Küp - Cube
Düzenli altı yüzlü | |
---|---|
(Döner model için buraya tıklayın) |
|
Tip | Platonik katı |
kısa kod | 4= |
Elementler |
F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2) |
yan yüzler | 6{4} |
Conway gösterimi | C |
Schläfli sembolleri | {4,3} |
t{2,4} veya {4}×{} tr{2,2} veya {}×{}×{} |
|
Yüz yapılandırması | V3.3.3.3 |
Wythoff sembolü | 3 | 2 4 |
Coxeter diyagramı | |
Simetri | O h , B 3 , [4,3], (*432) |
Rotasyon grubu | O , [4,3] + , (432) |
Referanslar | U 06 , Cı- 18 , B 3 |
Özellikler | düzenli , dışbükey zonohedron |
Dihedral açı | 90° |
4.4.4 ( Tepe şekli ) |
Oktahedron ( çift çokyüzlü ) |
Ağ |
İn geometrisi , bir küp a, üç boyutlu altı tarafından sınırlanan katı nesne kare yüzleri, yüzlerin her biri üç toplantı ile ya da iki tepe noktası .
Küp tek düzenli altı yüzlüdür ve Platonik beş katıdan biridir . 6 yüzü, 12 kenarı ve 8 köşesi vardır.
Küp aynı zamanda bir kare paralelyüzlü , bir eşkenar küboid ve bir sağ eşkenar dörtgendir . Üç yönelimde düzenli bir kare prizma ve dört yönelimde bir trigonal yamuktur .
Küp çift için octahedron . Kübik veya oktahedral simetriye sahiptir .
Küp, tüm yüzleri kare olan tek dışbükey çokyüzlüdür .
ortogonal projeksiyonlar
Küp dört özel olan ortogonal çıkıntıları olan bir tepe noktası, kenarlar, yüz ve normal merkezli, tepe şekil . Birinci ve üçüncü, A 2 ve B 2 Coxeter düzlemlerine karşılık gelir .
tarafından merkezli | Yüz | tepe noktası |
---|---|---|
Coxeter uçakları |
B 2 |
bir 2 |
projektif simetri |
[4] | [6] |
Eğik görünümler |
küresel döşeme
Küp ayrıca küresel bir döşeme olarak temsil edilebilir ve bir stereografik projeksiyon yoluyla düzleme yansıtılabilir . Bu izdüşüm uyumlu , açıları koruyor, ancak alanları veya uzunlukları değil. Küre üzerindeki düz çizgiler, düzlem üzerinde dairesel yaylar olarak yansıtılır.
Ortografik projeksiyon | stereografik izdüşüm |
---|
Kartezyen koordinatları
Kenarları eksenlere paralel ve kenar uzunluğu 2 olan, orijinde merkezli bir küp için , köşelerin Kartezyen koordinatları şu şekildedir:
- (±1, ±1, ±1)
İç (tüm noktalardan oluşur ise X 0 , x 1 , x 2 -1 ile <) x i <tüm 1 i .
denklem
Olarak analitik geometri , merkezi olan bir küp yüzeyi ( x 0 , y 0 , z 0 ) ve kenar uzunluğu 2a olan lokus tüm noktaları ( x , y , z ) bu şekilde
Üç üs de sonsuza yaklaştığından , bir küp ayrıca bir 3B süperelipsoidin sınırlayıcı durumu olarak düşünülebilir .
formüller
Kenar uzunluğundaki bir küp için :
yüzey alanı | Ses | ||
yüz diyagonal | uzay köşegeni | ||
sınırlı kürenin yarıçapı | kenarlara teğet kürenin yarıçapı | ||
yazılı kürenin yarıçapı | yüzler arasındaki açılar ( radyan cinsinden ) |
Bir küpün hacmi kenarlarının üçüncü kuvveti olduğundan , üçüncü kuvvetlere kareler ve ikinci kuvvetlere benzetilerek küp denir .
Bir küp, belirli bir yüzey alanına sahip küboidler (dikdörtgen kutular) arasında en büyük hacme sahiptir . Ayrıca, bir küp, aynı toplam doğrusal boyuta (uzunluk+genişlik+yükseklik) sahip küboidler arasında en büyük hacme sahiptir.
Uzayda nokta
Çevreleyen küre yarıçapı R olan bir küp için ve 3 boyutlu uzayında küpün sekiz köşesinden uzaklıkları d i olan belirli bir nokta için:
Küpü ikiye katlamak
Küpü iki katına çıkarmak ya da Delian problemi , eski Yunan matematikçilerinin , verilen bir küpün kenarının uzunluğuyla başlamak ve bir küpün kenarının uzunluğunu, iki katı olan bir küpün kenarının uzunluğunu oluşturmak için yalnızca bir pergel ve cetvel kullanarak ortaya koydukları problemdi . orijinal küpün hacmi. Bu sorunu çözemediler ve 1837'de Pierre Wantzel bunun imkansız olduğunu kanıtladı çünkü 2'nin küp kökü oluşturulabilir bir sayı değil .
Tek tip renklendirmeler ve simetri
Küp, her bir köşe etrafındaki kare yüzlerin renkleriyle adlandırılan üç tek tip renge sahiptir: 111, 112, 123.
Küp, yüzlerin tepe noktası geçişli renklendirilmesiyle temsil edilebilen dört simetri sınıfına sahiptir . En yüksek oktahedral simetri O h'nin tüm yüzleri aynı renge sahiptir. Dihedral simetri D 4h dört tarafı da aynı renk olmak üzere bir prizma olarak küp gelir. Prizmatik alt kümeler D 2d , bir öncekiyle aynı renge sahiptir ve D 2h , zıt taraflarla eşleştirilmiş toplam üç renk için yanları için alternatif renklere sahiptir. Her simetri formunun farklı bir Wythoff sembolü vardır .
İsim | Düzenli altı yüzlü |
kare prizma | dikdörtgen yamuk |
dikdörtgen küboid |
eşkenar prizma |
köşeli trapezohedron |
---|---|---|---|---|---|---|
Coxeter diyagramı |
||||||
Schläfli sembolü |
{4,3} | {4}×{ } rr{4,2} |
s 2 {2,4} | { } 3 tur {2,2} |
{ }×2{ } | |
Wythoff sembolü |
3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |||
Simetri | O h [4,3] (*432) |
D 4h [4,2] (*422) |
D 2d [4,2 + ] (2*2) |
D 2h [2,2] (*222) |
D 3d [6,2 + ] (2*3) |
|
simetri sırası |
24 | 16 | 8 | 8 | 12 | |
Görüntü (tek tip boyama) |
(111) |
(112) |
(112) |
(123) |
(112) |
(111), (112) |
geometrik ilişkiler
Bir küpün on bir ağı vardır (biri yukarıda gösterilmiştir): yani, içi boş bir küpü yedi kenar keserek düzleştirmenin on bir yolu vardır. Küpü iki bitişik yüzün aynı renge sahip olmayacağı şekilde renklendirmek için en az üç renk gerekir.
Küp, üç boyutlu Öklid uzayının tek düzenli döşemesinin hücresidir . Aynı zamanda, çift sayıda kenarı olan yüzlere sahip olması bakımından Platonik katılar arasında benzersizdir ve sonuç olarak, bu grubun bir zonohedron olan tek üyesidir (her yüzün nokta simetrisi vardır).
Küp, altı özdeş kare piramit şeklinde kesilebilir . Bu kare piramitler daha sonra ikinci bir küpün yüzlerine eklenirse , eşkenar dörtgen bir dodekahedron elde edilir (eş düzlemli üçgen çiftleri eşkenar dörtgen yüzler halinde birleştirilir).
Diğer boyutlar
Dört boyutlu Öklid uzayındaki bir küpün analoğunun özel bir adı vardır - bir tesseract veya hiperküp . Daha uygun bir şekilde, bir hiperküp (ya da n- boyutlu küp ya da sadece n -cube) 'de küpün analogudur n boyutlu Öklid alan ve bir tesseract düzeni-4 hiperküp olup. Hiperküp ayrıca ölçü politopu olarak da adlandırılır .
Küpün alt boyutlarda da benzerleri vardır: 0 boyutunda bir nokta , bir boyutta bir doğru parçası ve iki boyutta bir kare.
İlgili çokyüzlü
Küpün antipodal haritaya oranı , hemicube olan yansıtmalı bir çokyüzlü verir .
Orijinal küpün kenar uzunluğu 1 ise, ikili polihedronunun (bir oktahedron ) kenar uzunluğu vardır .
Küp, genel çokyüzlülerin çeşitli sınıflarında özel bir durumdur:
İsim | Eşit kenar uzunlukları? | Eşit açılar? | Doğru açılar? |
---|---|---|---|
Küp | Evet | Evet | Evet |
eşkenar dörtgen | Evet | Evet | Numara |
küboid | Numara | Evet | Evet |
paralel borulu | Numara | Evet | Numara |
dörtgen yüzlü altı yüzlü | Numara | Numara | Numara |
Bir küpün köşeleri, her biri düzenli bir dörtyüzlü oluşturan dörtlü iki gruba ayrılabilir ; daha genel olarak buna demicube denir . Bu ikisi birlikte düzenli bir bileşik olan stella octangula'yı oluşturur . İkisinin kesişimi düzgün bir oktahedron oluşturur. Düzenli bir tetrahedronun simetrileri, her bir tetrahedronu kendisine eşleyen bir küpün simetrilerine karşılık gelir; küpün diğer simetrileri ikisini birbirine eşler.
Böyle bir düzenli tetrahedron bir hacme sahiptir. 1/3küpünki. Geriye kalan boşluk, hacim olarak dört eşit düzensiz dörtyüzlüden oluşur.1/6 küpün her biri.
Doğrultulmuş küp cuboctahedron . Daha küçük köşeler kesilirse, altı sekizgen yüzlü ve sekiz üçgen yüzlü bir çokyüzlü elde ederiz . Özellikle düzenli sekizgenler elde edebiliriz ( kesik küp ). Rhombicuboctahedron doğru miktarda her iki köşe ve kenarlar kesilerek elde edilir.
Bir küp, bir dodekahedron içine yazılabilir, böylece küpün her bir köşesi, oniki yüzlünün bir tepe noktasıdır ve her bir kenar, oniki yüzlünün yüzlerinden birinin bir köşegenidir; tüm bu küpleri almak, beş küpün düzenli bileşimini verir.
Bir küpün karşılıklı iki köşesi, kendilerine doğrudan bağlanan üç köşenin derinliğinde kesilirse, düzensiz bir oktahedron elde edilir. Bu düzensiz oktahedralardan sekizi, küboctahedron elde etmek için düzgün bir oktahedronun üçgen yüzlerine eklenebilir.
Küp topolojik olarak bir dizi küresel çokyüzlüler ve sıra-3 köşe figürleriyle döşemelerle ilişkilidir .
* n 32 düzenli döşemelerin simetri mutasyonu: { n ,3} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Küresel | Öklidyen | Kompakt hiperb. | Parako. | kompakt olmayan hiperbolik | |||||||
{2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} | {12i,3} | {9i,3} | {6i,3} | {3i,3} |
Küboctahedron, küp ve düzenli oktahedron ile ilgili bir tek tip çokyüzlü ailesinden biridir.
Tek tip oktahedral çokyüzlü | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetri : [4,3], (*432) | [4,3] + (432) |
[1 + ,4,3] = [3,3] (*332) |
[3 + ,4] (3*2) |
|||||||
{4,3} | t{4,3} |
r{4,3} r{3 1,1 } |
t{3,4} t{3 1,1 } |
{3,4} {3 1,1 } |
rr{4,3} s 2 {3,4} |
tr{4,3} | sr{4,3} |
h{4,3} {3,3} |
h 2 {4,3} t{3,3} |
s{3,4} s{3 1,1 } |
= |
= |
= |
= veya |
= veya |
= |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Tekdüze çokyüzlülere çiftler | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V(3.4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Küp, hiperbolik düzleme uzanan düzenli döşemeler dizisinin bir parçası olarak topolojik olarak ilişkilidir : {4,p}, p=3,4,5...
* n 42 düzenli döşemelerin simetri mutasyonu: {4, n } | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Küresel | Öklidyen | kompakt hiperbolik | Parakompakt | ||||||||
{4,3} |
{4,4} |
{4,5} |
{4,6} |
{4,7} |
{4,8} ... |
{4,∞} |
İle dihedral simetri , Dih 4 , küp topolojik hiperbolik düzlemde uzanan, üniform çokyüzlüler ve döşemeler 4.2n.2n bir dizi ile ilgilidir:
* n 42 n kesik döşemelerin simetri mutasyonu: 4.2 n .2 n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetri * n 42 [n,4] |
Küresel | Öklidyen | kompakt hiperbolik | Parakomp. | |||||||
*242 [2,4] |
*342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4]... |
*∞42 [∞,4] |
||||
Kesik rakamlar |
|||||||||||
Yapılandırma | 4.4.4 | 4.6.6 | 4.8.8 | 4.10.10 | 4.12.12 | 4.14.14 | 4.16.16 | 4.∞.∞ | |||
n-kis rakamlar |
|||||||||||
Yapılandırma | V4.4.4 | V4.6.6 | V4.8.8 | V4.10.10 | V4.12.12 | V4.14.14 | V4.16.16 | V4.∞.∞ |
Bütün bu şekiller oktahedral simetriye sahiptir .
Küp, [ n ,3] Coxeter grup simetrisine sahip eşkenar dörtgen çokyüzlüler ve döşemeler dizisinin bir parçasıdır . Küp, eşkenar dörtgenlerin kare olduğu eşkenar dörtgen bir altı yüzlü olarak görülebilir.
İkili yarı-düzenli döşemelerin simetri mutasyonları: V(3.n) 2 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
*n32 | Küresel | Öklidyen | hiperbolik | ||||||||
*332 | *432 | *532 | *632 | *732 | *832... | *∞32 | |||||
döşeme | |||||||||||
Konf. | V(3.3) 2 | V(3.4) 2 | V(3.5) 2 | V(3.6) 2 | V(3.7) 2 | V(3.8) 2 | V(3.∞) 2 |
Küp bir kare prizmadır :
prizma adı | köşegen prizma | ( Üçgen ) Üçgen prizma |
( Dörtgen ) Kare prizma |
beşgen prizma | altıgen prizma | yedigen prizma | sekizgen prizma | enneagonal prizma | ongen prizma | altıgen prizma | onikigen prizma | ... | Apeirogonal prizma |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
çokyüzlü görüntü | ... | ||||||||||||
Küresel döşeme görüntüsü | Düzlem döşeme resmi | ||||||||||||
Köşe yapılandırması. | 2.4.4 | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | ... | ∞.4.4 |
Coxeter diyagramı | ... |
Bir üçgen yamuk olarak , küp altıgen dihedral simetri ailesi ile ilgilidir.
Tek tip altıgen dihedral küresel çokyüzlü | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetri : [6,2] , (*622) | [6,2] + , (622) | [6,2 + ], (2*3) | ||||||||||||
{6,2} | t{6,2} | r{6,2} | t{2,6} | {2,6} | sağ {6,2} | tr{6,2} | sr{6,2} | s{2,6} | ||||||
Üniformalar için ikili | ||||||||||||||
V6 2 | V12 2 | V6 2 | V4.4.6 | V2 6 | V4.4.6 | V4.4.12 | V3.3.3.6 | V3.3.3.3 |
Üç küpün bileşimi |
Beş küpten oluşan bileşik |
Üniforma petek ve polychora içinde
28 dışbükey tek tip peteğin 9'unun bir elemanıdır :
Aynı zamanda beş dört boyutlu tek tip polikoranın bir öğesidir :
Tesseract |
Kantelatlı 16 hücreli |
Runcinated tesseract |
Cantitruncated 16 hücreli |
Runcitruncated 16 hücreli |
Kübik grafik
Kübik grafik | |
---|---|
Adını | Q, 3 |
tepe noktaları | 8 |
Kenarlar | 12 |
yarıçap | 3 |
Çap | 3 |
çevre | 4 |
otomorfizmler | 48 |
kromatik sayı | 2 |
Özellikler | Hamiltonian , düzenli , simetrik , mesafe-düzenli , mesafe-geçişli , 3-köşe bağlantılı , iki parçalı , düzlemsel grafik |
Grafikler ve parametreler tablosu |
İskelet küp (köşeler ve kenarlar) bir formu grafik 8 köşe ve 12 kenarlı. Hiperküp grafiğinin özel bir halidir . Her biri kendi Platonik katısının bir iskeleti olan 5 Platonik grafikten biridir .
Bir uzantı üç boyutlu k -ary Hamming grafiği için, k = 2 küp grafiktir. Bu tür grafikler, bilgisayarlarda paralel işleme teorisinde ortaya çıkar .
Ayrıca bakınız
Referanslar
Dış bağlantılar
- Weisstein, Eric W. "Küp" . Matematik Dünyası .
- Küp: Etkileşimli Çokyüzlü Model *
- Etkileşimli animasyonlu bir küpün hacmi
- Küp (Robert Webb'in sitesi)
Aile | bir n | B n | ben 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
düzgün çokgen | Üçgen | Meydan | p-gon | Altıgen | Pentagon | |||||||
tek tip çokyüzlü | dörtyüzlü | Oktahedron • Küp | yarım küp | Dodecahedron • Icosahedron | ||||||||
tek tip polikoron | Pentakoron | 16 hücreli • Tesseract | Demitesseract | 24 hücreli | 120 hücreli • 600 hücreli | |||||||
Tek tip 5-politop | 5-simpleks | 5-ortopleks • 5 küp | 5 demiküb | |||||||||
Tek tip 6-politop | 6-simpleks | 6-ortopleks • 6-küp | 6-demicube | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Tek tip 7-politop | 7-simpleks | 7-ortopleks • 7-küp | 7-demicube | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Üniforma 8-politop | 8-simpleks | 8-ortoplex • 8-küp | 8-demicube | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Tek tip 9-politop | 9-simpleks | 9-ortopleks • 9-küp | 9-demicube | |||||||||
Tek tip 10-politop | 10-simpleks | 10-ortopleks • 10 küp | 10-demiküb | |||||||||
Üniforma n - politop | n - tek yönlü | n - ortoplex • n - küp | n - yarım küp | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - beşgen politop | |||||||
Konular: Politop aileleri • Düzenli politop • Düzenli politopların ve bileşiklerin listesi |