Pi - Pi

π sayısı ( / p / ; " pi " olarak yazıldığından ) matematiksel bir sabittir ve yaklaşık olarak 3.14159'a eşittir. Bu tanımlanan Öklid geometrisi olarak oranında a daire 'nin çevresi onun için çap ve ayrıca çeşitli eşdeğer tanımları bulunmaktadır. Sayı, matematiğin ve fiziğin tüm alanlarında birçok formülde bulunur . Bir dairenin çevresinin çapına oranını temsil etmek için Yunanca π harfinin bilinen en eski kullanımı, 1706'da Galli matematikçi William Jones tarafından yapıldı. Aynı zamanda Arşimet sabiti olarak da anılır .

Bir olmak mantıksız sayıda , π bir şekilde ifade edilemez ortak fraksiyonu gibi fraksiyonlar, ancak22/7tahmin etmek için yaygın olarak kullanılır . Eşdeğer olarak, ondalık gösterimi asla bitmez ve asla kalıcı olarak tekrar eden bir kalıba yerleşmez . Ondalık (veya diğer temel ) basamakları rastgele dağıtılmış gibi görünür ve belirli bir tür istatistiksel rastgeleliği sağlamak için tahmin edilir .

O bilinmektedir π bir olan aşkın sayı : öyle değil mi kök herhangi polinomun ile rasyonel katsayıları . π'nin aşkınlığı , dairenin bir pergel ve cetvelle karesini alma şeklindeki eski zorluğu çözmenin imkansız olduğunu ima eder .

Mısırlılar ve Babilliler de dahil olmak üzere eski uygarlıklar, pratik hesaplamalar için oldukça doğru π yaklaşımlarına ihtiyaç duyuyordu. MÖ 250 civarında, Yunan matematikçi Arşimet , π'ye keyfi bir doğrulukla yaklaşmak için bir algoritma yarattı . MS 5. yüzyılda, Çin matematiği π'ye yedi basamağa yaklaşırken , Hint matematiği her ikisi de geometrik teknikler kullanarak beş basamaklı bir yaklaşım yaptı. Sonsuz serilere dayanan π için ilk hesaplama formülü , bir bin yıl sonra, Madhava-Leibniz serisinin Kerala astronomi ve matematik okulu tarafından keşfedildiği ve Yuktibhāṣā'da belgelenen , 1530 civarında yazıldığı zaman keşfedildi .

Kalkülüsün icadı kısa süre sonra tüm pratik bilimsel hesaplamalar için yeterli olan yüzlerce basamaklı π'nin hesaplanmasına yol açtı . Bununla birlikte, 20. ve 21. yüzyıllarda, matematikçiler ve bilgisayar bilimcileri , artan hesaplama gücü ile birleştirildiğinde, π'nin ondalık gösterimini trilyonlarca basamağa genişleten yeni yaklaşımlar izlediler . Bu hesaplamalar için birincil motivasyon, sayısal serileri hesaplamak için verimli algoritmalar geliştirmek için bir test durumu ve rekor kırma arayışıdır. Kapsamlı hesaplamalar, süper bilgisayarları ve yüksek hassasiyetli çarpma algoritmalarını test etmek için de kullanılmıştır .

En temel tanımı daire ile ilgili olduğu için π , trigonometri ve geometrideki birçok formülde , özellikle de daireler, elipsler ve kürelerle ilgili olanlarda bulunur. Daha modern matematiksel analizde , sayı bunun yerine gerçek sayı sisteminin spektral özellikleri kullanılarak, geometriye herhangi bir referans olmaksızın bir özdeğer veya bir periyot olarak tanımlanır . Bu nedenle, sayı teorisi ve istatistik gibi dairelerin geometrisi ile çok az ilgisi olan matematik ve bilim alanlarında ve fiziğin neredeyse tüm alanlarında ortaya çıkar . π'nin her yerde bulunması, onu hem bilimsel topluluk içinde hem de dışında en yaygın olarak bilinen matematiksel sabitlerden biri yapar. Adamış Çeşitli kitaplar tt yayınlanan ve basamak rekor hesaplamalar edilmiş tt sıklıkla haber başlıkları ile sonuçlanır.

temel bilgiler

İsim

Matematikçiler tarafından bir dairenin çevresinin çapına oranını temsil etmek için kullanılan sembol , bazen pi olarak yazılan küçük Yunanca π harfidir ve Yunanca çevre anlamına gelen perimetros kelimesinin ilk harfinden türetilmiştir . İngilizce'de π , "pie" ( / p / PY ) olarak telaffuz edilir . Matematiksel kullanımda, bir küçük harf π da aktifleştirilmiş ve genişletilmiş muadili ayırt edilir Π bir temsil eder, bir sekansın ürünü ne benzer şekilde, Σ belirtmektedir toplamı .

Sembol seçimi tt bölümünde tartışılmıştır sembolü Üstlenilmesine tt .

Tanım

Genişliği çap olarak, çevresi ise çevre olarak etiketlenmiş bir daire diyagramı
Bir dairenin çevresi, çapının üç katından biraz fazladır. Kesin orana π denir .

π yaygın olarak tanımlanır oranında a daire s' çevresi C onun için çapı d :

C / d oranı , dairenin boyutundan bağımsız olarak sabittir. Örneğin, bir dairenin çapı başka bir dairenin iki katıysa, C / d oranı korunarak çevresi de iki katına sahip olacaktır . π'nin bu tanımı dolaylı olarak düz (Öklid) geometriyi kullanır ; Çember kavramı herhangi bir eğri (Öklidyen olmayan) geometriye genişletilebilse de , bu yeni çemberler artık π = C / d formülünü karşılamayacaktır .

Burada, bir dairenin çevresi, limitler kullanılarak geometriden bağımsız olarak resmi olarak tanımlanabilen bir nicelik olan dairenin çevresi etrafındaki yay uzunluğudur - kalkülüste bir kavram . Örneğin, x 2 + y 2 = 1 denklemiyle Kartezyen koordinatlarda verilen birim çemberin üst yarısının yay uzunluğu , integral olarak doğrudan hesaplanabilir :

Bunun gibi bir integral, onu 1841'de doğrudan bir integral olarak tanımlayan Karl Weierstrass tarafından π'nin tanımı olarak kabul edildi .

Entegrasyon artık ilk analitik tanımda yaygın olarak kullanılmamaktadır, çünkü Remmert 2012'nin açıkladığı gibi, diferansiyel hesap üniversite müfredatında tipik olarak integral hesabın önüne geçer, bu nedenle ikincisine dayanmayan bir π tanımına sahip olmak istenir . Richard Baltzer'den kaynaklanan ve Edmund Landau tarafından popülerleştirilen böyle bir tanım şudur: π , kosinüs fonksiyonunun 0'a eşit olduğu en küçük pozitif sayının iki katıdır . Kosinüs, geometriden bağımsız olarak bir kuvvet serisi veya çözüm olarak tanımlanabilir. bir diferansiyel denklemin .

Benzer bir anlayışla, π karmaşık bir değişken z'nin karmaşık üstel , exp z , özellikleri kullanılarak tanımlanabilir . Kosinüs gibi, karmaşık üstel de birkaç yoldan biriyle tanımlanabilir. exp z'nin bire eşit olduğu karmaşık sayılar kümesi , formun (hayali) bir aritmetik ilerlemesidir:

ve bu özelliğe sahip benzersiz bir pozitif gerçek sayı π vardır.

Sofistike matematiksel kavramların yararlanarak aynı fikri üzerine daha soyut varyasyon, topoloji ve cebir , aşağıdaki teoremi geçerli: benzersiz (orada kadar automorphism ) sürekli izomorfizm gelen grup R / Z ilavesi altında gerçek sayıların modülo tamsayılar ( çember grubu çarpımsal grup üzerine), karmaşık sayılar arasında mutlak değeri bir. Sayı π bu homomorfizmasının türevinin yarısı büyüklük olarak tanımlanır.

Mantıksızlık ve normallik

π bir olan irrasyonel sayı o kadar yazılamaz yani iki tam sayının oranı . gibi kesirler22/7 ve 355/113genellikle π'ye yaklaşmak için kullanılır , ancak hiçbir ortak kesir (tam sayıların oranı) tam değeri olamaz. π irrasyonel olduğundan , ondalık gösteriminde sonsuz sayıda basamağa sahiptir ve sonsuz tekrar eden bir basamak düzenine yerleşmez . π'nin irrasyonel olduğuna dair birkaç kanıt vardır ; genellikle hesap gerektirirler ve reductio ad absurdum tekniğine dayanırlar . Rasyonel sayılarla ( irrasyonellik ölçüsü olarak adlandırılır ) π'nin yaklaşık olarak ne derece elde edilebileceği tam olarak bilinmemektedir; tahminler, irrasyonellik ölçüsünün e veya ln 2 ölçüsünden daha büyük, ancak Liouville sayılarının ölçüsünden daha küçük olduğunu belirlemiştir .

π'nin rakamları belirgin bir modele sahip değildir ve normallik testleri de dahil olmak üzere istatistiksel rastgelelik testlerini geçmiştir ; (belirli bir uzunluktaki) tüm olası basamak dizileri eşit sıklıkta göründüğünde, sonsuz uzunluktaki bir sayı normal olarak adlandırılır. Bu varsayım π olan , normal kanıtlanmış veya çürütülmüştür edilmemiştir.

Bilgisayarların ortaya çıkışından bu yana, üzerinde istatistiksel analiz yapmak için çok sayıda π rakamı mevcuttu. Yasumasa Kanada , π'nin ondalık basamakları üzerinde ayrıntılı istatistiksel analizler yaptı ve bunları normallikle tutarlı buldu; örneğin, 0'dan 9'a kadar olan on rakamın frekansları istatistiksel anlamlılık testlerine tabi tutuldu ve bir modele dair hiçbir kanıt bulunamadı. Herhangi bir rastgele basamak dizisi, sonsuz maymun teoremi tarafından rastgele olmayan, rastgele görünen uzun alt diziler içerir . Bu nedenle, π'nin basamak dizisi rastgelelik için istatistiksel testleri geçtiğinden , π'nin ondalık gösteriminin 762. ondalık basamağında başlayan ardışık altı 9'luk bir dizi gibi rastgele olmayan bazı basamak dizilerini içerir . . Bu, Feynman ile hiçbir bağlantısı bilinmemekle birlikte, Richard Feynman'dan sonra , matematiksel folklorda "Feynman noktası" olarak da adlandırılır .

aşkınlık

Her ikisi de aynı alana sahip bir kare ve daire diyagramı;  karenin kenar uzunluğu pi'nin karekökü
Çünkü π bir olan aşkın sayı , daireyi kareye klasik araçlarını kullanarak sonlu adımda sayısında mümkün değildir pusula ve cetvel .

İrrasyonel olmasının yanı sıra, π aynı zamanda aşkın bir sayıdır , yani rasyonel katsayılara sahip sabit olmayan herhangi bir polinom denkleminin çözümü değildir , örneğinx 5/120 - x 3/6+ x = 0 .

Aşılması tt , İlk: iki önemli sonucu vardır π rasyonel sayı ve kare kök ya da herhangi bir sonlu kombinasyonu kullanılarak ifade edilemez n -inci kökleri (örneğin, 331 veya 10 ). Hiçbir aşkın sayı olabilir çünkü İkincisi, inşa ile pusula ve cetvel , bu "mümkün değil döngünün ". Başka bir deyişle, alanı belirli bir dairenin alanına tam olarak eşit olan bir kareyi yalnızca pergel ve cetvel kullanarak oluşturmak imkansızdır. Bir dairenin karesini almak, klasik antik çağın önemli geometri problemlerinden biriydi . Modern zamanlarda amatör matematikçiler, matematiksel olarak imkansız olmasına rağmen, bazen çemberin karesini almaya ve başarı talep etmeye çalıştılar.

Devam eden kesirler

Yere gömülü büyük bir taş mozaik olarak oluşturulmuş Yunan harfi pi'nin fotoğrafı.
Sabit π , Berlin Teknik Üniversitesi'ndeki Matematik Binasının dışındaki bu mozaikte temsil edilmektedir .

Tüm irrasyonel sayılar gibi, π irrasyonel sayının tanımıyla (yani rasyonel bir sayı değil) ortak bir kesir ( basit veya kaba kesir olarak da bilinir) olarak temsil edilemez. Ancak π dahil her irrasyonel sayı, sürekli kesir adı verilen sonsuz bir iç içe kesir dizisi ile temsil edilebilir :

Devam eden kesri herhangi bir noktada kesmek, π için rasyonel bir yaklaşıklık verir ; Bunlardan ilk dördü 3, 22/7, 333/106 ve 355/113'tür. Bu sayılar, sabitin en iyi bilinen ve en yaygın olarak kullanılan tarihsel yaklaşımları arasındadır. Bu şekilde oluşturulan her yaklaşım en iyi rasyonel yaklaşımdır; yani, her biri aynı veya daha küçük paydaya sahip diğer kesirlerden π'ye daha yakındır . Çünkü π transandantal olduğu bilinir, bu tanım gereği değil cebirsel ve böylece olamaz kuadratik irrasyonel . Bu nedenle, π periyodik bir sürekli kesre sahip olamaz . π için basit sürekli kesir (yukarıda gösterilmiştir) başka herhangi bir belirgin model göstermese de, matematikçiler bunu yapan birkaç genelleştirilmiş sürekli kesir keşfettiler , örneğin:

Yaklaşık değer ve rakamlar

Pi'nin bazı yaklaşımları şunları içerir:

  • Tamsayılar : 3
  • Kesirler : Yaklaşık kesirler şunları içerir (artan doğruluk sırasına göre)22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, 103993/33102, 104348/33215, ve 245850922/78256779. (Liste terimleri seçilir OEISA063674 ve OEISA063673 .)
  • Rakamlar : İlk 50 ondalık basamak olan 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 ... (bkz OEISA000796 )

Diğer sayı sistemlerindeki rakamlar

Karmaşık sayılar ve Euler kimliği

Üçgen ayakları sinüs ve kosinüs fonksiyonlarıyla etiketlenmiş, dairenin merkezinden kenarına bir ışın içeren, karmaşık düzlemde orijinde merkezli bir birim daire diyagramı.
Hayali numarası güçleri arasındaki ilişki e ve nokta üzerinde birim çember merkezli kaynaklı olarak kompleks düzlem tarafından verilen Euler formül

Herhangi bir karmaşık sayı , diyelim z , bir çift gerçek sayı kullanılarak ifade edilebilir . Olarak polar koordinat sisteminde bir çağrı numarası ( yarıçap veya r ) 'i temsil etmek için kullanılır z 'in mesafeyi kökenli bir kompleks düzlemde ve diğer (açısı veya cp ) saat yönünün tersine dönüş pozitif reel hattından:

burada i , i 2 = -1'i sağlayan hayali birimdir . Sık sık görünümü tt içinde kompleks analiz davranışı ile ilgili olabilir üstel fonksiyon tarafından tarif edilen kompleks değişkenin Euler formül :

burada , sabit E tabanıdır doğal logaritması . Bu formül, e'nin hayali kuvvetleri ile karmaşık düzlemin orijini merkezli birim çember üzerindeki noktalar arasında bir yazışma kurar . Euler formülünde φ = π ayarı , en önemli beş matematiksel sabiti içermesi nedeniyle matematikte kutlanan Euler'in özdeşliği ile sonuçlanır :

Vardır , n farklı karmaşık sayılar z tatmin edici Z , n = 1 , ve bu "denir , n -inci birlik kökleri " ve aşağıdaki formül ile verilmektedir:

Tarih

antik çağ

En iyi bilinen yaklaşımlar π kalma Common Era önce iki ondalık basamağa kadar hassas olduğunu; Bu, Çin matematiğinde özellikle birinci bin yılın ortalarında yedi ondalık basamak doğruluğuna kadar geliştirildi. Bundan sonra, geç ortaçağ dönemine kadar başka bir ilerleme kaydedilmedi.

Ölçümlerine göre Keops Pyramid (c. 2.560 BC) , bazı Mısırolog iddia etti Mısırlılar bir yaklaşım kullanılır tt olarak22/7Eski Krallık kadar erken bir tarihte . Bu iddia şüpheyle karşılandı. π'nin en eski yazılı yaklaşımları , her ikisi de gerçek değerin yüzde biri içinde olan Babil ve Mısır'da bulunur. Babylon, bir kil, tablet tarihli 1900-1600 BC ima yolu ile muamele etmek, bir geometrik deyimi vardır tt olarak25/8 = 3.125. Mısır'da, Rhind Papirüs , 1650 M.Ö. etrafında tarihli fakat 1850 M.Ö. bir belgeden kopyalanan, ikramlar bir dairenin alanı için bir formül vardır tt olarak (16/9) 2 3.16.

Shatapatha Brahmana'daki (yaklaşık MÖ 4. yüzyıl) astronomik hesaplamalar ,339/108 ≈ 3.139 (9×10 −4 doğruluk ). Yaklaşık 150 BC tedavi Diğer Hint kaynaklar tt olarak 10  ≈ 3.1622.

Çokgen yaklaşım dönemi

bir dairenin dışında sınırlandırılmış bir altıgen ve beşgen diyagramı
π , sınırlandırılmış ve yazılı çokgenlerin çevreleri hesaplanarak tahmin edilebilir.

π değerini titizlikle hesaplamak için kaydedilen ilk algoritma , Yunan matematikçi Arşimet tarafından MÖ 250 civarında tasarlanan çokgenleri kullanan geometrik bir yaklaşımdı . Bu çokgen algoritma 1.000 yıldan fazla bir süredir egemen oldu ve sonuç olarak π bazen "Arşimet sabiti" olarak anılır. Arşimet , bir dairenin içine ve dışına düzenli bir altıgen çizerek ve 96 kenarlı düzgün bir çokgene ulaşana kadar kenar sayısını art arda ikiye katlayarak π'nin üst ve alt sınırlarını hesapladı . Bu çokgenlerin çevrelerini hesaplayarak, bunu kanıtladı.223/71< π <22/7(yani 3.1408 < π < 3.1429 ). Arşimet'in üst sınırı22/7π'nin eşit olduğuna dair yaygın bir popüler inanca yol açmış olabilir .22/7. MS 150 civarında, Yunan-Romalı bilim adamı Ptolemy , Almagest'inde , Arşimet'ten veya Perga'lı Apollonius'tan almış olabileceği π için 3.1416'lık bir değer verdi . Çokgen algoritmalar kullanan matematikçiler , 1630'da π'nin 39 basamağına ulaştı ; bu, yalnızca 1699'da 71 basamağa ulaşmak için sonsuz seriler kullanıldığında kırılan bir rekor.

okuyan bir adamın resmi
Arşimet yaklaşık olarak belirleyen çokgen yaklaşım geliştirdik π .

Gelen eski Çin'de , değerleri tt 3.1547 (yaklaşık 1 AD), dahil 10 (yaklaşık 100 AD, 3,1623) ve142/45(3. yüzyıl, yaklaşık 3.1556). MS 265 civarında, Wei Kingdom matematikçisi Liu Hui , çokgen tabanlı yinelemeli bir algoritma oluşturdu ve bunu 3,072 kenarlı bir çokgenle kullanarak π değerini 3,1416 olarak elde etti. Liu daha sonra π hesaplamak için daha hızlı bir yöntem icat etti ve ardışık çokgenlerin alanlarındaki farklılıkların 4 faktörlü bir geometrik dizi oluşturduğu gerçeğinden yararlanarak 96 kenarlı bir çokgen ile 3.14 değerini elde etti. Çinli matematikçi Zu MS 480 civarında Chongzhi , 3.1415926 < π < 3.1415927 olduğunu hesapladı ve π yaklaşımlarını önerdi.355/113= 3.14159292035... ve π22/7= 3,142857142857 ... o adlandırdığı hangi Milu ( '' yakın oran ") ve Yuelu (" yaklaşık oranı "), sırasıyla kullanarak Liu Hui algoritması bir 12.288 taraflı çokgen başvurmuştur. Doğru bir değere sahip yedi birinci ondalık için Bu değer , sonraki 800 yıl için mevcut olan en doğru π tahmini olarak kaldı .

Hintli astronom Aryabhata , Āryabhaṭīya'sında (MS 499) 3.1416 değerini kullandı . Fibonacci c. 1220, Arşimet'ten bağımsız, çokgen bir yöntem kullanarak 3.1418'i hesapladı. İtalyan yazar Dante görünüşe göre 3+ değerini kullandı2/10≈ 3.14142 .

