ters türev - Antiderivative

Eğim alanı arasında değişen üretilebilir sonsuz sayıda çözeltilerin üç gösteren keyfi bir sabit c .

Gelen hesabı , bir İlkel , türevi ters , ilkel fonksiyon , ilkel integrali veya belirsiz integrali a fonksiyonu f a, türevlenebilir fonksiyonu F olan türev isimli orijinal işlevi için eşit f . Bu sembolik olarak F' = f olarak ifade edilebilir . Ters türevleri çözme işlemine antidiferansiyasyon (veya belirsiz entegrasyon ) denir ve bunun tersi işlemine türev bulma işlemi olan farklılaşma denir . Ters türevler genellikle F ve G gibi büyük Roma harfleriyle gösterilir .

Ters türevler, hesabın temel teoremi aracılığıyla belirli integrallerle ilişkilidir : bir fonksiyonun bir aralık üzerindeki belirli integrali, aralığın uç noktalarında değerlendirilen bir ters türevin değerleri arasındaki farka eşittir.

Olarak fizik , Antitürev'in bağlamında ortaya çıkan doğrusal hareket (ilişkisini açıklayan, örneğin konum , hız ve ivme ). Ayrık İlkel kavramına eşdeğerdir antidifference .

Örnekler

Fonksiyon bir İlkel bir Beri türevi olan , ve bir türevidir itibaren sabit bir sıfır , bir olacaktır sonsuz gibi antiderivatives sayısını Böylece, vb her Antitürev'in değerini değiştirerek elde edilebilir c in , burada c , entegrasyon sabiti olarak bilinen keyfi bir sabittir . Esasen, belirli bir fonksiyonun ters türevlerinin grafikleri , her grafiğin dikey konumu c değerine bağlı olarak, birbirlerinin dikey ötelemeleridir .

Daha genel olarak, eğer n ≠ -1 ise ve n = -1 ise , güç fonksiyonunun ters türevi vardır .

Olarak fizik , entegrasyonu ivme verir hızı artı sabit. Sabit, hızın türevi alındığında kaybedilecek olan ilk hız terimidir, çünkü sabit bir terimin türevi sıfırdır. Bu aynı model, daha sonraki entegrasyonlar ve hareket türevleri (konum, hız, ivme vb.) için de geçerlidir.

Kullanımlar ve özellikler

Ters türevler, belirli integralleri hesaplamak için , kalkülüsün temel teoremini kullanarak kullanılabilir : eğer F , f integrallenebilir fonksiyonunun aralık boyunca bir ters türeviyse , o zaman:

Bu nedenle, belirli bir işlevi sonsuz birçok antiderivatives her f bazen "genel ayrılmaz" veya "belirsiz integrali" denir f ve hiçbir sınırları ile ayrılmaz sembolü kullanılarak yazılır:

Eğer E bir İlkel bir f , ve fonksiyon f belli aralıklarla tanımlanır, daha sonra her İlkel G ve f den farklılık F bir sabit ile: bir sayı vardır c şekilde tüm x . c integrasyon sabiti olarak adlandırılır . Etki alanı ise F bir olan ayrık birleşimi iki veya daha fazla (açık) aralıkları, daha sonra entegrasyon farklı sabit aralıklarla her biri için seçilebilir. Örneğin

doğal alanındaki en genel antitürevidir

Her sürekli f fonksiyonunun bir terstürevi vardır ve bir terstürev F , f'nin değişken üst sınırı olan belirli integrali tarafından verilir :

Alt sınırın değiştirilmesi, diğer ters türevleri üretir (ancak tüm olası ters türevleri değil). Bu, kalkülüsün temel teoreminin başka bir formülasyonudur .

