Sonlu geometri - Finite geometry

4 "nokta" ve 6 "çizgi" içeren, 2. dereceden sonlu afin düzlem. Aynı renkteki çizgiler "paraleldir". Şeklin merkezi, bu afin düzlemin bir "noktası" değildir, bu nedenle iki yeşil "çizgi" "kesişmez".

Geometri
Projecting bir küre a düzlem
Anahat Tarih
Şubeler Öklid Öklid olmayan Eliptik Küresel Hiperbolik Arşimet olmayan geometri Projektif Afin Sentetik Analitik Cebirsel Aritmetik Diyofantin Diferansiyel Riemanniyen Semplektik Ayrık diferansiyel Karmaşık Sonlu Ayrık / Kombinatoryal Dijital Dışbükey Hesaplamalı Fraktal İnsidans
Kavramlar Özellikleri Boyut Cetvel ve pusula konstrüksiyonları Açı Eğri Diyagonal Ortogonallik ( dik ) Paralel Köşe Eşlik Benzerlik Simetri
Sıfır boyutlu Nokta
Tek boyutlu Hat segment ışın Uzunluk
İki boyutlu uçak Alan Çokgen Üçgen Rakım Hipotenüs Pisagor teoremi Paralelkenar Meydan Dikdörtgen Eşkenar dörtgen Rhomboid Dörtgen Yamuk Uçurtma Daire Çap Çevresi Alan
3 boyutlu Ses Küp küboid Silindir Piramit Küre
Dört - / diğer boyutlu Tesseract Hiperküre
Geometerler
isimle Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Arşimet Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Öklid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Hayyam Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pisagor Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Geometri listesi
döneme göre MÖ Ahmes Baudhayana Manava Pisagor Öklid Arşimet Apollonius 1–1400'ler Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Hayyam al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400'ler - 1700'ler Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700'ler - 1900'ler Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Günümüz Atiyah Gromov
v t e

Bir sonlu geometri herhangi bir geometrik yalnızca sahip sistem sonlu sayısını noktaları . Tanıdık Öklid geometrisi sonlu değildir, çünkü bir Öklid çizgisi sonsuz sayıda nokta içerir. Piksellerin nokta olarak kabul edildiği bir bilgisayar ekranında görüntülenen grafiklere dayalı bir geometri , sonlu bir geometri olacaktır. Sonlu geometriler olarak adlandırılabilecek birçok sistem varken, düzenlilikleri ve basitlikleri nedeniyle çoğunlukla sonlu projektif ve afin uzaylara dikkat edilir . Diğer önemli sonlu geometri türleri, Benz düzlemleri adı verilen genel bir tipin örnekleri olan sonlu Möbius veya ters düzlemler ve Laguerre düzlemleri ve bunların yüksek sonlu ters geometriler gibi yüksek boyutlu benzerleridir .

Sonlu geometriler, sonlu bir alan üzerindeki vektör uzaylarından başlayarak doğrusal cebir yoluyla inşa edilebilir ; bu şekilde inşa edilen afin ve projektif düzlemlere Galois geometrileri denir . Sonlu geometriler tamamen aksiyomatik olarak da tanımlanabilir. En yaygın sonlu geometriler Galois geometrileridir, çünkü üç veya daha büyük boyuttaki herhangi bir sonlu yansıtmalı uzay , sonlu bir alan üzerindeki yansıtmalı bir uzaya izomorfiktir (yani, bir vektör uzayının sonlu bir alan üzerinde projektifleştirilmesi). Bununla birlikte, boyut iki, Galois geometrilerine izomorfik olmayan afin ve projektif düzlemlere, yani Desarguesian olmayan düzlemlere sahiptir . Diğer sonlu geometriler için de benzer sonuçlar geçerlidir.

Sonlu düzlemler

9 nokta ve 12 çizgi içeren 3. mertebeden sonlu afin düzlem.

Aşağıdaki açıklamalar yalnızca sonlu düzlemler için geçerlidir . İki ana tür sonlu düzlem geometrisi vardır: afin ve projektif . Bir in afin düzlem , normal anlamda paralel çizgiler de geçerlidir. Bir yansıtmalı düzlemde , aksine, herhangi iki çizgi benzersiz bir noktada kesişir, bu nedenle paralel çizgiler yoktur. Hem sonlu afin düzlem geometrisi hem de sonlu yansıtmalı düzlem geometrisi oldukça basit aksiyomlarla tanımlanabilir .

Sonlu afin düzlemler

Afin düzlem geometrisi, boş olmayan bir X kümesidir (elemanları "noktalar" olarak adlandırılır) ve X'in (elemanları "çizgiler" olarak adlandırılır) boş olmayan bir L koleksiyonu ile birlikte :

1. Her iki farklı nokta için, her iki noktayı içeren tam olarak bir çizgi vardır.
2. Playfair'in aksiyomu : Üzerinde olmayan bir çizgi ve bir nokta verildiğinde , şunu içeren tam olarak tek bir çizgi vardır: ${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ ell '}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ ell \ cap \ ell '= \ varnothing.}$
3. Üçü aynı çizgiye ait olmayan dört nokta vardır.

Son aksiyom , ilk ikisi geometrinin doğasını belirtirken, geometrinin önemsiz olmamasını ( boş ya da üzerinde rasgele sayıda nokta bulunan tek bir çizgi gibi ilgi çekici olamayacak kadar basit) sağlar.

En basit afin düzlem yalnızca dört nokta içerir; 2. derecenin afin düzlemi olarak adlandırılır . (Bir afin düzlemin sırası, herhangi bir doğru üzerindeki noktaların sayısıdır, aşağıya bakınız.) Üçü eşdoğrusal olmadığından, herhangi bir nokta çifti benzersiz bir doğru belirler ve bu nedenle bu düzlem şunları içerir: altı satır. Kesişmeyen kenarların "paralel" olarak kabul edildiği bir dörtyüzlü veya sadece zıt tarafların değil, aynı zamanda köşegenlerin de "paralel" olarak kabul edildiği bir kareye karşılık gelir. Daha genel olarak, düzen sonlu afin n sahiptir , n ² sayı ve n, ² + n hatları; her çizgi n nokta içerir ve her nokta n + 1 çizgi üzerindedir. 3. dereceden afin düzlem, Hesse konfigürasyonu olarak bilinir .

Sonlu projektif düzlemler

Bir projektif düzlem geometrisi, boş olmayan bir X kümesidir (elemanları "noktalar" olarak adlandırılır) ve X'in (elemanları "çizgiler" olarak adlandırılır) boş olmayan bir L koleksiyonu ile birlikte :

1. Her iki farklı nokta için, her iki noktayı içeren tam olarak bir çizgi vardır.
2. Herhangi iki farklı çizginin kesişimi tam olarak bir nokta içerir.
3. Üçü aynı çizgiye ait olmayan dört nokta vardır.

Fano düzleminde dualite : Her nokta bir çizgiye karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir.

İlk iki aksiyomun incelenmesi, noktaların ve çizgilerin rollerinin değişmiş olması dışında neredeyse aynı olduklarını gösterir. Bu, yansıtmalı düzlem geometrileri için dualite ilkesini önerir; yani, tüm bu geometrilerde geçerli olan herhangi bir doğru önermenin, doğrular için noktalar ve noktalar için çizgiler değiş tokuş edilirse doğru kalacağı anlamına gelir. Üç aksiyomun tümünü karşılayan en küçük geometri yedi nokta içerir. Projektif düzlemlerin bu en basitinde, ayrıca yedi çizgi vardır; her nokta üç çizgi üzerindedir ve her çizgi üç nokta içerir.

Fano düzlem

Bu belirli yansıtmalı düzleme bazen Fano düzlemi denir . Çizgilerden herhangi biri, bu çizgideki noktalarla birlikte düzlemden kaldırılırsa, ortaya çıkan geometri 2. mertebeden afin düzlemdir. Fano düzlemi , benzersiz olduğundan (izomorfizme kadar) 2. dereceden projektif düzlem olarak adlandırılır . . Genel olarak, düzen yansıtmalı düzlemi N yer alır , n ²  +  n  + 1 noktaları ve çizgileri aynı sayıda; her satır n  + 1 nokta içerir ve her nokta n  + 1 satır üzerindedir.

Taşıyan Fano uçağın yedi noktalarının permütasyonu aynı doğrultudaki aynı doğrultudaki noktalara puan (aynı satırda puan) bir denir kolinasyonlar uçağın. Tam sıralama grubu 168 mertebesindedir ve PSL (2,7) ≈ PSL (3,2) grubuna izomorfiktir, bu özel durumda genel doğrusal grup GL (3,2) ≈ PGL ( 3,2) .

Uçakların sırası

N dereceli sonlu bir düzlem, her doğrunun n noktaya sahip olacağı (bir afin düzlem için) veya her çizginin n + 1 noktaya sahip olacağı şekilde (bir projektif düzlem için) birdir . Sonlu geometride önemli bir açık soru şudur:

Sonlu bir düzlemin düzeni her zaman bir asal kuvvet midir?

Bunun doğru olduğu varsayılmaktadır.

Afin ve düzenin yansıtmalı düzlemleri n her biri , n a, asal güç (bir asal sayı bir yükseltilmiş pozitif tam sayı üs , sonlu alan üzerinde afin ve yansıtmalı düzlemleri kullanarak) , n = p ^k elemanları. Sonlu alanlardan türetilmemiş düzlemler de mevcuttur (örneğin için ), ancak tüm bilinen örnekler bir asal güce sahiptir. ${\ displaystyle n = 9}$

Bugüne kadarki en iyi genel sonuç , 1949 Bruck-Ryser teoremidir ve şunu ifade eder:

Eğer n, a, pozitif bir tam sayı formu 4 k + 1 ya da 4 , k + 2 ve n, iki tamsayı toplamına eşit değildir kareler , daha sonra n- sonlu düzlem düzeni olarak oluşmaz.

Asal güç olmayan ve Bruck-Ryser teoremi tarafından kapsanmayan en küçük tam sayı 10'dur; 10, 4 k + 2 biçimindedir , ancak 1 ² + 3 ² karelerinin toplamına eşittir . Sonlu bir düzen 10 düzleminin yokluğu, 1989'da biten bilgisayar destekli bir kanıtla kanıtlandı - ayrıntılar için bkz. ( Lam 1991 ).

Dikkate alınacak bir sonraki en küçük sayı 12'dir ve bunun için ne olumlu ne de olumsuz bir sonuç kanıtlanmıştır.

Tarih

Thomas Penyngton Kirkman'ın (1847) çalışmasında ve von Staudt (1856) tarafından verilen sonlu projektif geometrinin sistematik gelişiminde bireysel örnekler bulunabilir .

Sonlu projektif geometrinin ilk aksiyomatik uygulaması İtalyan matematikçi Gino Fano tarafından geliştirilmiştir . Geliştirdiği projektif n- uzay için aksiyomlar kümesinin bağımsızlığını kanıtlama çalışmasında, her çizginin sadece üç noktaya sahip olduğu 15 nokta, 35 çizgi ve 15 düzlemden oluşan sonlu üç boyutlu bir uzay düşündü (diyagrama bakınız). üstünde.

1906'da Oswald Veblen ve WH Bussey , Galois alanı GF ( q ) girişleriyle homojen koordinatlar kullanarak projektif geometriyi tanımladılar . Zaman , n + 1 koordinatlar kullanılır, n boyutlu sonlu geometri isimli ifade edilmiş PG ( n, q ). Sentetik geometride ortaya çıkar ve ilişkili bir dönüşüm grubuna sahiptir .

3 veya daha fazla boyutlu sonlu uzaylar

Sonlu düzlem geometrisi ile yüksek boyutlu sonlu uzayların geometrisi arasındaki bazı önemli farklılıklar için, aksiyomatik izdüşüm uzayına bakınız . Genel olarak yüksek boyutlu sonlu uzayların bir tartışması için, örneğin JWP Hirschfeld'in çalışmalarına bakınız . Bu yüksek boyutlu uzayların ( n ≥ 3 ) incelenmesi, ileri matematiksel teorilerde birçok önemli uygulamaya sahiptir.

Aksiyomatik tanım

Bir yansıtmalı boşluk G bir dizi olarak aksiyom tanımlanabilir P birlikte bir dizi ile, (noktaları seti) L ait alt kümelerin P bu aksiyomu sağlayan, (satır grubu):

• Her iki farklı nokta p ve q tam olarak bir doğrudadır.
• Veblen'in aksiyomu: Eğer a , b , c , d farklı noktalaysa ve ab ve cd'den geçen doğrular birleşiyorsa , ac ve bd'den geçen doğrular da aynıdır .
• Herhangi bir satırda en az 3 nokta vardır.

Son aksiyom, farklı yansıtmalı uzaylarda herhangi iki noktayı birleştiren 2 noktalı çizgilerle birlikte yansıtmalı alanların ayrık birleşimi olarak yazılabilen indirgenebilir durumları ortadan kaldırır. Daha soyut olarak, bir dizi P noktası, bir dizi L çizgisi ve hangi noktaların hangi doğrular üzerinde olduğunu belirten bir olay bağıntısı I içeren bir insidans yapısı ( P , L , I ) olarak tanımlanabilir .

Bir edinme sonlu projektif uzay bir daha belitini gerektirir:

• P noktalarının kümesi sonlu bir kümedir.

Herhangi bir sonlu yansıtmalı uzayda, her çizgi aynı sayıda nokta içerir ve uzayın sırası bu ortak sayıdan bir eksik olarak tanımlanır.

Yansıtmalı alanının bir alt-uzay bir alt kümesidir X, iki noktaları içeren bir çizgi, öyle ki X, bir alt kümesi olup , X (tamamen içinde ihtiva olduğunu X ). Tam alan ve boş alan her zaman alt uzaylardır.

Geometrik boyut alanı olduğu söylenir , n , bu formun bölme odasının azalan bir zinciri olduğu için en büyük sayı ise:

${\ displaystyle \ varnothing = X _ {- 1} \ subset X_ {0} \ subset \ cdots \ subset X_ {n} = P.}$

Cebirsel yapı

Sistemlerin standart bir cebirsel yapısı bu aksiyomları karşılar. Bir için bölme halka D bir yapı ( n + 1) üzerinde boyutlu vektör alanı D (vektör alan boyutu esas eleman sayısı). Let p 1 boyutlu (tek jeneratör) alt uzay ve olmak L bu vektör alanı 2 boyutlu (iki bağımsız jeneratörleri) alt uzay (vektör ek altında kapalı). Olay, kontrol altına almaktır. Eğer D sonludur o zaman olmalıdır sonlu alan GF ( q tarafından beri) Wedderburn küçük teoremi bütün sonlu bölünme halkaları alanlardır. Bu durumda, bu yapı sonlu bir projektif uzay üretir. Ayrıca, bir projektif boşluğun geometrik boyutu en az üç ise, bu şekilde boşluğun inşa edilebileceği bir bölme halkası vardır. Sonuç olarak, en az üç geometrik boyutun tüm sonlu yansıtmalı uzayları sonlu alanlar üzerinde tanımlanır. Böylesi sonlu bir alan üzerinde tanımlanan sonlu bir yansıtmalı uzay bir doğru üzerinde q + 1 noktaya sahiptir , bu nedenle iki sıralama kavramı çakışır. Bu tür sonlu bir projektif uzay, PG ( n , q ) ile gösterilir ; burada PG, projektif geometriyi temsil eder, n , geometrinin geometrik boyutudur ve q , geometriyi oluşturmak için kullanılan sonlu alanın boyutudur (düzenidir).

Genel olarak, PG'nin k -boyutlu alt uzaylarının sayısı ( n , q ) çarpım tarafından verilir:

${\ displaystyle {{n + 1} \ {k + 1}} _ {q} = \ prod _ {i = 0} ^ {k} {\ frac {q ^ {n + 1-i} -1} 'i seçin {q ^ {i + 1} -1}},}$

burada a, Gauss binom katsayısı , bir q, bir analog binom katsayısı .

Sonlu yansıtmalı uzayların geometrik boyuta göre sınıflandırılması

• Boyut 0 (çizgisiz): Uzay tek bir noktadır ve o kadar dejenere olur ki genellikle göz ardı edilir.
• Boyut 1 (tam olarak bir çizgi): Tüm noktalar, projektif çizgi adı verilen benzersiz doğru üzerinde yer alır .
• Boyut 2: En az 2 çizgi var ve herhangi iki çizgi buluşuyor. N = 2 için bir projektif uzay , bir projektif düzlemdir . Hepsi bir PG ( d , q ) ile izomorfik olmadığından, bunların sınıflandırılması çok daha zordur . Dezarg düzlemleri (a sahip izomorfik olanlar PG (2, q ), tatmin) Desargues teoremi ve sonlu alanlar üzerinde yansıtmalı uçaklar, ancak pek çok olmayan Dezarg uçaklar .
• En az 3 boyut: Kesişmeyen iki çizgi var. Veblen-Young teoremi geometrik boyutun her yansıtmalı alan sonlu durumda belirtmektedir , n ≥ 3 bir ile izomorfik PG ( n , k ) , N sonlu alan GF (fazla boyutlu yansıtmalı alan q ).

En küçük yansıtmalı üç alan

PG (3,2) ancak tüm çizgiler çizilmiyor

En küçük 3 boyutlu yansıtmalı uzay, GF (2) alanı üzerindedir ve PG (3,2) ile gösterilir . 15 noktası, 35 çizgisi ve 15 düzlemi vardır. Her düzlem 7 nokta ve 7 çizgi içerir. Her satırda 3 nokta bulunur. Geometrileri gibi, bu düzlemler olan izomorfik için Fanø düzlemi .

Fano 3-uzayının kare modeli

Her nokta 7 satırda yer almaktadır. Her bir çift farklı nokta, tam olarak bir çizgide yer alır ve her bir çift farklı düzlem, tam olarak bir çizgide kesişir.

1892'de Gino Fano , böyle sonlu bir geometriyi ilk düşünen kişi oldu.

Kirkman'ın kız öğrenci sorunu

PG (3,2), Kirkman'ın kız öğrenci probleminin çözümünün arka planı olarak ortaya çıkıyor : "Her gün üçer kişilik beş grup halinde on beş kız öğrenci yürüyor. Kızların yürüyüşünü bir hafta düzenleyin, böylece o sırada her bir çift kızlar bir grupta sadece bir kez yürüyor. " Kızların birlikte yürümesi için 35 farklı kombinasyon bulunmaktadır. Ayrıca haftanın 7 günü ve her grupta 3 kız var. Bu sorun için yedi izomorfik olmayan çözeltiler iki şekilde bilinmektedir Fano 3-alan PG (3,2), yapıları bakımından ifade edilebilir ambalajlar . Bir yayılmış bir projektif uzayın bir olan bölüm ayrık hatları içine noktalarının ve paketleme ayrık spread içine çizgilerin bir bölümdür. PG (3,2) 'de, bir yayılma, 15 noktanın 5 ayrık çizgiye bölünmesi (her çizgide 3 nokta ile), böylece belirli bir gündeki kız öğrencilerin düzenlemesine karşılık gelir. Bir PG (3,2) paketlemesi yedi ayrı yayılmadan oluşur ve bu nedenle tam bir haftalık düzenlemelere karşılık gelir.

Ayrıca bakınız

• Blok tasarımı - sonlu bir projektif düzlemin bir genellemesi.
• Genelleştirilmiş çokgen
• Olay geometrisi
• Doğrusal uzay (geometri)
• Çokgen yakınında
• Kısmi geometri
• Kutup alanı

Notlar

Referanslar

• Batten Lynn Margaret (1997), Sonlu Geometrilerin Kombinatorikleri , Cambridge University Press, ISBN   0521590140
• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projektif geometri: temellerden uygulamalara , Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-48364-3 , MR   1629468
• Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra Alessandro (2013). "Gino Fano'nun yaşamı ve bilimsel çalışmaları üzerine". arXiv : 1311.7177 .
• Dembowski, Peter (1968), Sonlu geometriler , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   3-540-61786-8 , MR   0233275
• Eves Howard (1963), Bir Geometri Araştırması: Birinci Cilt , Boston: Allyn and Bacon Inc.
• Hall, Marshall (1943), "Projektif uçaklar", Amerikan Matematik Derneği İşlemleri , Amerikan Matematik Derneği, 54 (2): 229–277, doi : 10.2307 / 1990331 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1990331 , MR   0008892
• Lam, CWH (1991), "The Search for a Finite Projective Plane of Order 10" , American Mathematical Monthly , 98 (4): 305–318, doi : 10.2307 / 2323798

• Malkevitch, Joe. "Sonlu Geometriler?" . Erişim tarihi: Dec 2, 2013 .
• Meserve, Bruce E. (1983), Geometri Temel Kavramları , New York: Dover Yayınları
• Polster, Burkard (1999). "Evet, neden ham ıslak şapkasını deniyorsun: En küçük yansıtma alanı turu". Matematiksel İstihbaratçı . 21 (2): 38-43. doi : 10.1007 / BF03024845 .
• Segre, Beniamino (1960), On Galois Geometriler (PDF) , New York:. Cambridge University Press, arşivlenmiş ss 488-499, orijinal (PDF) 2015-03-30 tarihinde , alınan 2015-07-02

• Shult, Ernest E. (2011), Puanlar ve Çizgiler , Universitext, Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-15627-4 , ISBN   978-3-642-15626-7

• Ball, Simeon (2015), Finite Geometry and Combinatorial Applications , London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, ISBN   978-1107518438 .

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "sonlu geometri" . MathWorld .
• İnsidans Geometrisi Eric Moorhouse tarafından
• Cebirsel Kombinatoryal Geometri tarafından Terence Tao
• Sonlu Geometri Üzerine Bir Deneme Yazan Michael Greenberg
• Sonlu geometri (Komut Dosyası)
• Sonlu Geometri Kaynakları
• JWP Hirschfeld , sonlu geometriler üzerine araştırmacı
  • Hirschfeld'in sonlu geometri üzerine kitapları
• AMS Sütunu: Sonlu Geometriler?
• Galois Geometri ve Genelleştirilmiş Çokgenler , 1998'de yoğun kurs
• Carnahan, Scott (2007-10-27), "Küçük sonlu kümeler" , Gizli Bloglama Semineri , Jean-Pierre Serre'nin küçük sonlu kümelerin kanonik geometrik özellikleri üzerine yaptığı konuşma üzerine notlar . CS1 Maint: postscript ( bağlantı )
• “Sorun 31: Kirkman en öğrenci sorunu” de Wayback Machine (17 Ağustos 2010 arşivlenmiş)
• MathOverflow'da Projektif Düzlem 12 .