\ Bigg \}} = g (x) ^ {h (x)} \ times {\ Bigg \ {} h '(x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} {g (x)}} {\ Bigg \}}.}
Aynı sonuç f'nin exp cinsinden yeniden yazılması ve zincir kuralının uygulanmasıyla da elde edilebilir .
Ayrıca bakınız
Notlar
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">