Diferansiyel geometri - Differential geometry

Bir eyer şeklindeki düzleme ( hiperbolik bir paraboloid ) daldırılmış bir üçgen ve iki ayrık ultraparalel çizgi .

Diferansiyel geometri , diferansiyel hesap , integral hesap , doğrusal cebir ve çok doğrusal cebir tekniklerini kullanarak, düz manifoldlar olarak da bilinen düz şekillerin ve düz uzayların geometrisini inceleyen matematiksel bir disiplindir . Alan çalışmasında kökeni küresel geometriye kadar geriye antik o ilişkili olarak, astronomi ve jeodezi ve Dünya'da çalışmalarında daha sonra, ve hiperbolik geometri ile Lobachevsky . Düz uzayların en basit örnekleri , üç boyutlu Öklid uzayındaki düzlem ve uzay eğrileri ve yüzeylerdir ve bu şekillerin incelenmesi, 18. yüzyılda ve 19. yüzyılda modern diferansiyel geometrinin gelişiminin temelini oluşturmuştur.

19. yüzyılın sonlarından bu yana, diferansiyel geometri, daha genel olarak türevlenebilir manifoldlar üzerindeki geometrik yapılarla ilgilenen bir alan haline geldi . Geometrik bir yapı, boyut, mesafe, şekil, hacim veya diğer katılaştırıcı yapı kavramlarını tanımlayan bir yapıdır. Örneğin, Riemann geometrisinde mesafeler ve açılar belirtilir, simplektik geometride hacimler hesaplanabilir, konformal geometride sadece açılar belirtilir ve ayar teorisinde uzay üzerinde belirli alanlar verilir. Diferansiyel geometri, herhangi bir ek geometrik yapıya dayanmayan türevlenebilir manifoldların özellikleriyle ilgilenen diferansiyel topoloji ile yakından ilişkilidir ve bazen de içerdiği kabul edilir (iki konu arasındaki ayrım hakkında daha fazla tartışma için bu makaleye bakın). Diferansiyel geometri aynı zamanda diferansiyel denklemler teorisinin geometrik yönleriyle de ilgilidir , aksi halde geometrik analiz olarak bilinir .

Diferansiyel geometri, matematik ve doğa bilimleri boyunca uygulamalar bulur . En belirgin diferansiyel geometrinin dili tarafından kullanılmıştır Albert Einstein onun içinde genel izafiyet teorisi ve sonradan tarafından fizikçiler gelişiminde kuantum alan teorisinin ve parçacık fiziği standart modelinin . Fizik dışında, diferansiyel geometri kimya , ekonomi , mühendislik , kontrol teorisi , bilgisayar grafikleri ve bilgisayarla görme ve son zamanlarda makine öğreniminde uygulamalar bulur .

Tarih ve gelişim

Diferansiyel geometrinin bir özne olarak tarihi ve gelişimi, en azından klasik antik çağda başlar ve daha genel olarak geometrinin, uzay ve şekil kavramının ve topolojinin gelişimiyle yakından bağlantılıdır . Bir manifold kavramının tarihi hakkında daha fazla ayrıntı için o makaleye ve manifoldlar ve çeşitlerin tarihine bakın . Bu bölümde öncelikle sonsuz küçük yöntemlerin geometriye uygulanmasının tarihine ve daha sonra teğet uzayların fikirlerine ve nihayetinde tensörler ve tensör alanları açısından öznenin modern formalizminin gelişimine odaklanacağız .

Rönesans'a kadar klasik antik çağ (MÖ 300 - MS 1600)

Diferansiyel geometrinin incelenmesi veya en azından düz şekillerin geometrisinin incelenmesi, en azından klasik antik çağa kadar izlenebilir . Özellikle, çok geometrisi hakkında biliniyordu Dünya'da , bir küresel geometriye zamanında, antik Yunan matematikçi. Ünlü, Erastotenes hesaplanan çevresi M.Ö. 200 civarında Dünya'nın ve yaklaşık 150 AD Batlamyus onun içinde Coğrafya tanıtıldı stereografik projeksiyon Dünya'nın şekli haritalama amacıyla kullanacaktır. Bu süre boyunca örtük olarak diferansiyel geometri ve hesabın temelini oluşturan ilkeler, çok basitleştirilmiş bir biçimde olmasına rağmen jeodezide kullanıldı . Yani, kadar geri kadar Öklid sitesindeki Element düz bir çizgi yüzeyine aynı ilke iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi sağlayan ve uygulama onun özelliği tarafından tanımlanabilir anlaşılmıştır toprak olduğu sonucuna yol açar büyük çember Düz bir düzlemdeki düz çizgilere yalnızca yerel olarak benzeyen , Dünya yüzeyindeki iki nokta arasındaki en kısa yolu sağlar. Aslında Eratosthenes ve diğerleri tarafından bu tür jeodezik yollar boyunca mesafe ölçümleri , 1600'lere kadar kalkülüs açısından kesin bir tanım görmeyen bir kavram olan eğrilerin yay uzunluğunun ilkel bir ölçüsü olarak kabul edilebilir .

