Kalkülüsün temel teoremi - Fundamental theorem of calculus

Hesabın esaslı teoremi a, teoremi kavramı bağlayan ayırt bir fonksiyonu kavramı ile (gradyan hesaplama) entegre bir işlev (eğrinin altında kalan alan hesaplanarak). İki işlem, birinin alanı hesaplamaya başladığı yere bağlı olan sabit bir değer dışında birbirinin tersidir.

Bazen kalkülüsün ilk temel teoremi olarak da adlandırılan teoremin ilk kısmı, bazı f fonksiyonunun ters türevlerinden birinin ( belirsiz integral olarak da bilinir ), diyelim ki F , değişken sınırlı bir f'nin integrali olarak elde edilebileceğini belirtir. entegrasyon. Bu, sürekli fonksiyonlar için ters türevlerin varlığını ima eder .

Bunun aksine, teoremi ikinci bölümü Kimi zaman hesabı ikinci temel teorileri , bir işlev ayrılmaz olduğu durumları f kısmı üzerinde aralığı herhangi biri kullanılarak hesaplanabilir, ki F onun sonsuz sayıda bölgesinin antiderivatives . Teoremin bu kısmı temel pratik uygulamalara sahiptir, çünkü bir fonksiyonun ters türevini sembolik entegrasyonla bulmak, integralleri hesaplamak için sayısal entegrasyondan kaçınır .

Tarih

Kalkülüsün temel teoremi, farklılaşma ve entegrasyon ile ilgilidir ve bu iki işlemin esasen birbirinin tersi olduğunu gösterir. Bu teoremin keşfinden önce, bu iki işlemin ilişkili olduğu bilinmiyordu. Eski Yunan matematikçileri , şimdi entegrasyon olarak adlandıracağımız bir işlem olan sonsuz küçükler aracılığıyla alanı nasıl hesaplayacaklarını biliyorlardı . Farklılaşmanın kökenleri de Kalkülüsün Temel Teoremi'nden yüzlerce yıl önceye dayanır; örneğin, on dördüncü yüzyılda fonksiyonların ve hareketin sürekliliği kavramları Oxford Hesaplayıcıları ve diğer bilim adamları tarafından incelendi . Kalkülüsün Temel Teoreminin tarihsel önemi, bu işlemleri hesaplama yeteneği değil, görünüşte farklı iki işlemin (geometrik alanların hesaplanması ve gradyanların hesaplanması) gerçekte yakından ilişkili olduğunun kavranmasıdır.

Temel teoremin, karakter olarak güçlü bir şekilde geometrik olan ilkel bir formunun ilk yayınlanmış ifadesi ve kanıtı James Gregory (1638-1675) tarafından yapıldı. Isaac Barrow (1630-1677) teoremin daha genelleştirilmiş bir versiyonunu kanıtlarken, öğrencisi Isaac Newton (1642-1727) çevreleyen matematiksel teorinin gelişimini tamamladı. Gottfried Leibniz (1646-1716), bilgiyi sonsuz küçük miktarlar için bir hesapta sistematize etti ve bugün kullanılan gösterimi tanıttı .

geometrik anlam

Kırmızı çizgilerle taralı alan h çarpı f ( x ) 'e yakındır . Alternatif olarak, A ( x ) işlevi biliniyorsa, bu alan tam olarak A ( x + h ) − A ( x ) olurdu . Bu iki değer, özellikle küçük h için yaklaşık olarak eşittir .

Grafiği bir eğri olarak çizilen sürekli bir fonksiyon y = f ( x ) için , her x değeri , eğrinin altındaki alanı temsil eden, 0 ile x arasındaki alanı temsil eden, karşılık gelen bir A ( x ) alan fonksiyonuna sahiptir . A ( x ) fonksiyonu bilinmeyebilir, ancak eğrinin altındaki alanı temsil ettiği verilmiştir.

Arasındaki eğrinin altındaki alan x ve x + h 0 ile arasında alanı bulma hesaplanabilir olabilir x + h , daha sonra 0 ile arasındaki bölgeyi çıkarılarak x . Başka bir deyişle, bu "şeritin" alanı A ( x + h ) − A ( x ) olacaktır .

Aynı şeridin alanını tahmin etmenin başka bir yolu daha var . Ekteki şekilde gösterildiği gibi, h , bu şeritle yaklaşık olarak aynı boyutta bir dikdörtgenin alanını bulmak için f ( x ) ile çarpılır . Böyle:

Aslında, şemada gösterilen "fazla" alanın kırmızı kısmını eklersek, bu tahmin mükemmel bir eşitlik haline gelir. Böyle:

Terimleri yeniden düzenleme:

.

Şöyle saat içinde 0 yaklaşımlar sınır son fraksiyon sıfıra gitmesine gösterilebilir. Bu doğrudur, çünkü fazla bölgenin kırmızı kısmının alanı, küçük siyah kenarlı dikdörtgenin alanından küçük veya ona eşittir. Daha kesin,

burada ve f'nin sırasıyla [ x , x + h ] aralığında maksimumuna ve minimumuna ulaştığı noktalardır . f'nin sürekliliği ile , ikinci ifade h'nin yaptığı gibi sıfır olma eğilimindedir . Bu nedenle, sol taraf h'nin yaptığı gibi sıfır olma eğilimindedir , bu da şu anlama gelir:

Bu, f ( x ) = A ′( x ) anlamına gelir . Yani, A ( x ) alan fonksiyonunun türevi mevcuttur ve orijinal f ( x ) fonksiyonudur ; bu nedenle, alan işlevi, orijinal işlevin basitçe bir ters türevidir . Bir fonksiyonun türevini hesaplamak ve eğrisinin altındaki alanı bulmak "zıt" işlemlerdir. Bu, Kalkülüsün Temel Teoreminin püf noktasıdır.

Fiziksel sezgi

Sezgisel olarak, teorem , bir miktardaki zaman içindeki (veya başka bir değişken üzerindeki) sonsuz küçük değişikliklerin toplamının, miktardaki net değişikliği eklediğini belirtir .

Örneğin, bir araba bir otoyolda giderken çok küçük zaman artışlarını işaretlemek için bir kronometre kullandığınızı hayal edin. Ayrıca, hareket halindeyken aracın hız göstergesine baktığınızı ve böylece her an arabanın hızını bildiğinizi hayal edin. Bu teoremin gücünü anlamak için, arabanın penceresinden dışarı bakmanıza izin verilmediğini ve böylece arabanın ne kadar yol kat ettiğine dair doğrudan bir kanıtınızın olmadığını hayal edin.

Arabadaki herhangi bir küçük zaman aralığı için, arabanın o anki hızı ile o küçük zaman aralığının uzunluğunu çarparak arabanın o aralıkta ne kadar yol kat ettiğini hesaplayabilirsiniz. (Bunun nedeni mesafe = hız zamanıdır .)

Şimdi bunu her an yaptığınızı hayal edin, böylece her küçük zaman aralığında arabanın ne kadar yol kat ettiğini bilirsiniz. Prensip olarak, tüm bu küçük mesafeleri toplayarak (hiç pencereden bakmamış olsanız bile) arabada kat edilen toplam mesafeyi hesaplayabilirsiniz .

kat edilen mesafe = herhangi bir andaki hız küçük bir zaman aralığı

Diğer bir deyişle,

kat edilen mesafe =

Bu denklemin sağ tarafında, sonsuz derecede küçüldükçe, "toplama" işlemi integrasyona karşılık gelir . Yani gösterdiğimiz şey, hız fonksiyonunun integralinin arabanın ne kadar yol kat ettiğini hesaplamak için kullanılabileceğidir.

Şimdi hız fonksiyonunun konum fonksiyonunun türevi olduğunu unutmayın. Yani gerçekten gösterdiğimiz şey, hızın entegre edilmesinin orijinal konum fonksiyonunu geri kazandığıdır. Teoremin temel fikri şudur: entegrasyon ve farklılaşma yakından ilişkili işlemlerdir ve her biri esasen diğerinin tersidir.

Diğer bir deyişle, bir fiziksel sezgi açısından, zaman içinde bir miktarda değişim toplamı (örneğin bu teoremi durumları pozisyonda , çarparak hesaplanan hız kat zaman ) miktarda toplam net değişiklik kadar ekler. Veya bunu daha genel olarak söylemek gerekirse:

  • Bazı değişkenlere göre değişen bir miktar verildiğinde ve
  • Bu miktarın o değişkene göre değişme hızı göz önüne alındığında

o zaman "mesafe eşittir hız çarpı zaman" fikri ifadeye karşılık gelir.

yani , türevi, hızı , bölü integralini alarak orijinal işlevi geri kazanabiliriz .

resmi ifadeler

Teoremin iki kısmı vardır. Birinci kısım bir terstürevin türevi ile ilgilenirken , ikinci kısım terstürevler ve belirli integraller arasındaki ilişkiyi ele almaktadır .

İlk kısım

Bu kısım bazen kalkülüsün ilk temel teoremi olarak adlandırılır .

Let f sürekli olarak gerçek değerli bir fonksiyondur , bir tanımlanmış kapalı aralık [ a , b ] . F , [ a , b ] içindeki tüm x için tanımlanan fonksiyon olsun .

Daha sonra F olduğu düzgün sürekli üzerinde [ a , b ] ve türevlenebilen açık aralık ( a , b ), ve

( a , b ) içindeki tüm x için .

sonucu

Kalkülüsün temel teoremi (animasyon)

Temel teorem genellikle bir ters türevi bilinen bir fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için kullanılır . Spesifik olarak, eğer gerçek değerli bir sürekli fonksiyon açıksa ve in o zaman bir ters türevi ise

Sonuç , tüm aralıkta sürekliliği varsayar . Bu sonuç, teoremin sonraki bölümünde biraz güçlendirildi.

İkinci kısım

Bu kısım bazen kalkülüsün ikinci temel teoremi veya Newton-Leibniz aksiyomu olarak adlandırılır .

Let bir bir gerçek değerli bir fonksiyondur olmak kapalı aralık ve bir antitürevi içinde :

Eğer bir integrallenebilir üzerine daha sonra

İkinci kısım, sonuçtan biraz daha güçlüdür çünkü bunun sürekli olduğunu varsaymaz .

Bir terstürev mevcut olduğunda, için rasgele bir sabit eklenerek elde edilen sonsuz sayıda terstürev vardır . Ayrıca, teoremin ilk kısmında , sürekli olduğunda daima ters türevleri vardır .

İlk bölümün kanıtı

Verilen bir f ( t ) için, F ( x ) işlevini şu şekilde tanımlayın:

[ a , b ] içindeki herhangi iki x 1 ve x 1 + Δ x sayısı için ,

ve

İki eşitliğin çıkarılması

Gösterilebilir ki

(İki komşu bölgenin alanlarının toplamı, her iki bölgenin toplam alanına eşittir.)

Bu denklemi manipüle etmek

Yukarıdakileri (1) ile değiştirmek,

Entegrasyon için ortalama değer teoremine göre , öyle bir gerçek sayı vardır ki,

Gösterimi basit tutmak için, sadece yazıyoruz , ancak verilen bir fonksiyon için , değerinin bağlı olduğu ve her zaman aralıkla sınırlı olduğu akılda tutulmalıdır . Yukarıdakileri (2) ile değiştirirsek, şunu elde ederiz:

Her iki tarafı bölündüğünde verir

Denklemin sol tarafındaki ifade , x 1'de F için Newton'un fark bölümüdür .

Denklemin her iki tarafında limiti → 0 olarak alın .

Denklemin sol tarafındaki ifade türevinin tanımıdır F de x 1 .

Diğer limiti bulmak için sıkıştırma teoremini kullanırız . c sayısı [ x 1 , x 1  + Δ x ] aralığındadır , yani x 1cx 1  + Δ x .

Ayrıca ve

Bu nedenle, sıkıştırma teoremine göre,

f fonksiyonu x 1'de süreklidir , limit fonksiyonun içinde alınabilir:

(3)'ü değiştirirsek, şunu elde ederiz:

hangi ispatı tamamlar.

Sonuç kanıtı

Varsayalım F bir İlkel bir f ile, ön sürekli [ a , b ]. İzin vermek

.

By ilk bölümünde teoremin, bildiğimiz G ayrıca bir antitürevi olan f . Yana F '- G ' = 0 teoremi ortalama değer ifade eder F - G, a, sabit fonksiyon olan, bir dizi olduğu c öyle ki G ( x ) = F ( x ) +  c tüm x olarak [ a , b ] . x  =  a vererek , elimizde

yani c = - F ( a ). Başka bir deyişle, G ( x ) = F ( x ) − F ( a ) ve böylece

İkinci bölümün kanıtı

Bu, Riemann toplamlarının bir limit kanıtıdır . Let f aralığına integrali (Riemann) olmak [ a , b ] ve izin f bir antitürevi kabul F ile [ a , b ]. Miktarı ile başlayın F ( b -) F ( a ) . Öyle ki x 1 , ..., x n sayıları olsun

Bunu takip ediyor

Şimdi, her bir F ( x i )'yi, toplamsal tersiyle birlikte toplarız, böylece elde edilen miktar eşit olur:

Yukarıdaki miktar aşağıdaki toplam olarak yazılabilir:

Ardından, ortalama değer teoremini kullanırız . Kısaca belirtilmiş,

Let F belli bir aralıkta [sürekli olarak bir , B , açık aralığı (on] ve türevlenebilen bir , b ). O zaman ( a , b ) içinde öyle bir c vardır ki

Bunu takip ediyor

F fonksiyonu [ a , b ] aralığında türevlenebilir ; bu nedenle, her [ x ben -1 , x ben ] aralığında da türevlenebilir ve süreklidir . Ortalama değer teoremine göre (yukarıda),

Yukarıdakileri (1) ile değiştirirsek, şunu elde ederiz:

Varsayım ayrıca, partition olarak ifade edilebilir .

Yakınsak bir Riemann toplamları dizisi. Sol üstteki sayı, mavi dikdörtgenlerin toplam alanıdır. Fonksiyonun belirli integraline yakınsarlar.

Dikdörtgenin alanını genişlik çarpı yükseklik olarak tanımlıyoruz ve alanları topluyoruz. Her dikdörtgen, ortalama değer teoremi sayesinde, üzerine çizildiği eğri bölümünün bir yaklaşımını tanımlar. Ayrıca tüm i değerleri için aynı olması gerekmez , başka bir deyişle dikdörtgenlerin genişliği farklı olabilir. Yapmamız gereken, eğriyi n tane dikdörtgenle yaklaşık olarak hesaplamak. Şimdi, bölümlerin boyutu küçüldükçe ve n arttıkça, alanı kaplayacak daha fazla bölümle sonuçlanır, eğrinin gerçek alanına daha da yaklaşırız.

Bölmelerin normu sıfıra yaklaşırken ifadenin limitini alarak Riemann integraline ulaşırız . f'nin integrallenebilir olduğu varsayıldığı için bu sınırın var olduğunu biliyoruz . Diğer bir deyişle, bölümlerin en büyüğü boyut olarak sıfıra yaklaştıkça sınırı alırız, böylece diğer tüm bölümler daha küçüktür ve bölüm sayısı sonsuza yaklaşır.

O halde (2)'nin her iki tarafındaki limiti alıyoruz. Bu bize

Ne F ( b ) de F ( bir ) bağlıdır sol tarafındaki sınırı kalır ve böylece, F ( b -) K ( a ).

Denklemin sağ tarafındaki ifade yekpare fazla tanımlayan f gelen bir etmek , b . Bu nedenle, elde ederiz

hangi ispatı tamamlar.

Neredeyse teoremin ilk kısmı doğrudan ikinciden çıkıyor gibi görünüyor. Yani, G'nin f'nin bir antitürevi olduğunu varsayalım . Sonra ikinci teoremle, . Şimdi, varsayalım . O zaman F , G ile aynı türevine sahiptir ve bu nedenle F ' = f . Bununla birlikte, bu argüman ancak, f'nin bir terstürevine sahip olduğunu zaten biliyorsak ve tüm sürekli fonksiyonların ters türevleri olduğunu bilmemizin tek yolu, Temel Teoremin ilk kısmıdır. Örneğin, f ( x ) = E - x 2 , ardından f bir İlkel sahiptir, yani

ve bu işlev için daha basit bir ifade yoktur. Bu nedenle, teoremin ikinci bölümünü integralin tanımı olarak yorumlamamak önemlidir. Aslında, integrallenebilen ancak temel ters türevleri olmayan birçok fonksiyon vardır ve süreksiz fonksiyonlar integrallenebilir olabilir, ancak herhangi bir ters türevden yoksundur. Tersine, ters türevleri olan birçok fonksiyon Riemann ile integrallenebilir değildir (bkz. Volterra'nın fonksiyonu ).

Örnekler

Örnek olarak, aşağıdakilerin hesaplanacağını varsayalım:

Burada ve ters türev olarak kullanabiliriz . Öyleyse:

Veya, daha genel olarak, varsayalım ki

hesaplanmasıdır. Burada ve ters türev olarak kullanılabilir. Öyleyse:

Veya eşdeğer olarak,

Teorik bir örnek olarak, teorem bunu kanıtlamak için kullanılabilir.

O zamandan beri,

sonuç şuradan gelir,

genellemeler

f fonksiyonu tüm aralık boyunca sürekli olmak zorunda değildir. Teoremi Bölüm sonra söyler: Eğer f herhangi biridir Lebesgue entegre edilebilir fonksiyon [ a , b ] ve x , 0 içinde bir sayıdır [ a , b ] bu şekilde ön süreklidir x , 0 , daha sonra

x = x 0 için F ′( x 0 ) = f ( x 0 ) ile türevlenebilir . F üzerindeki koşulları daha da gevşetebilir ve bunun yalnızca yerel olarak bütünleştirilebilir olduğunu varsayabiliriz. Bu durumda, F fonksiyonunun hemen hemen her yerde türevlenebilir olduğu ve F ′( x ) = f ( x ) hemen hemen her yerde türevlenebilir olduğu sonucuna varabiliriz . On gerçek hattına bu açıklama eşdeğerdir Lebesgue farklılaşma teoremi . Bu sonuçlar , daha geniş bir integrallenebilir fonksiyon sınıfına izin veren Henstock–Kurzweil integrali için geçerlidir .

Daha yüksek boyutlarda Lebesgue farklılaşma teoremi hemen hemen her için belirterek analizin temel teoremi genelleştirilmiş x , bir işlev ortalama değeri f yarıçapı bir top üzerinde r ortalanan x eğilimi f ( x gibi) r, 0 eğilimindedir.

Teoremin II. Kısmı , F ters türevine sahip herhangi bir Lebesgue integrallenebilir f fonksiyonu için doğrudur (yine de bütün integrallenebilir fonksiyonlar böyle değildir). Diğer bir deyişle, bir gerçek işlevi ise F ile [ a , b ] bir türevi kabul f ( x en) her nokta x ve [ a , b ] ve bu türevi ise ön ile Lebesgue integrallenebilirdir [ a , b ] o

Bu sonuç , Cantor fonksiyonu örneğinin gösterdiği gibi, hemen hemen her x noktasında bir f ( x ) türevi kabul eden sürekli fonksiyonlar F için başarısız olabilir . Bununla birlikte, F olan mutlak sürekli , bir türevi kabul 'F ( x hemen hemen her noktasında) x , ve ayrıca F' ile, integrallenebilirdir F ( b ) - F ( bir ) entegrali ile eşit 'F ile [ a , b ]. Bunun tersine, eğer ön sonra herhangi bir integrali fonksiyonu olan F kesinlikle kesintisiz olacak ilk formülde verilen 'F = f ae

Bu teoremin koşulları, Henstock–Kurzweil integralleri olarak dahil edilen integraller dikkate alınarak tekrar gevşetilebilir . Spesifik olarak, eğer sürekli bir fonksiyon F ( x ) sayılabilir birçok noktada bir f ( x ) türevini kabul ediyorsa , o zaman f ( x ) Henstock–Kurzweil integrallenebilirdir ve F ( b ) − F ( a ) ' nin integraline eşittir. f ile [ a , b ]. Buradaki fark, f'nin integrallenebilirliğinin varsayılmasına gerek olmamasıdır.

Taylor teoreminin hata terimini bir integral olarak ifade eden versiyonu , temel teoremin bir genellemesi olarak görülebilir.

İçin teoremin bir sürümü var kompleks fonksiyonlar: varsayalım U bir olduğu açık kümesi içinde C ve f  : UC bir olan bir işlevdir holomorfik antitürevi F üzerinde U . Daha sonra her bir eğri için y: [ a , b ] → U , eğri yekpare olarak hesaplanabilir

Temel teorem, daha yüksek boyutlarda ve manifoldlarda eğri ve yüzey integrallerine genelleştirilebilir . Tarafından sunulan böyle bir genelleme hareketli yüzeylerin hesap olduğu integrallerin zaman evrimi . Kalkülüsün temel teoreminin yüksek boyutlardaki en bilinen uzantıları, diverjans teoremi ve gradyan teoremidir .

Bu yöndeki en güçlü genellemelerden biri Stokes teoremidir (bazen çok değişkenli hesabın temel teoremi olarak bilinir): M , n boyutunda yönlendirilmiş, parçalı bir düzgün manifold olsun ve düzgün, kompakt destekli ( n  – 1)-form olsun. ilgili M . ∂ Eğer M belirtmektedir sınır bölgesinin M , bunun uyarılmış verilen yön daha sonra,

Burada d , yalnızca manifold yapısı kullanılarak tanımlanan dış türevdir .

Teorem genellikle M'nin üzerinde formun tanımlandığı daha büyük bir manifoldun (örneğin R k ) gömülü bir yönlendirilmiş alt manifoldu olduğu durumlarda kullanılır .

Kalkülüsün temel teoremi, birinci mertebeden adi diferansiyel denklem olarak belirli bir integral oluşturmamıza izin verir.

olarak poz verilebilir

ile integral değeri olarak.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

bibliyografya

daha fazla okuma

  • Courant, Richard; John, Fritz (1965), Kalkülüs ve Analize Giriş , Springer.
  • Larson, Ron; Edwards, Bruce H.; Heyd, David E. (2002), Tek bir değişkenin hesabı (7. baskı), Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-14916-2.
  • Malet, A. , James Gregorie Üzerine Çalışmalar (1638-1675) (Doktora Tezi, Princeton, 1989).
  • Hernandez Rodriguez, OA; Lopez Fernandez, JM. " Kalkülüsün Temel Teoremini Öğretmek: Tarihsel Bir Yansıma ", Loci: Convergence ( MAA ), Ocak 2012.
  • Stewart, J. (2003), "Calculus'un Temel Teoremi", Calculus: Early transandantaller , Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
  • Turnbull, HW, ed. (1939), James Gregory Yüzüncü Yıl Anıtı Hacmi , Londra.

Dış bağlantılar