Basra astronomi Gıyaseddin Cemşid 9 üretilen altmış tabanlı 3 x 2 ile bir çokgenle 1424 yılında, basamak, 16 hanelik kabaca 28 yaklaşık 180 yıl dünya rekoru olarak duran iki. Fransız matematikçi François Viète 1579'da 3×2 17 kenarlı bir çokgen ile 9 basamak elde etti . Flaman matematikçi Adriaan van Roomen 1593'te 15 ondalık basamağa ulaştı. 1596'da Hollandalı matematikçi Ludolph van Ceulen 20 basamağa ulaştı, daha sonra bu rekoru 35 basamağa çıkardı (sonuç olarak, π , Almanya'da "Ludolphian sayısı" olarak adlandırıldı. 20. yüzyılın başları). Hollandalı bilim adamı Willebrord Snellius 1621'de 34 basamağa ulaştı ve Avusturyalı astronom Christoph Grienberger 1630'da 10 40 kenar kullanarak 38 basamağa ulaştı . Christiaan Huygens , 1654'te Richardson ekstrapolasyonuna eşdeğer biraz farklı bir yöntem kullanarak 10 ondalık basamağa ulaşmayı başardı .

Sonsuz seriler

π için birkaç tarihsel sonsuz serinin yakınsaklığının karşılaştırılması . S n , n terim alındıktan sonraki yaklaşıklıktır . Sonraki her bir alt grafik, gölgeli alanı yatay olarak 10 kat büyütür. (detay için tıklayın)

π'nin hesaplanması , 16. ve 17. yüzyıllarda sonsuz seri tekniklerinin geliştirilmesiyle devrim yarattı . Bir sonsuz seriler sonsuz açısından toplamıdır dizisi . Sonsuz seriler, matematikçilerin π'yi Arşimet ve geometrik teknikler kullanan diğerlerinden çok daha büyük bir kesinlikle hesaplamasına izin verdi . Sonsuz seriler, özellikle James Gregory ve Gottfried Wilhelm Leibniz gibi Avrupalı ​​matematikçiler tarafından π için kullanılmış olsa da , yaklaşım ilk olarak MS 1400 ile 1500 yılları arasında Hindistan'da keşfedilmiştir . Hesaplamak için kullanılabilecek sonsuz bir serinin ilk yazılı açıklama tt Hint astronom tarafından Sanskritçe ayette dışarı atılmıştır Nilakantha Somayaji onun içinde Tantrasamgraha 1500 civarında AD,. Seriler kanıt olmadan sunulur, ancak kanıtlar daha sonraki bir Hint eseri olan Yuktibhāṣā'da , MS 1530 civarında sunulur . Nilakantha, diziyi daha önceki bir Hintli matematikçi olan Sangamagrama'lı Madhava'ya atfediyor . 1350 – c. 1425. Sinüs, tanjant ve kosinüs serileri de dahil olmak üzere, şimdi Madhava serisi veya Gregory-Leibniz serisi olarak adlandırılan birkaç sonsuz seri tanımlanmıştır . Madhava 1400 civarında π ila 11 basamağı tahmin etmek için sonsuz seriler kullandı , ancak bu değer 1430 civarında İranlı matematikçi Jamshīd al-Kāshī tarafından çokgen bir algoritma kullanılarak geliştirildi.

Uzun saçlı bir adamın resmi portresi
Isaac Newton kullanılan sonsuz serisini hesaplamak için π daha sonra "Ben bu hesaplamaları taşınan kaç rakamlar söyleyeceğim utanıyorum" yazma, 15 basamak.

Avrupa'da bulunan ilk sonsuz bir dizi , bir olduğu sonsuz bir ürün (ziyade sonsuz toplam daha tipik olarak kullanılan, π hesaplamalar) Fransız tarafından Mathematician bulunan Francois Viète 1593 yılında:

İkinci sonsuz bir dizi Avrupa'da bulunan göre, John Wallis da sonsuz bir üründü, 1655'de:

Keşfi hesap İngiliz bilim adamı tarafından, Isaac Newton ve Alman matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz yaklaştırmak için birçok sonsuz serilerin gelişmesine yol açtı 1660'larda, tt . Newton'un kendisi 1665 veya 1666'da π'nin 15 basamaklı bir yaklaşımını hesaplamak için bir yay dizisi kullandı ve daha sonra "Bu hesaplamaları kaç rakama taşıdığımı size söylemekten utanıyorum, o sırada başka bir işim yoktu" diye yazdı.

Avrupa'da, Madhava'nın formülü İskoç matematikçi James Gregory tarafından 1671'de ve Leibniz tarafından 1674'te yeniden keşfedildi :

Bu formül, Gregory Leibniz serisi, eşit π / 4 ile birlikte değerlendirildiğinde z  1699 1. İngiliz matematikçi = İbrahim keskin Gregory Leibniz seri kullanılan işlem için tt 39 basamak, bir önceki rekor, 71 basamak olan poligonal algoritma ile ayarlanmıştır. Seriler için Gregory-Leibniz basittir, ancak çok yavaş yakınsar (yani, cevaba kademeli olarak yaklaşır), bu nedenle modern π hesaplamalarında kullanılmaz.

1706'da John Machin , çok daha hızlı yakınsayan bir algoritma üretmek için Gregory-Leibniz serisini kullandı:

Machin bu formülle π'nin 100 basamağına ulaştı . Diğer matematikçiler , π rakamlarını hesaplamak için birkaç ardışık kayıt ayarlamak için kullanılan , şimdi Machin benzeri formüller olarak bilinen varyantlar yarattılar . Makine benzeri formüller , bilgisayar çağına kadar π'yi hesaplamak için en iyi bilinen yöntem olarak kaldı ve 250 yıl boyunca rekorlar kırmak için kullanıldı ve 1946'da Daniel Ferguson tarafından 620 basamaklı bir yaklaşımla sonuçlandı - yardım olmadan elde edilen en iyi yaklaşım bir hesaplama cihazının

1844'te Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un emriyle kafasında 200 ondalık π hesaplamak için Machin benzeri bir formül kullanan hesaplama dahisi Zacharias Dase tarafından bir rekor kırıldı . İngiliz matematikçi William Shanks ünlü hesaplamak için 15 yıl sürdü π 707 basamak, ancak yanlış sonraki tüm haneleri render 528 hane bir hata yaptı.

yakınsama oranı

π için bazı sonsuz seriler diğerlerinden daha hızlı yakınsar . π için iki sonsuz seri seçimi göz önüne alındığında , matematikçiler genellikle daha hızlı yakınsayan olanı kullanacaklardır çünkü daha hızlı yakınsama, π'yi verilen herhangi bir doğruluğa hesaplamak için gereken hesaplama miktarını azaltır . İçin basit bir sonsuz seri tt olan Gregory-Leibniz serisi :

Bu sonsuz serilerin ayrı ayrı terimler toplamına eklendikçe, toplam giderek daha yakın olur tt , ve - terimlerin yeterli sayıda - yakın bir şekilde alabilirsiniz tt istendiği gibi. Yine de oldukça yavaş yakınsar – 500.000 terimden sonra, π'nin yalnızca beş doğru ondalık basamağını üretir .

Gregory-Leibniz serisinden daha hızlı yakınsayan (15. yüzyılda Nilakantha tarafından yayınlanmış) π için sonsuz bir seri : ( n  − 1) n ( n  + 1) = n 3  −  n olduğuna dikkat edin .

Aşağıdaki tablo bu iki serinin yakınsama oranlarını karşılaştırmaktadır:

π için sonsuz seri 1. dönemden sonra 2. dönemden sonra 3. dönemden sonra 4. dönemden sonra 5. dönemden sonra Yakınsama:
4.0000 2.6666 ... 3.4666 ... 2.8952 ... 3.3396 ... π = 3.1415 ...
3.000 3.1666 ... 3.1333 ... 3.1452 ... 3.1396 ...

Beş terimden sonra, Gregory-Leibniz serisinin toplamı, π'nin doğru değerinin 0,2'si dahilindeyken , Nilakantha'nın serisinin toplamı, π'nin doğru değerinin 0,002'si dahilindedir . Nilakantha'nın serisi daha hızlı yakınsar ve π'nin basamaklarını hesaplamak için daha kullanışlıdır . Daha da hızlı yakınsayan seriler , Machin'in serisini ve Chudnovsky'nin serisini içerir ; ikincisi, terim başına 14 doğru ondalık basamak üretir.

Mantıksızlık ve aşkınlık

π ile ilgili tüm matematiksel gelişmeler , yaklaşımların doğruluğunu artırmayı amaçlamamıştır. Euler 1735'te Basel problemini çözdüğünde, karşılıklı karelerin toplamının tam değerini bulduğunda, π ile asal sayılar arasında bir bağlantı kurdu ve bu daha sonra Riemann zeta fonksiyonunun geliştirilmesine ve çalışmasına katkıda bulundu :

İsviçre bilim adamı Johann Heinrich Lambert 1761 yılında kanıtladı π olan mantık dışı herhangi iki tam sayı bölümüne eşit değildir, yani. Lambert'in ispatı , teğet fonksiyonunun sürekli kesirli bir temsilinden yararlandı. Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre 1794'te π 2'nin de irrasyonel olduğunu kanıtladı . 1882 yılında Alman matematikçi Ferdinand von Lindemann kanıtladı π is transandantal ikisi tarafından yapılan bir varsayım teyit Legendre ve Euler. Hardy ve Wright, "kanıtların daha sonra Hilbert, Hurwitz ve diğer yazarlar tarafından değiştirildiğini ve basitleştirildiğini" belirtiyor.

π sembolünün benimsenmesi

Bir dairenin çevresinin çapına oranını temsil etmek için Yunanca π harfinin bilinen en eski kullanımı, 1706'da Galli matematikçi William Jones tarafından yapıldı.
Leonhard Euler , 1736 ve 1748'de yayınladığı eserlerinde Yunanca π harfinin kullanımını yaygınlaştırdı .

İlk kullanımlarda, Yunanca π harfi çevre anlamına gelen Yunanca kelimenin ( περιφέρεια ) kısaltmasıydı ve daire sabitleri oluşturmak için δ ( çap için ) veya ρ ( yarıçap için ) ile oranlarda birleştirildi . (O zamandan önce, matematikçiler bazen bunun yerine c veya p gibi harfler kullandılar.) İlk kaydedilen kullanım, Clavis Mathematicae'nin 1647 ve sonraki baskılarında çevre ve çap oranını ifade etmek için Oughtred'in " " 'dir . Barrow aynı şekilde " " sabitini 3.14...' ü temsil etmek için kullandı , Gregory ise " " 6.28...'i temsil etmek için kullandı .