Ters türevleri var olmalarına rağmen temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilemeyen birçok fonksiyon vardır ( polinomlar , üstel fonksiyonlar , logaritmalar , trigonometrik fonksiyonlar , ters trigonometrik fonksiyonlar ve bunların kombinasyonları gibi). Bunlara örnekler

Soldan sağa, ilk dördü hata fonksiyonu , Fresnel fonksiyonu , trigonometrik integral ve logaritmik integral fonksiyonudur . Daha ayrıntılı bir tartışma için ayrıca bkz . Diferansiyel Galois teorisi .

Entegrasyon teknikleri

Temel fonksiyonların ters türevlerini bulmak, türevlerini bulmaktan genellikle çok daha zordur (aslında, belirsiz integralleri hesaplamak için önceden tanımlanmış bir yöntem yoktur). Bazı temel işlevler için, diğer temel işlevler cinsinden bir ters türev bulmak imkansızdır. Daha fazla bilgi edinmek için temel fonksiyonlara ve temel olmayan integrale bakın .

Ters türevleri bulmak için birçok özellik ve teknik vardır. Bunlar, diğerleri arasında şunları içerir:

Bilgisayar cebir sistemleri , yukarıdaki sembolik tekniklerde yer alan çalışmaların bir kısmını veya tamamını otomatikleştirmek için kullanılabilir; bu, özellikle ilgili cebirsel işlemler çok karmaşık veya uzun olduğunda faydalıdır. Halihazırda türetilmiş olan integraller, bir integral tablosunda aranabilir .

Sürekli olmayan fonksiyonların

Sürekli olmayan fonksiyonların ters türevleri olabilir. Bu alanda hala cevaplanmamış sorular olsa da, bilindiği gibi:

  • Büyük süreksizlik setlerine sahip bazı oldukça patolojik fonksiyonlar yine de ters türevlere sahip olabilir.
  • Bazı durumlarda, bu tür patolojik fonksiyonların ters türevleri Riemann entegrasyonu ile bulunabilirken , diğer durumlarda bu fonksiyonlar Riemann ile integrallenemez.

Fonksiyonların etki alanlarının açık aralıklar olduğunu varsayarsak:

  • Bir işlev için gerekli bir, ancak yeterli değildir, bu durum f bir İlkel sahip olmasıdır f sahip ara değer özelliği . Yani, eğer : [ a , b ] etki bir alt aralığın olan f ve y , herhangi bir gerçek arasında bir sayıdır f ( a ) ve f ( b ) , daha sonra söz konusudur c arasındaki bir ve b bu şekilde f ( c =) y . Bu Darboux teoreminin bir sonucudur .
  • f'nin süreksizlikler kümesi yetersiz bir küme olmalıdır . Bu küme aynı zamanda bir F-sigma kümesi olmalıdır (çünkü herhangi bir fonksiyonun süreksizlikler kümesi bu türden olmalıdır). Ayrıca, herhangi bir yetersiz F-sigma kümesi için, süreksizlikler kümesi olarak verilen kümeye sahip bir ters türevi olan bir f fonksiyonu oluşturulabilir .
  • Eğer f bir İlkel sahip olan sınırlı alan kapalı sonlu bir alt aralık ve süreksizliklerin kümesi vardır Lebesgue ölçümü 0, daha sonra bir antitürevi Lebesgue anlamında entegrasyonu ile bulunabilir. Aslında, Henstock–Kurzweil integrali gibi daha güçlü integraller kullanıldığında , bir terstürevinin bulunduğu her fonksiyon integrallenebilirdir ve genel integrali onun terstüreviyle çakışır.
  • Eğer f kapalı bir aralıkta bir ters türev F'ye sahipse , o zaman herhangi bir bölüm seçimi için ortalama değer teoremi tarafından belirtilen örnek noktaları seçilirse , karşılık gelen Riemann toplamı değere teleskop yapar .
Bununla birlikte, f sınırsız ise veya f sınırlıysa ancak f'nin süreksizlikler kümesi pozitif Lebesgue ölçüsüne sahipse, farklı bir örnek noktası seçimi , bölüm ne kadar iyi olursa olsun, Riemann toplamı için önemli ölçüde farklı bir değer verebilir. Aşağıdaki Örnek 4'e bakın.

Bazı örnekler

  1. İşlev

    with at sürekli değildir, ancak ters türevi vardır

    ile . Yana f kapalı sonlu aralıklarla üzerinde bağlanmış ve 0'dan sadece süreksiz olduğu edilir antitürevi F entegrasyonu ile elde edilebilir: .
  2. İşlev
    with at sürekli değildir, ancak ters türevi vardır
    ile . Örnek 1'den farklı olarak, f ( x ) 0 içeren herhangi bir aralıkta sınırsızdır, bu nedenle Riemann integrali tanımsızdır.
  3. Eğer f ( x ) , Örnek 1 'de fonksiyonudur ve F onun İlkel ve a, yoğun sayılabilir alt kümesi, açık aralığı işlev
    ters türevi var
    g'nin süreksizlikler kümesi tam olarak . Yana
    gr kapalı sonlu aralıklarla sınırlı ve süreksizliklerin grubu 0 ölçmek sahiptir, İlkel G entegrasyonu ile bulunabilir.
  4. Izin bir olmak yoğun sayılabilir açık aralığının alt kümesi her yerde sürekli kesin artan fonksiyon düşünün
    Gösterilebilir ki
    Şekil 1.
    Şekil 2.

    serinin yakınsadığı tüm x değerleri için ve F ( x ) grafiğinin diğer tüm x değerlerinde dikey teğet çizgileri olduğu . Özellikle grafiğin kümedeki tüm noktalarda dikey teğet çizgileri vardır .

    Ayrıca türevin tanımlandığı tüm

    x için . Ters fonksiyonun her yerde türevlenebilir olduğu sonucu çıkar ve

    aralıkta yoğun olan kümedeki tüm x için Böylece

    g'nin bir ters türevi G vardır . Öte yandan, doğru olamaz
    'nin herhangi bir bölümü için, kümeden Riemann toplamı için örnek noktalar seçilebilir ve toplam için 0 değeri verilir. Buradan
    g'nin pozitif Lebesgue ölçüsünün bir dizi süreksizliğine sahip olduğu sonucu çıkar. Sağ gösterir grafiğine bir yaklaşım Şekil 1 g ( x ) serisi 8 şartları kesildi ve. Şekil 2 , yine 8 terime kesilen ters türev G ( x )' e bir yaklaşımın grafiğini göstermektedir . Öte yandan, Riemann integrali Lebesgue integrali ile değiştirilirse , Fatou'nun lemması veya baskın yakınsama teoremi , g'nin bu bağlamda hesabın temel teoremini sağladığını gösterir .
  5. Örnek 3 ve 4'te, g fonksiyonlarının süreksizlik kümeleri yalnızca sonlu bir açık aralıkta yoğundur. Bununla birlikte, bu örnekler, tüm gerçek doğru üzerinde yoğun olan süreksizlik kümelerine sahip olacak şekilde kolayca değiştirilebilir . İzin vermek
    O zaman üzerinde yoğun bir süreksizlikler kümesi vardır ve ters türevi vardır.
  6. Örnek 5'tekine benzer bir yöntem kullanılarak , Örnek 4'teki g , tüm rasyonel sayılarda yok olacak şekilde değiştirilebilir . Düzenli bölümler üzerinde sol veya sağ Riemann toplamlarının limiti olarak tanımlanan Riemann integralinin naif bir versiyonu kullanılırsa, a ve b her ikisi de olduğunda , böyle bir g fonksiyonunun bir aralık üzerinden integralinin 0 olduğu elde edilir. yerine rasyoneldir . Böylece kalkülüsün temel teoremi olağanüstü bir şekilde başarısız olacaktır.
  7. Ters türevi olan bir fonksiyon hala Riemann integrali alınamaz olabilir. Volterra'nın fonksiyonunun türevi bir örnektir.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar