Uyum (geometri) - Congruence (geometry)

Uyum örneği. Soldaki iki üçgen eş, üçüncüsü ise onlara benzer . Son üçgen, diğerlerine ne uyumlu ne de benzer. Uyum, konum ve yön gibi bazı özelliklerin değiştirilmesine izin verir, ancak mesafeler ve açılar gibi diğerlerini değiştirmeden bırakır . Değişmeyen özelliklere değişmezler denir .

İn geometrisi , iki şekil veya nesneleri uyumlu aynı varsa şekil ve boyut, ya da bir ile aynı şekil ve boyuta sahipse ayna görüntüsü diğerinin.

Daha resmi olarak, iki nokta kümesine, ancak ve ancak biri bir izometri , yani katı hareketlerin bir kombinasyonu , yani bir öteleme , bir döndürme ve bir yansıma yoluyla dönüştürülebiliyorsa uyumlu olarak adlandırılır . Bu, her iki nesnenin de diğer nesneyle tam olarak örtüşecek şekilde yeniden konumlandırılabileceği ve yansıtılabileceği (ancak yeniden boyutlandırılamayacağı) anlamına gelir. Yani bir kağıt parçası üzerindeki iki farklı düzlem şekli, onları kesip tamamen eşleştirebilirsek uyumludur. Kağıdın ters çevrilmesine izin verilir.

Bu diyagram, açı-açı-yan üçgen uyumluluğunun geometrik ilkesini gösterir: verilen ABC üçgeni ve A'B'C' üçgeni, ABC üçgeni A'B'C' üçgeni ile uyumludur, ancak ve ancak: CAB açısı açıyla uyumludur C'A'B' ve ABC açısı A'B'C' açısı ile ve BC açısı B'C' ile uyumludur. Not ambar işaretleri açı ve yan Eşitlikler göstermek için burada kullanılır.

Temel geometride uyumlu kelimesi genellikle aşağıdaki gibi kullanılır. Eşit kelimesi genellikle bu nesneler için uyumlu yerine kullanılır .

  • Aynı uzunluktaki iki doğru parçası uyumludur.
  • Ölçüleri aynı olan iki açı eşittir.
  • Aynı çapa sahip iki daire eştir.

Bu anlamda, iki düzlem şeklinin uyumlu olması, karşılık gelen özelliklerinin yalnızca karşılık gelen tarafları ve açıları değil, aynı zamanda karşılık gelen köşegenleri, çevreleri ve alanları da dahil olmak üzere "uyumlu" veya "eşit" olduğu anlamına gelir.

İlgili benzerlik kavramı , nesnelerin aynı şekle sahip olması ancak mutlaka aynı boyuta sahip olmaması durumunda geçerlidir. (Bir azınlık, nesnelerin benzer olarak nitelendirilmesi için farklı boyutlara sahip olmasını gerektirse de, çoğu tanım uyumu bir benzerlik biçimi olarak kabul eder.)

Çokgenlerin uyumunu belirleme

Turuncu ve yeşil dörtgenler eştir; mavi onlara uymuyor. Üçünün de çevresi ve alanı aynıdır . (Mavi dörtgenin kenarlarının sıralaması "karışıktır", bu da iç açılardan ikisinin ve köşegenlerden birinin uyumlu olmamasına neden olur.)

İki çokgenin uyumlu olması için, eşit sayıda kenara (ve dolayısıyla eşit sayıda - aynı sayıda - köşelere) sahip olmaları gerekir. n kenarlı iki çokgen, ancak ve ancak her biri sayısal olarak aynı dizilere sahipse (bir çokgen için saat yönünde ve diğeri için saat yönünün tersine olsa bile) eştir. yan açı-yan açı-... n kenar ve n açı için.

Çokgenlerin uyumu grafiksel olarak aşağıdaki gibi belirlenebilir:

  • İlk önce, iki şeklin ilgili köşelerini eşleştirin ve etiketleyin.
  • İkinci olarak, şekillerden birinin köşelerinden birinden diğer şeklin karşılık gelen köşesine bir vektör çizin. Çevir Bu iki köşe eşleşecek şekilde bu vektör tarafından ilk rakam.
  • Üçüncüsü, bir çift karşılık gelen kenar eşleşene kadar çevrilmiş şekli eşleşen köşe etrafında döndürün .
  • Dördüncüsü, rakamlar eşleşene kadar döndürülen şekli bu eşleşen taraf etrafında yansıtın .

Herhangi bir zamanda adım tamamlanamazsa, çokgenler uyumlu değildir.

üçgenlerin uyumu

Karşılıklı kenarlarının uzunlukları ve karşılık gelen açılarının ölçüleri eşit olan iki üçgen eştir .

ABC üçgeni DEF üçgeni ile eş ise, ilişki matematiksel olarak şu şekilde yazılabilir:

Çoğu durumda, karşılık gelen üç parçanın eşitliğini kurmak ve iki üçgenin uyumunu çıkarmak için aşağıdaki sonuçlardan birini kullanmak yeterlidir.

Bir üçgenin şekli, iki kenar ve aralarındaki açı (SAS), iki açı ve aralarındaki kenar (ASA) veya iki açı ve buna karşılık gelen bir bitişik kenar (AAS) belirtilerek eşliğe kadar belirlenir. Bununla birlikte, iki kenar ve bir bitişik açı (SSA) belirtmek, iki farklı olası üçgen verebilir.

kongrüansın belirlenmesi

Öklid uzayında iki üçgen arasındaki uyum için yeterli kanıt aşağıdaki karşılaştırmalar yoluyla gösterilebilir:

  • SAS (yan-açı-yan): İki üçgenin iki kenar çiftinin uzunluğu ve içerdiği açıların ölçüleri eşitse, üçgenler eştir.
  • SSS (yan-yan-yan): İki üçgenin üç çift kenar uzunluğu eşitse, üçgenler eştir.
  • ASA (açı-yan-açı): İki üçgenin iki açı ölçüsü eşitse ve dahil edilen kenar uzunlukları eşitse, üçgenler eştir.

ASA varsayımı, Thales of Miletus (Yunanca) tarafından sağlanmıştır . Çoğu aksiyom sisteminde, üç kriter – SAS, SSS ve ASA – teoremler olarak belirlenir . Gelen Okul Matematik Çalışma Grubu sisteminde SAS 22 önermeleri biri olarak (# 15) alınır.

  • AAS (açı-açı-yan): İki üçgenin iki açı çifti ölçü olarak eşitse ve bir çift karşılık gelen dahil edilmeyen kenar uzunlukları eşitse, üçgenler uyumludur. AAS, toplamlarının 180° olması gerektiğinden, herhangi iki açı verildiğinde üçüncü açının da verilmesi gerçeğiyle bir ASA koşuluna eşdeğerdir. ASA ve AAS bazen tek bir koşulda birleştirilir, AAcorrS - herhangi iki açı ve karşılık gelen bir kenar.
  • HL (hipotenüs-bacağı) olarak da bilinen RHS (dik açı-hipotenüs tarafı) : İki dik açılı üçgenin hipotenüslerinin uzunluğu eşitse ve bir çift kısa kenarın uzunluğu eşitse, üçgenler uyumludur .

yan-yan-açı

İki kenarı ve dahil edilmeyen bir açıyı (ASS veya açı-yan-yan olarak da bilinir) belirten SSA koşulu (yan-yan-açı) kendi başına uyumu kanıtlamaz. Uyum göstermek için, karşılık gelen açıların ölçüsü ve bazı durumlarda iki çift karşılık gelen kenarın uzunlukları gibi ek bilgiler gereklidir. Birkaç olası durum vardır:

İki üçgen SSA koşulunu sağlıyorsa ve açının karşısındaki kenarın uzunluğu bitişik kenarın uzunluğundan büyük veya ona eşitse (SSA veya uzun kenar-kısa kenar açısı), o zaman iki üçgen uyumludur. Karşı taraf bazen ilgili açılar dar olduğunda daha uzundur , ancak karşılık gelen açılar dik veya geniş olduğunda her zaman daha uzundur. Açı, hipotenüs-bacak (HL) varsayımı veya dik açı-hipotenüs-taraf (RHS) koşulu olarak da bilinen bir dik açı olduğunda, üçüncü kenar Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanabilir ve böylece SSS varsayımına izin verilir. uygulamalı.

İki üçgen SSA koşulunu sağlıyorsa ve karşılık gelen açılar darsa ve açının karşısındaki kenarın uzunluğu, komşu kenarın uzunluğunun açının sinüsü ile çarpımına eşitse, iki üçgen uyumludur.

İki üçgen SSA koşulunu sağlıyorsa ve karşılık gelen açılar darsa ve açının karşısındaki kenarın uzunluğu, komşu kenarın uzunluğundan açının sinüsü ile çarpımından büyükse (ancak bitişik kenarın uzunluğundan küçük), o zaman iki üçgenin eş olduğu gösterilemez. Bu belirsiz durumdur ve verilen bilgilerden iki farklı üçgen oluşturulabilir, ancak bunları ayırt eden daha fazla bilgi bir uygunluk kanıtına yol açabilir.

Açı-açı-açı

Öklid geometrisinde, AAA (açı-açı-açı) (ya da Öklid geometrisinde bir üçgenin açılarının toplamı 180° olduğu için sadece AA) iki üçgenin boyutuyla ilgili bilgi sağlamaz ve bu nedenle yalnızca benzerliği kanıtlar , değil. Öklid uzayında uyum.

Bununla birlikte, küresel geometride ve hiperbolik geometride (bir üçgenin açılarının toplamının boyuta göre değiştiği durumlarda) AAA, belirli bir yüzey eğriliği üzerinde uyum için yeterlidir.

TBMTC

Bu kısaltma , Eş Üçgenlerin Karşılık Gelen Parçaları Eştir anlamına gelir, eş üçgenlerin tanımının kısaltılmış bir versiyonudur.

Daha ayrıntılı olarak, eğer ABC ve DEF üçgenleri eş ise, yani,

A ve D köşelerinde karşılık gelen açı çiftleri ile ; B ve E ; ve C ve F ve karşılık gelen AB ve DE kenar çiftleriyle ; BC ve EF ; ve CA ve FD , o zaman aşağıdaki ifadeler doğrudur:

Bu ifade genellikle, üçgenlerin uyumu oluşturulduktan sonra iki üçgenin parçalarının uyumuna ilişkin bir sonuca ihtiyaç duyulduğunda, temel geometri kanıtlarında bir gerekçe olarak kullanılır. Örneğin, iki üçgenin SSS kriterleri tarafından uyumlu olduğu gösterilmişse ve bir ispatta karşılık gelen açıların uyumlu olduğuna dair bir ifadeye ihtiyaç duyuluyorsa, bu ifadenin gerekçesi olarak CPCTC kullanılabilir.

İlgili bir teorem, "üçgenlerin" "şekiller" ile değiştirildiği CPCFC'dir , böylece teorem , uyumlu olan herhangi bir çokgen veya çokyüzlü çifti için geçerlidir .

Analitik geometride uyumun tanımı

Bir de Öklid sistemi , eşlik temel olduğu; sayıların eşitliğinin karşılığıdır. Gelen analitik geometri biri üzerine şekillerde iki dönüşümler koordinat sistemi için, ancak ve ancak uyumlu olan Kartezyen:, eşlik böylece sezgisel tanımlanabilir bir birinci haritalamaya iki nokta, bir Öklid mesafe aralarında gelen arasındaki Öklid mesafe eşittir ikinci haritalamadaki noktalar.

İki bu daha resmi tanımı durumları alt grupları A ve B arasında Öklid alan R , n bir mevcutsa uyumlu olarak adlandırılır izometri f  : R, NR , n (bir elemanını Öklid grubu E ( n ) ile) f ( A ) = B . Uyum bir denklik bağıntısıdır .

uyumlu konik bölümler

Eksantriklikleri ve onları karakterize eden diğer bir farklı parametre eşitse , iki konik bölüm uyumludur . Eksantriklikleri, benzerlik kurmak için yeterli olan şekillerini oluşturur ve ardından ikinci parametre boyutu belirler. İki daire , parabol veya dikdörtgen hiperbol her zaman aynı eksantrikliğe sahip olduğundan (özellikle dairelerde 0, parabollerde 1 ve dikdörtgen hiperbollerde), iki daire, parabol veya dikdörtgen hiperbolün sahip olması gerekir. uyumlu olmaları için boyutlarını belirleyen yalnızca bir başka ortak parametre değeri.

uyumlu çokyüzlü

İki için polyhedra (aynı sayıda aynı kombinasyon tip E kenarlarının, aynı sayıda yüzleri ve karşılık gelen yüzlerinde iki aynı sayıda), bir dizi vardır E olup olmadığını belirlemek için ölçümler çokyüzlüler uyumludur. Sayı dardır, yani çokyüzlüler kombinatoryal türleri arasında jenerik ise, E'den daha az ölçüm yeterli değildir. Ancak özel durumlar için daha az ölçüm işe yarayabilir. Örneğin, küplerin 12 kenarı vardır, ancak bu kombinatoryal tipteki bir çokyüzlülüğün belirli bir normal küple uyumlu olup olmadığına karar vermek için 9 ölçüm yeterlidir.

Bir küre üzerinde eş üçgenler

Düzlem üçgenlerde olduğu gibi, bir küre üzerinde aynı açı-yan-açı (ASA) dizisini paylaşan iki üçgen zorunlu olarak uyumludur (yani, üç özdeş kenara ve üç özdeş açıya sahiptirler). Bu şu şekilde görülebilir: Köşelerden birini belirli bir açıyla güney kutbuna yerleştirebilir ve verilen uzunluktaki kenardan ana meridyene kadar koşabiliriz. Sabit uzunluktaki parçanın her iki ucundaki her iki açının da bilinmesi, diğer iki tarafın benzersiz bir şekilde belirlenmiş bir yörünge ile çıkmasını ve böylece benzersiz bir şekilde belirlenmiş bir noktada birbiriyle buluşmasını sağlar; dolayısıyla ASA geçerlidir.

Yan-açı-yan (SAS) ve yan-yan-yan (SSS) uyum teoremleri de bir küre üzerinde geçerlidir; ek olarak, eğer iki küresel üçgen aynı açı-açı-açı (AAA) dizisine sahipse, bunlar uyumludur (düzlem üçgenlerin aksine).

Düzlem-üçgen uyumu teoremi açı-açı-yan (AAS) küresel üçgenler için geçerli değildir. Düzlem geometride olduğu gibi, yan-yan açısı (SSA) uyum anlamına gelmez.

gösterim

Uyum için yaygın olarak kullanılan bir sembol, üzerinde yaklaşık işareti olan bir eşittir sembolüdür , 'yaklaşık olarak eşittir' (U+2245) Unicode karakterine karşılık gelir . Birleşik Krallık'ta bazen üç çubuklu eşittir işareti (U+2261) kullanılır.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar