Logaritmaların tarihi - History of logarithms

John Napier'in 1620 tarihli Logarithmorum'unun başlık sayfası

Logaritma tarihçesi (modern anlamda, bir bir yazışma hikayesi grup İzomorfizma üzerindeki çarpma arasında) pozitif reel sayılar ve üzerinde ilave reel sayı çizgisi on yedinci yüzyılda Avrupa'da resmiyet ve yaygın gelişine kadar basitleştirmek hesaplama için kullanıldı dijital bilgisayarın. Napierian logaritma 1614. ilk yayınlanmış Henry Briggs kişiye yaygın (baz 10) logaritma kullanımı daha kolay olan,. Logaritma tabloları dört yüzyıl boyunca birçok biçimde yayınlandı. Logaritma fikri , 1970'lere kadar bilim ve mühendislikte her yerde bulunan slayt kuralını oluşturmak için de kullanıldı . Doğal logaritmayı üreten bir buluş , dikdörtgen bir hiperbole karşı bir alan ifadesi arayışının sonucuydu ve yeni bir fonksiyonun standart matematiğe benzetilmesini gerektirdi.

Ortak logaritma

Canon logaritması

On'un ortak kütüğü bir, yüzün iki ve binin üç olduğu için, ortak logaritma kavramı ondalık konumlu sayı sistemine çok yakındır. Ortak kütüğün 10 tabanına sahip olduğu söylenir , ancak 10.000 tabanı eskidir ve Doğu Asya'da hala yaygındır . Kitabında Kum Sayacı , Arşimet kullanılan sayısız evrende kum tanelerini saymak için tasarlanmış bir sayı sisteminin temel olarak. 2000 yılında belirtildiği gibi:

Antik çağda Arşimet , sayıların geometrik dizilişini kullanarak ve bunları aritmetik bir diziyle ilişkilendirerek çarpmayı toplamaya indirgemek için bir reçete verdi .

1616 yılında Henry Briggs ziyaret John Napier at Edinburgh Napier logaritma için önerilen değişikliği görüşmek üzere. Ertesi yıl yine benzer bir amaçla ziyaret etti. Bu konferanslar sırasında Briggs tarafından önerilen değişiklik üzerinde anlaşmaya varıldı ve 1617'de Edinburgh'a yaptığı ikinci ziyaretten dönüşünde logaritmalarının ilk chiliad'ını yayınladı .

1624'te Briggs , otuz bin doğal sayının on dört ondalık basamakla (1-20.000 ve 90.001 ila 100.000) logaritmasını içeren bir çalışma olan Arithmetica Logaritmica'yı yayınladı . Bu tablo daha sonra Adriaan Vlacq tarafından 10 yere ve Alexander John Thompson tarafından 1952'de 20 yere kadar genişletildi .

Briggs, fonksiyon tablolarını hesaplamak için sonlu fark yöntemlerini ilk kullananlardan biriydi . Ayrıca her derecenin yüzüncü kısmı için on dört ondalık basamağa kadar bir logaritmik sinüs ve teğet tablosu, on beş basamağa kadar doğal sinüs tablosu ve aynı on basamağa kadar olan teğetler ve sekanslar tablosunu tamamladı ve bunların tümü Gouda'da basıldı. 1631 yılında ve 1633 yılında Trigonometria Britannica başlığı altında yayınlanmış ; Bu çalışma muhtemelen , logaritmaların kısa bir açıklamasını ve 14. ondalık basamağa kadar hesaplanan ilk 1000 tamsayıların uzun bir tablosunu veren 1617 Logarithmorum Chilias Prima'nın ("İlk Bin Logaritma") halefiydi .

Doğal logaritma

Opus geometrikum posthumum , 1668

1649 yılında, Alphonse Antonio de Sarasa , eski bir öğrenci Gregoire de Saint-Vincent , logaritma ilgili kareleme işaret edilerek, hiperbol bu alan bir ( t gelen hiperbol altında) x = 1 için X = t tatmin

${\görüntüleme stili A(tu)=A(t)+A(u).}$

İlk başta Saint-Vincent'in hiperbolik logaritmasına verilen tepki , Christiaan Huygens (1651) ve James Gregory (1667)'de olduğu gibi kareleme çalışmalarının bir devamıydı . Daha sonra, Nicholas Mercator (1668), Euclid Speidell (1688) ve John Craig (1710) tarafından yapılan çalışmaların adı olan "logaritmotechnia" olarak bir logaritma endüstrisi ortaya çıktı.

Kullanılmasıyla geometrik dizi kendi koşullu ile yakınsama yarıçapı , bir alternatif serisi adı Merkatör serisi aralığı (0,2) üzerinde logaritma fonksiyonu ifade etmektedir. Seri (0,1)'de negatif olduğundan, "hiperbolün altındaki alan" orada negatif olarak kabul edilmelidir, bu nedenle tamamen pozitif alan yerine işaretli bir ölçü hiperbolik logaritmayı belirler.

Tarihçi Tom Whiteside , analitik fonksiyona geçişi şöyle tanımladı:

17. yüzyılın sonuna gelindiğinde, logaritma fonksiyonunun, uygun şekilde iyi bir şekilde çizelgelenmiş bir hesaplama aracı olmaktan çok daha fazlasının, hiperbol alanı modelinde çok fazla matematiğe kabul edildiğini söyleyebiliriz. 18. yüzyılda, bu geometrik temel tamamen analitik bir temel lehine atıldığında, herhangi bir genişletme veya yeniden düzenleme gerekli değildi - "hiperbol alanı" kavramı acısız bir şekilde "doğal logaritmaya" dönüştürüldü.

Leonard Euler bir gibi bir logaritmalama muamele üs logaritma tabanı olarak adlandırılan belirli sayıda. 2.71828 sayısının ve bunun tersinin, hiperbol xy = 1 üzerinde bir nokta sağladığını, öyle ki bir birim karelik bir alanın hiperbolün altında, (1,1)'in sağında ve hiperbolün asimptotunun üstünde yer aldığını kaydetti. Daha sonra, tabanı bu sayı olan logaritmayı doğal logaritma olarak adlandırdı .

Howard Eves'in belirttiği gibi , "Matematik tarihindeki anormalliklerden biri, logaritmaların üsler kullanılmadan önce keşfedilmiş olmasıdır." Carl B. Boyer , "Euler, logaritmalara üsler gibi davranan ilk kişiler arasındaydı, şimdi çok tanıdık bir şekilde" yazdı.

logaritma öncüleri

öncekiler

Babilliler bazen 2000-1600 M.Ö. icat olabilir çeyrek kare çarpma sadece toplama, çıkarma ve çeyrek kareler bir tablo kullanılarak çarpın iki numaraya algoritma. Böylece, böyle bir tablo, toplama ve tablo aramaları kullanılarak çarpmanın hesaplanmasına da izin veren logaritma tablolarına benzer bir amaca hizmet etti. Bununla birlikte, çeyrek kare yöntemi, ek bir karşılıklılık tablosu (veya karşılıklılık oluşturmak için yeterince basit bir algoritma bilgisi) olmadan bölme için kullanılamaz . Büyük sayıların doğru çarpmasını basitleştirmek için büyük çeyrek kareler tabloları, 1817'den bilgisayar kullanımının yerini alana kadar kullanıldı.

Hintli matematikçi Virasena , ardhaccheda kavramıyla çalıştı: 2n formunun bir sayısının kaç kez yarıya indirilebileceği. 2'nin tam kuvvetleri için bu, ikili logaritmaya eşittir, ancak diğer sayıların logaritmasından farklıdır. Bu kavram için bir ürün formülü tanımladı ve ayrıca taban 3 (trakacheda) ve taban 4 (katurthacheda) için benzer kavramları tanıttı.

Michael Stifel yayınlanan Arithmetica Integra içinde Nuremberg tamsayılar ve bir tablonun erken bir versiyonu olarak kabul edilmiştir 2 güçlerin bir tablo içeren 1544 yılında, ikili logaritma .

16. ve 17. yüzyılın başlarında , çarpma ve bölmeyi tahmin etmek için prosthaphaeresis adı verilen bir algoritma kullanıldı. Bu trigonometrik kimliği kullandı

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )]}$

veya çarpmaları toplamalara ve tablo aramalarına dönüştürmek için benzer. Ancak, logaritmalar daha basittir ve daha az çalışma gerektirir. Euler formülü kullanılarak iki tekniğin ilişkili olduğu gösterilebilir.

Bürgi

İsviçreli matematikçi Jost Bürgi , yayını (1614) Bürgi'nin Johannes Kepler'in emriyle yayınladığı zamana kadar bilinen John Napier'den bağımsız bir antilogaritma tablosu olarak kabul edilebilecek bir ilerlemeler tablosu oluşturdu . Bürgi'nin 1588 civarında hesaplamaları basitleştirmenin bir yolu olduğunu biliyoruz, ancak büyük olasılıkla bu yol, prosthaphaeresis kullanımıydı ve muhtemelen yaklaşık 1600'e kadar uzanan ilerlemeler tablosunu kullanmak değildi. Gerçekten de 1584'ten Kassel'de olan Wittich, 1586'ya kadar , onunla çarpma ve bölmelerin , trigonometrik değerlerin eklenmesi ve çıkarılmasıyla değiştirilebileceği bir yöntem olan prosthaphaeresis bilgisini getirdi ... Bu prosedür, birkaç yıl sonra logaritmalarla aynı başarıyı elde eder.

napier

John Napier (1550-1617), logaritmaların mucidi

Logaritma yöntemi, John Napier tarafından 1614'te Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Logaritmanın Harika Kuralının Tanımı) adlı bir kitapta halka açık bir şekilde öne sürüldü .

Ephemeris'ini derlemek için logaritma tablolarını yoğun bir şekilde kullanan ve bu nedenle onu Napier'e ithaf eden Johannes Kepler şunları söyledi:

... hesaplamadaki vurgu, Napier'in sistemi ortaya çıkmadan yıllar önce Justus Byrgius'u [Joost Bürgi] bu logaritmalara giden yolda yönlendirdi; ama ... çocuğunu kamu yararı için büyütmek yerine doğumda terk etti.

—  Johannes Kepler, Rudolfin Tabloları (1627)

Napier, P0'dan Q'ya doğru bir doğru parçası boyunca hareket eden bir P noktası hayal etti. P0'dan başlayarak, belirli bir başlangıç ​​hızıyla, P, Q'ya olan mesafesiyle orantılı bir hızla hareket eder ve P'nin asla Q'ya ulaşmamasına neden olur. L0'dan başlayan ve P noktasının ilk hızına eşit sabit bir hızla sınırsız bir doğru parçası boyunca hareket eden bir L noktası. Napier, L0'dan L'ye olan mesafeyi, P'den Q'ya olan mesafenin logaritması olarak tanımladı.

Tekrar çıkarılması ile Napier hesaplanan (1-10 ^-7 ) ^L için L 1 ile 100 sonucunu arasında L = 100 yaklaşık 0,99999 = 1-10 ^-5 . Napier daha sonra bu sayının çarpımını hesaplanan 10 ⁷ (1-10 ^-5 ) ^L için L , 1 ila 50, ile benzer şekilde yaptığı 0,9998 ≈ (1-10 ^-5 ) ²⁰ ve ≈ 0.995 0.9 ²⁰ . 20 yıl süren bu hesaplamalar, 5 ila 10 milyon arasında herhangi bir N sayısı için denklemi çözen L sayısını vermesine izin verdi.

${\displaystyle N=10^{7}(1-10^{-7})^{L}.}$

Napier ilk adlandırılan L bir "yapay numarası", ancak daha sonra kelimeyi tanıtıldı "logaritma" bir oranını gösterir sayısını ifade etmesi: λόγος ( logolar ) anlam oranını ve ἀριθμός ( arithmos numarayı anlamında). Modern gösterimde, doğal logaritmalarla ilişki şöyledir:

${\displaystyle L=\log _{(1-10^{-7})}\sol({\frac {N}{10^{7}}}\sağ)\yaklaşık 10^{7}\log _ {1/e}\sol({\frac {N}{10^{7}}}\sağ)=-10^{7}\log _{e}\sol({\frac {N}{10^ {7}}}\sağ),}$

çok yakın yaklaşımın şu gözleme karşılık geldiği yerde

${\displaystyle (1-10^{-7})^{10^{7}}\yaklaşık {\frac {1}{e}}.}$

Buluş, hızlı ve geniş çapta beğeniyle karşılandı. Eserleri Bonaventura Cavalieri (İtalya), Edmund Wingate (Fransa), Xue Fengzuo (Çin) ve Johannes Kepler 'in CHILIAS logarithmorum (Almanya) kavramını daha yayıldı yardım etti.

Euler

y = 1/ x denkleminin grafiği . Burada, Euler'in e sayısı , taralı alanı 1'e eşit yapar.

1730 civarında, Leonhard Euler üstel fonksiyonu ve doğal logaritmayı şu şekilde tanımladı :

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\sağ)^{n},\ \[6pt]\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).\end{hizalı}}}$

Onun 1748 kitabında Sınırsızlık'ın Analizine Giriş , Euler bir yoluyla logaritma artık standart bir yaklaşım yayınlanan ters fonksiyonu : Bölüm 6'da, "üstel ve logaritma Üzerine", bir sabit baz ile başlar a ve tartışır transandantal fonksiyonunu Sonra tersi logaritmadır: ${\görüntüleme stili y=a^{z}.}$

z = _bir y'yi günlüğe kaydet .

logaritma tabloları

Henry Briggs'in 1617 Logarithmorum Chilias Prima'sından , 1 ila 67 ila on dört ondalık basamaklı tam sayıların 10 tabanlı (ortak) logaritmasını gösteren bir sayfa .

Abramowitz ve Stegun referans kitabındaki 20. yüzyıldan kalma ortak logaritma tablosunun bir parçası .

2002 American Practical Navigator'dan trigonometrik fonksiyonların logaritma tablosundan bir sayfa . İnterpolasyona yardımcı olmak için fark sütunları eklenmiştir .

Ortak logaritmalar (taban-10) içeren matematiksel tablolar , yalnızca logaritmaların çarpma ve bölme problemlerini çok daha kolay toplama ve çıkarma problemlerine dönüştürmesi nedeniyle değil, aynı zamanda benzersiz olan ek bir özellik için bilgisayarların ve hesap makinelerinin ortaya çıkmasından önceki hesaplamalarda yaygın olarak kullanılmıştır. 10 tabanına kadar ve yararlı olduğunu kanıtlıyor: Herhangi bir pozitif sayı, [1,10) aralığındaki bir sayının ve 10'un tamsayı gücünün çarpımı olarak ifade edilebilir . Bu, verilen sayının ondalık ayırıcısının Pozitif bir hasıl ve sağa doğru olumsuz bir üs elde sol 10. bunlardan sadece logaritma normalize denir numaraları (belirli bir basamak sayısına göre yaklaşık olarak), mantisleri , gerek benzer bir hassasiyet (a listelerinde tablo haline için benzer basamak sayısı). Bu mantislerin tümü pozitiftir ve [0,1) aralığı içine alınır . Herhangi bir pozitif sayının ortak logaritması, ikinci faktörün ortak logaritmasına mantisi eklenerek elde edilir. Bu logaritma verilen sayının özelliği olarak adlandırılır . 10'un kuvvetinin ortak logaritması tam olarak üs olduğundan, karakteristik bir tam sayıdır, bu da ortak logaritmayı ondalık sayılarla uğraşırken son derece yararlı kılar. Daha az sayı için 1, gerektiği gibi özellikleri, nihai logaritma negatif hale getirir. Karakteristiklerin ve mantislerin kullanımına ilişkin ayrıntılar için ortak logaritmaya bakın .

Erken tablolar

Michael Stifel yayınlanan Arithmetica Integra içinde Nuremberg tamsayılar ve logaritmik tablosunun erken bir versiyonu olarak kabul edilmiştir 2 güçlerin bir tablo içeren 1544 yılında.

Logaritma yöntemi, John Napier tarafından 1614'te Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Logaritmaların Harika Kuralının Tanımı ) adlı bir kitapta halka açık bir şekilde öne sürüldü . Kitap elli yedi sayfa açıklayıcı madde ve doksan sayfa doğal logaritma ile ilgili tablo içeriyordu . İngiliz matematikçi Henry Briggs , 1615'te Napier'i ziyaret etti ve Napier'in logaritmalarının , şimdi ortak veya 10 tabanlı logaritmalar olarak bilinen şeyi oluşturmak için yeniden ölçeklenmesini önerdi . Napier, Briggs'e revize edilmiş bir tablonun hesaplanmasını devretti ve daha sonra 1617'de Logarithmorum Chilias Prima'yı ("İlk Bin Logaritma") yayınladılar; bu, logaritmaların kısa bir hesabını ve 14'e kadar hesaplanan ilk 1000 tamsayı için bir tablo verdi. ondalık basamak.

1624'te Arithmetica Logaritmica , otuz bin doğal sayının on dört ondalık basamağa kadar olan logaritmasını (1-20.000 ve 90.001 ila 100.000) içeren bir çalışma olan folioda yayınlandı. Bu tablo daha sonra Adriaan Vlacq tarafından 10 yere ve Alexander John Thompson tarafından 1952'de 20 yere kadar genişletildi .

Briggs, fonksiyon tablolarını hesaplamak için sonlu fark yöntemlerini ilk kullananlardan biriydi .

Vlacq'ın tablosunun daha sonra 603 hata içerdiği tespit edildi, ancak "tablonun orijinal bir hesaplamanın sonucu olduğu ve 2.100.000'den fazla basılı şeklin hataya açık olduğu düşünüldüğünde, bu büyük bir sayı olarak kabul edilemez." Vlacq'ın çalışmasının birçok düzeltme içeren bir baskısı, 1794'te Jurij Vega tarafından Thesaurus Logarithmorum Completus başlığı altında Leipzig'de yayınlandı .

François Callet'in yedi basamaklı tablosu ( Paris , 1795), 100.000'de durmak yerine , başlangıçta en büyük olan enterpolasyon hatalarını azaltmak için 100.000 ile 108.000 arasındaki sayıların sekiz basamaklı logaritmasını verdi. ve bu ekleme genellikle yedi kişilik tablolara dahil edilmiştir. Vlacq'ın tablosunun yayınlanmış tek önemli uzantısı, tablosu 200.000'in altındaki tüm sayıların yedi basamaklı logaritmasını içeren Edward Sang tarafından 1871'de yapılmıştır .

Briggs ve Vlacq ayrıca trigonometrik fonksiyonların logaritmalarının orijinal tablolarını yayınladılar . Briggs tablosu tamamlanmış logaritmik sinüs ve logaritmik teğetler her yüzüncü bölümü için dereceye bir tabloyla On dört ondalık basamağa kadar doğal sinüs onbeş yerlere ve teğetlere ve secants Gouda basıldığını hepsi on yerlere aynı için, 1631 yılında ve 1633 yılında Trigonometria Britannica başlığı altında yayınlanmıştır . Tablolar trigonometrik fonksiyonların logaritmaları, genellikle olduğu gibi, bir açı fonksiyonunun başka bir sayı ile çarpılması gereken el hesaplamalarını basitleştirir.

Yukarıda bahsedilen tabloların yanı sıra, 1790'lardaki Fransız cumhuriyet hükümetinin himayesinde, Gaspard de Prony başkanlığında, özgün bir hesaplamayla Tables du Cadastre adlı büyük bir koleksiyon oluşturuldu . 100.000 ila on dokuz basamağa kadar olan tüm sayıların ve 100.000 ila 200.000 ila yirmi dört basamak arasındaki sayıların logaritmasını içeren bu çalışma, Paris Gözlemevinde yalnızca "on yedi büyük yaprakta" el yazması olarak bulunmaktadır. 1792'de başladı ve "daha fazla doğruluk sağlamak için iki kopya halinde yapılan tüm hesaplamalar ve daha sonra özenle derlenen iki el yazması, iki yıllık kısa bir sürede tamamlandı." Kübik enterpolasyon , herhangi bir sayının logaritmasını benzer bir doğrulukla bulmak için kullanılabilir.

Farklı ihtiyaçlar için küçük el kitaplarından çok ciltli baskılara kadar uzanan logaritma tabloları derlenmiştir:

Sürgülü hesap cetveli

William Oughtred (1575-1660), dairesel hesap cetvelinin mucidi.

Oxford Bilim Tarihi Müzesi'nde slayt kuralları koleksiyonu

Slayt kural kısa bir süre sonra, 1620-1630 etrafında icat edilmiştir John Napier kavramının 'ın yayınlanmasından logaritma . Oxford'dan Edmund Gunter , tek logaritmik ölçekli bir hesaplama cihazı geliştirdi; ek ölçüm araçları ile çarpma ve bölme için kullanılabilir. Bu ölçeğin ilk tanımı 1624'te Paris'te İngiliz matematikçi Edmund Wingate (c.1593-1656) tarafından L'usage de la reigle de ratio en l'arithmetique & geometrie adlı bir kitapta yayınlandı . Kitap, bir tarafta logaritmik, diğer tarafta tablo şeklinde çift ölçek içerir. 1630'da Cambridge'den William Oughtred dairesel bir sürgülü hesap cetveli icat etti ve 1632'de iki el Gunter kuralını birleştirerek modern sürgülü hesap cetveli olan bir cihaz yaptı. Cambridge'deki çağdaşı Isaac Newton gibi , Oughtred de fikirlerini öğrencilerine özel olarak öğretti. Ayrıca Newton gibi, bir zamanlar öğrencisi olan Richard Delamain ve Wingate'in önceki iddialarıyla öncelik konusunda şiddetli bir tartışmaya girdi . Oughtred'in fikirleri yalnızca öğrencisi William Forster'ın 1632 ve 1653'teki yayınlarında kamuoyuna açıklandı.

1677'de Henry Coggeshall , ahşap ölçü için Coggeshall sürgülü cetvel adı verilen iki ayaklı bir katlama kuralı yarattı ve sürgülü cetvelin kullanımını matematiksel sorgulamanın ötesinde genişletti.

1722'de Warner iki ve otuz yıllık ölçekleri tanıttı ve 1755'te Everard ters çevrilmiş bir ölçek dahil etti; tüm bu ölçekleri içeren bir sürgülü cetvel genellikle "çok fazlı" bir kural olarak bilinir.

1815'te Peter Mark Roget , logaritmanın logaritmasını gösteren bir ölçek içeren log log slayt kuralını icat etti. Bu, kullanıcının kökleri ve üsleri içeren hesaplamaları doğrudan yapmasına izin verdi. Bu özellikle kesirli güçler için kullanışlıydı.

1821'de Nathaniel Bowditch , American Practical Navigator'da , navigasyon problemlerini çözmek için kullanılan sabit kısımda trigonometrik fonksiyonların ölçeklerini ve kaydırıcı üzerinde bir log-sinüs ve log-tans çizgisini içeren bir "kayan kuralı" tanımladı .

1845'te Glasgow'dan Paul Cameron , güneşin ve ana yıldızların doğru yükselişi ve eğimi de dahil olmak üzere navigasyon sorularını cevaplayabilen bir Deniz Sürgü Kuralı tanıttı .

Modern form

20. yüzyılın ortalarında arka planda mekanik hesap makinesi ile bir sürgülü hesap cetveli kullanan mühendis

Daha modern bir kayar cetvel biçimi, 1859'da Fransız topçu teğmeni Amédée Mannheim tarafından yaratıldı , "kuralını bir ulusal itibar firması tarafından yaptırdığı ve Fransız Topçusu tarafından benimsendiği için şanslıydı." Bu süre zarfında, mühendislik tanınan bir meslek haline geldi ve Avrupa'da yaygın bir slayt kuralı kullanımıyla sonuçlandı, ancak Amerika Birleşik Devletleri'nde değil. Orada Edwin Thacher'ın silindirik kuralı 1881'den sonra hakim oldu. Dubleks kuralı 1891'de William Cox tarafından icat edildi ve New York'tan Keuffel ve Esser Co. tarafından üretildi .

Referanslar

Orijinal kaynaklar

• Henry Briggs (1624) Aritmetik Logaritmik
• Grégoire de Saint-Vincent (1647) Opus Geometricum Quadraturae Circuli ve Sectionum Coni
• Christiaan Huygens (1651) Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli , Oeuvres Complètes'te , Cilt XI, İnternet Arşivinden bağlantı .
• James Gregory (1667) Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura , Padua: Patavii, İnternet Arşivi aracılığıyla
• William Brouncker (1667) hiperbolün Gönyeleme , Londra Royal Society Felsefi İşlemler , kısaltılmış baskı 1809, s. İ, s 233-6, bağlantı formu Biyoçeşitlilik Miras Kütüphanesi .
• Nicholas Mercator (1668) Logaritmitechnia , Londra

İkincil kaynaklar

• Frances Maseres (1791) Scriptores Logarithmici veya logaritmaların doğası ve yapısı hakkında birkaç ilginç kitaptan oluşan bir koleksiyon, Google Kitaplar'dan bağlantı .
• Karl Bopp (1907) "Die Kegelschnitte der Gregorius ve St. Vincentio", Abhandlungen zum Geschichte der mathematische Wissenschaft , XX Heft.
• Florian Cajori (1913) "Üssel ve logaritma kavramlarının tarihi", American Mathematical Monthly 20: sayfa 5 ila 14 , sayfa 35 ila 47 , sayfa 75 ila 84 , sayfa 107 ila 117 , sayfa 148 ila 151 , sayfa 173 ila 182 , 205 ila 210 arasındaki sayfalar , Jstor'dan bağlantılar
• George A. Gibson (1922) "James Gregory'nin matematiksel çalışması", Edinburgh Mathematical Society'nin Bildirileri 41: 2 ila 25 ve (ikinci seri) 1: 1 ila 18.
• Christoph J. Scriba (1983) "Gregory'nin yakınsak çift dizisi: Huygens ve Gregory arasındaki dairenin 'analitik' karesi üzerindeki tartışmaya yeni bir bakış", Historia Mathematica 10: 274 ila 85.
• RC Pierce (1977) "Kısa bir logaritma tarihi", İki Yıllık Üniversite Matematik Dergisi 8(1):22–6.
• KM Clark (2012) "Öncelik, paralel keşif ve üstünlük: Napier, Burgi ve logaritma ilişkisinin erken tarihi", Revue d'histoire de Mathematique 18(2): 223-70.

Dış bağlantılar

• Rafael Villareal-Calderon (2008) Doğrama Kayıtlar: Tarihe Bir Bakış ve Kayıtlar Kullanımları , Montana Matematiksel Tutkunları 5 (2,3): 237 ila 44, gelen bağlantı Montana Üniversitesi'nden
• Martin Flashman'den Logaritma Tarihçesi dan Humboldt State University