Pergalı Apollonius - Apollonius of Perga

Konik bölümler ya da iki-boyutlu şekiller farklı açılarda bir koni olan bir düzlemin kesişimi tarafından oluşturulan. Bu figürlerin teorisi, özellikle Perga'lı Apollonius gibi eserlerde hayatta kalan eski Yunan matematikçiler tarafından kapsamlı bir şekilde geliştirildi. Konik bölümler modern matematiğe hakimdir.

Pergeden Apolonyus ( Yunanca : Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος ; Latince : Apolonyus Pergaeus ; c.  240 MÖ  . - c  190 BC ) bir olduğu Eski Yunan geometri ve astronomi üzerine çalışmaları için bilinen konik kesitler . Öklid ve Arşimet'in konuya katkılarından yola çıkarak bunları analitik geometrinin icadından önceki duruma getirmiştir . Elips , parabol ve hiperbol terimlerinin tanımlarıbugün kullanılanlardır. Gottfried Wilhelm Leibniz , “Arşimet ve Apollonius'u anlayan kişi, sonraki zamanların önde gelen adamlarının başarılarına daha az hayran kalacak” dedi.

Apollonius, astronomi de dahil olmak üzere birçok başka konuda çalıştı. İstisnaların tipik olarak diğer yazarlar tarafından atıfta bulunulan parçalar olduğu bu çalışmanın çoğu günümüze ulaşmamıştır. Orta Çağ'a kadar yaygın olarak inanılan gezegenlerin görünüşte anormal hareketini açıklamak için eksantrik yörüngeler hipotezi , Rönesans sırasında yerini aldı . Apollonius krater üzerinde Ay onuruna adlandırılmıştır.

Hayat

Matematik alanına böylesine önemli bir katkıda bulunan için , yetersiz biyografik bilgi kalır. 6. yüzyıl Yunan yorumcusu Askalonlu Eutocius , Apollonius'un büyük eseri Konikler hakkında şunları söylüyor:

Geometrici Apollonius ... Ptolemy Euergetes zamanında Pamfilya'daki Perga'dan geldi, bu nedenle Arşimet'in biyografisini yazan Herakleios'u kaydeder ....

Perge zamanda bir Helenleşmiş şehriydi Pamphylia'daki içinde Anadolu'da . Kentin kalıntıları henüz ayakta. Helenistik kültürün merkeziydi. Euergetes, "hayırsever", Mısır'ın üçüncü Yunan hanedanı olan Ptolemy III Euergetes'i diadochi ardılı olarak tanımlar. Muhtemelen, “zamanları” MÖ 246-222/221'deki regnum'dur. Zamanlar her zaman hükümdar veya görevli sulh hakimi tarafından kaydedilir, böylece Apollonius 246'dan önce doğmuş olsaydı, Euergetes'in babasının “zamanları” olurdu. Herakleios'un kimliği belirsizdir. Apollonius'un yaklaşık zamanları bu nedenle kesindir, ancak kesin tarihler verilemez. Çeşitli bilim adamları tarafından belirtilen belirli doğum ve ölüm yılları sadece spekülatiftir.

Eutocius, Perga'yı Mısır'ın Ptolemaik hanedanı ile ilişkilendiriyor gibi görünüyor . 246'da Perga , Seleukos hanedanı tarafından yönetilen bağımsız bir diadochi devleti olan Seleukos İmparatorluğu'na ait değildi . MÖ 3. yüzyılın son yarısında Perga, alternatif olarak Seleukoslar ve kuzeyde Attalid hanedanı tarafından yönetilen Bergama Krallığı altında olmak üzere birkaç kez el değiştirdi . “Perga” olarak adlandırılan birinin orada yaşamış ve çalışmış olması pekâlâ beklenebilir. Aksine, eğer Apollonius daha sonra Perga ile özdeşleştirildiyse, bu onun ikametgahından dolayı değildi. Kalan otobiyografik materyal, İskenderiye'de yaşadığını, okuduğunu ve yazdığını ima ediyor.

Yunan matematikçi ve astronom Hypsicles tarafından yazılan bir mektup , aslında Öklid'in Elementleri'nin on üç kitabının bir parçası olan Öklid'in XIV. Kitabından alınan ekin bir parçasıydı.

Basilides of Tire , ey Protarchus, İskenderiye'ye gelip babamla tanıştığında, matematiğe olan ortak ilgileri nedeniyle aralarındaki bağ nedeniyle, ikametinin büyük bölümünü onunla geçirdi. Ve bir keresinde, Apollonius'un bir ve aynı küre içine yazılmış onikiyüzlü ve ikosahedron karşılaştırması hakkında yazdığı risaleyi incelerken , yani bunların birbirlerine oranı nedir sorusu üzerine şu sonuca varmışlardır. Apollonius'un bu kitapta ona yaklaşımı doğru değildi; buna göre, babamdan anladığım kadarıyla, onu değiştirmeye ve yeniden yazmaya başladılar. Ama daha sonra Apollonius'un yayımladığı, söz konusu meselenin bir kanıtını içeren başka bir kitaba rastladım ve onun sorunla ilgili araştırmasından çok etkilenmiştim. Artık Apollonius tarafından yayınlanan kitap herkesin erişimine açık; çünkü daha sonra dikkatli bir çalışmanın sonucu gibi görünen bir biçimde büyük bir dolaşıma sahiptir. Kendi adıma, gerekli gördüğüm şeyi yorum yoluyla size adamaya karar verdim, çünkü kısmen, tüm matematik ve özellikle geometrideki yeterliliğiniz nedeniyle, ne olduğum konusunda uzman bir yargıda bulunabileceksiniz. Yazmak üzereyim ve kısmen, babamla olan yakınlığınız ve kendime karşı dostça duygunuz nedeniyle, incelememe nazikçe kulak vereceksiniz. Ama önsözü bitirmenin ve incelememe başlamanın zamanı geldi.

Apollonius'un zamanları

Apollonius , Helen kültürünün Helenik olmayan geniş bölgelerin çeşitli derinliklerde üst üste binmesiyle karakterize edilen, bazı yerlerde radikal, diğerlerinde neredeyse hiç olmayan, şimdi Helenistik Dönem olarak adlandırılan tarihsel bir dönemin sonuna doğru yaşadı . Değişim, Makedonya Kralı II. Philip ve tüm Yunanistan'ı bir dizi çarpıcı zafere tabi tutarak Mısır'dan Pakistan'a kadar olan toprakları yöneten Pers İmparatorluğu'nu fethetmeye devam eden oğlu Büyük İskender tarafından başlatıldı . Philip, MÖ 336'da öldürüldü. İskender, geniş Pers imparatorluğunu fethederek planını gerçekleştirmeye devam etti.

Apollonius'un kısa otobiyografisi

Materyal, Conics kitaplarının hayatta kalan sahte “Önsözlerinde” bulunur . Bunlar, Apollonius'un etkili arkadaşlarına mektupla birlikte verilen kitabı gözden geçirmelerini isteyen mektuplardır. Kitap I Önsöz, onu hatırlatıyor biri Eudemus hitaben Konikler başlangıçta tarihine aksi bilinmeyen, Alexandria, geometri, Naucrates de evlerine misafir tarafından talep edildi. Naucrates, ziyaretin sonunda sekiz kitabın tamamının ilk taslağını elinde tuttu. Apollonius bunlardan “tam bir arınma olmaksızın” ( Yunancada ou diakatharantes , Latincede ea non perpurgaremus ) olarak söz eder. Kitapları doğrulamayı ve düzeltmeyi, her birini tamamlandıkça serbest bırakmayı amaçladı.

Bu planı Apollonius'un Bergama'ya yaptığı sonraki ziyaretinde kendisinden duyan Eudemus, Apollonius'un yayınlanmadan önce her kitabı kendisine göndermesi konusunda ısrar etmişti. Koşullar, bu aşamada Apollonius'un şirketi ve yerleşik profesyonellerin tavsiyesini arayan genç bir geometri olduğunu ima ediyor. Pappus , İskenderiye'de Öklid'in öğrencileriyle birlikte olduğunu belirtir . Öklid çoktan gitmişti. Bu kalış, belki de Apollonius'un eğitiminin son aşamasıydı. Eudemus, Bergama'daki erken eğitiminde belki de kıdemli bir şahsiyetti; Her halükarda, Bergama Kütüphane ve Araştırma Merkezi ( Müze ) başkanı olduğuna veya olduğuna inanmak için nedenler var . Apollonius, ilk dört kitabın elementlerin gelişimi ile ilgili olduğunu, son dördünün ise özel konularla ilgili olduğunu belirtir.

Önsöz I ve II arasında bir boşluk var. Apollonius, oğlu Apollonius'u II. Daha güvenle konuşuyor, Eudemus'un kitabı özel çalışma gruplarında kullandığını öne sürüyor, bu da Eudemus'un araştırma merkezinde müdür değilse de kıdemli bir figür olduğunu ima ediyor. Modelini takip tür kurumlarda, Araştırma Lycaeum arasında Aristo nedeniyle ikametlerinin için, Atina Büyük İskender ve kuzey kolunda ashabına, kütüphane ve müze yardımcı hangi eğitim çabanın bir parçasıydı. Eyalette böyle bir okul vardı. Kral tarafından sahip olunan, tipik olarak kıskanç, coşkulu ve katılımcı olan kraliyet himayesi altındaydı. Krallar ellerinden geldiğince her yerde değerli kitapları satın aldılar, yalvardılar, ödünç aldılar ve çaldılar. Kitaplar en yüksek değerdeydi, yalnızca varlıklı patronlar için uygundu. Onları toplamak kraliyet göreviydi. Pergamon, parşömen endüstrisi ile biliniyordu, bu nedenle “ parşömen ”, “Pergamon” dan türetilmiştir.

Apollonius, Efes'te Eudemus'a tanıttığı bir geometri olan Laodikeialı Philonides'i akla getiriyor . Philonides, Eudemus'un öğrencisi oldu. MÖ 2. yüzyılın 1. yarısında esas olarak Suriye'de yaşadı. Toplantının Apollonius'un şimdi Efes'te yaşadığını gösterip göstermediği çözülmedi. Akdeniz'in entelektüel topluluğu kültürde uluslararasıydı. Akademisyenler iş aramak için hareket halindeydiler. Hepsi bir tür posta servisi aracılığıyla, kamu veya özel olarak iletişim kurdular. Hayatta kalan mektuplar bol miktarda bulunur. Birbirlerini ziyaret ettiler, birbirlerinin eserlerini okudular, birbirlerine önerilerde bulundular, öğrencilere tavsiyelerde bulundular ve “matematiğin altın çağı” olarak adlandırılan bir geleneği biriktirdiler.

Önsöz III eksik. IV'te Apollonius, Eudemus'un vefat ettiği süre boyunca, yine Eudemus'un Apollonius'tan daha kıdemli olduğu görüşünü desteklediğini söylüyor. Önsöz IV-VII daha resmidir, kişisel bilgileri atlar ve kitapları özetlemeye odaklanır. Hepsi, Apollonius'un Attalus'a yazdığı gibi, "eserlerime sahip olma konusundaki ciddi arzunuz yüzünden" yapılan bir seçim olan gizemli bir Attalos'a yöneliktir. O zamana kadar Bergama'da pek çok insan böyle bir arzuya sahipti. Muhtemelen, bu Attalus, Apollonius'un başyapıtının kopyalarını yazarın elinden taze alan özel biriydi. Güçlü bir teori, Attalus'un MÖ 220-138, kardeşinin krallığının generali ve savunucusu ( Eumenes II ), ikincisinin MÖ 160'taki hastalığında ortak naip ve MÖ 158'de tahtının ve dul eşinin varisi olduğu Attalus II Philadelphus olduğudur. . O ve erkek kardeşi, sanatın büyük patronlarıydı ve kütüphaneyi uluslararası ihtişama genişletti. Tarihler Philonides'inkilerle uyumluyken, Apollonius'un amacı Attalus'un kitap toplama girişimiyle uyumludur.

Apollonius, Attalus Önsöz V-VII'ye gönderildi. Önsöz VII'de, Kitap VIII'i “bir ek” olarak tanımlıyor ... “size mümkün olduğunca hızlı bir şekilde göndermeye özen göstereceğim.” Gönderildiğine veya tamamlandığına dair bir kayıt yok. Apollonius tamamlanmadan önce öldüğünden, tarihte hiç olmadığı için tarihte eksik olabilir. Bununla birlikte, İskenderiyeli Pappus bunun için lemmalar sağladı, bu yüzden en azından bir baskısının bir zamanlar dolaşımda olması gerekir.

Apollonius'un belgelenmiş eserleri

Apollonius, çok sayıda eser ortaya çıkaran üretken bir geometriydi. Sadece bir tanesi hayatta kaldı, Conics Sekiz kitabından sadece ilk dördünün Apollonius'un orijinal metinlerinden geldiğine dair güvenilir bir iddiası var. 5-7. kitaplar, sadece Banū Mūsā tarafından görevlendirilen Sabit ibn Kurra tarafından yapılan Arapça bir çeviride mevcuttur . Orijinal Yunanca kayıp. Kitap VIII'in durumu bilinmiyor. İlk taslak vardı. Nihai taslağın hiç üretilip üretilmediği bilinmiyor. Latince'de Edmond Halley tarafından bir "yeniden inşası" var. Varsa ne kadarının Apollonius'a benzediğini bilmenin bir yolu yok. Halley ayrıca De Rationis Sectione ve De Spatii Sectione'yi yeniden yapılandırdı . Bu çalışmaların ötesinde, bir avuç parça dışında, herhangi bir şekilde Apollonius'tan indiği şeklinde yorumlanabilecek belgeler sona ermektedir.

Kaybolan eserlerin birçoğu tefsirciler tarafından anlatılmakta veya zikredilmektedir. Buna ek olarak, başka yazarlar tarafından belgelenmemiş Apollonius'a atfedilen fikirler de vardır. Güvenilir ya da değil, bunlar kulaktan dolma bilgiler. Bazı yazarlar, Apollonius'u belirli fikirlerin yazarı olarak tanımlarlar ve dolayısıyla onun adını alırlar. Diğerleri, Apollonius'u belirsiz derecelerde aslına uygunlukla modern gösterim veya deyimle ifade etmeye çalışır.

konikler

Koniklerin Yunanca metni, tanımların, şekillerin ve bunların parçalarının Öklid düzenini kullanır; yani, "verilenler", ardından "kanıtlanacak" önermeler. Kitap I-VII 387 önerme sunar. Bu tür bir düzenleme, geleneksel konunun herhangi bir modern geometri ders kitabında görülebilir. Matematiğin herhangi bir dersinde olduğu gibi, materyal çok yoğundur ve dikkate alınması zorunlu olarak yavaştır. Apollonius'un her kitap için bir planı vardı ve bu plan Önsöz'de kısmen anlatılmıştı . Apollonius konuların mantıksal akışına daha fazla bağlı olduğundan, planın başlıkları veya işaretçileri biraz eksiktir.

Böylece çağların yorumcuları için entelektüel bir niş yaratılır. Her biri Apollonius'u kendi zamanına en açık ve en uygun şekilde sunmalıdır. Çeşitli yöntemler kullanırlar: açıklama, kapsamlı ön materyal, farklı formatlar, ek çizimler, kişi eklenmesiyle yüzeysel yeniden düzenleme vb. Yorumlamada ince farklılıklar vardır. Modern İngilizce konuşan kişi, İngiliz bilim adamları tarafından Yeni Latince'yi tercih etmesi nedeniyle İngilizce'de materyal eksikliği ile karşılaşmaktadır. Helenistik matematik ve astronomi geleneğinin gerçek torunları olan Edmund Halley ve Isaac Newton gibi entelektüel İngiliz devleri, yalnızca klasik dillere aşina olmayan İngilizce konuşan topluluklar tarafından tercüme edilerek okunabilir ve yorumlanabilir; yani çoğu.

Tamamen anadili İngilizce olan sunumlar 19. yüzyılın sonlarında başlar. Heath'in Konik Kesitler Üzerine İncelemesi özel bir nottur . Onun kapsamlı önsöz yorumu, Yunanca, anlamlarını ve kullanımını veren Apollon geometrik terimlerinin bir sözlüğü gibi öğeleri içerir. “İncelemenin görünüşte uğursuz yığını, birçoklarını onun tanışma girişiminden caydırdı” yorumunu yaparak, başlıklar eklemeyi, organizasyonu yüzeysel olarak değiştirmeyi ve metni modern notasyonla netleştirmeyi vaat ediyor. Bu nedenle çalışması, parantez içinde uyumların verildiği kendisinin ve Apollonius'un iki organizasyon sistemine atıfta bulunur.

Heath'in işi vazgeçilmezdir. 20. yüzyılın başlarında, 1940'ta vefat etti, ancak bu arada başka bir bakış açısı gelişiyordu. Kolonyal zamanlardan beri bir askeri okul olan St. John's College (Annapolis/Santa Fe) , bitişiğindeki Annapolis, Maryland'deki Amerika Birleşik Devletleri Deniz Harp Okulu'ndan önce , 1936'da akreditasyonunu kaybetti ve iflasın eşiğine geldi. . Çaresizlik içinde kurulu topladı Stringfellow Barr ve Scott Buchanan gelen Chicago Üniversitesi onlar Classics talimatı için yeni bir teorik programı geliştirmek olmuştu. Fırsatı kaçırarak 1937'de St. John's'ta “yeni programı” başlattılar ve daha sonra Büyük Kitaplar programı olarak adlandırıldılar ve bu program batı medeniyetinin kültürüne katkıda bulunan seçkin kilit kişilerin eserlerini öğretecek sabit bir müfredattı. Aziz John'da Apollonius, analitik geometriye ek olarak değil, kendisi olarak öğretilmeye başlandı .

Apollonius'un "eğitmeni", 1937'de Virginia Üniversitesi'nden yeni bir doktora yapan R. Catesby Taliaferro'ydu . 1942'ye kadar ders verdi ve daha sonra 1948'de bir yıl boyunca İngilizce çevirileri kendisi sağlayarak, Ptolemy'nin Almagest ve Apollonius' Conics'i tercüme etti . Bu çeviriler Britannica Ansiklopedisi'nin Batı Dünyasının Büyük Kitapları serisinin bir parçası oldu. Özel konular için bir ek ile birlikte sadece Kitap I-III dahildir. Heath'in aksine, Taliaferro, Apollonius'u yüzeysel olarak bile yeniden düzenlemeye veya onu yeniden yazmaya çalışmadı. Modern İngilizceye yaptığı çeviri, Yunancayı oldukça yakından takip ediyor. Modern geometrik gösterimi bir dereceye kadar kullanıyor.

Taliaferro'nun çalışmasıyla eş zamanlı olarak, II. Dünya Savaşı döneminin Oxford'lu öğrencisi Ivor Thomas , Yunan matematiğine yoğun bir ilgi duyuyordu. Kraliyet Norfolk Alayı'nda bir subay olarak yaptığı askerlik hizmeti sırasında meyvelerini veren bir seçimler özeti planladı . Savaştan sonra Loeb Klasik Kütüphanesi'nde kendine bir yer buldu ve burada tamamı Thomas tarafından tercüme edilen iki ciltlik bir yer kaplar ve Loeb serisi için alışılmış olduğu gibi sayfanın bir tarafında Yunanca ve diğer tarafında İngilizce bulunur. Thomas'ın çalışması, Yunan matematiğinin altın çağı için bir el kitabı işlevi gördü. Apollonius için o yalnızca, esas olarak Kitap I'in bölümleri tanımlayan kısımlarını içerir.

Heath, Taliaferro ve Thomas, 20. yüzyılın büyük bir bölümünde halkın Apollonius'a yönelik çeviri talebini karşıladı. Konu ilerliyor. Daha yeni çeviriler ve çalışmalar, eskileri incelemenin yanı sıra yeni bilgiler ve bakış açıları da içeriyor.

Kitap I

Kitap I 58 önerme sunar. En göze çarpan içeriği, koniler ve konik bölümlerle ilgili tüm temel tanımlardır. Bu tanımlar, aynı kelimelerin modern tanımları ile tam olarak aynı değildir. Etimolojik olarak modern kelimeler antik kelimelerden türemiştir, ancak etimon anlam bakımından genellikle refleksinden farklıdır .

Bir açıortay noktası etrafında döndürülen bir çizgi parçası tarafından konik bir yüzey oluşturulur, öyle ki uç noktalar her biri kendi düzleminde daireler çizer . Çift konik yüzeyin bir dalı olan bir koni , nokta ( tepe veya tepe ), daire ( taban ) ve eksen, tepe noktası ile tabanın merkezini birleştiren bir çizgi ile yüzeydir .

Bir " kesit " (Latince sectio, Yunanca cilt), bir koninin bir düzlem tarafından hayali "kesilmesidir" .

• Önerme I.3: "Eğer bir koni, tepe noktasından geçen bir düzlem tarafından kesilirse, kesit bir üçgendir." Çift koni durumunda, bölüm iki üçgendir, öyle ki tepe noktasındaki açılar dikey açılardır .
• Önerme I.4, bir koninin tabana paralel bölümlerinin, merkezleri eksen üzerinde olan daireler olduğunu ileri sürer.
• Önerme I.13, tek bir koninin, taban düzlemine eğimli bir düzlem tarafından kesilmesi ve ikincisini, koninin dışında tabanın uzatılan çapına dik bir çizgide kesişmesi (gösterilmemiştir) olarak tasarlanan elipsi tanımlar. . Eğik düzlemin açısı sıfırdan büyük olmalıdır, aksi takdirde kesit bir daire olacaktır. Şeklin bir parabol haline geldiği eksenel üçgenin karşılık gelen taban açısından daha az olmalıdır.
• Önerme I.11 bir parabol tanımlar. Düzlemi, eksenel üçgenin konik yüzeyindeki bir kenara paraleldir.
• Önerme I.12 bir hiperbol tanımlar. Düzlemi eksene paraleldir. Çiftin her iki konisini de keserek iki farklı dal elde eder (sadece bir tanesi gösterilmiştir).

Yunan geometriciler, Arşimet gibi büyük mucitlerin yapmaya alışık olduğu gibi, çeşitli mühendislik ve mimari uygulamalarında envanterlerinden seçilmiş figürleri ortaya koymakla ilgileniyorlardı. Konik bölümler için bir talep vardı ve şimdi de var. Matematiksel karakterizasyonun gelişimi, geometriyi, değişkenler olarak çizgi bölümlerine değerler atamak gibi cebirsel temelleri görsel olarak içeren Yunan geometrik cebiri yönünde hareket ettirdi . Bir ölçüm ızgarası ile Kartezyen koordinat sistemi arasında bir koordinat sistemi kullandılar . Orantı ve alanların uygulanması teorileri, görsel denklemlerin geliştirilmesine izin verdi. (Aşağıya Apollonius Yöntemleri bölümüne bakın).

Animasyonlu şekil, bir parabolü karakterize eden matematiksel ilişkiyi ifade etmek için "alanların uygulanması" yöntemini tasvir eder. Sol taraftaki değişen dikdörtgenin sol üst köşesi ve sağ taraftaki sağ üst köşe "kesit üzerindeki herhangi bir nokta" dır. Animasyon, bölümü takip ediyor. En üstteki turuncu kare "noktadan çapa olan uzaklığın karesidir, yani ordinatın bir karesidir. Apollonius'ta oryantasyon burada gösterilen dikeyden ziyade yataydır. İşte apsisin karesidir. Yönlendirmeden bağımsız olarak denklem aynı, isimler değişti.Dıştaki mavi dikdörtgen diğer koordinattaki dikdörtgen ve p mesafesidir.Cebirde, x ² = py, bir parabol denkleminin bir şeklidir. dış dikdörtgen alan olarak py'yi aşıyorsa, bölüm bir hiperbol, daha küçükse bir elips olmalıdır.

“Alanların uygulanması”, bir alan ve bir doğru parçası verildiğinde örtük olarak bu alanın geçerli olup olmadığını sorar; yani, segmentteki kareye eşit mi? Evet ise, bir uygulanabilirlik (parabol) oluşturulmuştur. Apollonius, kesit üzerindeki herhangi bir noktanın apsisi üzerindeki bir dikdörtgenin ordinatın karesine uygulanıp uygulanmadığını sorarken Öklid'i takip etti . Eğer öyleyse, onun kelime denklemi, bir parabol denkleminin modern bir biçimi olan eşdeğeridir . Dikdörtgenin kenarları vardır ve . Buna göre şekil, parabol, “uygulama” adını veren oydu. ${\textstyle y^{2}{=}kx}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili x}$

“Uygulanamazlık” durumu ayrıca iki olasılığa bölünmüştür. Verilen bir fonksiyon, öyle ki, uygulanabilirlik durumunda, , uygulanamazlık durumunda, ya veya . İlkinde, yetersiz kalıyor bir miktar, üç nokta olarak adlandırılan tarafından “açık”. İkincisinde, abartı, "sürtük" olarak adlandırılan bir miktar ile aşımlar. ${\metin stili f(x)}$${\textstyle y^{2}{=}g(x)}$${\textstyle y^{2}>g(x)}$${\textstyle y^{2}<g(x)}$${\metin stili g(x)}$${\textstyle y^{2}}$${\metin stili g(x)}$

Uygulanabilirlik, açığı ekleyerek veya fazlalığı çıkararak elde edilebilir . Bir açığı telafi eden şekle elips adı verildi; bir aşırılık için, bir hiperbol. Modern denklemin terimleri, şeklin orijinden ötelenmesine ve döndürülmesine bağlıdır, ancak bir elips için genel denklem, ${\textstyle y^{2}{=}f(x){=}g(x)+d}$${\textstyle g(x)-s}$

Balta ² + By ² = C

forma yerleştirilebilir

${\displaystyle y^{2}{=}\sol|{\frac {A}{B}}x^{2}\sağ|+{\frac {C}{B}}}$

burada C/B d'dir, hiperbol için bir denklem,

Eksen ² - ^{2 ile} = C

olur

${\displaystyle y^{2}{=}\sol|{\frac {A}{B}}x^{2}\sağ|-{\frac {C}{B}}}$

burada C/B s'dir.

2. Kitap

II. Kitap 53 önerme içerir. Apollonius, "çaplar ve eksenlerle ilgili özellikleri ve ayrıca asimptotları ve diğer şeyleri ... olasılık sınırları için " kapsamayı amaçladığını söylüyor . "Çap" tanımı geleneksel olandan farklıdır, çünkü mektubun hedeflenen alıcısını bir tanım için çalışmasına göndermeyi gerekli bulur. Bahsedilen unsurlar, şekillerin şeklini ve oluşumunu belirleyen unsurlardır. Teğetler kitabın sonunda ele alınmıştır.

III. Kitap

Kitap III, 56 önerme içermektedir. Apollonius, "katı lokusların inşası için kullanım ... üç hatlı ve dört hatlı yer ..." teoremlerinin orijinal keşfini iddia ediyor . Bir konik bölümün yeri bölümdür. Üç-çizgi odağı problemi (Taliafero'nun Kitap III'e ekinde belirtildiği gibi), "belirli üç sabit doğruya olan uzaklıkları... diğer iki uzaklığın içerdiği dikdörtgen." Bu, parabol ile sonuçlanan alanların uygulanmasının kanıtıdır. Dört çizgi problemi, elips ve hiperbol ile sonuçlanır. Analitik geometri, aynı yerleri Descartes'ın çok övdüğü geometriden ziyade cebir tarafından desteklenen daha basit kriterlerden türetir. Yöntemlerinde Apollonius'un yerini alır.

IV. Kitap

IV. Kitap 57 önerme içerir. İlki Eudemus'tan ziyade Attalos'a gönderildi, bu nedenle onun daha olgun geometrik düşüncesini temsil ediyor. Konu oldukça uzmanlaşmıştır: "bir koninin bölümlerinin birbiriyle veya bir dairenin çevresiyle buluşabileceği en fazla sayıda nokta, ..." Yine de, onları "önemli ölçüde yararlı" olarak etiketleyerek coşkuyla konuşuyor. problem çözmede (Önsöz 4).

Kitap V

Sadece Arapça'dan yapılan tercümelerle bilinen Kitap V, herhangi bir kitaptan en fazla 77 önerme içerir. Elipsi (50 önerme), parabolü (22) ve hiperbolü (28) kapsarlar. Bunlar, Önsöz I ve V Apollonius'un maksimum ve minimum satırlar olduğunu belirttiği konu açıkça değildir. Bu terimler açıklanmamıştır. Kitap I'in aksine Kitap V hiçbir tanım ve açıklama içermez.

Belirsizlik, Apollonius'un kitabın ana terimlerinin anlamı hakkında kesin bir bilgiye sahip olmadan yorumlamak zorunda kalan yorumcuları için bir mıknatıs görevi gördü. Yakın zamana kadar Heath'in görüşü hakimdi: çizgiler bölümlere normal olarak kabul edilmelidir. Bu durumda bir normal , bazen ayak olarak adlandırılan teğet bir noktada bir eğriye diktir . Bir kesit, Apollonius'un koordinat sistemine göre (aşağıya bakınız), çapı (eksen olarak Heath tarafından çevrilmiştir) x ekseninde ve tepe noktası solda olacak şekilde çizilirse, deyim önermeler, minimum/maksimumların kesit ve eksen arasında bulunması gerektiğini belirtir. Heath, kesit üzerinde hem teğet nokta hem de doğrunun bir ucu olarak hizmet eden sabit bir p noktası dikkate alınarak görüşüne yönlendirilir. p ile eksen üzerindeki bir g noktası arasındaki minimum uzaklık, p'den normal olmalıdır.

Modern matematikte, eğrilerin normalleri , eğrinin ayağın çevresinde bulunan bu küçük bölümünün eğrilik merkezinin konumu olarak bilinir . Ayaktan merkeze olan mesafe eğrilik yarıçapıdır . Sonuncusu bir dairenin yarıçapıdır , ancak dairesel eğriler dışındakiler için küçük yay dairesel bir yay ile tahmin edilebilir. Dairesel olmayan eğrilerin eğriliği; örneğin, konik bölümler, bölüm üzerinde değişmelidir. Eğrilik merkezinin haritası; yani, ayağın kesit üzerinde hareket ettiği konumu, bölümün evrimi olarak adlandırılır . Bir çizginin ardışık konumlarının kenarı olan böyle bir şekil, bugün bir zarf olarak adlandırılır . Heath, Kitap V'de Apollonius'un normaller, evrimler ve zarflar teorisinin mantıksal temelini oluşturduğunu gördüğümüze inanıyordu.

Heath's, 20. yüzyılın tamamı için Kitap V'nin otoriter yorumu olarak kabul edildi, ancak yüzyılın değişmesi beraberinde bir bakış değişikliğini de getirdi. 2001'de, Apollonius akademisyenleri Fried & Unguru, Heath'in diğer bölümlerine gereken saygıyı göstererek, Heath'in Kitap V analizinin tarihselliğine karşı çıktılar ve onun “orijinali modern bir matematikçiye daha uygun hale getirmek için yeniden çalıştığını… Heath'in eserini tarihçi için şüpheli kılan, Heath'in zihnini Apollonius'unkinden daha fazla açığa çıkaran türden bir şey.” Argümanlarından bazıları özet olarak aşağıdaki gibidir. Ne önsözde ne de uygun kitaplarda maksimum/minima per se normal olduğundan söz edilmez. Heath'in normalleri kapsadığı söylenen 50 önerme arasından yalnızca 7'si, Kitap V: 27-33, maksimum/minimum çizgilerin teğetlere dik olduğunu belirtir veya ima eder. Bu 7 Fried, kitabın ana önermeleriyle ilgisiz, izole edilmiş olarak sınıflandırılır. Genel olarak maksimum/minimumların normal olduğunu hiçbir şekilde ima etmezler. Fried, diğer 43 önermeyle ilgili kapsamlı araştırmasında, pek çoğunun olamayacağını kanıtlıyor.

Fried ve Unguru, Apollonius'u geleceğin habercisi olmaktan ziyade geçmişin bir devamı olarak tasvir ederek karşı çıkıyorlar. Birincisi, standart bir deyimi ortaya çıkaran, minimum ve maksimum satırlara yapılan tüm referansların eksiksiz bir filolojik çalışmasıdır. Her biri 20-25 önermeden oluşan üç grup vardır. Birinci grup, “kesit üzerindeki bir noktadan eksene” varsayımının tam tersi olan “eksen üzerindeki bir noktadan kesite” ifadesini içerir. Birincisi, her ne kadar olabilirse de, hiçbir şey için normal olmak zorunda değildir. Eksen üzerinde sabit bir nokta verildiğinde, onu bölümün tüm noktalarına bağlayan tüm çizgilerden biri en uzun (maksimum) ve bir en kısa (minimum) olacaktır. Diğer ifadeler, hepsi aynı görüntüye atıfta bulunan "bir bölümde", "bir bölümden çizilmiş", "bölüm ve ekseni arasında kesilmiş", eksen tarafından kesilmiştir.

Fried ve Unguru'nun görüşüne göre, Kitap V'in konusu tam olarak Apollonius'un söylediği şeydir, maksimum ve minimum satırlar. Bunlar gelecekteki kavramlar için kod kelimeler değil, o zaman kullanımda olan eski kavramlara atıfta bulunur. Yazarlar, dairelerle ve iç noktalardan çevreye maksimum ve minimum mesafelerle ilgili olan Euclid, Elements, Kitap III'ten alıntı yapıyor. Herhangi bir özel genelleme kabul etmeksizin, "beğenmek" veya "benzeri" gibi terimler kullanırlar. “Neusis benzeri” terimini yenilemeleriyle tanınırlar. Bir neusis yapısı , belirli bir parçayı verilen iki eğri arasına yerleştirme yöntemiydi. Bir P noktası ve üzerinde segmenti işaretlenmiş bir cetvel verildi. biri cetveli P etrafında döndürür ve segment aralarına oturana kadar iki eğriyi keser. Kitap V'de P, eksen üzerindeki noktadır. Etrafında bir cetvel döndürerek, minimum ve maksimumun ayırt edilebileceği bölüme olan mesafeleri keşfeder. Teknik duruma uygulanmaz, bu nedenle neusis değildir. Yazarlar, eski yönteme arketipsel bir benzerlik görerek neusis benzeri kullanırlar.

Kitap VI

Sadece Arapça'dan tercüme edilerek bilinen Kitap VI, herhangi bir kitabın en küçüğü olan 33 önerme içerir. Ayrıca , önceki metinlerdeki hasar veya bozulma nedeniyle metinde büyük boşluklar veya boşluklar var.

Konu nispeten açık ve tartışmasızdır. Önsöz 1, bunun “eşit ve benzer koni bölümleri” olduğunu belirtir. Apollonius, Öklid tarafından üçgenler, dörtgenler gibi daha temel şekiller için sunulan uygunluk ve benzerlik kavramlarını konik kesitlere kadar genişletir. Önsöz 6, "eşit ve eşit olmayan" ve "benzer ve benzemez" olan "kesitler ve segmentler"den bahseder ve bazı yapısal bilgiler ekler.

Kitap VI, kitabın ön kısmındaki temel tanımlara bir dönüş içerir. “ Eşitlik ” alanların uygulanmasıyla belirlenir. Bir rakam ise; yani, bir bölüm veya bir parça diğerine “uygulanır” (Halley's si aplicari possit altera super alteram ), eğer çakışıyorlarsa ve birinin çizgisi diğerinin herhangi bir çizgisini kesmiyorsa “eşittir” (Halley's aequales ). Bu açıkça Öklid, Kitap I, Ortak Kavramlar, 4'ü izleyen bir uygunluk standardıdır : "ve birbiriyle çakışan şeyler ( epharmazanta ) eşittir ( isa ). Tesadüf ve eşitlik örtüşür, ancak aynı şey değildir: Bölümleri tanımlamak için kullanılan alanların uygulanması, alanların niceliksel eşitliğine bağlıdır, ancak bunlar farklı rakamlara ait olabilir.

Hangi durumlarda arasında aynı (homoları), birbirine eşittir ve olanlar farklı veya eşit olmayan ve “aynı-ish” (hom-oios) ya da olan rakamlar benzer . Ne tamamen aynı ne de farklılar, ancak aynı yönleri paylaşıyorlar ve farklı yönleri paylaşmıyorlar. Sezgisel olarak, geometrikçilerin akıllarında ölçek vardı ; örneğin, bir harita bir topografik bölgeye benzer. Böylece figürlerin kendilerinin daha büyük veya daha küçük versiyonları olabilir.

Benzer şekillerde aynı olan yönler şekle bağlıdır. Öklid'in Elemanları'nın 6. Kitabı, aynı karşılık gelen açılara sahip olanlarla benzer üçgenler sunar. Böylece bir üçgenin istediğiniz kadar küçük minyatürleri veya dev versiyonları olabilir ve yine de orijinaliyle “aynı” üçgen olabilir.

Apollonius'un VI. Kitabın başındaki tanımlarında, benzer dik koniler benzer eksen üçgenlerine sahiptir. Benzer bölümler ve bölümlerin bölümleri, her şeyden önce benzer konilerdedir. Ayrıca birinin her apsisi için diğerinde istenilen ölçekte bir apsis bulunmalıdır. Son olarak, birinin apsisi ve ordinatı, diğeriyle aynı ordinatın apsise oranına sahip koordinatlarla eşleştirilmelidir. Toplam etki, sanki farklı bir ölçek elde etmek için bölüm veya parça koni üzerinde yukarı ve aşağı hareket ettirilmiş gibidir.

Kitap VII

Aynı zamanda Arapça'dan bir çeviri olan Kitap VII, 51 Önerme içerir. Bunlar, Heath'in 1896 baskısında dikkate aldığı son şeyler. Önsöz I'de, Apollonius bunlardan bahsetmez, ilk taslak zamanında, tarif etmek için yeterince tutarlı bir biçimde var olmayabileceklerini ima eder. Apollonius, Halley'nin "de teorematis ad belirlemeem pertinentibus" ve Heath'in "sınır belirlemelerini içeren teoremler" olarak çevirdiği "peri dioristikon teoremleri" olduklarına dair belirsiz bir dil kullanır. Bu, tanım dilidir, ancak herhangi bir tanım gelmeyecektir. Referansın belirli bir tanım türü olup olmadığı bir değerlendirmedir, ancak bugüne kadar inandırıcı hiçbir şey önerilmemiştir. Apollonius'un yaşamının ve kariyerinin sonlarına doğru tamamlanan Kitap VII'nin konusu, Önsöz VII'de çaplar ve büyük ölçüde onlara dayandığı için eşlenik çapları içermesi gereken “üzerlerinde açıklanan şekiller” olarak belirtilmektedir. “Sınırlar” veya “belirlemeler” teriminin ne şekilde uygulanabileceği belirtilmemiştir.

Çaplar ve bunların eşlenikleri Kitap I'de (Tanımlar 4-6) tanımlanmıştır. Her çapın bir eşleniği yoktur. Bir çapın topografyası (Yunan çapları) düzenli bir eğri şekil gerektirir . Modern zamanlarda ele alınan düzensiz şekilli alanlar eski oyun planında yer almamaktadır. Elbette Apollonius'un aklında, genellikle dolambaçlı bir dille tanımladığı konik kesitler vardır: "aynı düzlemdeki bir eğri" bir daire, elips veya parabol iken "aynı düzlemde iki eğri" bir hiperboldür. Bir kiriş , iki uç noktası şekil üzerinde olan düz bir çizgidir; yani rakamı iki yerden kesiyor. Şekle paralel kirişlerden oluşan bir ızgara uygulanırsa, çap, tüm kirişleri ikiye bölen ve eğrinin kendisine tepe adı verilen bir noktada ulaşan çizgi olarak tanımlanır. Kapalı bir rakam için bir gereklilik yoktur; örneğin, bir parabolün bir çapı vardır.

Bir parabolün bir boyutta simetrisi vardır. Bir çapı üzerinde katlandığını hayal ederseniz, iki yarı uyumludur veya birbirinin üzerine oturur. Aynı şey hiperbolün bir dalı için de söylenebilir. Konjugat çapları (Yunanca suzugeis diametroi, burada suzugeis "birbirine bağlı"dır), ancak iki boyutta simetriktir. Uyguladıkları şekiller, aynı zamanda, bugün bir centroid olarak adlandırılan ve iki yönde bir simetri merkezi görevi gören bir alansal merkez (Yunanca kentron) gerektirir . Bu şekiller daire, elips ve iki kollu hiperboldür. İle karıştırılmaması gerekir tek ağırlık merkezi vardır odaklar . Çap, ağırlık merkezinden geçen ve onu her zaman ikiye bölen bir kiriştir.

Daire ve elips için, en uzunu bir çap olacak ve diğerleri art arda daha kısa olacak şekilde, paralel kirişlerin bir ızgarasının şeklin üzerine bindirilmesine izin verin, sonuncusu bir kiriş değil, bir teğet noktası olana kadar. Teğet çapa paralel olmalıdır. Bir eşlenik çap, ağırlık merkezi ile teğet noktası arasına yerleştirilerek kirişleri ikiye böler. Ayrıca, her iki çap birbirine eşleniktir ve eşlenik çift olarak adlandırılır. Bir dairenin herhangi bir eşlenik çiftinin birbirine dik olduğu açıktır, ancak bir elipste sadece büyük ve küçük eksenler vardır, diğer tüm durumlarda uzama dikliği yok eder.

Konjugatlar, bir çift koninin tek bir düzlem tarafından kesilmesinden kaynaklanan bir hiperbolün iki dalı için tanımlanır . Bunlara konjuge dallar denir. Aynı çapa sahipler. Merkez noktası, segmenti köşeler arasında ikiye böler. Çap benzeri bir çizgiye daha yer var: hiperbolün her iki kolunu da kesen çapa paralel bir çizgi ızgarasına izin verin. Bu çizgiler, aynı sürekli eğri üzerinde sonlanmamaları dışında kiriş benzeridir. Kordon benzeri çizgileri ikiye bölmek için merkezden bir eşlenik çap çizilebilir.

Esas olarak Kitap I'deki bu kavramlar, bizi Bölümler, çaplar ve eşlenik çaplar arasındaki ilişkileri ayrıntılı olarak tanımlayan VII. Kitap'taki 51 önermeyle başlattı. Apollonius'un diğer özel konulardan bazılarında olduğu gibi, Analitik Geometri ile karşılaştırıldığında günümüzdeki yararları henüz görülmemektedir, ancak o Önsöz VII'de bunların hem yararlı hem de yenilikçi olduklarını teyit etmektedir; yani, onlar için kredi alır.

Pappus tarafından açıklanan kayıp ve yeniden inşa edilmiş eserler

Pappus, Apollonius'un diğer incelemelerinden bahseder:

1. Λόγου ἀποτομή, De Rationis Sectione ("Bir Oranın Kesimi")
2. Χωρίου ἀποτομή, De Spatii Sectione ("Bir Alanın Kesilmesi")
3. Διωρισμένη τομή, De Sectione Determinata (" Belirli Bölüm")
4. Ἐπαφαί, De Tactibus ("Tangencies")
5. Νεύσεις, De Inclinationibus ("Eğilimler")
6. Τόποι ἐπίπεδοι, De Locis Planis ("Plane Loci").

Bunların her biri ile ve iki kitaba bölünmüş, oldu Veri , Porisms ve Yüzey-Loci Öklid ve Koniklerin antik analizi gövdesine dahil, Pappus göre, Apollonius-idi. Yukarıda bahsedilen altı eserin açıklamaları aşağıda verilmiştir.

