Sıklık (geometri) - Incidence (geometry)

İn geometrisi , bir sıklık ilişkisi a, heterojen bir ilişki örneğin "bir nokta olarak ifadeler zaman yakalar fikri ifade ediliyor olduğu ve yatıyor bir çizgi" ya da "bir çizgi olup içinde bulunan bir düzlemde" kullanılır. En temel insidans ilişkisi, bir nokta, $P$ ve bir çizgi arasındaki $l$ , bazen $P I l$ olarak ifade edilmesidir . Eğer $p I l$ çifti $(P, I)$ olarak da adlandırılır, bayrak . Yaygın dilde görülme sıklığını tanımlamak için kullanılan birçok ifade vardır (örneğin, bir çizgi bir noktadan geçer , bir nokta bir düzlemde yer alır , vb.), Ancak "olay" terimi tercih edilir çünkü bu ifadelerin ek çağrışımları yoktur. diğer terimler vardır ve simetrik bir şekilde kullanılabilir. Örneğin "çizgi gibi ifadeler $l 1$ kesişen hat $l 2$ " de insidans ilişkileri hakkında ifadeler vardır, ama bu bir nokta da mevcuttur" diyerek bir stenografi yoludur çünkü bu durumda, öyle $P$ hattı hem olaydır $l 1$ ve satır $l 2$ ". Bir nesne türü, diğer türdeki nesnenin bir kümesi olarak düşünülebilirse ( yani , bir düzlem, bir noktalar kümesidir), o zaman bir olay ilişkisi, kapsama olarak görülebilir .

"Bir düzlemdeki herhangi iki çizgi buluşması" gibi ifadeler, olay önermeleri olarak adlandırılır . Bu özel ifade, yansıtmalı bir düzlemde doğrudur, ancak çizgilerin paralel olabileceği Öklid düzleminde doğru değildir . Tarihsel olarak projektif geometri , paralelliklerin varlığından kaynaklananlar gibi istisnasız olay önermelerini doğru kılmak için geliştirildi. Bakış açısından sentetik geometri yansıtmalı geometri gerekmektedir gibi önerileri kullanılarak geliştirilmiştir aksiyomların . Bu, yüksek boyutlarda Desargues teoreminin evrensel geçerliliği nedeniyle yansıtmalı düzlemler için çok önemlidir .

Buna karşılık, analitik yaklaşım , doğrusal cebire dayalı ve homojen koordinatlardan yararlanarak yansıtmalı uzay tanımlamaktır . Geliş önermeleri, vektör uzayları üzerindeki aşağıdaki temel sonuçtan türetilmiştir : bir (sonlu boyutlu) vektör uzayı $V'nin$ $U$ ve $W$ alt uzayları verildiğinde , kesişmelerinin boyutu $dim$ $U$ $+ dim$ $W$ $- dim ($ $U$ $+$ $W$ $)$ . Yansıtmalı alan geometrik boyutu olduğu göz önünde bulundurularak $, P$ $($ $V$ $)$ ile bağlantılı $V$ olan $loş$ $V$ $- 1$ ve bir bölme odası geometrik boyutu olumlu olduğunu, bu ortamda sıklığı temel bir öneri formunu alabilir: doğrusal alt uzay $L$ ve projektif uzay $P'nin$ $M$ karşılaması, $dim$ $L$ $+ dim$ $M$ $\geq dim$ $P sağlanır$ .

Aşağıdaki bölümlerde sınırlıdır yansıtmalı düzlemler üzerinde tanımlanan alanlar genellikle ile gösterilen, $PG (2, K)$ , $F$ , bir alandır, veya $p 2 F$ . Bununla birlikte, bu hesaplamalar doğal olarak daha yüksek boyutlu projektif uzaylara genişletilebilir ve bu durumda çarpmanın değişmeli olmadığı gerçeğine dikkat edilmesi koşuluyla alan bir bölme halkası (veya çarpık alan) ile değiştirilebilir .

$PG (2; F)$

Let $V$ alanı üzerinde tanımlanmış üç boyutlu vektör uzayı $F$ . Projektif düzlem $P (V) = PG (2, F)$ nokta adı verilen $V'nin$ tek boyutlu vektör alt uzaylarından ve $V'nin$ çizgiler olarak adlandırılan iki boyutlu vektör alt uzaylarından oluşur . Bir noktanın ve bir çizginin görülme sıklığı, iki boyutlu altuzaydaki tek boyutlu alt uzayın kapsamı ile verilir.

$V$ için bir temel belirleyin, böylece vektörlerini koordinat üçlüleri olarak tanımlayabiliriz (bu temele göre). Tek boyutlu bir vektör alt uzay, sıfır olmayan bir vektörden ve tüm skaler katlarından oluşur. Koordinat üçlüleri olarak yazılan sıfır olmayan skaler katlar, nokta koordinatları adı verilen verilen noktanın homojen koordinatlarıdır . Bu temele göre, tek bir doğrusal denklemin çözüm uzayı ${(x, y, z) | ax + by + cz = 0$ }, $V'nin$ iki boyutlu bir alt uzayıdır ve dolayısıyla bir $P (V)$ doğrusudur . Bu çizgi , aynı zamanda homojen koordinatlar olan çizgi koordinatları $[a, b, c] ile gösterilebilir$ , çünkü sıfır olmayan skaler katlar aynı doğruyu verecektir. Diğer gösterimler de yaygın olarak kullanılmaktadır. Nokta koordinatları sütun vektörleri, $(x, y, z)$ ^T , iki nokta üst üste $(x : y : z)$ veya bir alt simge $(x, y, z) P$ ile yazılabilir . Buna karşılık olarak, çizgi koordinatları satır vektörleri olarak $(a, b, c)$ , iki nokta üst üste $[a : b : c]$ veya alt simge $(a, b, c) L$ ile yazılabilir . Diğer varyasyonlar da mümkündür.

İnsidans cebirsel olarak ifade edilir

Nokta ve çizgi koordinatları cinsinden yazılan bir nokta $P = (x, y, z)$ ve bir $l = [a, b, c]$ doğrusu verildiğinde, nokta doğruyla gelişir (genellikle $P I l$ olarak yazılır ), ancak ve ancak,

ax + by + cz = 0

.

Bu, diğer gösterimlerde şu şekilde ifade edilebilir:

{\ displaystyle ax + by + cz = [a, b, c] \ cdot (x, y, z) = (a, b, c) _ {L} \ cdot (x, y, z) _ {P} =}

{\ displaystyle = [a: b: c] \ cdot (x: y: z) = (a, b, c) \ sol ({\ başlar {matris} x \\ y \\ z \ end {matris}} \ sağ) = 0.}

Nokta ve çizgi homojen koordinatlar sadece sipariş üçlüsü olarak kabul edildiğinde, istihdam ne notasyonu olursa olsun, onların sıklığı onların sahip olarak ifade edilir nokta ürününü 0 eşittir.

Bir çift farklı noktaya sahip hat olayı

Let $P 1$ ve $P 2$ , homojen koordinatlarla belirgin noktalarına bir çift olarak $(X 1, y 1, Z 1)$ ve $(x 2, y 2, z 2)$ , sırasıyla. Bu noktalar , denklemi $ax$ $+$ $by$ $+$ $cz$ $= 0$ şeklinde olan benzersiz bir $l$ doğrusunu belirler ve denklemleri sağlamalıdır:

ax 1 + ile 1 + cz 1 = 0

ve

ax 2 + ile 2 + cz 2 = 0

.

Matris formunda bu eşzamanlı doğrusal denklem sistemi şu şekilde ifade edilebilir:

{\ displaystyle \ sol ({\ başlar {matris} x & y & z \\ x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \ end {matris}} \ sağ) \ left ({\ begin {matrix} a \\ b \\ c \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {matrix}} \ right ).}

Bu sistemin önemsiz bir çözümü vardır, ancak ve ancak belirleyici ,

{\ displaystyle \ sol | {\ başlar {matris} x & y & z \\ x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \ end {matris}} \ sağ | = 0.}

Bu belirleyici denklemin genişletilmesi, $l$ doğrusunun denklemi olması gereken homojen bir doğrusal denklem üretir . Bu nedenle, sıfır olmayan ortak bir sabit faktöre kadar $l = [a, b, c] olur,$ burada:

a = y 1 z 2 - y 2 z 1

,

b = x 2 z 1 - x 1 z 2

ve

c = x 1 y 2 - x 2 y 1

.

Vektörler için skaler üçlü çarpım gösterimi açısından, bu satırın denklemi şu şekilde yazılabilir:

P \cdot P 1 \times P 2 = 0

,

burada $P = (x, y, z)$ genel bir noktadır.

Eşdoğrusallık

Aynı çizgi ile karşılaşılan noktaların eşdoğrusal olduğu söylenir . Aynı çizgi ile meydana gelen tüm noktaların kümesine menzil denir .

Eğer $P 1 = (x 1, y 1, Z 1) p 2 = (x 2, y 2, z 2)$ ve $p 3 = (x 3, y 3, z 3)$ , daha sonra bu noktanın doğrudaş halinde olan ve sadece eğer

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} & z_ { 3} \ end {matris}} \ sağ | = 0,}

yani, ancak ve ancak noktaların homojen koordinatlarının determinantı sıfıra eşitse.

Bir çift çizginin kesişimi

Let $l 1 = [a 1, b 1, c 1]$ ve $L 2 = [a 2, b 2, c 2]$ ayrı çizgiler bir çift olabilir. Daha sonra, $l 1$ ve $l 2$ çizgilerinin kesişimi , doğrusal denklem sisteminin eşzamanlı çözümü (skaler faktöre kadar) olan a $P = (x 0, y 0, z 0)$ noktasıdır :

bir 1 x + b 1 y + c 1 z = 0

ve

bir 2 x + b 2 y + c 2 z = 0

.

Bu sistemin çözümü şunları verir:

x 0 = b 1 c 2 - b 2 c 1

,

y 0 = bir 2 c 1 - bir 1 c 2

ve

z 0 = bir 1 b 2 - bir 2 b 1

.

Alternatif olarak, başka bir satır dikkate $l = [a, b, c]$ noktası boyunca geçen $P$ , homojen koordinatları olan, $p$ Tatmin denklemi:

ax + by + cz = 0

.

Bu denklemi $P'yi$ tanımlayan ikisiyle birleştirerek , matris denkleminin önemsiz olmayan bir çözümünü arayabiliriz:

{\ displaystyle \ sol ({\ başlar {matris} a & b & c \\ a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \ end {matris}} \ sağ) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {matrix}} \ right ).}

Belirleyici olması koşuluyla böyle bir çözüm mevcuttur,

{\ displaystyle \ sol | {\ başlar {matris} a & b & c \\ a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \ end {matris}} \ sağ | = 0.}

Bu denklemdeki $a, b$ ve $c$ katsayıları $P'nin$ homojen koordinatlarını verir .

Skaler üçlü çarpım gösteriminde $P$ noktasından geçen jenerik doğrunun denklemi :

l \cdot l 1 \times l 2 = 0

.

Uyum

Aynı noktada buluşan çizgilerin eşzamanlı olduğu söylenir . Aynı noktaya sahip bir düzlemdeki tüm çizgiler kümesine , o noktada ortalanmış bir kalem çizgi denir . İki çizginin kesişiminin hesaplanması, bir noktada ortalanmış olan tüm çizgi kaleminin, o noktada kesişen herhangi iki çizgi tarafından belirlendiğini gösterir. Hemen ardından üç satırın $[a 1, b 1, c 1], [a 2, b 2, c 2], [a 3, b 3, c 3]$ olmak üzere cebirsel koşulunun belirleyici olduğu ,

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ {3} & c_ { 3} \ end {matris}} \ sağ | = 0.}

Ayrıca bakınız

Referanslar

Harold L. Dorwart (1966) Tesadüfün Geometrisi , Prentice Hall .

Languages

In other projects

Sıklık (geometri) - Incidence (geometry)

İçindekiler

$PG (2; F)$

İnsidans cebirsel olarak ifade edilir

Bir çift farklı noktaya sahip hat olayı

Eşdoğrusallık

Bir çift çizginin kesişimi

Uyum

Ayrıca bakınız

Referanslar

Languages

In other projects

Sıklık (geometri) - Incidence (geometry)

PG (2; F )

İnsidans cebirsel olarak ifade edilir

Bir çift farklı noktaya sahip hat olayı

Eşdoğrusallık

Bir çift çizginin kesişimi

Uyum

Ayrıca bakınız

Referanslar

$PG (2; F)$