Bir dairenin çevresinin çapına oranını temsil etmek için tek başına Yunanca π harfinin bilinen en eski kullanımı Galli matematikçi William Jones tarafından 1706 tarihli Synopsis Palmariorum Matheseos adlı çalışmasındaydı ; veya, Matematiğe Yeni Bir Giriş . Yunan harfi ilk olarak orada, yarıçapı bir olan bir daire tartışmasında "1/2 Çevre ( π )" ifadesinde görünür . Bununla birlikte, π denklemlerinin "gerçekten dahiyane Bay John Machin'in hazır kaleminden" olduğunu yazar ve bu, Machin'in Jones'tan önce Yunan harfini kullanmış olabileceği yönünde spekülasyonlara yol açar. Jones'un notasyonu diğer matematikçiler tarafından hemen benimsenmedi, kesir notasyonu 1767'ye kadar hala kullanılıyor.

Euler , bu ve daha sonraki yazılarında, π = 6.28... , çevrenin yarıçapa oranını kullanmasına rağmen , 1727 tarihli Havanın Özelliklerini Açıklayan Deneme ile başlayan tek harfli formu kullanmaya başladı . Euler ilk olarak π = 3.14... 'ü 1736 tarihli Mechanica adlı çalışmasında kullandı ve çok okunan 1748 tarihli Introductio in analysin infinitorum adlı çalışmasında devam etti ("kısa olması için bu sayıyı π olarak yazacağız ; dolayısıyla π eşittir yarıçapı 1" olan bir dairenin çevresinin yarısına kadar). Euler, Avrupa'daki diğer matematikçilerle yoğun bir şekilde uyuştuğu için, Yunan harfinin kullanımı hızla yayıldı ve uygulama, daha sonra Batı dünyasında evrensel olarak kabul edildi , ancak tanım hala 3.14 ... ve 6.28 ... arasında 1761'e kadar değişiyordu. .

Daha fazla rakam için modern arayış

Bilgisayar çağı ve yinelemeli algoritmalar

Takım elbise giyen saçsız bir adamın resmi fotoğrafı
John von Neumann ilk dijital bilgisayar, kullanılan takımın bir parçası oldu ENIAC hesaplamak için, π .

Gauss-Legendre yinelemeli algoritma :
başlatma

yinele

Daha sonra π için bir tahmin şu şekilde verilir:

20. yüzyılın ortalarında bilgisayarların gelişimi, π rakamlarının aranmasında bir kez daha devrim yarattı . Matematikçiler John Wrench ve Levi Smith, 1949'da bir masa hesap makinesi kullanarak 1.120 haneye ulaştı. Aynı yıl George Reitwiesner ve John von Neumann liderliğindeki bir ekip, bir ters tanjant (arctan) sonsuz serisini kullanarak, ENIAC bilgisayarında 70 saatlik bilgisayar zamanını alan bir hesaplama ile 2.037 basamağa ulaştı . Her zaman bir arctan serisine dayanan rekor, 1973'te 1 milyon basamağa ulaşılana kadar art arda kırıldı (1957'de 7.480 basamak; 1958'de 10.000 basamak; 1961'de 100.000 basamak).

1980 civarında iki ek gelişme bir kez daha π hesaplama yeteneğini hızlandırdı . İlk olarak, sonsuz seriden çok daha hızlı olan π hesaplaması için yeni yinelemeli algoritmaların keşfi ; ve ikincisi, büyük sayıları çok hızlı bir şekilde çarpabilen hızlı çarpma algoritmalarının icadı . Bu tür algoritmalar , bilgisayarın zamanının çoğu çarpma işlemine ayrıldığından , modern π hesaplamalarında özellikle önemlidir . Bunlar, Karatsuba algoritması , Toom-Cook çarpması ve Fourier dönüşümü tabanlı yöntemleri içerir .

Yinelemeli algoritmalar, 1975-1976'da fizikçi Eugene Salamin ve bilim adamı Richard Brent tarafından bağımsız olarak yayınlandı . Bunlar sonsuz serilere güvenmekten kaçınır. Yinelemeli bir algoritma, belirli bir hesaplamayı tekrarlar, her yineleme önceki adımlardan gelen çıktıları girdi olarak kullanır ve her adımda istenen değere yakınsayan bir sonuç üretir. Yaklaşım aslında 160 yıl önce Carl Friedrich Gauss tarafından , şimdi aritmetik-geometrik ortalama yöntemi (AGM yöntemi) veya Gauss-Legendre algoritması olarak adlandırılan yöntemle icat edildi . Salamin ve Brent tarafından değiştirildiği gibi, Brent-Salamin algoritması olarak da adlandırılır.

Yinelemeli algoritmalar, 1980'den sonra yaygın olarak kullanıldı, çünkü bunlar sonsuz seri algoritmalarından daha hızlıdır: sonsuz seriler tipik olarak ardışık terimlerle toplam doğru basamak sayısını artırırken, yinelemeli algoritmalar genellikle her adımda doğru basamak sayısını çarpar . Örneğin, Brent-Salamin algoritması, her yinelemede basamak sayısını iki katına çıkarır. 1984'te John ve Peter Borwein kardeşler , her adımda basamak sayısını dört katına çıkaran yinelemeli bir algoritma geliştirdiler; ve 1987'de, her adımda basamak sayısını beş kat artıran bir tane. Japon matematikçi Yasumasa Kanada tarafından 1995 ve 2002 yılları arasında π hesaplamak için çeşitli kayıtlar oluşturmak için yinelemeli yöntemler kullanıldı . Bu hızlı yakınsamanın bir bedeli var: yinelemeli algoritmalar sonsuz serilerden önemli ölçüde daha fazla bellek gerektirir.

π hesaplama nedenleri

Matematikçiler yeni algoritmalar keşfettikçe ve bilgisayarlar kullanılabilir hale geldikçe, π'nin bilinen ondalık basamaklarının sayısı önemli ölçüde arttı. Dikey ölçek logaritmiktir .

π içeren çoğu sayısal hesaplama için , bir avuç basamak yeterli kesinlik sağlar. Jörg Arndt ve Christoph Haenel'e göre, çoğu kozmolojik hesaplamayı gerçekleştirmek için otuz dokuz basamak yeterlidir , çünkü bu, gözlemlenebilir evrenin çevresini bir atomun kesinliği ile hesaplamak için gerekli olan doğruluktur . Hesaplamalı yuvarlama hatalarını telafi etmek için gereken ek rakamları hesaba katan Arndt, herhangi bir bilimsel uygulama için birkaç yüz basamağın yeterli olacağı sonucuna varıyor. Buna rağmen, insanlar π'yi binlerce ve milyonlarca basamağa hesaplamak için çok çalıştılar . Bu çaba kısmen insanın rekor kırma dürtüsüne atfedilebilir ve π ile elde edilen bu tür başarılar genellikle dünya çapında manşet olur. Ayrıca süper bilgisayarları test etme, sayısal analiz algoritmalarını test etme ( yüksek hassasiyetli çarpma algoritmaları dahil ); ve saf matematiğin kendi içinde, π'nin basamaklarının rastgeleliğini değerlendirmek için veri sağlar .

Hızlı yakınsak seriler

Bir adamın fotoğraf portresi
Hindistan'da izole bir şekilde çalışan Srinivasa Ramanujan , π hesaplaması için birçok yenilikçi seri üretti .

Modern π hesap makineleri, yalnızca yinelemeli algoritmaları kullanmaz. 1980'lerde ve 1990'larda, yinelemeli algoritmalar kadar hızlı, ancak daha basit ve daha az bellek yoğun olan yeni sonsuz seriler keşfedildi. Hintli matematikçi Srinivasa Ramanujan , π için zarafetleri, matematiksel derinlikleri ve hızlı yakınsamalarıyla dikkat çeken düzinelerce yenilikçi yeni formül yayınladığı 1914 yılında, hızlı yinelemeli algoritmalar bekleniyordu . Modüler denklemlere dayanan formüllerinden biri ,

Bu seri, Machin formülü de dahil olmak üzere çoğu arctan serisinden çok daha hızlı yakınsar. Bill Gosper , 1985'te 17 milyon basamaklı bir rekor kırarak , π'nin hesaplanmasındaki ilerlemeler için ilk kullanan kişi oldu. Ramanujan'ın formülleri, Borwein kardeşler ( Jonathan ve Peter ) ve Chudnovsky kardeşler tarafından geliştirilen modern algoritmaları öngördü . Chudnovsky formül 1987'de geliştirilmiş

Terim başına yaklaşık 14 basamak π üretir ve Chudnovsky kardeşler tarafından 1989'da 1 milyar (10 9 ) basamağı aşan ilk , 2011'de 10 trilyon (10 13 ) basamak dahil olmak üzere birçok rekor kıran π hesaplaması için kullanılmıştır. Alexander Yee ve Shigeru Kondo tarafından, 2016'da Peter Trueb tarafından 22 trilyondan fazla ve 2020'de Timothy Mullican tarafından 50 trilyondan fazla rakam. Benzer formüller için Ramanujan–Sato serisine de bakınız .

2006'da matematikçi Simon Plouffe , π için aşağıdaki şablona uyan birkaç yeni formül oluşturmak için PSLQ tamsayı ilişki algoritmasını kullandı :

burada q, olduğu e π (gelfond sabiti), k, bir bir tek sayı ve bir , b , c Plouffe hesaplanan kesin rasyonel sayılardır.

Monte Carlo yöntemleri

Genişliği t olan şeritler üzerine dağılmış ℓ uzunluğundaki iğneler
Buffon'un iğnesi . a ve b iğneleri rastgele atılıyor.
Bir kareyi ve kareye yazılmış bir daireyi rastgele kaplayan binlerce nokta.
Rastgele noktalar, içinde bir daire bulunan bir karenin çeyreğine yerleştirilir.
Rastgele denemelere dayanan Monte Carlo yöntemleri , π'ye yaklaşmak için kullanılabilir .

Birden fazla rastgele denemenin sonuçlarını değerlendiren Monte Carlo yöntemleri , π'nin yaklaşımlarını oluşturmak için kullanılabilir . Buffon'la iğne uzunluğu bir iğne ise: böyle bir tekniktir damlatılır , n paralel çizgiler çizilir olduğu bir yüzey üzerinde katı t ise ayrı birimleri ve x geliyor bu kez bir çizgi (enine dinlenmeye x  sonra> 0), sayımlara bağlı olarak π'ye yaklaşılabilir :

π hesaplamak için başka bir Monte Carlo yöntemi , bir kareye yazılmış bir daire çizmek ve kareye rastgele noktalar yerleştirmektir. Daire içindeki noktaların toplam nokta sayısına oranı yaklaşık olarak π/4'e eşit olacaktır .

200 adımda beş rastgele yürüyüş. Örnek ortalama | B 200 | olduğu μ = 56/5 ve böylece 2 (200), μ -2 ≈ 3.19 içinde 0.05 arasında tt .

Hesaplamak için başka bir yolu da π olasılık kullanarak bir ile başlamaktır rastgele yürüme (adil) para fırlatır bir dizi tarafından üretilen: bağımsız rastgele değişkenler X k , öyle ki X, k ∈ {1,1} eşit olasılıklarda. İlişkili rastgele yürüyüş

böylece her biri için, bu n , W , n çekilir kaydırılan ve ölçekli bir binom dağılımını . Olarak , n , değişir W , n , bir (ayrık) tanımlayan stokastik süreci . Daha sonra π ile hesaplanabilir

Bu Monte Carlo yöntemi çemberlerle olan herhangi bir ilişkiden bağımsızdır ve aşağıda tartışılan merkezi limit teoreminin bir sonucudur .

π'ye yaklaşmak için kullanılan bu Monte Carlo yöntemleri , diğer yöntemlere kıyasla çok yavaştır ve elde edilen tam basamak sayısı hakkında herhangi bir bilgi sağlamaz. Bu nedenle , hız veya doğruluk istendiğinde asla π'ye yaklaşmak için kullanılmazlar .

tıkaç algoritmaları

1995 yılında π ile ilgili yeni araştırma yolları açan iki algoritma keşfedildi . Bunlara tıkaç algoritmaları denir , çünkü bir musluktan damlayan su gibi , hesaplandıktan sonra tekrar kullanılmayan tek basamaklı π üretirler . Bu, nihai sonuç üretilene kadar tüm ara basamakları tutan ve kullanan sonsuz seri veya yinelemeli algoritmaların aksine.

Matematikçiler Stan Wagon ve Stanley Rabinowitz 1995 yılında basit bir tıkaç algoritması ürettiler. Hızı arctan algoritmalarıyla karşılaştırılabilir, ancak yinelemeli algoritmalar kadar hızlı değil.

Başka bir tıkaç algoritması olan BBP basamak çıkarma algoritması , 1995 yılında Simon Plouffe tarafından keşfedildi:

Bu formül, kendinden öncekilerin aksine , önceki tüm rakamları hesaplamadan π'nin herhangi bir onaltılık basamağını üretebilir . Bireysel ikili basamaklar, tek tek onaltılık basamaklardan çıkarılabilir ve sekizli basamaklar bir veya iki onaltılık basamaktan çıkarılabilir. Algoritmanın varyasyonları keşfedildi, ancak henüz ondalık basamakları hızla üreten bir basamak çıkarma algoritması bulunamadı. Rakam çıkarma algoritmalarının önemli bir uygulaması, kayıt π hesaplamalarının yeni iddialarını doğrulamaktır : Yeni bir kayıt talep edildikten sonra, ondalık sonuç onaltılı sayıya dönüştürülür ve ardından, sona yakın birkaç rastgele onaltılık basamağı hesaplamak için bir sayı çıkarma algoritması kullanılır; eşleşirlerse, bu, tüm hesaplamanın doğru olduğuna dair bir güven ölçüsü sağlar.

1998 ve 2000 yılları arasında dağıtılmış işlem proje PiHex kullanılan Bellard formülü katrilyonda (10 hesaplamak için (BBP algoritmasının bir modifikasyonunu) 15 inci biti) tt Eylül 2010 tarihinde 0. olduğu ortaya çıktı, Yahoo! Çalışan şirketin kullanılan Hadoop'un 256 hesaplamak için 23 günlük bir süre içinde bin bilgisayarlarda uygulama bit arasında tt , iki katrilyonda (2 x 10 de 15 aynı zamanda sıfır olması umulur inci) biti,.

Matematikte rol ve tanımlamalar

Çünkü π yakın daire ile ilgilidir, bu bulunan birçok formüller geometri ve trigonometri alanlarında, özellikle de ilgili çevrelerde, küre veya elips gelen. Böyle istatistik, fizik gibi bilimin diğer dalları, Fourier analizi , ve sayılar teorisi, aynı zamanda dahil π onların önemli formüllerin bazılarında.

Geometri ve trigonometri

Dairenin sağ üst çeyreğini kaplayan bir kare içeren bir daire diyagramı.
Dairenin alanı, taralı alanın π katına eşittir . Alan birim çember olup π .

π , elips , küre , koni ve tori gibi dairelere dayalı geometrik şekillerin alanları ve hacimleri için formüllerde görünür . Aşağıda π içeren daha yaygın formüllerden bazıları verilmiştir .

  • Yarıçapı olan bir dairenin çevresi r olan r .
  • Bir dairenin alanı yarıçapı ile r olan π r 2 .
  • Yarıçapı ile bir kürenin hacmi r olan4/3π r 3 .
  • Yarıçaplı bir küre yüzey alanı r olan r 2 .

Formüller Yukarıda hacminin özel durumlardır n boyutlu top ve sınır, yüzey alanının ( n -1) boyutlu küre verilen aşağıdaki .

Paralel destek çizgileri arasındaki mesafe olarak bir Reuleaux üçgeninin genişliğini ölçmek . Bu mesafe çizgilerin yönüne bağlı olmadığından, Reuleaux üçgeni sabit genişlikte bir eğridir.

Dairelerin dışında , sabit genişlikte (orbiformlar) başka eğriler de vardır . Tarafından Barbier'in teoremi , sabit genişlikte her eğri çevre sahip π kat genişliği. Reuleaux üçgen (üç dairenin kesişmesiyle oluşur, her bir diğer iki daire çapraz burada ortalanmış) genişliği ve dairenin en mümkün olan en küçük bir alana sahiptir. Sabit genişlikte dairesel olmayan düz eğriler de vardır .

Daireler tarafından oluşturulan şekillerin çevresini, alanını veya hacmini tanımlayan belirli integraller tipik olarak π içeren değerlere sahiptir . Örneğin, yarıçapı 1 olan bir dairenin alanının yarısını belirten bir integral şu ​​şekilde verilir:

Bu integralde 1 −  x 2 işlevi bir dairenin üst yarısını temsil eder ( karekökü Pisagor teoreminin bir sonucudur ) ve integralini temsil eder.1
-1
dairenin bu yarısı ile x ekseni arasındaki alanı hesaplar .

Fonksiyonların grafiklerini gösteren diyagram
Sinüs ve kosinüs fonksiyonları 2 π periyodu ile tekrarlanır .

Trigonometrik fonksiyonlar açıları dayanır ve matematikçiler genellikle ölçüm birimi olarak radyan kullanın. π , tam bir dairenin 2 π radyanlık bir açıyı kapsadığı şekilde tanımlanan radyan cinsinden ölçülen açılarda önemli bir rol oynar . 180°'lik açı ölçüsü π radyana ve 1° = π /180 radyana eşittir .

Ortak trigonometrik fonksiyonlar, π'nin katları olan periyotlara sahiptir ; örneğin, sinüs ve kosinüs 2 π periyoduna sahiptir , bu nedenle herhangi bir θ açısı ve herhangi bir k tamsayısı için ,

özdeğerler

İmalar titreşen dize olan özfonksiyonlar ikinci türevinin ve bir formu harmonik ilerlemesi . İlişkili özdeğerler , π'nin tamsayı katlarının aritmetik ilerlemesini oluşturur .

π'nin matematik ve bilim formüllerindeki görünüşlerinin çoğu, onun geometriyle yakın ilişkisiyle ilgilidir. Bununla birlikte π , görünüşe göre geometri ile ilgisi olmayan birçok doğal durumda da ortaya çıkar.

Birçok uygulamada, bir özdeğer olarak seçkin bir rol oynar . Örneğin, idealleştirilmiş bir titreşen sicim , sabit uçları f (0) = f (1) = 0 olan [0,1] birim aralığında bir f fonksiyonunun grafiği olarak modellenebilir . İpin titreşim modları, diferansiyel denklemin çözümleri veya . Böylece λ , ikinci türev operatörünün bir özdeğeridir ve Sturm-Liouville teorisi tarafından yalnızca belirli belirli değerleri alması için sınırlandırılmıştır . Operatör negatif tanımlı olduğundan pozitif olmalıdır, bu nedenle λ = ν 2 yazmak uygundur , burada ν > 0 dalga sayısı olarak adlandırılır . O halde f ( x ) = sin(π x ) sınır koşullarını ve diferansiyel denklemi ν = π ile karşılar .

π değeri aslında dalga sayısının en küçük değeridir ve sicimin temel titreşim modu ile ilişkilidir . Bunu göstermek için bir yolu tahmin tarafından enerji , tatmin Wirtinger eşitsizliği bir işlev için: f  : [0, 1] → ile f (0) = f (1) = 0 ve f , f ' her iki kare entegre edilebilir , elimizdeki :

f sin(π x ) ' in bir katı olduğunda eşitlikle . Burada π , Wirtinger eşitsizliğinde optimal bir sabit olarak görünür ve özdeğerin değişken karakterizasyonunu kullanarak bunun en küçük dalga sayısı olduğu sonucu çıkar . Sonuç olarak π , her iki uç noktada da ( Sobolev uzayı ) kaybolan [0,1] üzerindeki fonksiyonların uzayı üzerindeki türev operatörünün en küçük tekil değeridir .

eşitsizlikler

Kartaca antik kenti naklettiğine göre bir efsaneye göre, bir isoperimetric sorununa çözüm oldu Lord Kelvin ( 1894 Thompson o denize kıyısı olan topraklarda:) Kraliçe Dido şeritler halinde, tek verilen öküz derisi içinde tüm diğer tarafta kesim içine olabilir.

π sayısı , daha yüksek boyutlu analizde benzer özdeğer problemlerinde görünür. Yukarıda bahsedildiği gibi , izoperimetrik eşitsizlikteki en iyi sabit rolüyle karakterize edilebilir : P çevre düzleminin Jordan eğrisi tarafından çevrelenen A alanı eşitsizliği sağlar.

ve eşitlik daire için açıkça elde edilir, çünkü bu durumda A = π r 2 ve P = 2π r .

Nihai olarak izoperimetrik eşitsizliğin bir sonucu olarak, π , n boyuttaki kritik Sobolev eşitsizliği için optimal sabitte görünür ve böylece π'nin birçok fiziksel olaydaki rolünü karakterize eder , örneğin klasik potansiyel teorisindekiler . İki boyutta, kritik Sobolev eşitsizliği,

için f kompakt desteği ile düzgün bir fonksiyonu R 2 , bir gradyan ve f , ve ve sırasıyla bakınız L 2 ve L 1 -norm . Sobolev eşitsizliği, aynı en iyi sabitlerle (herhangi bir boyutta) izoperimetrik eşitsizliğe eşdeğerdir.

Wirtinger eşitsizliği daha yüksek boyutlu ile genelleştirildiğinde Poincaré eşitsizlikler en iyi sabitleri sağlamak Dirichlet enerjisinin bir ait n boyutlu zarı. Spesifik olarak, π en büyük sabittir, öyle ki

tüm konveks alt- G arasında R , n çapı 1 ve kare İntegrallenebilir fonksiyonlar u ile G ortalama sıfır. Wirtinger eşitsizliği olması gibi varyasyon formu Dirichlet özdeğer tek boyutta soruna, Poincare eşitsizliği ait varyasyon şeklidir Neumann herhangi bir boyutta, özdeğer problemi.

Fourier dönüşümü ve Heisenberg belirsizlik ilkesi

Heisenberg grubu, izoperimetri ve sabit π arasındaki yakın bağlantıyı gösteren , Heisenberg grubundaki bir jeodezik animasyonu . Jeodezinin kümülatif yüksekliği, birim çemberin taralı kısmının alanına eşittir, yay uzunluğu ise ( Carnot-Carathéodory metriğinde ) çevreye eşittir.

π sabiti ayrıca Fourier dönüşümünde kritik bir spektral parametre olarak görünür . Bu, aşağıdaki gibi tanımlanan fonksiyona gerçek satırda karmaşık değerli bir integrallenebilir fonksiyon f alan integral dönüşümdür :

Fourier dönüşümü ve tersi için birkaç farklı uzlaşım olmasına rağmen, böyle bir uzlaşımın bir yerde π içermesi gerekir . Yukarıdaki benzersiz üniter operatör veren, ancak, en çok standart tanımı L 2 de bir cebri homomorfizma L 1 için L .

Heisenberg belirsizlik ilkesi de sayı içerir tt . Belirsizlik ilkesi, bir fonksiyonu hem uzayda hem de frekansta yerelleştirmenin ne ölçüde mümkün olduğuna dair keskin bir alt sınır verir: Fourier dönüşümüne ilişkin sözleşmelerimizle,

Kuantum mekanik bir sistemin eşzamanlı konum ve momentum gözlemlerindeki belirsizlik hakkındaki fiziksel sonuç aşağıda tartışılmaktadır . Fourier analizinin formüllerinde π'nin görünümü , nihayetinde , Heisenberg grubunun Schrödinger temsilinin benzersizliğini öne süren Stone-von Neumann teoreminin bir sonucudur .

Gauss integralleri

Gauss fonksiyonunun bir grafiği ƒ ( x ) = e - x 2 . Fonksiyon ve x ekseni arasındaki renkli bölge π alanına sahiptir .

Olasılık ve istatistik alanları, karmaşık fenomenler için basit bir model olarak sıklıkla normal dağılımı kullanır ; örneğin, bilim adamları genellikle çoğu deneydeki gözlemsel hatanın normal bir dağılım izlediğini varsayar. Gauss fonksiyonu olan, olasılık yoğunluk fonksiyonu normal dağılımın ortalama ^ ı ve standart sapma σ , doğal olarak içeren π :

F faktörü, bir olasılık dağılımı için gerekli olduğu gibi, f grafiğinin altındaki alanı bire eşit yapar. Bu , Gauss integralindeki değişkenlerin değişmesinden kaynaklanır :

bu , şekildeki temel çan eğrisinin altındaki alanın π'nin kareköküne eşit olduğunu söylüyor .

π , tek boyutlu bir Wiener işleminin sıfırlarının dağılımından hesaplanabilir

Merkezi limit teoremi , normal dağılımların merkezi bir rol açıklar ve böylece bir tt olasılık ve istatistik. Bu teoremi sonuçta bağlanır spektral karakterizasyonu ve tt Heisenberg belirsizlik prensibi ile bağlantılı özdeğer ve eşitliğin ancak Gauss fonksiyonu için belirsizlik prensip olarak tutar faktörlere de bağlıdır. Eşdeğer olarak, π , Gauss normal dağılımını e x 2'yi kendi Fourier dönüşümüne eşit yapan benzersiz sabittir . Gerçekten de Howe'a (1980) göre , Fourier analizinin temel teoremlerini oluşturmanın "bütün işi" Gauss integraline indirgenir.

projektif geometri

V adi diferansiyel denklemi sağlayan tüm iki kez türevlenebilir reel fonksiyonların kümesi olsun . O halde V , diferansiyel denklem için bir çift başlangıç ​​koşuluna karşılık gelen iki parametre ile iki boyutlu bir gerçek vektör uzayıdır . Herhangi biri için , t gerçek noktasında f fonksiyonunun değerini her biri ile ilişkilendiren değerlendirme fonksiyoneli olsun . Daha sonra, her biri için t , çekirdek arasında bir tek boyutlu doğrusal alt uzay olan V . Dolayısıyla gerçek çizgiden gerçek yansıtmalı çizgiye bir fonksiyon tanımlar . Bu fonksiyon periyodiktir ve π miktarı bu haritanın periyodu olarak karakterize edilebilir.

topoloji

Bir örnekleme ve Klein quartic , bir yüzey cinsi üç Euler karakteristik -4, bir bölüm olarak hiperbolik düzlemine göre simetrik grubu PSL (2,7) arasında Fanø düzlemi . Gauss– Bonnet'e göre bir temel alanın hiperbolik alanı 8π'dir .

Sabitin π olarak görünür Gauss Bonnet formül ile ilgilidir yüzeylerin diferansiyel geometrisi kendi için topoloji . Spesifik olarak, eğer bir kompakt yüzey Σ , Gauss eğriliğine K sahipse , o zaman

burada χ ( Σ ) olan Euler karakteristiği bir tamsayıdır. Bir örnek, eğrilik 1'in bir S küresinin yüzey alanıdır (böylece yarıçapı ile çakışan eğrilik yarıçapı da 1'dir). Bir kürenin Euler özelliği, homoloji gruplarından hesaplanabilir ve şu şekilde bulunur: ikiye eşit. Böylece biz var

Yarıçapı 1 olan bir kürenin yüzey alanı formülünü yeniden üretiyoruz.

Sabit, topolojideki diğer birçok integral formülde, özellikle Chern-Weil homomorfizmi aracılığıyla karakteristik sınıfları içerenlerde görünür .

vektör hesabı

Vektör hesabı teknikleri, küresel harmoniklere ayrışma açısından anlaşılabilir (gösterilmiştir)

Vektör hesabı , vektör alanlarının özellikleri ile ilgilenen ve elektrik ve manyetizma gibi birçok fiziksel uygulamaya sahip olan bir analiz dalıdır . Newton potansiyel bir nokta kaynak için Q sistemi koordinat üç boyutlu bir Kartezyen kökeni yer

uzaklığa yerleştirilmiş bir birim kütlenin (veya yükün) potansiyel enerjisini temsil eder | x | kaynaktan ve k boyutsal bir sabittir. (Newton) yerçekimi alanı veya (Coulomb) elektrik alanı olabilen, burada E ile gösterilen alan , potansiyelin negatif gradyanıdır :

Özel durumlar Coulomb yasasını ve Newton'un evrensel yerçekimi yasasını içerir . Gauss yasası , alanın orijini içeren herhangi bir pürüzsüz, basit, kapalı, yönlendirilebilir yüzeyden ( S) dışarıya doğru akışının 4 π kQ'ya eşit olduğunu belirtir :

\ yağ

Bu faktörünü k sabitine soğurmak standarttır , ancak bu argüman onun neden bir yerde görünmesi gerektiğini gösterir . Ayrıca, birim kürenin yüzey alanıdır, ancak S'nin küre olduğunu varsaymadık . Bununla birlikte, bir sonucu olarak diverjans teoremi , kökenli uzak bölge vakum olduğu için (kaynak içermez) sadece bir homoloji sınıfı yüzeyi S olarak R 3 \ {0} o entegrali hesaplanmasında maddeler, bu nedenle aynı homoloji sınıfındaki herhangi bir uygun yüzey, özellikle de integrali hesaplamak için küresel koordinatların kullanılabileceği bir küre ile değiştirilebilir.

Gauss kanunun bir sonucu negatif olmasıdır Laplace potansiyel V eşittir kO kez Dirac delta fonksiyonu :

Maddenin (veya yükün) daha genel dağılımları, bundan evrişim yoluyla elde edilir ve Poisson denklemini verir.

burada ρ dağılım fonksiyonudur.

Einstein'ın denklemi, uzay-zamanın eğriliğinin madde-enerji içeriği tarafından üretildiğini belirtir.

Sabit π da ilişkili dört boyutlu potansiyellerinde analog bir rol oynamaktadır Einstein denklemlerinin , temelini oluşturan temel bir formül görelilik genel teorisi ve tarif etkileşiminin temel bir yerçekimi sonucunda uzay- olan kavisli göre madde ve enerji :

burada R, μν olan Ricci eğrilik tensörü , R, bir skaler eğrilik , g μν olan metrik tensör , Λ olan kozmolojik sabit , G, bir Newton yerçekimi sabiti , C olan ışık hızı vakumda ve T μν olan stres enerji tensörü . Einstein denkleminin sol tarafı, metrik tensörün Laplacian'ının lineer olmayan bir analoğudur ve terimin bir Lagrange çarpanı rolü oynamasıyla zayıf alan limitine indirgenir ve sağ taraf ise dağıtım fonksiyonunun analogu, çarpı .

Cauchy integral formülü

Karmaşık analitik fonksiyonlar, bir akım çizgileri ve eş potansiyeller topluluğu, dik açılarda kesişen eğri sistemleri olarak görselleştirilebilir. Burada Gama fonksiyonunun karmaşık logaritması gösterilmiştir.

Anahtar araçları bir kompleks analiz olan kontur entegrasyonu pozitif doğrultuda (üzerinde bir fonksiyonun doğrultulabilir ) Jordan eğri y . Bir form Cauchy integral formülü durumları bir nokta şudur: eğer Z 0 içinde olduğuna y , daha sonra

γ eğrisi bir daire olmamasına ve dolayısıyla π sabitiyle açık bir bağlantısı olmamasına rağmen , bu sonucun standart bir kanıtı Morera teoremini kullanır ; bu, integralin eğrinin homotopisi altında değişmez olduğunu ima eder. bir daireye deforme olur ve daha sonra kutupsal koordinatlara açıkça entegre edilir. Daha genel olarak, eğer doğrultulabilir bir kapalı eğri γ z 0 içermiyorsa , yukarıdaki integralin i çarpı eğrinin sarma sayısı olduğu doğrudur .

Cauchy integral formülünün genel bir şekli, değerleri arasındaki ilişki kurar kompleks analitik fonksiyon f ( Z ) Jordan eğri ile y ve değeri f ( z ) herhangi bir iç noktasında z 0 ve y :

sağlanan f ( z ) , γ ile çevrelenen bölgede analitiktir ve sürekli olarak γ'ye uzanır . Cauchy integral formülünün bir özel bir durumdur Tortu teoremi , eğer gr ( Z ) a, meromorfik fonksiyonu çevrelediği bölge y ve bir bölgesinde sürekli olan y , daha sonra

burada toplam ait kalıntılarının en kutup arasında gr ( Z ) .

Gama fonksiyonu ve Stirling'in yaklaşımı

Hopf Faybreyşın 3-küre, VILLARCEAU çevrelerinde üzerinde kompleks yansıtmalı hattı onun ile Fubini-Çalışma metrik (üç paralellikler gösterilmiştir). S 3 (1)/ S 2 (1) = π/2 özdeşliği bir sonuçtur .

Faktöriyel fonksiyon n ! yoluyla Pozitif sayının tüm ürünüdür n . Gamma işlevi kavramını uzanan faktör negatif reel tamsayılar dışındaki tüm kompleks sayılara (normal olarak negatif tamsayı için tanımlanır). Gama fonksiyonu yarı tamsayılarda değerlendirildiğinde, sonuç π içerir ; örneğin ve .

Gama işlevi, Weierstrass ürün geliştirmesiyle tanımlanır :

burada γ olan Euler-Mascheroni sabiti . z = 1/2'de değerlendirilir ve karesi alınır, Γ(1/2) 2 = π denklemi Wallis ürün formülüne indirgenir. Gama fonksiyonu aynı zamanda Riemann zeta fonksiyonuna ve π sabitinin önemli bir rol oynadığı fonksiyonel determinantın özdeşliğine de bağlıdır .

Gama fonksiyonu hacmi hesaplamak için kullanılan V N ( r ) bir n- boyutlu top yarıçapı r Öklid içinde n- boyutlu alan ve yüzey alanı S , n -1 ( r ) olan sınır, ( n -1 )-boyutlu küre :

Ayrıca, fonksiyonel denklemden şu sonuç çıkar:

Gama işlevi, faktöriyel işlev n !' ye basit bir yaklaşım oluşturmak için kullanılabilir . büyük n için : Stirling'in yaklaşımı olarak bilinir . eşdeğer olarak,

Stirling'in yaklaşımının geometrik bir uygulaması olarak, Δ n , n -boyutlu Öklid uzayında standart simpleksi göstersin ve ( n  + 1)Δ n , tüm kenarları n  + 1 faktörü ile büyütülmüş olan simpleksi göstersin . Sonra

Ehrhart'ın hacim varsayımı , bunun yalnızca bir kafes noktası içeren dışbükey bir cismin hacmindeki (optimal) üst sınır olduğudur .

Sayı teorisi ve Riemann zeta fonksiyonu

Her asal sayı , çemberin aritmetik lokalizasyonları olan ilişkili bir Prüfer grubuna sahiptir . L-fonksiyonlar analitik sayı teorisi da her bir taban lokalizedir p .
Kullanılarak, Basel sorunun çözümü Weil varsayım : değeri Ç (2) olup , hiperbolik bir temel etki alanı modüler grubu , saat π / 2 .

Riemann zeta fonksiyonu ζ ( ler ) matematik birçok alanda kullanılır. s = 2'de değerlendirildiğinde şu şekilde yazılabilir:

Bu sonsuz seri için basit bir çözüm bulmak , matematikte Basel problemi olarak adlandırılan ünlü bir problemdi . Leonhard Euler bunu 1735'te π 2 /6'ya eşit olduğunu göstererek çözdü . Euler'in sonucu , iki rasgele sayının göreceli olarak asal olma olasılığının (yani, hiçbir paylaşılan faktöre sahip olmayan) 6/π 2'ye eşit olduğu sayı teorisi sonucuna götürür . Bu olasılık, herhangi bir sayının bir p asalına bölünebilme olasılığının 1/ p olduğu gözlemine dayanır (örneğin, her 7. tamsayı 7'ye bölünebilir). Dolayısıyla iki sayının ikisinin de bu asal sayıya bölünebilme olasılığı 1'dir. / p 2 ve bunlardan en az birinin olmama olasılığı 1 - 1/ p 2'dir . Farklı asal sayılar için bu bölünebilirlik olayları karşılıklı olarak bağımsızdır; bu nedenle, iki sayının göreceli olarak asal olma olasılığı, bir çarpım tarafından tüm asal sayılar üzerinden verilir:

Bu olasılık, bir ile bağlantılı olarak kullanılabilen bir rasgele sayı üreteci yaklaştığı π Monte Carlo yaklaşımı kullanılarak.

Basel probleminin çözümü, geometrik olarak türetilen π miktarının asal sayıların dağılımına derin bir şekilde bağlı olduğunu ima eder . Bu, Weil'in Tamagawa sayılarına ilişkin varsayımının özel bir durumudur; bu, aritmetik niceliklerin benzer sonsuz ürünlerinin , her bir p asalında lokalize ve bir geometrik niceliğin eşitliğini ileri sürer : belirli bir yerel simetrik uzayın hacminin tersi . Basel probleminde, hiperbolik 3-manifold SL 2 ( R ) / SL 2 ( Z ) olur .

Zeta işlevi ayrıca Riemann'ın gama işlevinin yanı sıra π'yi de içeren işlevsel denklemini de karşılar :

Ayrıca, zeta fonksiyonunun türevi aşağıdakileri sağlar:

Bir sonucu olduğunu π elde edilebilir fonksiyonel belirleyici bir harmonik osilatör . Bu işlevsel belirleyici, bir ürün genişletmesi yoluyla hesaplanabilir ve Wallis ürün formülüne eşdeğerdir. Hesaplama içinde yeniden dökülebilir kuantum mekaniği , özellikle varyasyon yaklaşım için hidrojen atomunun spektrumu .

Fourier serisi

π , bir Prüfer grubunun öğeleri olan p-adic sayılarının (gösterilen) karakterlerinde görünür . Tate'in tezi bu makineyi yoğun bir şekilde kullanıyor.

Sabit π da doğal olarak görünür Fourier serilerinin ait periyodik fonksiyonlar . Periyodik fonksiyonlar, reel sayıların kesirli kısımlarının T = R / Z grubundaki fonksiyonlardır . Kompleks değerli fonksiyonu Fourier ayrışma gösterir f ile T sonsuz doğrusal bindirme olarak yazılabilir üniter karakter arasında T . Kendisine, sürekli grup homorfizmleri gelen T için çember grubu U (1) birim modülü karmaşık sayılar. T'nin her karakterinin karmaşık üstellerden biri olduğu bir teoremdir .

T üzerinde karmaşık konjugasyona kadar benzersiz bir karakter vardır , bu bir grup izomorfizmidir. Daire grubundaki Haar ölçüsünü kullanarak, π sabiti , bu karakterin Radon-Nikodym türevinin büyüklüğünün yarısıdır . Diğer karakterler, büyüklükleri 2 π'nin pozitif tam katları olan türevlere sahiptir . Sonuç olarak, π sabiti , Haar ölçüsü ile donatılmış T grubunun , 2 π'nin tam katlarının kafesine Pontrjagin ikilisi olacak şekilde benzersiz bir sayıdır . Bu, tek boyutlu Poisson toplama formülünün bir versiyonudur .

Modüler formlar ve teta fonksiyonları

Teta fonksiyonları , eliptik bir eğrinin periyotları kafesi altında dönüşür .

Sabit π , modüler formlar teorisi ve teta fonksiyonları ile derin bir şekilde bağlantılıdır . Örneğin, Chudnovsky algoritması temel bir şekilde içerir j-değişmeyen bir bölgesinin eliptik eğri .

Modüler formları olan holomorfik işlevleri de üst yarı düzlemin altında dönüşüm özellikleri ile karakterize edilen modüler grup (ya da çeşitli alt) grubundaki bir kafes . Bir örnek Jacobi teta işlevidir

bu, Jacobi formu adı verilen bir tür modüler formdur . Bu bazen nome cinsinden yazılır .

Sabit π bir işlev teta Jacobi hale özgü sabit otomorf formu bu belirli bir şekilde dönüştüren araçları. Tüm otomorfik formlar için belirli kimlikler geçerlidir. Bir örnek

bu, θ'nin ayrık Heisenberg grubu altında bir temsil olarak dönüşümünü ima eder . Genel modüler formlar ve diğer teta fonksiyonları da Stone-von Neumann teoremi nedeniyle bir kez daha π içerir .

Cauchy dağılımı ve potansiyel teorisi

Agnesi cadı adını, Maria Agnesi (1718-1799), auchy dağılımının grafik bir geometrik yapı.

Cauchy dağılımı

bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur . Toplam olasılık, integral nedeniyle bire eşittir:

Shannon entropi Cauchy dağılımının eşit ln (4π) da içerir, π .

Cauchy dağılımı, Brown parçacıklarının bir zardan geçişini yönetir .

Cauchy dağılımı potansiyel teoride önemli bir rol oynar, çünkü en basit Furstenberg ölçüsüdür , yarım düzlemde bir Brownian hareketiyle ilişkili klasik Poisson çekirdeği . Eşlenik harmonik fonksiyonlar ve dolayısıyla Hilbert dönüşümü de Poisson çekirdeğinin asimptotikleri ile ilişkilidir. Hilbert dönüşümü H entegral ile verilir dönüşümü olan Cauchy asıl değer arasında tekil integrali

π sabiti , benzersiz (pozitif) normalleştirme faktörüdür, öyle ki H , gerçek çizgi üzerinde kare-integre edilebilir gerçek değerli fonksiyonların Hilbert uzayı üzerinde doğrusal bir karmaşık yapı tanımlar . Fourier dönüşümü, Hilbert alanı üzerindeki dönüşüm özellikleri açısından tamamen karakterize edilebilir gibi Hilbert dönüşümü, L 2 ( R ) : yukarı bir normalizasyon katsayısı için, benzersiz sınırlı lineer operatörü pozitif dilatasyon ve anti ile değiştirilirse gerçek çizginin tüm yansımaları ile gidip gelir. Sabit π , bu dönüşümü üniter yapan benzersiz normalleştirme faktörüdür.

karmaşık dinamikler

Mavi arka planda karmaşık siyah bir şekil.
π , (−0.75, ε ) noktası sapmadan önce gereken yineleme sayısı sayılarak Mandelbrot kümesinden hesaplanabilir .

Bir olay tt içinde Mandelbrot kümesi fraktal O hiç "boyun" yakın Mandelbrot kümesi davranışını incelendiğinde 1991 yılında David Boll tarafından keşfedildi (-0.75, 0) . Koordinatlı noktalar halinde (-0.75, ε ) kabul edildiğinden, ε sıfır eğilimi, nokta için sapma kadar yineleme sayısı ile çarpılarak ε yakınsak için π . Nokta (0.25 + ε , 0) Mandelbrot'un sağ tarafında büyük "vadi" zirve dozunda aynı şekilde davranır set: yineleme sayısının diverjansı karekökü ile çarpılır kadar ε eğilimindedir tt .

matematik dışında

Fiziksel olayları tanımlama

Fiziksel bir sabit olmasa da , π , genellikle π'nin daire ve küresel koordinat sistemleriyle olan ilişkisi nedeniyle, evrenin temel ilkelerini tanımlayan denklemlerde rutin olarak görünür . Alanında basit bir formül klasik mekanik süreyi yaklaşık veren T basit bir sarkaç uzunluğu L (küçük genlikli salınım, g olan yerçekimi ivmesi ):

Temel formüllerin bir kuantum mekaniği olan Heisenberg belirsizlik ilkesini bir partikülün konum ölçümü belirsizlik (Δ bu gösterir, x ) ve hızs her ikisi de aynı zamanda (isteğe bağlı olarak küçük olamaz) h olan Planck sabitesi ):

Aslında π 3'e yaklaşık olarak eşit olduğu, nispeten uzun kullanım ömrü önemli bir rol oynar ortopozitronyumun . En düşük için ters süresi ince yapı sabiti a olan

burada m elektronun kütlesidir.

π uzunluğu L , elastisite modülü E ve alan atalet momenti I'in burkulmadan taşıyabileceği maksimum eksenel yükü F veren Euler tarafından türetilen burkulma formülü gibi bazı yapısal mühendislik formüllerinde mevcuttur. :

Alan akışkan dinamiği içeren TT içinde Stokes hakları yaklaşır, sürtünme kuvveti F , küçük üzerine uygulanan küresel çapı nesneleri R hızı ile hareket eden, v bir de sıvı ile dinamik viskozite r | :

Elektromanyetikte, vakum geçirgenlik sabiti μ 0 , elektrik ve manyetik alanların ve elektromanyetik radyasyonun özelliklerini tanımlayan Maxwell denklemlerinde görünür . 20 Mayıs 2019'dan önce tam olarak şu şekilde tanımlanıyordu:

Işığın boşluktaki hızı için bir bağıntı , c , SI birimlerinde μ 0 ve elektrik sabiti (vakum geçirgenliği) , ε 0 arasındaki bir ilişki kullanılarak klasik vakum ortamında Maxwell denklemlerinden türetilebilir :

İdeal şartlar (homojen aşınabilir alt-tabaka üzerinde muntazam hafif eğim) altında, kıvrım a kıvrımlı nehir yaklaşımlar tt . Sinuosity, gerçek uzunluk ile kaynaktan ağza olan düz çizgi mesafesi arasındaki orandır. Bir nehrin kıvrımlarının dış kenarları boyunca daha hızlı akıntılar, iç kenarlardan daha fazla erozyona neden olur, böylece kıvrımları daha da dışarı iter ve nehrin genel kıvrımlılığını arttırır. Bununla birlikte, bu döngü sonunda nehrin kendi üzerine iki katına çıkmasına ve "kısa devre" yapmasına neden olarak süreçte bir öküz yayı gölü oluşturur . Bu iki karşıt faktör arasındaki denge , gerçek uzunluk ile kaynak ve ağız arasındaki doğrudan mesafe arasında ortalama bir π oranına yol açar .

Rakamları ezberlemek

Pifiloloji , çok sayıda π rakamını ezberleme uygulamasıdır ve dünya rekorları Guinness Dünya Rekorları tarafından tutulur . Guinness Dünya Rekorları tarafından onaylanan π rakamlarını ezberleme rekoru , Hindistan'da Rajveer Meena tarafından 21 Mart 2015'te 9 saat 27 dakikada okunan 70.000 rakamdır. 2006'da, emekli bir Japon mühendis olan Akira Haraguchi , ezberden okuduğunu iddia etti. 100.000 ondalık basamak, ancak iddia Guinness Dünya Rekorları tarafından doğrulanmadı.

Yaygın bir teknik, kelime uzunluklarının π rakamlarını temsil ettiği bir hikayeyi veya şiiri ezberlemektir : İlk kelimenin üç harfi vardır, ikinci kelimenin bir, üçüncünün dört, dördüncünün bir, beşincinin beş ve yakın zamanda. Bu tür ezberleme yardımcılarına anımsatıcı denir . İlk olarak İngiliz bilim adamı James Jeans tarafından tasarlanan pi için bir anımsatıcının erken bir örneği , "Kuantum mekaniğini içeren ağır derslerden sonra tabii ki alkollü bir içki istiyorum." Bir şiir kullanıldığında, bazen bir turta olarak adlandırılır . İngilizce'ye ek olarak birkaç dilde π ezberlemek için şiirler yazılmıştır. Kayıt ayarlı π ezberleyiciler tipik olarak şiirlere güvenmezler, bunun yerine sayı kalıplarını ve lokus yöntemini hatırlama gibi yöntemleri kullanırlar .

Birkaç yazar , kelime uzunluklarının π'nin rakamlarını temsil etmesi gereken yeni bir kısıtlı yazı biçimi oluşturmak için π rakamlarını kullandı . Cadaeic Cadenza ilk 3835 basamak içerir tt , bu şekilde, tam boy bir kitap değil uyan 10,000 kelime, her birini temsil eden bir basamak içerir tt .

popüler kültürde

Delft Üniversitesi'nde Pi Pasta
Pi turtası. Pies dairesel, ve "pasta" ve π olan eşsesli sözcükler Pie pi sık rastlanan bir konu haline kelime oyunları .

Belki de tanımının basitliği ve formüllerde her yerde bulunması nedeniyle, π popüler kültürde diğer matematiksel yapılardan daha fazla temsil edilmiştir.

2008'de Açık Üniversite ve BBC belgesel ortak yapımı Matematik Hikayesi üzerine Ekim 2008'de yayınlanan, BBC Four , İngiliz matematikçi Marcus du Sautoy yakalanan görünen bir görselleştirme ait - - tarihsel ilk tam hesaplamak için formül tt Hindistan ziyaret ederken ve amaçlarını keşfetmek trigonometriye katkıları

In Palais de la Découverte (Paris'te bir bilim müzesi) olarak bilinen dairesel bir oda var pi odası . Duvarında 707 basamak π yazılıdır . Rakamlar, kubbe benzeri tavana tutturulmuş büyük ahşap karakterlerdir. Rakamlar, İngiliz matematikçi William Shanks tarafından 528. basamaktan başlayan bir hata içeren 1874 hesaplamasına dayanıyordu. Hata 1946'da tespit edildi ve 1949'da düzeltildi.

In Carl Sagan 'ın roman Contact evrenin yaratıcısı derin bir basamağı olan bir ileti gömülü ileri sürülmektedir tt . Haneleri tt de albümden şarkı "Pi" nin sözleri içine dahil edilmiştir Hava tarafından Kate Bush .

In Uzay Yolu bölüm Katlama Wolf , bir out-of-kontrol bilgisayarı "son basamağa Compute değerini değiştirme yönergesini tarafından bulunan tt " rağmen " π çözüm bulunmadan transandantal rakamdır".

Amerika Birleşik Devletleri'nde Pi Günü 14 Mart'a denk gelir (ABD tarzında 3/14 olarak yazılır) ve öğrenciler arasında popülerdir. π ve onun dijital temsili, genellikle matematiksel ve teknolojik olarak düşünen gruplar arasındaki şakalar için kendi kendini tanımlayan "matematik meraklıları " tarafından kullanılır . Çeşitli üniversite şerefe de Massachusetts Teknoloji Enstitüsü "3.14159" yer alır. 2015'teki Pi Günü özellikle önemliydi çünkü 14.03.2015 9:26:53 tarih ve saati pi'nin çok daha fazla basamağını yansıtıyordu. Tarihlerin genellikle gün/ay/yıl biçiminde belirtildiği dünyanın bazı bölgelerinde 22 Temmuz, 22/7 = 3.142857 olarak "Pi Yaklaşım Günü"nü temsil eder.

Nortel'in değerli teknoloji patentlerinden oluşan portföyü için 2011 müzayedesinde Google , π dahil olmak üzere matematiksel ve bilimsel sabitlere dayanan bir dizi olağandışı özel teklifte bulundu .

1958 yılında Albert Eagle önerilen değiştirilmesi π ile t alınmak ( tau ) burada τ = π / 2 , formüllerini basitleştirmek için. Ancak, başka hiçbir yazarın τ'yu bu şekilde kullandığı bilinmemektedir . Bazı insanlar, farklı bir değer kullanmak, τ = 2 π = 6,28318 ... , öne sürerek t alınmak bir radyan sayısı, sırasıyla , ya da yarıçap yerine çapına bir çemberin çevresi oranı olarak, daha doğal bir π ve birçok formülü basitleştirir. Bu sayının yaklaşık 6.28'e eşit olması nedeniyle 28 Haziran "Tau Günü" yapılarak ve "turtanın iki katı" yiyerek kutlamalar yapıldığı basına yansıdı. Ancak, τ'nın bu kullanımı ana akım matematiğe girmedi. Tau, 3.6 sürümünde Python programlama diline (math.tau olarak) eklendi

1897'de amatör bir matematikçi, Indiana yasama meclisini dairenin karesini alma yöntemini tanımlayan ve π için 3.2 dahil olmak üzere çeşitli yanlış değerleri ima eden metinler içeren Indiana Pi Yasası'nı geçirmeye ikna etmeye çalıştı . Tasarı, yasama emriyle bilimsel sabitin bir değerini belirleme girişimi olarak ün salmıştır. Tasarı Indiana Temsilciler Meclisi tarafından kabul edildi, ancak Senato tarafından reddedildi, yani yasa haline gelmedi.

bilgisayar kültüründe

Çağdaş internet kültüründe , bireyler ve kuruluşlar sıklıkla π sayısına saygı gösterirler . Örneğin, bilgisayar bilimcisi Donald Knuth yaptığı programı sürüm numaraları izin TeX yaklaşım tt . Sürümler 3, 3.1, 3.14 ve benzeridir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Notlar

alıntılar

Kaynaklar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar