(0,2) aralığında n=1, 2, 3 ve 10 ile logaritmaya polinom yaklaşımı.
In matematik , Mercator serisi veya Newton Mercator serisi olan Taylor serisi için doğal logaritma :
içinde
(
1
+
x
)
=
x
-
x
2
2
+
x
3
3
-
x
4
4
+
⋯
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\cdots }
In toplamıdır gösterimde ,
içinde
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
+
1
n
x
n
.
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.}
Seri yakınsak doğal logaritması için zaman (1 kaydırılır) .
-
1
<
x
≤
1
{\displaystyle -1<x\leq 1}
Tarih
Seri, Johannes Hudde ve Isaac Newton tarafından bağımsız olarak keşfedildi . İlk olarak Nicholas Mercator tarafından 1668 tarihli Logarithmotechnia adlı incelemesinde yayınlandı .
türetme
Serisi elde edilebilir Taylor teoremine göre, endüktif işlem n inci türevi de başlayarak
içinde
(
x
)
{\görüntüleme stili \ln(x)}
x
=
1
{\görüntüleme stili x=1}
d
d
x
içinde
(
x
)
=
1
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.}
Alternatif olarak, sonlu geometrik seri ( )
ile başlanabilir.
t
≠
-
1
{\görüntüleme stili t\neq -1}
1
-
t
+
t
2
-
⋯
+
(
-
t
)
n
-
1
=
1
-
(
-
t
)
n
1
+
t
{\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}
hangi verir
1
1
+
t
=
1
-
t
+
t
2
-
⋯
+
(
-
t
)
n
-
1
+
(
-
t
)
n
1
+
t
.
{\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{ n}}{1+t}}.}
Bunu takip ediyor
∫
0
x
d
t
1
+
t
=
∫
0
x
(
1
-
t
+
t
2
-
⋯
+
(
-
t
)
n
-
1
+
(
-
t
)
n
1
+
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\ cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\sağ)\ dt}
ve terimsel entegrasyon ile,
içinde
(
1
+
x
)
=
x
-
x
2
2
+
x
3
3
-
⋯
+
(
-
1
)
n
-
1
x
n
n
+
(
-
1
)
n
∫
0
x
t
n
1
+
t
d
t
.
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1) ^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{ 1+t}}\ dt.}
ise , kalan terim 0'a meyillidir .
-
1
<
x
≤
1
{\displaystyle -1<x\leq 1}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
Bu ifade, elde etmek için yinelemeli olarak k kez daha
entegre edilebilir.
-
x
bir
k
(
x
)
+
B
k
(
x
)
içinde
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
-
1
x
n
+
k
n
(
n
+
1
)
⋯
(
n
+
k
)
,
{\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1} {\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},}
nerede
bir
k
(
x
)
=
1
k
!
∑
m
=
0
k
(
k
m
)
x
m
∑
ben
=
1
k
-
m
(
-
x
)
ben
-
1
ben
{\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \seç m}x^{m}\sum _{l =1}^{km}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}
ve
B
k
(
x
)
=
1
k
!
(
1
+
x
)
k
{\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}
polinomları olan x .
Özel durumlar
Mercator serisindeki ayar , alternatif harmonik seriyi verir
x
=
1
{\görüntüleme stili x=1}
∑
k
=
1
∞
(
-
1
)
k
+
1
k
=
içinde
(
2
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln(2).}
Karmaşık seri
Karmaşık güç serileri
∑
n
=
1
∞
z
n
n
=
z
+
z
2
2
+
z
3
3
+
z
4
4
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots }
olan Taylor serisi için günlük temsil eder, ana dal ve karmaşık logaritması . Bu seri, tüm karmaşık sayılar için kesin olarak yakınsar . Aslında, görüldüğü gibi oran testi , sahip olduğu yakınsama çapındaki nedenle yakınsar 1'e eşit kesinlikle her üzerinde bir disk B (0, r yarıçapı ile) r <1 Ayrıca, her didikledi disk üzerinde eşit yakınsak olan, ö > 0. Bu, cebirsel özdeşlikten hemen çıkar:
-
günlük
(
1
-
z
)
{\displaystyle -\log(1-z)}
|
z
|
≤
1
,
z
≠
1
{\displaystyle |z|\leq 1,z\neq 1}
B
(
0
,
1
)
¯
∖
B
(
1
,
δ
)
{\displaystyle \scriptstyle {\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )}
(
1
-
z
)
∑
n
=
1
m
z
n
n
=
z
-
∑
n
=
2
m
z
n
n
(
n
-
1
)
-
z
m
+
1
m
,
{\displaystyle (1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{ \frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}},}
sağ tarafın tüm kapalı birim disk üzerinde düzgün bir şekilde yakınsadığını gözlemleyerek.
Ayrıca bakınız
Referanslar
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">