Mutlak geometri - Absolute geometry
Geometri |
---|
Geometerler |
Mutlak geometri , paralel postülat veya alternatiflerinden herhangi biri olmadan Öklid geometrisi için bir aksiyom sistemine dayanan bir geometridir . Geleneksel olarak bu, Öklid'in varsayımlarının yalnızca ilk dördünün kullanılması anlamına geliyordu , ancak bunlar Öklid geometrisinin temeli olarak yeterli olmadığından, Hilbert'in aksiyomları gibi paralel aksiyomu olmayan diğer sistemler kullanılır. Bu terim, 1832'de János Bolyai tarafından tanıtıldı . Paralel postülata göre nötr olduğu için bazen nötr geometri olarak anılır .
Özellikleri
Mutlak geometrinin oldukça zayıf bir sistem olduğu düşünülebilir, ama durum böyle değil. Aslında, Öklid'in Unsurlarında , ilk 28 Önerme ve Önerme 31 paralel postülatı kullanmaktan kaçınır ve bu nedenle mutlak geometride geçerlidir. Bir mutlak geometride kanıtlamak dış açı teoremi (bir üçgen bir dış açılı uzaktan açıları ya da daha büyük), hem de Saccheri Legendre teoremi , burada bildiren a açıların önlemler toplamı üçgen en fazla 180 ° 'dir.
Önerme 31, verilen doğru üzerinde olmayan bir noktadan belirli bir çizgiye paralel bir çizginin oluşturulmasıdır. İspat sadece Önerme 27'nin (Alternatif İç Açı Teoremi) kullanımını gerektirdiğinden, mutlak geometride geçerli bir yapıdır. Daha ayrıntılı olarak, bir hat verilmiş l ve herhangi bir nokta P olmamasına l , orada , en az boyunca bir çizgi P paralel olan l . Bu bilinen bir yapı ile ispat edilebilir: Bir çizgi verilen L ve nokta P değil l , dikey açılan m den p için l daha sonra dikey bir dik, n için m yoluyla P . Alternatif iç açı teoremine göre, l , n'ye paraleldir . (Alternatif iç açı teoremi, a ve b çizgileri , bir çift uyumlu alternatif iç açı olacak şekilde enine bir t ile kesilirse , a ve b'nin paralel olduğunu belirtir .) Yukarıdaki yapı ve alternatif iç açı teoremi, paralel postülata bağlı değildir ve bu nedenle mutlak geometride geçerlidir.
Mutlak geometride , aynı çizgiye dik olan iki çizginin kesişemeyeceği de kanıtlanabilir (bu, paralel çizgilerin tanımıyla iki çizgiyi paralel hale getirir), bu da bir Saccheri dörtgeninin zirve açılarının geniş olamayacağını ve küresel geometrinin olmadığını kanıtlar. mutlak bir geometri.
Diğer geometrilerle ilişki
Mutlak geometri teoremleri, Öklid dışı bir geometri olan hiperbolik geometride olduğu kadar Öklid geometrisinde de geçerlidir .
Mutlak geometri, eliptik geometri ile tutarsızdır : bu teoride hiçbir paralel çizgi yoktur, ancak paralel çizgilerin var olduğu bir mutlak geometri teoremidir. Bununla birlikte, aksiyom sistemini, değiştirilmiş sistem tarafından tanımlanan mutlak geometrinin paralel çizgileri olmayan küresel ve eliptik geometrileri içerecek şekilde modifiye etmek mümkündür.
Mutlak geometri, sıralı geometrinin bir uzantısıdır ve bu nedenle, sıralı geometrideki tüm teoremler mutlak geometride tutulur. Sohbet doğru değil. Mutlak geometri, Öklid'in Aksiyomlarının (veya eşdeğerlerinin) ilk dördünün, Öklid'in üçüncü ve dördüncü aksiyomlarını varsaymayan afin geometri ile karşılaştırıldığını varsayar. (3: " Herhangi bir merkez ve mesafe yarıçapına sahip bir çemberi tanımlamak için .", 4: "Tüm dik açılar birbirine eşittir.") Sıralı geometri, hem mutlak hem de afin geometrinin ortak bir temelidir.
Özel görelilik geometri dokuz önermeler ve mutlak geometrinin onbir önermeler ile başlayan geliştirilmiştir. Yazarlar Edwin B. Wilson ve Gilbert N. Lewis daha sonra iki referans çerçevesini ilişkilendiren dönüşüm olarak hiperbolik dönüşü sunduklarında mutlak geometrinin ötesine geçerler .
Hilbert uçakları
Hilbert'in İnsidans , Arasılık ve Eşlik aksiyomlarını karşılayan bir düzleme Hilbert düzlemi denir . Hilbert düzlemleri mutlak geometri modelleridir.
Eksiklik
Mutlak geometri, aksiyom sistemini tutarsız hale getirmeden ekstra bağımsız aksiyomlar ekleyebilme anlamında eksik aksiyomatik bir sistemdir . Mutlak geometri, paralel çizgiler hakkında farklı aksiyomlar ekleyerek genişletilebilir ve uyumsuz ancak tutarlı aksiyom sistemleri elde ederek Öklid veya hiperbolik geometriye yol açabilir. Dolayısıyla her mutlak geometri teoremi, hiperbolik geometri ve Öklid geometrisinin bir teoremidir. Ancak tersi doğru değil.
Ayrıca bakınız
Notlar
Referanslar
- Coxeter, HSM (1969), Geometriye Giriş (2. baskı), New York: John Wiley & Sons CS1 Maint: önerilmeyen parametre ( bağlantı )
- Faber Richard L. (1983), Öklid ve Öklid Dışı Geometri Temelleri , New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
- Greenberg, Marvin Jay (2007), Öklid ve Öklid Dışı Geometriler: Gelişim ve Tarih (4. baskı), New York: WH Freeman, ISBN 0-7167-9948-0 CS1 Maint: önerilmeyen parametre ( bağlantı )
- Greenberg, Marvin Jay (2010), "Temel Düzlem Öklid ve Öklid Dışı Geometrilerin Temellerinde Eski ve Yeni Sonuçlar" (PDF) , Mathematical Association of America Monthly , 117 : 198–219 CS1 Maint: önerilmeyen parametre ( bağlantı )
- Hartshorne Robin (2005), Geometri: Öklid ve Ötesi , New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98650-2
- Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and mutlak geometriler , in: Non-Euclidean geometriler (A. Prékopa ve E. Molnár, ed.). János Bolyai anıt cildi. Hiperbolik geometri üzerine uluslararası konferanstan makaleler, Budapeşte, Macaristan, 6–12 Temmuz 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.
Dış bağlantılar
- İlgili Medya Mutlak geometri Wikimedia Commons
- Weisstein, Eric W. "Mutlak Geometri" . MathWorld .