Seriler (matematik) - Series (mathematics)
hakkında bir dizi makalenin bir parçası |
kalkülüs |
---|
In matematik , bir dizi , kabaca, belli bir başlangıç miktara, sonsuz sayıda miktarlarda, peş peşe ekleyerek çalışması açıklamasını konuşuyor. Serilerin incelenmesi, kalkülüsün ve genelleştirilmesinin, matematiksel analizin önemli bir parçasıdır . Seriler, matematiğin çoğu alanında, hatta sonlu yapıları ( kombinatoriklerde olduğu gibi ) üreten fonksiyonlar aracılığıyla çalışmak için bile kullanılır . Matematikte her yerde bulunmalarına ek olarak, sonsuz seriler fizik , bilgisayar bilimi , istatistik ve finans gibi diğer nicel disiplinlerde de yaygın olarak kullanılmaktadır .
Uzun bir süre, böyle potansiyel olarak sonsuz bir toplamın sonlu bir sonuç üretebileceği fikri paradoksal olarak kabul edildi . Bu paradoks, 17. yüzyılda limit kavramı kullanılarak çözüldü . Zeno'nun Aşil ve kaplumbağa paradoksu , sonsuz toplamların bu mantık dışı özelliğini gösterir: Aşil bir kaplumbağanın peşinden koşar, ancak yarışın başlangıcında kaplumbağanın konumuna ulaştığında, kaplumbağa ikinci bir konuma ulaşmıştır; bu ikinci konuma ulaştığında, kaplumbağa üçüncü bir konumdadır ve bu böyle devam eder. Zeno , Aşil'in kaplumbağaya asla ulaşamayacağı ve dolayısıyla hareketin olmadığı sonucuna vardı . Zeno, yarışı, her biri sınırlı bir süre gerektiren sonsuz sayıda alt ırka böldü, böylece Aşil'in kaplumbağayı yakalaması için gereken toplam süre bir dizi tarafından verilir. Paradoksun çözümü, serinin sonsuz sayıda terimi olmasına rağmen, Aşil'in kaplumbağayı yakalaması için gereken süreyi veren sonlu bir toplamı olmasıdır.
Modern terminolojisinde, bir (sıralı) sonsuz bir dizi ait açısından (sayı, olduğu fonksiyonlar ya da ilave edilebilir bir şey) ilave işlemi bir dizi tanımlayan bir ı birbiri ardına. Sonsuz sayıda terim olduğunu vurgulamak için bir diziye sonsuz dizi denilebilir . Böyle bir dizi, aşağıdaki gibi bir ifadeyle temsil edilir (veya gösterilir).
Bir dizi tarafından ima edilen sonsuz eklemeler dizisi etkin bir şekilde sürdürülemez (en azından sınırlı bir süre içinde). Ancak, set terimler ve bunların sonlu toplamları ait olduğu bir bağı yoktur limiti , serinin toplamı olarak adlandırılan bir dizi için bir değer atamak için bazen mümkündür. Bu değer sınırıdır , n eğilimi sonsuza (sınır varsa) sonlu toplamlarının n olarak adlandırılır dizisinin ilk açısından, N inci kısmi toplam serisi. Yani,
Gösterim hem diziyi -yani terimleri birbiri ardına süresiz olarak eklemenin örtük sürecidir- hem de dizi yakınsak ise, dizinin toplamını - işlemin sonucunu gösterir. Bu tarafından gösteren benzer kongre bir genellemedir iki
ek ekleme-ve sonuç alınmış işlem toplamının ait bir ve b .Genellikle, bir dizi terim bir gelen halka , genellikle alanın içinde
gerçek sayılar veya alanın içinde karmaşık sayılar . Bu durumda, tüm serilerin kümesinin kendisi bir halkadır (ve hatta bir çağrışımsal cebir ), burada toplama, seri terimlerinin toplanmasından oluşur ve çarpma, Cauchy çarpımıdır .Temel özellikler
Sonsuz bir dizi veya basitçe bir dizi, formun sonsuz bir ifadesi ile temsil edilen sonsuz bir toplamdır .
Değişken bir A grubu terimleri bir limit kavramına sahipse (örneğin, bir metrik uzay ise ), o zaman bazı seriler, yakınsak seriler ,
serilerin toplamı olarak adlandırılan A'da bir değere sahip olarak yorumlanabilir . Bu, grubun gerçek sayıların alanı veya karmaşık sayıların alanı olduğu, kalkülüsün genel durumlarını içerir . Bir dizi Verilen , onun k inci kısmi toplamı olanyakınsak seri
Bir dizi Σ bir N söylenen konverjans veya yakınsak olabilir Dizinin zaman ( lar k ) kısmi toplamlar sonlu olan sınırı . s k limiti sonsuz ise veya mevcut değilse, serinin ıraksadığı söylenir . Kısmi toplamların limiti varsa, buna serinin değeri (veya toplamı) denir.
Tüm eğer sonsuz dizi kutu yakınsama olduğunu kolay bir yolu bir n için sıfır n yeterince büyük. Böyle bir dizi sonlu bir toplamla tanımlanabilir, bu yüzden sadece önemsiz bir anlamda sonsuzdur.
Sonsuz sayıda terim sıfırdan farklı olsa bile yakınsayan serilerin özelliklerini bulmak, seri çalışmasının özüdür. Örneği düşünün
Deyim, serinin diğer eşdeğer kavramlarına genişletilebilir. Örneğin , aşağıdaki gibi yinelenen bir ondalık sayı
Bu diziler her zaman reel sayılara yakınsadıkları için (
gerçel sayıların tamlık özelliği denen şeyden dolayı ), diziler hakkında bu şekilde konuşmak, onların temsil ettikleri sayılar hakkında konuşmakla aynıdır. Özellikle, 0.111... ondalık açılımı 1/9 ile tanımlanabilir. Bu , yalnızca seriler için limit yasalarının aritmetik işlemleri koruduğu gerçeğine dayanan 9 × 0.111... = 0.999... = 1 argümanına yol açar ; Bu argüman hakkında daha fazla ayrıntı için, bkz. 0.999... .Sayısal seri örnekleri
- Bir geometrik dizi birbirini takip eden her bir terim ile bir önceki dönem çarpımı ile elde edildiği bir sabit sayıda (bu bağlamda genel oran olarak adlandırılır). Örneğin:
- Harmonik serisi dizisidir
- Bir alternatif serisi bir dizi nerede terimleri alternatif işaretler olduğunu. Örnekler:
- Bir teleskop serisi
- Bir aritmetik-geometrik seri , bir
π
2'nin doğal logaritması
Doğal logaritma tabanı e
Diziler üzerinde bir işlem olarak hesap ve kısmi toplam
Kısmi toplama girdi olarak bir diziyi ( a n ) alır ve çıktı olarak başka bir diziyi ( S N ) verir. Bu nedenle diziler üzerinde tekli bir işlemdir . Ayrıca, bu fonksiyon lineerdir ve dolayısıyla Σ ile gösterilen dizilerin
vektör uzayı üzerinde lineer bir operatördür . Ters operatör, Δ ile gösterilen sonlu fark operatörüdür. Bunlar , gerçek bir değişkenin işlevleri yerine, yalnızca seriler (doğal sayının işlevleri) için ayrık entegrasyon ve farklılaşma analogları gibi davranır . Örneğin, (1, 1, 1, ...) dizisi, kısmi toplamı olarak (1, 2, 3, 4, ...) dizisine sahiptir;Gelen bilgisayar bilimleri , bu olarak bilinen önek toplamı .
Serilerin özellikleri
Seriler, yalnızca yakınsak veya ayrışmalarına göre değil, aynı zamanda a n (mutlak veya koşullu yakınsaklık) terimlerinin özelliklerine göre de sınıflandırılır ; serinin yakınsama türü (noktasal, düzgün); a n teriminin sınıfı ( gerçek sayı, aritmetik ilerleme, trigonometrik fonksiyon olup olmadığı); vesaire.
Negatif olmayan terimler
Ne zaman bir n , her bir negatif olmayan bir reel sayıdır , n , sırası S , N kısmi toplamlar olmayan azalıyor. Negatif olmayan terimleri olan bir Σ a n serisi, ancak ve ancak kısmi toplamların S N dizisi sınırlıysa yakınsar .
Örneğin, dizi
mutlak yakınsama
Bir dizi
koşullu yakınsama
Bir dizi gerçek veya karmaşık sayı , yakınsaksa ancak mutlak yakınsak değilse, koşullu yakınsak (veya yarı yakınsak ) olarak adlandırılır. Ünlü bir örnek alternatif dizidir
Abel'in testi , yarı yakınsak serileri işlemek için önemli bir araçtır. Bir dizi formu varsa
Kesme hatalarının değerlendirilmesi
Kesme hatalarının değerlendirilmesi, sayısal analizde önemli bir prosedürdür (özellikle doğrulanmış sayısallar ve bilgisayar destekli ispat ).
alternatif seri
Alternatif seri testinin koşulları ile sağlandığında , kesin bir hata değerlendirmesi vardır. Verilen alternatif serinin kısmi toplamı olarak ayarlayın . Sonra bir sonraki eşitsizlik tutar:
Taylor serisi
Taylor teoremi , Taylor serisi kesildiğinde hata teriminin değerlendirilmesini içeren bir ifadedir .
hipergeometrik seri
Oranı kullanarak hipergeometrik seri kesildiğinde hata teriminin değerlendirmesini elde edebiliriz .
matris üstel
İçin matris üstel :
yakınsama testleri
Belirli serilerin yakınsadığını veya uzaklaştığını belirlemek için kullanılabilecek birçok test vardır.
- n. terim testi : Eğer, o zaman seri ıraksar; ise, o zaman test sonuçsuzdur.
- Karşılaştırma testi 1 (bakınız Doğrudan karşılaştırma testi ): Eğer bir sayı için ve yeterince büyük olacak şekilde
Fonksiyonlar dizisi
Bir dizi gerçek veya karmaşık değerli fonksiyon
yakınsak nokta tabanlı bir dizi ile E , her biri için dizi yakınsak eğer x de E ya da kompleks sayı normal bir serisi. Eşdeğer olarak, kısmi toplamlar
Bir dizi fonksiyonun yakınsamasına ilişkin daha güçlü bir kavram, tek biçimli yakınsamadır . Bu fonksiyon noktasal yakınsar eşit ise bir dizi yakınsak ƒ ( x ), ve bu sınırı yaklaşan hata N kısmi toplamı th
Bir seri için düzgün yakınsama arzu edilir, çünkü serinin terimlerinin birçok özelliği daha sonra limit tarafından korunur. Örneğin, bir dizi sürekli fonksiyon düzgün bir şekilde yakınsarsa, limit fonksiyonu da süreklidir. Benzer şekilde, eğer ƒ n olan integre kapalı ve sınırlı aralığı üzerinde I ve eşit birleşir, sonra serisi ile integrallenebilirdir I ve terimi terime entegre edilebilir. Tekdüze yakınsama testleri, Weierstrass'ın M-testi , Abel'in tek biçimli yakınsama testi , Dini'nin testi ve Cauchy kriterini içerir .
Bir dizi fonksiyonun daha karmaşık yakınsama türleri de tanımlanabilir. In tedbir teorisi , örneğin, fonksiyonlar yakınsak bir dizi hemen hemen her yerde bu belirli bir sette dışında noktasal yakınsar ölçümü sıfır . Diğer yakınsama modları, ele alınan fonksiyonların uzayında farklı bir metrik uzay yapısına bağlıdır . Örneğin, fonksiyonlar bir dizi ortalama içinde yakınsak bir dizi üzerinde E bir sınırı işleve ƒ sağlanan
Güç serisi
Bir güç serisi , formun bir dizisidir
Taylor serisi bir noktasında c bir fonksiyonun bir kuvvet serileri, yani birçok durumda, bir mahallede işlevine yakınsak c . Örneğin, dizi
Yalnızca x = c'de yakınsamadıkça, böyle bir seri , karmaşık düzlemde c noktasında ortalanmış belirli bir açık yakınsama diskinde yakınsar ve ayrıca disk sınırının bazı noktalarında yakınsayabilir. Bu diskin yarıçapı yakınsama yarıçapı olarak bilinir ve prensipte a n katsayılarının asimptotiklerinden belirlenebilir . Yakınsama, yakınsama diskinin iç kısmının kapalı ve sınırlı (yani, kompakt ) alt kümelerinde tekdüzedir: yani,
kompakt kümelerde düzgün şekilde yakınsaktır .Tarihsel olarak, Leonhard Euler gibi matematikçiler , yakınsak olmasalar bile sonsuz serilerle özgürce çalıştılar. On dokuzuncu yüzyılda kalkülüs sağlam ve doğru bir temele oturtulduğunda, serilerin yakınsaklığının kesin kanıtlarına her zaman ihtiyaç duyulmuştur.
Resmi güç serisi
Kuvvet serilerinin birçok kullanımı toplamlarına atıfta bulunurken, kuvvet serilerini resmi toplamlar olarak ele almak da mümkündür, bu da aslında hiçbir toplama işleminin yapılmadığı anlamına gelir ve "+" sembolü, mutlak olarak yorumlanmayan soyut bir bağlaç sembolüdür. eklenmesine karşılık gelir. Bu durumda, serinin yakınsamasından ziyade katsayı dizisinin kendisi ilgi çekicidir. Biçimsel güç serileri, kombinatorikte , başka türlü ele alınması zor olan dizileri tanımlamak ve incelemek için kullanılır, örneğin, fonksiyon üretme yöntemini kullanarak . Hilbert-Poincare serisi incelemek için kullanılan resmi bir güç dizisidir dereceli cebirlerini .
Kuvvet serilerinin limiti dikkate alınmasa bile, terimler uygun yapıyı destekliyorsa , kuvvet serileri için toplama , çarpma , türev , ters türev gibi işlemleri "biçimsel" olarak tanımlamak , "+" sembolüne sanki bir şeymiş gibi davranmak mümkündür. eklenmesine karşılık gelmektedir. En yaygın düzenlemede, terimler değişmeli bir halkadan gelir , böylece biçimsel güç serileri terim terim eklenebilir ve Cauchy çarpımı yoluyla çarpılabilir . Bu durumda biçimsel güç serisinin cebir toplam cebir ait Monoid ait doğal sayılar yatan vadeli halkası üzerinde. Temel terim halkası bir diferansiyel cebir ise , o zaman biçimsel güç serilerinin cebiri de terim terim farklılaşmanın yapıldığı bir diferansiyel cebirdir.
Laurent serisi
Laurent serisi, pozitif üslü olduğu kadar negatif üslü terimleri de seriye kabul ederek kuvvet serilerini genelleştirir. Bir Laurent serisi, bu nedenle, formun herhangi bir serisidir.
Dirichlet serisi
Bir Dirichlet serisi şeklinde biridir
Zeta fonksiyonu gibi, genel olarak Dirichlet serisi de analitik sayılar teorisinde önemli bir rol oynar . Genellikle bir Dirichlet serisi, eğer s'nin gerçek kısmı yakınsama apsisi denilen bir sayıdan büyükse yakınsar. Birçok durumda, bir Dirichlet serisi,
analitik devamlılık yoluyla yakınsama alanı dışında bir analitik fonksiyona genişletilebilir . Örneğin, zeta fonksiyonu için Dirichlet serisi, Re( s ) > 1 olduğunda mutlak olarak yakınsar , ancak zeta fonksiyonu , 1'de basit bir kutup ile tanımlanan bir holomorfik fonksiyona genişletilebilir .Bu seri doğrudan genel Dirichlet serilerine genellenebilir .
trigonometrik seri
Terimlerinin trigonometrik fonksiyonlar olduğu bir dizi fonksiyona trigonometrik seri denir :
Sonsuz seriler teorisinin tarihi
Sonsuz serilerin gelişimi
Yunan matematikçi Arşimet , bugün hala kalkülüs alanında kullanılan bir yöntemle sonsuz bir serinin bilinen ilk toplamını üretti. Sonsuz bir serinin toplamı ile bir
parabolün yayının altındaki alanı hesaplamak için tükenme yöntemini kullandı ve dikkat çekici derecede doğru bir π yaklaşıklığı verdi .Hindistan, Kerala'dan matematikçiler 1350 CE civarında sonsuz seriler üzerinde çalıştılar.
17. yüzyılda, James Gregory yeni ondalık sistemde sonsuz seriler üzerinde çalıştı ve birkaç Maclaurin serisi yayınladı . 1715'te,
Brook Taylor tarafından, var oldukları tüm fonksiyonlar için Taylor serilerini oluşturmak için genel bir yöntem sağlandı . 18. yüzyılda Leonhard Euler , hipergeometrik seriler ve q-serileri teorisini geliştirdi .Yakınsama kriterleri
Sonsuz serilerin geçerliliğinin araştırılmasının 19. yüzyılda Gauss ile başladığı kabul edilir . Euler zaten hipergeometrik seriyi düşünmüştü.
Cauchy (1821) sıkı yakınsama testleri üzerinde ısrar etti; eğer iki seri yakınsak ise, ürünlerinin mutlaka öyle olmadığını gösterdi ve onunla birlikte etkili kriterlerin keşfine başladı. Yakınsama ve ıraksama terimleri çok daha önce Gregory (1668) tarafından ortaya atılmıştı . Leonhard Euler ve Gauss çeşitli kriterler vermişlerdi ve
Colin Maclaurin , Cauchy'nin keşiflerinden bazılarını öngörmüştü. Cauchy, karmaşık bir fonksiyonu böyle bir biçimde genişleterek kuvvet serileri teorisini geliştirdi .Abel (1826), iki
terimli dizi hakkındaki anılarındaCauchy sonuçlardan belli düzeltilmiş ve karmaşık değerleri için dizi tamamen bilimsel toplamını verdi ve . Yakınsama sorularında süreklilik konusunun ele alınmasının gerekliliğini göstermiştir.
Cauchy'nin yöntemleri genel olmaktan çok özel kriterlere yol açtı ve aynı şey , konuyla ilgili ilk ayrıntılı araştırmayı yapan Raabe (1832), logaritmik testi
DuBois-Reymond (1873) ve De Morgan (1842'den itibaren) için de söylenebilir. Pringsheim (1889), belirli bir bölgede başarısız olduğunu göstermiştir; arasında Bertrand (1842), Bonnet (1843), Malmsten (1846, 1847, entegrasyonu olmadan ikinci); Stokes (1847), Paucker (1852), Chebyshev (1852) ve Arndt (1853).Genel kriterler Kummer (1835) ile başladı ve Eisenstein (1847), Weierstrass tarafından fonksiyonlar teorisine yaptığı çeşitli katkılarda, Dini (1867), DuBois-Reymond (1873) ve diğerleri tarafından incelenmiştir. Pringsheim'ın anıları (1889) en eksiksiz genel teoriyi sunar.
düzgün yakınsama
Tekdüze yakınsama teorisi Cauchy (1821) tarafından ele alındı, sınırlamaları Abel tarafından belirtildi, ancak ona başarılı bir şekilde saldıran ilk kişiler Seidel ve Stokes (1847-48) idi. Cauchy, Abel'ın eleştirisini kabul ederek ve Stokes'un zaten bulduğu sonuçlara vararak sorunu yeniden ele aldı (1853). Thomae doktrini (1866) kullandı, ancak işlevler teorisinin taleplerine rağmen, tek biçimli ve tek biçimli olmayan yakınsama arasında ayrım yapmanın önemini anlamakta büyük bir gecikme oldu.
Yarı yakınsama
Bir seri, yakınsak ise ancak mutlak yakınsak değilse, yarı yakınsak (veya koşullu yakınsak) olduğu söylenir .
Yarı yakınsak seriler, Maclaurin formülünün geri kalanı için de genel bir form veren Poisson (1823) tarafından incelenmiştir. Ancak sorunun en önemli çözümü, geri kalanlar sorununa farklı bir bakış açısıyla saldıran ve farklı bir formüle ulaşan Jacobi'ye (1834) aittir. Bu ifade aynı zamanda Malmsten (1847) tarafından da çalışıldı ve bir diğeri verildi . Schlömilch ( Zeitschrift ,
Cilt I , s. 192, 1856) Jacobi'nin kalanını da iyileştirdi ve kalan ile Bernoulli'nin işlevi arasındaki ilişkiyi gösterdi.İlk yazarlar arasında, "loi suprême" (1815),
Cayley (1873) onu öne çıkarana kadar pek tanınmayan Wronski vardı .Fourier serisi
Fourier serileri , Gauss, Abel ve Cauchy sonsuz seriler teorisi üzerinde çalışırken, aynı zamanda fiziksel değerlendirmelerin bir sonucu olarak araştırılıyordu. Sinüslerin ve kosinüslerin, yayın sinüs ve kosinüs güçlerindeki çoklu yayınların genişlemesi için diziler Jacob Bernoulli (1702) ve kardeşi Johann Bernoulli (1701) ve daha önce Vieta tarafından ele alınmıştı . Euler ve Lagrange , Poinsot , Schröter , Glaisher ve Kummer gibi konuyu basitleştirdiler .
Fourier kendisi için (1807) kümesinin farklı sorun, belirli bir işlevi genişletmek için x sinüs veya katları arasında cosines açısından x , onun içinde somutlaşan bir sorun Theorie analytique de la chaleur (1822). Euler, serideki katsayıları belirlemek için formülleri zaten vermişti; Fourier, genel teoremi öne süren ve kanıtlamaya çalışan ilk kişiydi. Poisson (1820–23) de soruna farklı bir bakış açısından saldırdı. Bununla birlikte, Fourier serilerinin yakınsaklığı sorununu çözmedi, bu mesele Cauchy'nin (1826) teşebbüs etmesi ve Dirichlet'in (1829) tamamen bilimsel bir tarzda ele alması kaldı (bkz . Fourier serilerinin yakınsaması ). Dirichlet'in trigonometrik serileri ele alması ( Crelle , 1829), Riemann (1854), Heine, Lipschitz , Schläfli ve du Bois-Reymond tarafından eleştiri ve iyileştirme konusu oldu . Trigonometrik ve Fourier serileri teorisine diğer önde gelen katkılar arasında Dini , Hermite , Halphen , Krause, Byerly ve Appell vardı .
genellemeler
asimptotik seri
Asimptotik seriler , aksi takdirde asimptotik açılımlar , kısmi toplamları, alanın bir noktasının limitinde iyi yaklaşımlar haline gelen sonsuz serilerdir. Genelde yakınsamazlar, ancak her biri sonlu sayıda terim için istenen cevaba yakın bir değer sağlayan yaklaşım dizileri olarak faydalıdırlar. Aradaki fark, asimptotik bir serinin, yakınsak serilerin yapabildiği şekilde, istendiği kadar kesin bir cevap üretmek için yapılamamasıdır. Aslında, belirli sayıda terimden sonra tipik bir asimptotik seri en iyi yaklaşımına ulaşır; daha fazla terim dahil edilirse, bu tür dizilerin çoğu daha kötü cevaplar üretecektir.
Iraksak seri
Pek çok durumda, alışılmış anlamda yakınsamakta başarısız olan bir seriye bir limit atamak arzu edilir. Bir toplanabilme yöntemi uygun şekilde yakınsama klasik kavramını uzanan farklı serisinin setin bir alt setinin bir limit böyle bir atama olduğunu. Toplanabilirlik yöntemleri , artan genellik sırasına göre Cesàro toplama , ( C , k ) toplama, Abel toplama ve Borel toplamayı içerir (ve dolayısıyla giderek farklılaşan serilere uygulanabilir).
Olası toplanabilirlik yöntemlerine ilişkin çeşitli genel sonuçlar bilinmektedir. Silverman-Toeplitz teoremi karakterize matris toplanabilme metotları katsayılarının vektörüne sonsuz matrisi uygulanarak bir ıraksak toplanmasına mahsus yöntemlerdir. Iraksak bir seriyi toplamak için en genel yöntem yapıcı değildir ve Banach limitleri ile ilgilidir .
İsteğe bağlı dizin kümeleri üzerinden toplamlar
Keyfi bir indeks kümesi I üzerindeki toplamlar için tanımlar verilebilir . Her zamanki seri kavramıyla iki temel fark vardır: birincisi, I kümesinde verilen belirli bir sıra yoktur ; ikincisi, bu küme I sayılamaz olabilir. Yakınsama kavramının güçlendirilmesi gerekmektedir, çünkü koşullu yakınsama kavramı , indeks kümesinin sıralanmasına bağlıdır.
Eğer bir
indeks kümesi I'den bir G kümesine bir fonksiyon ise , o zaman ilişkili "seri" , ile gösterilen indeks elemanları üzerindeki elemanların biçimsel toplamıdır .Dizin kümesi doğal sayılar olduğunda, işlev ile gösterilen bir
dizidir . Biz yeniden yazmak kadar doğal sayılar üzerinde endeksli bir dizi sıralı resmi toplamıdır ve sıra doğal sayılar ile oluşturulan sipariş vurgulamak amacıyla. Böylece, doğal sayılarla indekslenen bir seri için ortak notasyonu elde ederiz.Negatif olmayan sayıların aileleri
Negatif olmayan sayıların bir { a i }, i ∈ I ailesini toplarken , bir kişi şunları tanımlayabilir:
Supremum sonlu olduğunda, i ∈ I kümesi öyle ki a i > 0 sayılabilir. Gerçekten de, her n ≥ 1 için küme sonludur, çünkü
Eğer I olarak sayılabilir sonsuz ve numaralandırılmış olan I {= I 0 , ı 1 , ...} o yukarıda tanımlandığı toplamı tatmin
serinin toplamı için ∞ değerine izin verilmesi koşuluyla.
Negatif olmayan gerçekler üzerindeki herhangi bir toplam , iki yapı arasındaki birçok benzerliği hesaba katan sayma ölçüsüne göre negatif olmayan bir fonksiyonun integrali olarak anlaşılabilir .
Değişken topolojik gruplar
Let bir : Ben → X , ben herhangi kümesidir ve X'in bir olduğunu değişmeli Haussdorf topolojik grup . Let F tüm toplanması olmak sonlu alt kümelerinin arasında I ile, F bir olarak görülüyor yönlendirilmiş kümesi , sipariş altında eklenmesi ile birlik olarak katılmak .
a ailesinin S toplamını limit olarak tanımlayınÇünkü F değildir tamamen sıralı , bu olmayan bir dizinin limiti ziyade bir bölgesinin kısmi toplamlar net .
Her için W , 0 mahalle X , daha küçük bir mahalle olduğu V şekilde V - V ⊂ W . Bir koşulsuz toplanabilir ailesinin sonlu kısmi toplamları izler bir i , i ∈ I , bir formu Cauchy net her için, olduğu, W , içinde 0 mahalle X , sonlu bir alt grubu vardır bir 0 ve I bu şekilde
Ne zaman X'in ise tam bir aile bir koşulsuz toplanabilir içindedir X sonlu toplamlar ikincisi Cauchy net koşulu karşılayan ve ancak eğer. Zaman X, tamamlanır ve bir ı , ı ∈ I , koşulsuz olarak toplanabilir içinde X , sonra, her alt-grup için, J ⊂ I , alt familyası karşılık gelen bir j , j ∈ J , koşulsuz olarak toplanabilir da X .
Negatif olmayan sayılar ailesinin toplamı, daha önce tanımlanan genişletilmiş anlamda sonlu olduğunda, X = R topolojik grubundaki toplamla çakışır .
Bir aile varsa bir de X her için, sonra koşulsuz toplanabilirdir W , 0 mahalle içinde X , sonlu bir alt kümesi vardır bir 0 ait ben öyle ki bir i ∈ W için her i değil de A 0 . Eğer X, bir birinci sayılabilir , grubu olduğu, aşağıdaki i ∈ I bu şekilde bir I ≠ 0 sayılabilir olup. Bunun genel bir değişmeli topolojik grupta doğru olması gerekmez (aşağıdaki örneklere bakın).
Koşulsuz yakınsak seri
I = N olduğunu varsayalım . Eğer bir a n , n ∈ N ailesi , değişken bir Hausdorff topolojik grubu X içinde koşulsuz olarak toplanabilirse , o zaman seri genel anlamda yakınsar ve aynı toplama sahiptir,
Doğası gereği, koşulsuz toplanabilirliğin tanımı, toplamanın sırasına duyarsızdır. Σ a n koşulsuz olarak toplanabilir olduğunda, dizi , aynı toplamla,
N indeks kümesinin herhangi bir σ permütasyonundan sonra yakınsak kalır ,Tersine, eğer bir Σ a n serisinin her permütasyonu yakınsarsa, o zaman seri koşulsuz yakınsaktır. Ne zaman X'in tamamlandıktan sonra koşulsuz yakınsama aynı zamanda tüm seriye, makine türüne yakınsak olmasından eşdeğerdir; Eğer X, Banah alanıdır, bu işaretlerin her sekansı için söylemek eşdeğerdir s , n = ± 1, seri
Topolojik vektör uzaylarında seriler
Eğer X, a, topolojik vektör uzayı (TVS) ve bir (muhtemelen bir
sayılamaz olarak) ailesi X bu aile toplanabilir sınırı ise bir net olarak yakınsak X , burada bir yönlendirilmiş grubu her sonlu alt kümelerinin A dahil edilmesi ile ilgilidir ve .Buna ek olarak,
X üzerindeki her sürekli seminorm p için aile toplanabilir ise buna mutlak toplanabilir denir . Eğer X bir normlanabilir alandır ve eğer içinde mutlak toplanabilir ailedir X sonra mutlaka tüm ama bir sayılabilir koleksiyon 'ın 0. normlu uzaylarda, genellikle sadece hiç gerekli sayılabilir sayıda terim içeren dizi dikkate almak olduğunu Dolayısıyla bulunmaktadır.Toplanabilir aileler nükleer uzaylar teorisinde önemli bir rol oynamaktadır .
Banach ve yarı normlu uzaylarda seriler
Seri kavramı, yarı normlu bir uzay durumuna kolayca genişletilebilir . Eğer X , n normlu alan elemanlarının bir dizisidir X ve eğer X olduğu , X , daha sonra seri Σ x n yakınsak için X içinde X, eğer dizinin kısmi toplamlar dizisi yakınsak için
X içinde X ; zekâ,Daha genel olarak, serilerin yakınsaklığı herhangi bir değişmeli Hausdorff topolojik grubunda tanımlanabilir . Özellikle, bu durumda, Σ x n yakınlaşıyor x eğer kısmi toplamları yakınsak dizisi x .
Eğer ( X , | · |) bir olan yarı normlu uzay sonra mutlak yakınsama kavramı olur: Bir dizi içinde vektörlerin
X kesinlikle yakınsar eğerBir Banach uzayında sayılabilir bir vektör dizisi mutlak yakınsaksa, o zaman koşulsuz yakınsar, ancak tersi sadece sonlu boyutlu Banach uzaylarında geçerlidir ( Dvoretzky & Rogers (1950) teoremi ).
İyi düzenlenmiş toplamlar
Eğer koşullu yakınsak seri olarak kabul edilebilir bir a, iyi sıralı grubu, örneğin, bir sıra sayısı a 0 . Sınırötesi özyineleme ile tanımlanabilir :
Örnekler
- Bir fonksiyon verilen f : X → Y ile Y bir değişmeli topolojik grubu, her için tanımlayan bir ∈ X
- Birlik bölümlerinin tanımında, keyfi indeks seti I üzerinde fonksiyonların toplamları oluşturulur ,
- Topoloji
Ayrıca bakınız
- Devam eden kesir
- yakınsama testleri
- yakınsak seri
- Iraksak seri
- Analitik fonksiyonların sonsuz bileşimleri
- sonsuz ifade
- sonsuz ürün
- Yinelenen ikili işlem
- matematiksel serilerin listesi
- önek toplamı
- dizi dönüşümü
- Seri genişletme
Notlar
Referanslar
- Bromwich, TJ Sonsuz Seriler Teorisine Giriş MacMillan & Co. 1908, gözden geçirilmiş 1926, yeniden basılmış 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
- Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). "Normlu lineer uzaylarda mutlak ve koşulsuz yakınsaklık" . Proc. Natl. Acad. bilim ABD . 36 (3): 192–197. Bibcode : 1950PNAS...36..192D . doi : 10.1073/pnas.36.3.192 . PMC 1063182 . PMID 16588972 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları . Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Basın. ISBN'si 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Swokowski, Earl W. (1983), Analitik geometrili Calculus (Alternatif ed.), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1
- Walter Rudin, Matematiksel Analiz İlkeleri (McGraw-Hill: New York, 1964).
- Pietsch, Albrecht (1972). Nükleer yerel dışbükey uzaylar . Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN'si 0-387-05644-0. OCLC 539541 .
- Robertson, AP (1973). Topolojik vektör uzayları . Cambridge İngiltere: University Press. ISBN'si 0-521-29882-2. OCLC 589250 .
- Ryan, Raymond (2002). Banach uzaylarının tensör ürünlerine giriş . Londra New York: Springer. ISBN'si 1-85233-437-1. OCLC 48092184 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları . GTM . 8 (İkinci baskı). New York, NY: Springer New York Baskı Springer. ISBN'si 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Treves, François (2006) [1967]. Topolojik Vektör Uzayları, Dağılımlar ve Çekirdekler . Mineola, NY: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wong (1979). Schwartz uzayları, nükleer uzaylar ve tensör ürünleri . Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN'si 3-540-09513-6. OCLC 5126158 .
Dış bağlantılar
- "Seri" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
- Sonsuz Seri Eğitimi
- "Seri-Temeller" . Paul'un Çevrimiçi Matematik Notları.