De Rasyon Bölümü

De Rationis Sectione basit bir sorunu çözmeye çalıştı: İki düz çizgi ve her birinde bir nokta verildiğinde, verilen üçüncü bir noktadan, iki sabit çizgiyi kesen düz bir çizgi çizin, böylece parçalar içlerinde verilen noktalarla kesişme noktaları arasında kesişir. bu üçüncü satır ile belirli bir orana sahip olabilir.

De Spatii Bölümü

De Spatii Sectione , iki kesişme noktasının içerdiği dikdörtgenin belirli bir dikdörtgene eşit olmasını gerektiren benzer bir sorunu tartıştı.

17. yüzyılın sonlarında Edward Bernard , Bodleian Kütüphanesi'nde De Rationis Sectione'nin bir versiyonunu keşfetti . Bir çeviriye başlamasına rağmen, onu bitiren ve De Spatii Sectione'nin restorasyonuyla 1706 cildine dahil eden Halley'di .

De Kesit Belirleyici

De Sectione Determinata , problemlerle tek boyutlu analitik geometri olarak adlandırılabilecek şekilde ilgilenir; diğerlerine oranla bir doğru üzerinde noktaları bulma sorunu ile. Spesifik problemler şunlardır: Düz bir çizgi üzerinde iki, üç veya dört nokta verildiğinde, üzerinde başka bir nokta bulun, öyle ki verilen noktalardan uzaklığı, bir üzerindeki karenin veya iki tarafından kapsanan dikdörtgenin belirli bir orana sahip olduğu koşulunu yerine getirir ( 1) kalan birindeki kareye veya kalan ikisinin içerdiği dikdörtgene veya (2) kalanın içerdiği dikdörtgene ve verilen bir başka düz çizgiye. Bazıları Apollonius'un çözümünü keşfetmek için metni restore etmeye çalıştı, bunların arasında Snellius ( Willebrord Snell , Leiden , 1698); Alexander Anderson ait Aberdeen onun için ekte, Apollonius redivivus (Paris, 1612); ve Robert Simson , Opera quaedam reliqua'sında (Glasgow, 1776), açık ara en iyi girişim.

De Tactionibus

De Tactibus aşağıdaki genel sorunu benimsemiştir: Konumda üç şey (noktalar, düz çizgiler veya daireler) verildiğinde, verilen noktalardan geçen ve verilen düz çizgilere veya dairelere dokunan bir daireyi tanımlayın. En zor ve tarihsel olarak en ilginç durum, verilen üç şeyin daire olduğu zaman ortaya çıkar. 16. yüzyılda, Vieta bu problemi (bazen Apollon Problemi olarak da bilinir) Adrianus Romanus'a sunmuş ve bu problemi hiperbol ile çözmüştür . Bunun üzerine Vieta daha basit bir çözüm önerdi ve sonunda Apollonius'un küçük eseri Apollonius Gallus'taki (Paris, 1600) incelemesinin tamamını restore etmesine yol açtı . Sorunun tarihi, JW Camerer'in kısa Apollonii Pergaei quae supersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus, &c (Gothae, 1795, 8vo) önsözünde büyüleyici ayrıntılarla araştırılıyor .

De Inclinationibus

De Inclinationibus'un amacı, belirli bir noktaya doğru yönelen belirli bir uzunluktaki düz bir çizginin, verilen iki (düz veya dairesel) çizgi arasına nasıl yerleştirilebileceğini göstermekti. Marin Getaldić ve Hugo d'Omerique ( Geometrik Analiz , Cadiz, 1698) restorasyon denemelerine rağmen , en iyisi Samuel Horsley'e (1770) aittir.

De Locis Planis

De Locis Planis , düz çizgiler veya daireler olan lokuslarla ilgili bir önermeler topluluğudur. Pappus, önermelerinin bir ölçüde tam ayrıntılarını verdiğinden, bu metin aynı zamanda, yalnızca P. Fermat ( Oeuvres , i., 1891, s. 3-51 ) ve F. Schooten (Leiden, 1656) tarafından değil, aynı zamanda onu restore etme çabalarına da tanık olmuştur. ayrıca en başarılısı R. Simson (Glasgow, 1749).

Diğer antik yazarların bahsettiği kayıp eserler

Antik yazarlar, Apollonius'un artık mevcut olmayan diğer eserlerine atıfta bulunur:

1. Περὶ τοῦ πυρίου, Yanan Camda , muhtemelen parabolün odak özelliklerini araştıran bir inceleme
2. Περὶ τοῦ κοχλίου, Silindirik Sarmal Üzerinde (Proclus tarafından bahsedilmiştir)
3. Aynı kürede yazılı onikiyüzlü ve ikosahedron karşılaştırması
4. Ἡ καθόλου πραγματεία, matematiğin genel ilkeleri üzerine, belki Apollonius'un Öklid'in Elementlerinin iyileştirilmesine yönelik eleştirilerini ve önerilerini içeren bir çalışma
5. Ὠκυτόκιον Eutocius göre, ( "Hızlı için doğum-getirmek"), burada, Apollonius'u değeri için daha yakın sınırlar bulmak için gösterilen tt göre daha Arşimed hesaplanan 3+1 ⁄ 7 üst sınır olarak ve 3+10 ⁄ 71 alt sınır olarak
6. hem büyük sayıları Arşimet'in The Sand Reckoner'ınkinden daha günlük bir dille ifade etmek hem de bu büyük sayıları çarpmak için bir sistem üzerine aritmetik bir çalışma (bkz. Pappus )
7. Euclid izah irrasyonellerde teorisinin büyük bir uzantısı, Kitap x., binom gelen Multinomial ve gelen sipariş etmek sırasız irrasyonellerde (pappus' comm bölümler izlemeye. Eucl. x üzerinde. Arapça korunmuş ve yayınladığı Woepke , 1856) .

Erken basılmış sürümleri

Koniklerin 9. yüzyıl Arapça çevirisinden sayfalar

1654 baskısı conica Apollonius'a tarafından tarafından düzenlenmiş Francesco Maurolico

Erken basılmış baskılar çoğunlukla 16. yüzyılda başladı. O zamanlar, bilimsel kitapların bugünün Yeni Latincesi olan Latince olması bekleniyordu . Hemen hemen hiçbir el yazması Latince olmadığından, Yunanca veya Arapça'dan Latince'ye çevrilen ilk basılı eserlerin editörleri. Yunanca ve Latince tipik olarak yan yana konmuştur, ancak yalnızca Yunanca orijinaldir veya editör tarafından orijinal olduğunu düşündüğü şekilde restore edilmiştir. Kritik aygıtlar Latince idi. Bununla birlikte, antik şerhler antik ya da ortaçağ Yunancasındaydı. Modern diller ancak 18. ve 19. yüzyıllarda ortaya çıkmaya başladı. Erken basılmış baskıların temsili bir listesi aşağıda verilmiştir. Bu baskıların orijinalleri nadir ve pahalıdır. Modern dillerdeki modern baskılar için referanslara bakın.

1. Pergeus, Apollonius (1566). Conicorum libri quattuor: una cum Pappi Alexandrini lemmatibus, ve yorumlar Eutocii Ascalonitae. Sereni Antinensis philosophi libri ikilisi ... quae omnia nuper Federicus Commandinus Vrbinas mendis quampluris expurgata ve Graeco conuertit, & yorum illustrauit (Antik Yunanca ve Latince). Bononiae: Ex officina Alexandri Benatii.İlk dört kitaplık bir sunum Koniklerin tarafından Yunanca Fredericus Commandinus kendi Latinceye tercüme ve yorumlar ile İskenderiye Pappus , Askalan'la Eutocius ve Antinouplis SERENUS .
2. Apollonius; Barrow, ben (1675). Apollonii conica: methodo nova illustrata ve succinctè demonstrata (Latince). Londini: Excudebat Guil. Godbid, voeneunt apud Robertum Scott, vico Little Britain'da.Conics'in ilk dört kitabının antik Yunancadan Neo-Latin'e Barrow tarafından çevirisi . Burada bağlantısı verilen ve Boston Halk Kütüphanesinde bulunan kopya , bir zamanlar John Adams'a aitti .
3. Apollonius; Pappus ; Halley, E. (1706). İkili Apollonii Pergaei de rationis libri ikilisi: Ex Arabico ms. Latince versiyonu. Accedunt ejusdem desectione spatii libri duo restuti (Latince). Oxonii.Apollonius'un kayıp ama yeniden inşa edilmiş iki eserinin sunumu. De Sectione Rationis , Oxford'daki Bodleian Kütüphanesi'nde , orijinal olarak kısmen Edward Bernard tarafından çevrilmiş, ancak ölümüyle kesintiye uğramış , Arapça olarak yayınlanmamış bir el yazmasından gelmektedir . Profesör, astronom, matematikçi ve kaşif Edmond Halley'e verildi ve daha sonra Halley Kuyruklu Yıldızı adını aldı. Bozuk metni deşifre edemedi, onu terk etti. Daha sonra, David Gregory (matematikçi) Arapça'yı tekrar Halley'e veren Henry Aldrich için restore etti . Arapça öğrenen Halley, De Sectione Rationis'i yarattı ve okuyucu için ek bir kazanç olarak, De Sectione Spatii'nin Pappus Commentary'den yeniden oluşturulmuş bir versiyonunun Neo-Latin çevirisini yarattı . İki Neo-Latin eseri ve Pappus'un antik Yunan yorumu, 1706 tarihli tek ciltte birbirine bağlanmıştır. Arapça el yazmasının yazarı bilinmemektedir. Halley, 825'te Al-Ma'mun , Latin Almamon, astronom ve Bağdat Halifesi'nin "himayesinde" yazıldığına dair bir açıklamaya dayanarak, "Praefatio ad Lectorem"inde bunu 820 yılına tarihlendirir.
4. Apollonius; Alexandrinus Pappus ; Halley, Edmond ; Eutocius ; Serenus (1710). Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis Desectione cylindri & coni libri duo (PDF) (Latince ve Antik Yunanca). Oxoniae: e Theatro Sheldoniano.Halley , David Gregory'nin 1706'da yayınlanan, düzeltilmiş Arapça metni de Sectionerationis'in çevirisinin başarısından cesaret alarak, Apollonius'un tüm elementa conica'sını Latince'ye çevirmeye ve tercüme etmeye devam etti . I-IV kitapları hiç kaybolmamıştı. Yunanca bir sütunda ve Halley'nin Latincesi paralel bir sütunda görünürler. Kitaplar V-VI antikacı bilgin tarafından satın olmuştu Arapça'ya Yunancadan önceden hesaba katılmayan çevirinin bir düşeş keşif geldi Jacobus Golius içinde Halep'e o Bodleian için satın alma ve miras zinciri tarafından geçirilen 1696 yılındaki ölümüne On burada 1626 yılında Kitaplık (başlangıçta MS Marsh 607, 1070 tarihli). Çok daha önceye tarihlenen çeviri, Almamon'un okulunun 9. yüzyılda yaşayan üç erkek kardeşten oluşan ve "Musa'nın oğulları" olan Banu Mūsā adlı kolundan gelmektedir . Çeviri onlar için çalışan yazarlar tarafından yapıldı. Halley'nin eserinde sadece V-VII Kitaplarının Latince tercümesi verilmiştir. Bu onun ilk basılı yayınıdır. Kitap VIII, Almamon bilginleri onu korumak için bir el alamadan kayboldu. Kitap VII'de geliştirilen beklentilere ve Pappus'un lemmalarına dayanan Halley'nin karışımı Latince olarak verilmiştir. Eutocius'un yorumu, Pappus'un lemmaları ve Serenus'un ilgili iki incelemesi, Koniklerin yorumlanması için bir kılavuz olarak dahil edilmiştir .

Diğer yazarlar tarafından Apollonius'a atfedilen fikirler

Apollonius'un astronomiye katkısı

Biri eksantrikler ve diğeri deferent ve epicycles kullanan iki gezegen hareketi tanımının eşdeğerliği ona atfedilir. Batlamyus bu denkliği Almagest XII.1'de Apollonius teoremi olarak tanımlar.

Apollonius'un Yöntemleri

Heath'e göre, “Apollonius'un Yöntemleri” onun değildi ve kişisel değildi. Daha sonraki teorisyenler üzerinde sahip olduğu etki, kendi teknik buluşu değil, geometriydi. Heath diyor ki,

Koniklerde kullanılan yöntemlerin ayrıntılı olarak ele alınmasına bir ön hazırlık olarak, genel olarak, kesin ifadesini Öklid Elementlerinde bulan kabul edilen geometrik araştırma ilkelerini istikrarlı bir şekilde takip ettikleri söylenebilir.

Altın çağ geometrisinden bahseden modernler ile ilgili olarak, "yöntem" terimi, özellikle, geometrinin bilmeden, bugün kullanılan cebirsel bir yöntemle aynı sonucu ürettiği görsel, yeniden yapılandırıcı yol anlamına gelir. Basit bir örnek olarak cebir, bir karenin alanını kenar karesini alarak bulur. Aynı sonucu elde etmenin geometrik yöntemi, görsel bir kare oluşturmaktır. Altın çağdaki geometrik yöntemler, temel cebirin sonuçlarının çoğunu üretebilirdi.

geometrik cebir

Eski Yunanlıların gördüğü şekliyle Pisagor teoreminin görsel formu. Mavi karenin alanı diğer iki karenin alanlarının toplamıdır.

Heath , tüm altın çağın yöntemleri için geometrik cebir terimini kullanmaya devam ediyor . Terimin “uygunsuz değil” denildiğini söylüyor. Bugün bu terim başka anlamlarda kullanılmak üzere yeniden dirildi (bkz . geometrik cebir ). Heath, onu 1890'da veya daha önce Henry Burchard Fine tarafından tanımlandığı gibi kullanıyordu . Fine bunu , analitik geometrinin ilk tam gelişmiş çalışması olan René Descartes'ın La Géométrie'sine uygular . Fine, “Temel işlemleri biçimsel olarak aynı olan iki cebirin biçimsel olarak özdeş olduğunu” bir ön koşul olarak ortaya koyan Fine, Descartes'ın çalışmasının “sadece sayısal cebir olmadığını, ancak daha iyi bir isim olmadığı için cebir cebiri olarak adlandırılabileceğini” söyler. doğru parçaları. Sembolizmi sayısal cebirinkiyle aynıdır; ...”

Örneğin, Apollonius'ta bir AB doğru parçası (A Noktası ile B Noktası arasındaki doğru) aynı zamanda doğru parçasının sayısal uzunluğudur. Herhangi bir uzunluğa sahip olabilir. AB bu nedenle aynı hale gelir cebirsel değişken gibi, x herhangi bir değer atanır olabilir için (bilinmeyen); örneğin, x =3.

Apollonius'ta değişkenler, bugün cebirde devam eden bir uygulama olan “kesit üzerindeki herhangi bir noktadan çapa olan mesafe AB olsun” gibi kelime ifadeleriyle tanımlanır. Her temel cebir öğrencisi, "kelime problemlerini" cebirsel değişkenlere ve denklemlere dönüştürmeyi öğrenmelidir, bu x için cebir kurallarının çözümünde uygulanır . Apollonius'un böyle bir kuralı yoktu. Çözümleri geometriktir.

Resimsel çözümlere kolayca uymayan ilişkiler onun kavrayışının ötesindeydi; bununla birlikte, resimli çözümler repertuarı, bugün genellikle bilinmeyen (veya gerekli olmayan) karmaşık geometrik çözümler havuzundan geldi. İyi bilinen bir istisna, vazgeçilmez Pisagor Teoremidir , şimdi bile ² + b ² = c ² gibi bir ifadeyi gösteren kenarlarında kareler olan bir dik üçgenle temsil edilir . Yunan geometriciler bu terimlere "AB üzerindeki kare" vb. adını verdiler. Benzer şekilde, AB ve CD'nin oluşturduğu bir dikdörtgenin alanı "AB ve CD üzerindeki dikdörtgen" idi.

Bu kavramlar, Yunan geometricilerine, lineer fonksiyonlara ve ikinci dereceden fonksiyonlara cebirsel erişim sağladı . Sırasıyla 1 veya 2'lik güçler içerirler . Apollonius'un , bir koni katı olmasına rağmen, küpler için fazla bir kullanımı yoktu ( katı geometride özellikli ). Düzlem figürleri olan konik kesitlere ilgi duymuştur. 4 ve üzeri güçler, görselleştirmenin ötesindeydi, geometride mevcut olmayan, ancak cebirde hazır bir soyutlama derecesi gerektiriyordu.

Apollonius'un koordinat sistemi

Kartezyen koordinat sistemi, analitik geometride standart

Bir cetvel gibi standart genel aygıtlar kullanılarak inç gibi genel birimlerde yapılan tüm olağan uzunluk ölçümleri, Kartezyen ızgaranın genel olarak tanınması anlamına gelir ; yani, bir inç kare gibi birim karelere bölünmüş bir yüzey ve bir inç küp gibi birim küplere bölünmüş bir boşluk. Ölçüm eski Yunan birimleri Tunç Çağı'ndan beri Yunan matematikçiler için böyle bir ızgara temin etmişti. Apollonius'tan önce, Menaechmus ve Arşimet figürlerini, düşük bir ölçüyü işaretleyen sol dikey bir çizgiden ve düşük bir ölçüyü işaretleyen bir alt yatay çizgiden ölçülmek üzere tasarlanan mesafelere atıfta bulunarak, ortak ızgaranın zımni bir penceresine yerleştirmeye başlamışlardı. yönlerin doğrusal veya birbirine dik olmasıdır. Pencerenin bu kenarları, Kartezyen koordinat sisteminde eksenler haline gelir . Herhangi bir noktanın eksenlerden doğrusal uzaklıkları koordinat olarak belirtilir . Eski Yunanlılar bu sözleşmeye sahip değildi. Sadece mesafelere atıfta bulundular.

Apollonius'un figürlerini yerleştirdiği standart bir penceresi var. Dikey ölçüm, "çap" olarak adlandırdığı yatay bir çizgiden yapılır. Sözcük Yunanca'da İngilizce'dekiyle aynıdır, ancak Yunanca'nın kavrayışı biraz daha geniştir. Konik bölümün şekli paralel çizgilerden oluşan bir ızgara ile kesilirse, çap şeklin dalları arasındaki tüm çizgi parçalarını ikiye böler. Tepe noktasından (koruphe, "taç") geçmelidir. Böylece bir çap, bir parabol gibi açık şekillerin yanı sıra bir daire gibi kapalı şekiller içerir. Çapın paralel çizgilere dik olması gerektiğine dair bir belirtim yoktur, ancak Apollonius yalnızca doğrusal olanları kullanır.

Kesit üzerindeki bir noktadan çapa olan doğrusal mesafe, Yunancada tetagmenos olarak adlandırılır, etimolojik olarak basitçe "genişletilmiş". Sadece “aşağı” (kata-) veya “yukarı” (ana-) olarak uzatıldığından, çevirmenler onu ordinat olarak yorumlar . Bu durumda çap x ekseni ve tepe noktası orijin olur. Y ekseni daha sonra tepe noktasındaki eğriye teğet olur. Apsis sonra ordinat tepe arasındaki çap bölümü olarak tanımlanır.

Apollonius, kendi koordinat sistemi versiyonunu kullanarak, konik bölümler için denklemlerin geometrik eşdeğerlerini resimsel biçimde geliştirmeyi başarır, bu da koordinat sisteminin Kartezyen olarak kabul edilip edilemeyeceği sorusunu gündeme getirir. Bazı farklılıklar var. Kartezyen sistem, herhangi bir hesaplama yapılmadan önce uygulanan tüm uzaydaki tüm rakamları kapsayan evrensel olarak kabul edilmelidir. İki çapraz eksene bölünmüş dört çeyreği vardır. Çeyreklerden üçü, sıfırın referans eksenlerinin karşısındaki yönler anlamına gelen negatif koordinatları içerir.

Apollonius'un negatif sayıları yoktur, açıkça sıfır için bir sayıya sahip değildir ve koordinat sistemini konik bölümlerden bağımsız olarak geliştirmez. Esasen sadece 1. Çeyrekte çalışıyor, hepsi pozitif koordinatlarda. Modern bir matematik tarihçisi olan Carl Boyer bu nedenle şöyle diyor:

Ancak, Yunan geometrik cebiri negatif büyüklükler sağlamadı; dahası, koordinat sistemi her durumda özelliklerini incelemek için belirli bir eğri üzerine a posteriori bindirildi .... Antik çağın en büyük geometrisi olan Apollonius, analitik geometri geliştiremedi....

Ancak Apollonius'un geleneksel ölçüm ızgara sistemi ile tam gelişmiş Kartezyen Analitik Geometri Koordinat Sistemi arasında bir tür ara niş işgal ettiğini kimse inkar etmez. Apollonius'u okurken, onun terimlerine modern anlamlar yüklememeye özen gösterilmelidir.

oranlar teorisi

İfade edilen Apolonyus "Orantılar Teori" kullanan Öklid sitesindeki elementler , Books 5 ve Cnidus'lu Eudoxus tarafından 6. tasarlanmış, teori sadece grafik yöntem ve modern sayı teorisi arasında olan. Standart bir kesir tedavisi gibi standart bir ondalık sayı sistemi yoktur. Bununla birlikte, önermeler, aritmetikte kesirleri manipüle etmek için kuralları kelimelerle ifade eder. Heath, çarpma ve bölmenin yerine geçmelerini önerir.

"Büyüklük" terimiyle Eudoxus, sayıların ötesine geçmeyi, genel bir büyüklük duygusuna ulaşmayı umuyordu, bu anlam hâlâ koruyor. Öklid figürleriyle ilgili olarak, çoğunlukla Pisagor yaklaşımı olan sayılar anlamına gelir. Pisagor , evrenin niceliklerle karakterize edilebileceğine inanıyordu ve bu inanç günümüzdeki bilimsel dogma haline geldi. Öklid'in V. Kitabı, bir büyüklüğün (megethos, "boyut"), birimlere (meros, "parça") eşit olarak bölünebilmesi gerektiğinde ısrar ederek başlar. Dolayısıyla bir büyüklük, birimlerin katıdır. Metre veya fit gibi standart ölçü birimleri olmak zorunda değildirler. Bir birim, belirlenmiş herhangi bir çizgi parçası olabilir.

Bunu belki de bilimde şimdiye kadar yapılmış en faydalı temel tanım izler: oran (Yunanca logos , kabaca "açıklama" anlamına gelir) göreceli bir büyüklük ifadesidir. Verilen iki büyüklük, diyelim ki AB ve CD segmentleri. AB'nin CD'ye oranı, burada CD birim olarak kabul edilir, AB'deki CD sayısıdır; örneğin, 4'ün 3 kısmı veya milyonda 60 kısım, burada ppm hala "parça" terminolojisini kullanır. Oran, aynı zamanda kırık ile aynı Latince kökten gelen “parça” veya “parça” anlamına gelen modern kesrin temelidir. Oran, “oran” (Yunanca analoglar) adı verilen mantıksal yapıdaki matematiksel tahminin temelidir. Orantı, AB ve CD segmentlerinin diğer iki segment, EF ve GH ile aynı orana sahip olması durumunda, AB ve CD'nin EF ve GH ile orantılı olduğunu veya Öklid'de söyleneceği gibi AB'nin CD'ye EF olarak orantılı olduğunu belirtir. GH içindir.

Cebir bu genel kavramı AB/CD = EF/GH ifadesine indirger. Herhangi üç terim verildiğinde, dördüncüsü bilinmeyen olarak hesaplanabilir. Yukarıdaki denklem yeniden düzenlendiğinde, AB = (CD/GH)•EF elde edilir, burada y = kx olarak ifade edildiğinde, CD/GH “orantı sabiti” olarak bilinir. Yunanlılar, muhtemelen art arda toplama yoluyla, katları (Greek pollaplasiein) almakta çok az zorluk yaşadılar.

Apollonius, neredeyse yalnızca kareler ve dikdörtgenler tarafından belirlenen doğru parçalarının ve alanların oranlarını kullanır. Tercümanlar Leibniz tarafından tanıtılan kolon notasyonu kullanmak üstlenmiştir Acta eruditorum , İşte 1684. den bir örnek Koniklerin Önerme 11, Kitap I,:

Yunanca'nın birebir çevirisi: FH'nin FA'ya olduğu gibi, BC'nin (karesinin) BAC'nin (dikdörtgeni) olduğu düşünülsün.

Taliaferro'nun çevirisi: “MÖ kare : rect. BA.AC :: FH : FA”

Cebirsel eşdeğer: BC ² /BA•BC = FH/FA

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

Matematik tarihindeki popüler sitelerin çoğu, modern gösterimlerde ve kavramlarda Apollonius'a atfedilen kavramlara atıfta bulunur veya bunları analiz eder. Apollonius'un çoğu yoruma tabi olduğundan ve kendi başına modern kelimeleri veya kavramları kullanmadığından, aşağıdaki analizler optimal veya doğru olmayabilir. Yazarlarının tarihsel teorilerini temsil ederler.

• Encyclopædia Britannica'nın Editörleri (2006). "Pergalı Apollon" . Ansiklopedi Britannica.
• Kunkel, Paul (2016). "Apollonius'un Konikleri" . Whistler Yolu Matematik . whistleralley.com . 15 Şubat 2017'de alındı .
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Apollonius of Perga" , MacTutor Matematik Tarihi arşivi , St Andrews Üniversitesi
• "Matematik ve Matematiksel Astronomi" . Kahverengi Üniversitesi.
• "Apollonii Pergaei Conicorum" . Linda Hall Kütüphanesi Dijital Koleksiyonu.
• David Dennis; Susan Addington (2009). "Apollonius ve Konik Kesitler" (PDF) . Matematiksel Niyetler . quadrivium.info.
• Stoudt, Gary S. "Bir Koniden Gerçekten Konik Formüller Türetebilir misiniz?" . Amerika Matematik Derneği . 28 Mart 2017'de alındı .
• McKinney, Colin Bryan Powell (2010). Eşlenik çapları: Pergalı Apollonius ve Ascalonlu Eutocius (Ph.D.). Iowa Üniversitesi.