Bu zaman zarfında, sonsuz küçükler teorisinin , konunun modern kalkülüs temelli çalışmasının bir öncüsü olan geometri çalışmasına yalnızca minimal açık uygulamaları vardı . Gelen Öklid sitesindeki Element kavramı teğet bir çevreye bir çizgi tartışılmıştır ve Arşimed uygulanan tükenme yöntemi gibi, düzgün şekiller alanlarını hesaplamak için daire gibi alan olarak ve düzgün üç boyutlu katı miktarlar , koniler ve silindirler.

Antik çağ ile Rönesans'ın başlangıcı arasındaki diferansiyel geometri teorisinde çok az gelişme oldu . Newton ve Leibniz tarafından matematiğin geliştirilmesinden önce, diferansiyel geometri anlayışındaki en önemli gelişme Gerardus Mercator'un Dünya'yı haritalamanın bir yolu olarak Mercator projeksiyonunu geliştirmesinden geldi . Mercator, harita tasarımının avantajları ve tuzakları hakkında bir anlayışa sahipti ve özellikle projeksiyonunun uyumlu doğasının ve ayrıca dünyadaki en kısa mesafe çizgileri olan praga ile directio , düz olan arasındaki farkın farkındaydı. haritasındaki çizgi yolları. Mercator , bu projeksiyonda praganın eğik eğrilik olduğunu kaydetti . Bu gerçek bir eksikliği yansıtan metrik-koruyarak haritasında düz uçağa Dünya yüzeyinin, daha sonra bir sonucu Egregium Teoremi ait Gauss .

Hesaptan sonra (1600 - 1800)

oskulasyonlu bir daire

Sonsuz küçükler teorisini ve kalkülüsten gelen kavramları kullanarak geometrinin ilk sistematik veya titiz tedavisi, kalkülüsün Gottfried Leibniz ve Isaac Newton tarafından ilk geliştirildiği 1600'lerde başladı . Şu anda, René Descartes'ın analitik koordinatları geometriye tanıtan son çalışması , artan karmaşıklıktaki geometrik şekillerin titizlikle tanımlanmasına izin verdi. Bu zaman zarfında, özellikle Pierre de Fermat , Newton ve Leibniz'in çalışma başlamıştır düzlem eğrileri ve noktalarına gibi kavramların soruşturma çekim ve çevreleri yaslanma ölçümünde, yardım kavis . Gerçekten de , kalkülüsün temelleri üzerine ilk makalesinde Leibniz, sonsuz küçük koşulun bir bükülme noktasının varlığına işaret ettiğini belirtir. Bu zamandan kısa bir süre sonra Bernoulli kardeşler , Jacob ve Johann , geometriyi incelemek için sonsuz küçüklerin kullanımına erken dönemde önemli katkılarda bulundular. Daha sonra tarafından harmanlanmış zamanda Johann Bernoulli tarafından teorik, içinde L'Hopital içine diferansiyel hesap ilk ders kitabı , çeşitli düzlemsel eğrileri teğetlerin koşulu kullanılarak hesaplanır , ve çekim benzer noktaları hesaplanır. Aynı zamanda, bir düzlem eğrinin salınımlı daireleri ile teğet yönler arasındaki ortogonallik gerçekleştirilir ve bir salınımlı dairenin yarıçapı için ilk analitik formül, esasen eğrilik kavramı için ilk analitik formül yazılır. ${\görüntüleme stili d^{2}y=0}$ ${\ Displaystyle dy=0}$

Analitik geometrinin ve düzlem eğrilerinin gelişiminin ardından, Alexis Clairaut , uzay eğrileri üzerinde çalışmaya henüz 16 yaşında başladı. Clairaut, kitabında , uzay eğrilerine teğet ve teğet yönler kavramını, uzay eğrilerine, doğrultularla ilişkili olarak tanıttı. uzay eğrisinin üzerinde bulunduğu bir yüzey boyunca . Böylece Clairaut , bir yüzeyin tanjant uzayının örtük bir şekilde anlaşıldığını gösterdi ve bu fikri ilk kez kalkülüs kullanarak inceledi. Önemli olarak Clairaut , daha sonra Gauss ve diğerleri tarafından incelenen temel eğrilikler kavramı olan eğrilik ve çift eğrilik terminolojisini tanıttı .

Aynı zamanlarda, aslen Johann Bernoulli'nin öğrencisi olan Leonhard Euler , sadece geometrinin gelişimine değil, daha geniş anlamda matematiğe de birçok önemli katkı sağladı. Diferansiyel geometri ile ilgili olarak, Euler , ilk analitik jeodezik denklemi türeten bir yüzey üzerindeki jeodezik kavramını inceledi ve daha sonra, modern geometrik fikirlerin dayandığı içsel geometri teorisini başlatarak bir yüzey üzerindeki ilk içsel koordinat sistemlerini tanıttı. . Bu sıralarda Euler'in Mechanica'daki mekanik çalışması, herhangi bir kuvvetin etkisi altında olmayan bir yüzey boyunca hareket eden bir kütlenin jeodezik bir yoldan geçeceğinin, Einstein'ın genel göreliliğinin önemli temel fikirlerinin erken habercisi olduğunun farkına varmasına yol açtı. Euler-Lagrange denklemleri ve birinci teori varyasyon hesabı modern diferansiyel geometri pek çok teknikler destekler, simplektik geometri ve geometrik analiz . Bu teori, varyasyon hesabının ortak geliştiricisi olan Lagrange tarafından , Euler-Lagrange denklemi cinsinden minimal bir yüzeyi tanımlayan ilk diferansiyel denklemi türetmek için kullanıldı . 1760'da Euler, bir yüzey üzerindeki uzay eğrisinin eğriliğini Euler teoremi olarak bilinen ana eğrilikler cinsinden ifade eden bir teoremi kanıtladı .

Daha sonra 1700'lerde, Gaspard Monge liderliğindeki yeni Fransız okulu , diferansiyel geometriye katkılarda bulunmaya başladı. Monge, düzlem eğriler, yüzeyler ve incelenen devrim yüzeyleri ve düzlem eğrileri ve uzay eğrilerinin zarfları teorisine önemli katkılarda bulundu . Monge'un birkaç öğrencisi aynı teoriye katkıda bulundu ve örneğin Charles Dupin , Euler teoreminin denklemin modern şekli olan temel eğrilikler açısından yeni bir yorumunu sağladı.

İçsel geometri ve Öklid dışı geometri (1800 - 1900)

Diferansiyel geometri alanı, 1800'lerde, öncelikle Carl Friedrich Gauss ve Bernhard Riemann'ın temel çalışmaları ve aynı zamanda Nikolay Lobaçevski ile hiperbolik geometrisi ve olmayan Öklid geometrisi ve aynı dönemde gelişimi boyunca yansıtmalı geometri .

Diferansiyel geometri tarihindeki en önemli eser olarak adlandırılan Gauss, 1827'de , eğri yüzeylerin genel teorisini detaylandıran Disquisitiones generales circa superficies curvas'ı üretti . Gauss, bu çalışmasında ve sonraki makalelerinde ve yüzeyler teorisi üzerine yayınlanmamış notlarında, Öklid dışı geometrinin mucidi ve içsel diferansiyel geometrinin mucidi olarak adlandırılmıştır. Gauss temel makalesinde Gauss haritasını , Gauss eğriliğini , birinci ve ikinci temel formları tanıttı , Gauss eğriliğinin içsel doğasını gösteren Teorema Egregium'u kanıtladı ve çeşitli Öklid dışı geometrilerde bir jeodezik üçgenin alanını hesaplayarak jeodezikleri inceledi . yüzeyler.

Bu sırada Gauss, Öklid geometrisinin standart paradigmasının atılması gerektiği görüşündeydi ve jeodezik üçgenler konusundaki çalışmasını bilgilendiren Öklid dışı geometri üzerine özel el yazmalarına sahipti. Bu sıralarda János Bolyai ve Lobachevsky bağımsız olarak hiperbolik geometriyi keşfettiler ve böylece Öklid'in paradigmasının dışında tutarlı geometrilerin varlığını gösterdiler. Daha sonra 1860'larda Eugenio Beltrami tarafından hiperbolik geometrinin somut modelleri üretildi ve Felix Klein 1871'de Öklidyen olmayan geometri terimini türetti ve Erlangen programı aracılığıyla Öklid ve Öklid olmayan geometrileri aynı temele oturttu. Dolaylı olarak, antik çağlardan beri üzerinde çalışılan Dünya'nın küresel geometrisi , Öklidyen olmayan bir geometri, eliptik bir geometriydi .

Gauss dilinde içsel diferansiyel geometrinin gelişimi, öğrencisi Bernhard Riemann tarafından Habilitationsschrift , Geometrinin temelinde yatan hipotezler üzerine teşvik edildi . Bu çalışmada Riemann, Riemann metriği ve Riemann eğrilik tensörü kavramını ilk kez tanıttı ve daha yüksek boyutlarda diferansiyel geometrinin sistematik çalışmasına başladı. Riemann tarafından belirtilen Riemann metriği açısından bu içsel bakış açısı , Gauss'un bir yüzeyin doğrusal elemanı hakkında bir fikrinin gelişimiydi . Bu sırada Riemann , metrik ve eğrilik araştırmalarında ikinci dereceden formlar teorisinden büyük ölçüde yararlanarak, lineer cebir ve çok lineer cebirin sistematik kullanımını konuya dahil etmeye başladı . Şu anda bir hatta nosyonu olarak Riemann henüz bir manifoldu modern kavramını geliştirmek vermedi topolojik uzay rastlanmamış, fakat bunun metrik özelliklerini araştırmak veya ölçmek mümkün olabileceğini teklif etti uzay- yoluyla uzay-zaman içindeki kütlelerin analizi, Euler'in kütlelerin hiçbir kuvvetin etkisi altında yüzeyler üzerinde jeodezikler boyunca hareket etmeyeceğine dair daha önceki gözlemiyle bağlantı kurmak ve Einstein'ın eşdeğerlik ilkesine ilişkin temel gözlemini , bilimsel literatürde ortaya çıkmasından tam 60 yıl önce öngörmek . $ds^{2}$ ${\görüntüleme stili ds}$

Riemann'ın yeni tanımının ardından, diferansiyel geometriyi incelemek için kullanılan tekniklerin odak noktası, eğrilerin ve yüzeylerin araştırılmasının geçici ve dışsal yöntemlerinden tensör hesabı ve Klein'ın Erlangen programı açısından daha sistematik bir yaklaşıma kaydı ve ilerleme arttı. alan içerisinde. Dönüşüm grupları kavramı Sophus Lie ve Jean Gaston Darboux tarafından geliştirildi ve Lie grupları ve simplektik geometri teorisinde önemli sonuçlara yol açtı . Eğri uzaylarda diferansiyel hesap kavramı, 1868'de kovaryant türevi tanımlayan Christoffel sembollerini tanıtan Elwin Christoffel ve manifoldlar hakkında birçok analitik soru inceleyen Eugenio Beltrami de dahil olmak üzere diğerleri tarafından incelenmiştir. 1899'da Luigi Bianchi , Riemann'ın perspektifinden diferansiyel geometriyi inceleyen diferansiyel geometri üzerine Derslerini üretti ve bir yıl sonra Tullio Levi-Civita ve Gregorio Ricci-Curbastro , sistematik olarak mutlak diferansiyel hesap ve tensör hesabı teorisini geliştiren ders kitaplarını üretti . Bu dilde, Einstein tarafından genel görelilik ve sözde Riemann geometrisinin geliştirilmesinde diferansiyel geometri kullanıldı .

Modern diferansiyel geometri (1900 - 2000)

Modern diferansiyel geometrinin konusu önemlisi de dahil olmak üzere birçok matematikçi, bir temel katkıları cevaben 1900'lerin dışına çıkan işin içinde Henri Poincaré temelleri üzerine topoloji . 1900'lerin başında, matematikte, Hilbert'in programı olarak bilinen, titizlik ve doğruluk krizlerinden kaçınmak için konunun temel yönlerini resmileştirmek için büyük bir hareket vardı . Bu daha geniş hareketin bir parçası olarak, bir topolojik uzay kavramı, 1914'te Felix Hausdorff tarafından damıtıldı ve 1942'de, birleşimsel ve diferansiyel-geometrik doğanın birçok farklı manifoldu kavramı vardı.

Einstein'ın genel görelilik kuramının ortaya çıkması ve Einstein Alan denklemlerinin önemi de konuya olan ilgiyi yoğunlaştırdı. Einstein'ın teorisi Ricci ve Levi-Civita tensör analizi ve popüler gösterim kişiye bir metrik Rieman için ve Christoffel semboller için, her iki gelen G içinde Çekim . Élie Cartan , düz manifoldların diferansiyel geometrisinin temellerini dış hesap ve hareketli çerçeveler teorisi açısından yeniden formüle etmeye yardımcı oldu ve fizik dünyasında Einstein-Cartan teorisine öncülük etti . ${\görüntüleme stili g}$ ${\görüntüleme stili \Gama }$

Bu erken gelişmenin ardından , vektör demetleri üzerindeki bağlantıları tanıtan Jean-Louis Koszul , konuya karakteristik sınıfları tanıtan ve karmaşık manifoldlar üzerinde çalışmaya başlayan Shiing-Shen Chern , William Hodge ve Diferansiyel formların anlayışını genişleten Georges de Rham , lif demetleri ve Ehresmann bağlantıları teorisini tanıtan Charles Ehresmann ve diğerleri. Özellikle önemli olan, genel göreliliğin temellerine önemli katkılarda bulunan, konformal geometriye içgörü sağlayan Weyl tensörünü tanıtan ve ilk olarak fizik ve matematikte ayar teorisinin gelişmesine yol açan bir ayar kavramını tanımlayan Hermann Weyl'di .

20. yüzyılın ortalarında ve sonlarında diferansiyel geometri bir konu olarak kapsamı genişledi ve matematik ve fiziğin diğer alanlarıyla bağlantılar geliştirdi. Fizikte ayar teorisi ve Yang-Mills teorisinin gelişimi, demetleri ve bağlantıları odak haline getirerek ayar teorisindeki gelişmelere yol açtı . Atiyah-Singer indeks teoreminin ispatı da dahil olmak üzere birçok analitik sonuç araştırıldı . Karmaşık geometrinin gelişimi, cebirsel geometrideki paralel sonuçlarla desteklendi ve karmaşık manifoldların geometrisi ve global analizindeki sonuçlar Shing-Tung Yau ve diğerleri tarafından kanıtlandı . 20. yüzyılın ikinci yarısında, Grigori Perelman'ın Poincare varsayımının kanıtıyla sonuçlanan Ricci akışı gibi eğrilik akışlarıyla ilgili yeni analitik teknikler geliştirildi . Aynı dönemde, öncelikle Michael Atiyah'ın etkisiyle, teorik fizik ve diferansiyel geometri arasında yeni bağlantılar kuruldu. Yang-Mills denklemleri ve ayar teorisi çalışmasından elde edilen teknikler, matematikçiler tarafından düzgün manifoldların yeni değişmezlerini geliştirmek için kullanıldı. Fields madalyası alan tek fizikçi olan Edward Witten gibi fizikçiler , tahminlerde bulunmak ve yeni titiz matematik için çerçeveler sağlamak için topolojik kuantum alan teorisini ve sicim teorisini kullanarak matematikte yeni etkiler yarattılar, bu da örneğin varsayımsal ayna ile sonuçlandı. simetri ve Seiberg-Witten değişmezleri .

Şubeler

Riemann geometrisi

Riemann geometrisi çalışmaları Riemann manifoldları , Riemann metriği ile düzgün manifoldlar . Bu, her noktada teğet uzayı üzerinde tanımlanan düzgün pozitif belirli simetrik çift doğrusal form aracılığıyla ifade edilen bir mesafe kavramıdır . Riemann geometrisi, Öklid geometrisini , düz olması gerekmeyen uzaylara genelleştirir , ancak yine de her noktada Öklid uzayına sonsuz küçüklükle, yani ilk yaklaşıklık derecesine benzerler . Eğrilerin yay uzunluğu , düzlem bölgelerinin alanı ve katıların hacmi gibi uzunluğa dayalı çeşitli kavramların tümü, Riemann geometrisinde doğal analoglara sahiptir. Bir kavramı yönlü türevi bir işlev çok değişkenli matematik bir kavramına genişletilir bildirdiğinden türevinin a tensör . Birçok analiz ve diferansiyel denklem kavramı, Riemann manifoldlarının ayarına genelleştirilmiştir.

Riemann manifoldları arasındaki mesafeyi koruyan difeomorfizme izometri denir . Bu kavram yerel olarak da tanımlanabilir , yani küçük nokta komşuları için. Herhangi iki normal eğri yerel olarak izometriktir. Bununla birlikte, Carl Friedrich Gauss'un Teorema Egregium'u , yüzeyler için, yerel bir izometrinin varlığının , karşılık gelen noktalarda Gauss eğriliklerinin aynı olması gerektiğini zorunlu kıldığını gösterdi . Daha yüksek boyutlarda, Riemann eğrilik tensörü , düz olmaya ne kadar yakın olduğunu ölçen bir Riemann manifoldu ile ilişkili önemli bir noktasal değişmezdir. Riemann manifoldlarının önemli bir sınıfı , eğriliği mutlaka sabit olmayan Riemann simetrik uzaylarıdır . Bunlar, Öklid ve Öklid dışı geometride düşünülen "sıradan" düzlem ve uzaya en yakın analoglardır .

Sözde Riemann geometrisi

Sözde Riemann geometrisi, Riemann geometrisini metrik tensörün pozitif tanımlı olması gerekmediği duruma genelleştirir . Bunun özel bir durumu, Einstein'ın genel görelilik kuramının matematiksel temeli olan bir Lorentzian manifoldudur .

Finsler geometrisi

Finsler geometrisi, çalışmanın ana amacı olarak Finsler manifoldlarına sahiptir . Bu, bir Finsler metriği olan bir diferansiyel manifolddur , yani her tanjant uzayı üzerinde tanımlanmış bir Banach normudur . Riemann manifoldları, daha genel Finsler manifoldlarının özel durumlarıdır. $M$ manifoldu üzerindeki bir Finsler yapısı, $F : T M \to [0, \infty)$ fonksiyonudur $,$ öyle ki:

$F (x, benim) = m F (x, y)$ her için $(x, y)$ olarak $, T, M$ ve $m \geq0$ ,
$F$ , $T M ∖ {0}$ içinde sonsuz türevlenebilir,
$F 2'nin$ dikey Hessian'ı pozitif tanımlıdır.

basit geometri

Simplektik geometri , simplektik manifoldların çalışmasıdır . Bir neredeyse simplektik manifoldu da düzgün farklılaşan bir donatılmış türevlenebilir manifolddur dejenere olmayan ters simetrik iki doğrusal biçimde her bir teğet alanı, yani, dejenere olmayan bir 2-on şekilde w adlandırılan simplektik formu . Bir simplektik manifold, simplektik form ω'nin kapalı olduğu hemen hemen simplektik bir manifolddur : d ω = 0 .

Simplektik formu koruyan iki simplektik manifold arasındaki bir difeomorfizme, bir semlektomorfizm denir . Dejenere olmayan çarpık-simetrik çift doğrusal formlar sadece çift boyutlu vektör uzaylarında var olabilir, bu nedenle simplektik manifoldlar zorunlu olarak çift boyuta sahiptir. 2. boyutta, bir simplektik manifold sadece bir alan formuna sahip bir yüzeydir ve bir symlectomorphism, alanı koruyan bir difeomorfizmdir. Faz uzayı mekanik sistemin bir simplektik manifoldu ve onlar çalışmalarına şimdiden örtük bir görünüm getirmişti Joseph Louis Lagrange üzerinde analitik mekaniği ve daha sonra Carl Gustav Jacobi 'ler ve William Rowan Hamilton ' ın klasik mekaniğin formülasyonları .

Eğriliğin Riemann manifoldlarının yerel bir değişmezini sağladığı Riemann geometrisinin aksine , Darboux teoremi tüm simplektik manifoldların yerel olarak izomorfik olduğunu belirtir. Bir simplektik manifoldun tek değişmezleri, doğası gereği globaldir ve topolojik yönler, simplektik geometride önemli bir rol oynar. Simplektik topolojisinde ilk sonuç muhtemelen Poincaré-Birkhoff teoremi tarafından conjectured, Henri Poincaré tarafından ve daha sonra kanıtladı GD Birkhoff Bir haritasını koruyarak bir alan varsa iddia 1912 yılında halka zıt yönlerde her sınır bileşeni büker, ardından haritası vardır en az iki sabit nokta.

Temas geometrisi

Temas geometrisi , tek boyutlu belirli manifoldlarla ilgilenir. Simplektik geometriye yakındır ve ikincisi gibi, klasik mekanikle ilgili sorulardan kaynaklanmaktadır. Bir kontak yapısı bir ilgili (2 , n + 1) boyutlu manifoldu M düzgün bir hiper alanı aşağıdaki şekilde verilir , H olarak tanjant demeti üzerinde türevlenebilir fonksiyon düzeyi kümeleri ile ilişkilidir gelen mümkün olduğu kadar olan M (uzmanlık alanı kavramı "tamamen entegre edilemez teğet hiperdüzlem dağılımı" dır. Her p noktasının yakınında , bir hiperdüzlem dağılımı, hiçbir yerde kaybolmayan bir 1-form tarafından belirlenir ; bu, hiçbir yerde kaybolmayan bir fonksiyonla çarpmaya kadar benzersizdir: ${\görüntüleme stili \alfa }$

H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.

Yerel bir 1-bir şekilde M bir olan iletişim formu kendi restriksiyon ise dış türevi için H dejenere olmayan bir, iki şeklidir ve bu nedenle bir simplektik yapıya neden H _p her noktada. H dağılımı global bir tek-form ile tanımlanabiliyorsa, bu form sadece ve sadece üst-boyutlu form ise temas halindedir. ${\görüntüleme stili \alfa }$

\alpha \kama (d\alpha )^{n}

M üzerinde bir hacim formudur , yani hiçbir yerde kaybolmaz. Darboux teoreminin bir temas analogu şöyledir: tek boyutlu bir manifold üzerindeki tüm temas yapıları yerel olarak izomorfiktir ve uygun bir koordinat sistemi seçimi ile belirli bir yerel normal forma getirilebilir.

Karmaşık ve Kähler geometrisi

Karmaşık diferansiyel geometri , karmaşık manifoldların incelenmesidir . Bir Hemen hemen kompleks manifoldu a, gerçek manifoldu , bir ile donatılmış, tensör türü (1, 1 '), diğer bir deyişle vektör demeti Endomorfizma (bir adlandırılan neredeyse kompleks yapısı ) ${\görüntüleme stili M}$

J:TM\rightarrowTM

, öyle ki

J^{2}=-1.\,

Bu tanımdan, neredeyse karmaşık bir manifoldun çift boyutlu olduğu sonucu çıkar.

Nijenhuis tensörü (veya bazen burulma ) olarak adlandırılan, ile ilgili (2, 1) tipinde bir tensör ise , neredeyse karmaşık bir manifolda karmaşık denir . Neredeyse karmaşık bir manifold, ancak ve ancak bir holomorfik koordinat atlasını kabul ederse karmaşıktır . Bir neredeyse Hermitesel yapısı , neredeyse karmaşık bir yapı ile verilir J bir birlikte Rieman metrik g uyumluluk koşulu, $N_{J}=0$ ${\ Displaystyle N_{J}}$ ${\görüntüleme stili J}$

{\görüntüleme stili g(JX,JY)=g(X,Y)\,}

.

Neredeyse Hermityen bir yapı, doğal olarak bir diferansiyel iki-formu tanımlar.

\omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y)\,

.

Aşağıdaki iki koşul eşdeğerdir:

$N_{J}=0{\mbox{ ve }}d\omega=0\,$
${\görüntüleme stili \nabla J=0\,}$

nerede olduğunu Levi-Civita bağlantısı arasında . Bu durumda, Kähler yapısı olarak adlandırılır ve Kähler manifoldu , Kähler yapısına sahip bir manifolddur. Özellikle, bir Kähler manifoldu hem karmaşık hem de simplektik bir manifolddur . Kähler manifoldlarının büyük bir sınıfı ( Hodge manifoldlarının sınıfı ), tüm düzgün kompleks projektif çeşitler tarafından verilir . ${\görüntüleme stili\nabla }$ ${\görüntüleme stili g}$ ${\görüntüleme stili (J,g)}$

CR geometrisi

CR geometrisi , karmaşık manifoldlardaki alanların sınırlarının içsel geometrisinin incelenmesidir .

konformal geometri

Uyumlu geometri , bir uzayda açıyı koruyan (uyumlu) dönüşümler kümesinin incelenmesidir.

diferansiyel topoloji

Diferansiyel topoloji , metrik veya simplektik bir form olmadan küresel geometrik değişmezlerin incelenmesidir.

Diferansiyel topolojisi gibi doğal işlemler başlar Lie türevi doğal vektör demetleri ve Rham diferansiyel de bir formları . Lie cebirlerinin yanı sıra , Courant cebirleri de daha önemli bir rol oynamaya başlar.

yalan grupları

Bir Lie grubu , düzgün manifoldlar kategorisindeki bir gruptur . Cebirsel özelliklerin yanı sıra, bu aynı zamanda diferansiyel geometrik özelliklere de sahiptir. En belirgin yapı, sol-değişmez vektör alanları arasında Lie ayracı ile donatılmış birimdeki teğet uzay olan bir Lie cebirininkidir . Yapı teorisinin yanı sıra geniş bir temsil teorisi alanı da vardır .

geometrik analiz

Geometrik analiz , diferansiyel geometri ve diferansiyel topolojide yeni sonuçlar oluşturmak için diferansiyel denklemlerden, özellikle eliptik kısmi diferansiyel denklemlerden araçların kullanıldığı matematiksel bir disiplindir.

gösterge teorisi

Ayar teorisi, vektör demetleri ve ana demetler üzerindeki bağlantıların incelenmesidir ve standart parçacık fiziği modelini destekleyen matematiksel fizik ve fiziksel ayar teorilerindeki problemlerden ortaya çıkar . Gauge teorisi, demetler üzerindeki bağlantılar için diferansiyel denklemlerin incelenmesi ve bu denklemlerin çözümlerinin elde edilen geometrik modül uzayları ve bunlardan türetilebilecek değişmezler ile ilgilidir. Bu denklemler genellikle kuantum alan teorisindeki belirli fiziksel sistemlerin hareket denklemlerini tanımlayan Euler-Lagrange denklemleri olarak ortaya çıkar ve bu nedenle çalışmaları fizikte büyük ilgi görmektedir.

Paketler ve bağlantılar

Aparat vektör demetleri , ana demetleri ve bağlantıları demetleri üzerinde, modern diferansiyel geometride olağanüstü önemli bir rol oynar. Düzgün bir manifold her zaman doğal bir vektör demeti, yani teğet demeti taşır . Açıkça söylemek gerekirse, bu yapı kendi başına yalnızca manifold üzerinde analiz geliştirmek için yeterlidir, öte yandan geometri yapmak, ek olarak, farklı noktalarda teğet uzayları ilişkilendirmenin bir yolunu, yani bir paralel taşıma kavramını gerektirir . Önemli bir örnek, afin bağlantılar tarafından sağlanmaktadır . Bir yüzey için R ³ , farklı noktalarda teğet düzlemler metrik ve paralelliği iyi bilinen standart tanıma sahip ortam Öklid alan tarafından indüklenen doğal yol-bazlı paralel işlemler kullanılarak tespit edilebilir. Gelen Riemannsal geometri , Levi-Civita bağlantısı da benzer bir amaca hizmet eder. Daha genel olarak, diferansiyel geometriler, bir vektör demeti ve bir metrik olarak tanımlanmayan keyfi bir afin bağlantısı olan uzayları dikkate alır. Fizikte, manifold uzay-zaman olabilir ve demetler ve bağlantılar çeşitli fiziksel alanlarla ilgilidir.

İçsel ve dışsal

19. yüzyılın başından itibaren ve ortalarına kadar, diferansiyel geometri dışsal bir bakış açısıyla incelendi : eğriler ve yüzeyler, daha yüksek boyutlu bir Öklid uzayında (örneğin , üç boyutlu bir ortam uzayındaki bir yüzey) uzanıyor olarak kabul edildi. . En basit sonuçlar, eğrilerin diferansiyel geometrisindeki ve yüzeylerin diferansiyel geometrisindeki sonuçlardır. Çalışmalarına başlayarak Riemann , içsel bakış açısı, içerisindeki bir o ayaklı şekilde verildiği düşünülür çünkü geometrik nesne "dışında" hareketli söz edemez geliştirildi. Buradaki temel sonuç , Gauss eğriliğinin içsel bir değişmez olduğu etkisine ilişkin Gauss teoremi egregium'dur .

İçsel bakış açısı daha esnektir. Örneğin, uzay-zamanın doğal olarak dışsal olarak alınamadığı görelilikte yararlıdır. Bununla birlikte, teknik karmaşıklığın ödenmesi gereken bir bedeli vardır: eğriliğin ve bağlantıların içsel tanımları görsel olarak çok daha az sezgisel hale gelir.

Bu iki bakış açısı uzlaştırılabilir, yani dış geometri, içsel olana ek bir yapı olarak düşünülebilir. (Bkz. Nash gömme teoremi .) Geometrik hesabın formalizminde, bir manifoldun hem dışsal hem de içsel geometrisi, şekil operatörü adı verilen tek bir çift vektör değerli tek form ile karakterize edilebilir .

Uygulamalar

Aşağıda diferansiyel geometrinin diğer bilim ve matematik alanlarına nasıl uygulandığına dair bazı örnekler verilmiştir.

Olarak fizik , diferansiyel geometri, aşağıdakileri içeren bir çok uygulaması vardır:
- Diferansiyel geometri dildir Einstein 'in Genel Teori ifade edilir. Teoriye göre evren, uzay-zamanın eğriliğini tanımlayan sözde Riemann metriğiyle donatılmış düzgün bir manifolddur . Bu eğriliği anlamak, uyduların dünya etrafındaki yörüngeye yerleştirilmesi için çok önemlidir . Diferansiyel geometri, yerçekimi merceklenmesi ve kara delikler çalışmasında da vazgeçilmezdir .
- Elektromanyetizma çalışmalarında diferansiyel formlar kullanılır .
- Diferansiyel geometrisi hem uygulamaları vardır Lagrange mekaniği ve Hamilton mekanik . Özellikle simplektik manifoldlar Hamilton sistemlerini incelemek için kullanılabilir .
- Riemann geometrisi ve temas geometrisi , klasik denge termodinamiğinde uygulamalar bulan geometrotermodinamik formalizmini oluşturmak için kullanılmıştır .
Gelen kimya ve biyofizik değişen basınç altında hücre zarı yapısının modellerken.
Gelen ekonomi , diferansiyel geometri alanına uygulamaları vardır ekonometri .
Geometrik modelleme ( bilgisayar grafikleri dahil ) ve bilgisayar destekli geometrik tasarım , diferansiyel geometriden gelen fikirlerden yararlanır.
Olarak mühendislik , diferansiyel geometri sorunları çözmek için uygulanabilir dijital sinyal işleme .
Olarak kontrol teori , diferansiyel geometri doğrusal olmayan denetleyicileri analiz etmek için kullanılabilir, özel olarak , geometrik kontrol
Olarak olasılık , istatistik ve bilgi teorisi , tek bir alanını verir Rieman manifoldları gibi çeşitli yapılar yorumlayabilir bilgi geometrisi , özellikle yoluyla, Fisher bilgi metrik .
Olarak yapısal jeoloji , diferansiyel geometri analiz ve jeolojik yapısını tarif etmek için kullanılır.
Olarak bilgisayar görme , diferansiyel geometri şekilleri analiz etmek için kullanılır.
Olarak görüntü işleme , diferansiyel geometri işlemi için kullanılan ve düz olmayan yüzeylere verileri analiz edilir.
Grigori Perelman'ın Poincaré varsayımının Ricci akışlarının tekniklerini kullanarak kanıtı, topolojideki sorulara diferansiyel-geometrik yaklaşımın gücünü gösterdi ve analitik yöntemlerinin oynadığı önemli rolü vurguladı.
Gelen kablosuz iletişim , Grassmannian manifoldlar için kullanılan Beamforming teknikleri çoklu anten sistemleri.

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

Ethan D. Bloch (27 Haziran 2011). Geometrik Topoloji ve Diferansiyel Geometride İlk Ders . Boston: Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-0-8176-8122-7. OCLC 811474509 .
Burke, William L. (1997). Uygulamalı diferansiyel geometri . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 0-521-26929-6. OCLC 53249854 .
do Carmo, Manfredo Perdigão (1976). Eğrilerin ve yüzeylerin diferansiyel geometrisi . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN'si 978-0-13-212589-5. OCLC 1529515 .
Frankel, Theodore (2004). Fiziğin geometrisi: bir giriş (2. baskı). New York: Cambridge University Press. ISBN'si 978-0-521-53927-2. OCLC 51855212 .
Elsa Abbena; Simon Salamon; Alfred Gray (2017). Mathematica ile Eğrilerin ve Yüzeylerin Modern Diferansiyel Geometrisi (3. baskı). Boca Raton: Chapman ve Hall/CRC. ISBN'si 978-1-351-99220-6. OCLC 1048919510 .
Kreyszig, Erwin (1991). Diferansiyel Geometri . New York: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-66721-8. OCLC 23384584 .
Kühnel, Wolfgang (2002). Diferansiyel Geometri: Eğriler – Yüzeyler – Manifoldlar (2. baskı). Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği. ISBN'si 978-0-8218-3988-1. OCLC 61500086 .
McCleary, John (1994). Türevlenebilir bir bakış açısından geometri . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 0-521-13311-4. OCLC 915912917 .
Spivak, Michael (1999). Diferansiyel Geometriye Kapsamlı Bir Giriş (5 Cilt) (3. baskı). Yayınla ya da yok ol. ISBN'si 0-914098-72-1. OCLC 179192286 .
ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Ön uç görme ve çok ölçekli görüntü analizi: Mathematica'da yazılmış çok ölçekli bilgisayarla görme teorisi ve uygulamaları . Dordrecht: Kluwer Akademik. ISBN'si 978-1-4020-1507-6. OCLC 52806205 .

Languages

In other projects