Yüzey integrali - Surface integral

Gelen matematik , özellikle de çok değişkenli matematik , bir yüzey integrali bir genellemedir birden integraller için entegrasyon üzerine yüzeyler . Çizgi integralinin çift ​​katlı analogu olarak düşünülebilir . Yüzey göz önüne alındığında, bir entegre olabilir skalar alan (olduğunu, bir fonksiyon , bir döner pozisyon skaler bir değer olarak) yüzeyi üzerinde ya da bir vektör alanı (olduğunu, bir geri döndüren bir fonksiyon vektörü değeri gibi). Bir R bölgesi düz değilse , çizimde gösterildiği gibi yüzey olarak adlandırılır .

Yüzey integrallerinin fizikte , özellikle klasik elektromanyetizma teorileriyle uygulamaları vardır .

Yüzey integralinin tanımı, yüzeyin küçük yüzey elemanlarına bölünmesine dayanır.

Tek bir yüzey öğesinin resmi. Bu elemanlar, yüzeye yaklaşmak için sınırlama işlemi ile sonsuz derecede küçük yapılır.

Skaler alanların yüzey integralleri

Bir S yüzeyi üzerindeki yüzey integrali için açık bir formül bulmak için, bir küre üzerindeki enlem ve boylam gibi, S üzerinde bir eğrisel koordinat sistemi tanımlayarak S'yi parametreleştirmemiz gerekir . Bu tür bir parametreleştirme olsun R ( s , t ) , ( s , t ), bir bölge içinde değişir T içinde düzlem . Daha sonra yüzey integrali şu şekilde verilir:

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

Sağ taraftaki çubuklar arasındaki ifadesidir büyüklüğü arasında çapraz ürün bir kısmi türev arasında r ( s , t ) , ve yüzey olarak bilinir elemanı , örneğin, yakın daha küçük bir değer verecektir ( bir kürenin kutupları. burada boylam çizgileri daha dramatik bir şekilde birleşir ve enlem koordinatları daha kompakt aralıklıdır). Yüzey integrali eşdeğer biçimde de ifade edilebilir.

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm { d} s\,\mathrm {d} t}$

burada g , r ( s , t ) yüzey eşlemesinin birinci temel formunun determinantıdır .

Örneğin, z = f ( x , y ) gibi bir skaler fonksiyonun grafiğinin yüzey alanını bulmak istiyorsak , elimizde

${\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \ mathbf {r} \over \kısmi y}\sağ\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

burada r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y )) . Böylece , ve . Böyle, ${\displaystyle {\partial\mathbf {r} \over\kısmi x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over\kısmi y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0, 1,{\partial f \over \partial y}\sağ)\sağ\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\sol\|\ left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\sağ)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\ &{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\sağ) )^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{hizalı}}}$

bu, bu şekilde tanımlanan bir yüzey alanı için standart formüldür. Yukarıdaki ikinci satırdaki vektör , yüzeye normal vektör olarak tanınabilir .

Çapraz çarpımın varlığından dolayı, yukarıdaki formüllerin yalnızca üç boyutlu uzaya gömülü yüzeyler için işe yaradığını unutmayın.

Bu , metrik tensörün yüzeyin ilk temel formu tarafından verildiği parametreli yüzey üzerinde bir Riemann hacim formunun entegre edilmesi olarak görülebilir .

Vektör alanlarının yüzey integralleri

İçinden bir vektör alanı geçen kavisli bir yüzey . Kırmızı oklar (vektörler), yüzeyin çeşitli noktalarındaki alanın büyüklüğünü ve yönünü temsil eder.${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

Yüzeyin parametreleştirilmesiyle küçük parçalara bölünmüş yüzey${\displaystyle dS=du\,dv}$${\displaystyle [u(\mathbf {x} ),v(\mathbf {x} )]}$

Her bir yamadan geçen akı , yamanın bulunduğu yerdeki alanın normal (dikey) bileşeninin alanla çarpımına eşittir . Normal bir bileşenidir eşittir nokta ürünün ve birim normal vektörü ile (mavi oklar)${\displaystyle F_{n}(\mathbf {x} )=F(\mathbf {x} )\cos \theta }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\görüntüleme stili dS}$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} )}$

Yüzeyden geçen toplam akı , her bir yama için toplanarak bulunur. Yamalar sonsuz derecede küçüldükçe limitte, bu yüzey integralidir.${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;dS}$
${\textstyle \int _{S}{\mathbf {F\cdot n}}\;dS}$

Bir vektör alanı göz önünde v yüzey üzerinde S her biri için, bir, r = ( x , y , z ) içinde S , V ( R ) bir vektördür.

Yüzey integrali, bir skaler alanın yüzey integralinin tanımına göre bileşen bazında tanımlanabilir; sonuç bir vektördür. Bu, örneğin, elektrik yüklü bir yüzeyden dolayı sabit bir noktadaki elektrik alanının ifadesinde veya bir malzeme tabakasından dolayı sabit bir noktadaki yerçekiminde geçerlidir.

Alternatif olarak, vektör alanının normal bileşenini yüzey üzerine entegre edersek , sonuç genellikle yüzeyden geçen akı olarak adlandırılan bir skalerdir . Bir sıvı akan olduğunu hayal S , öyle ki v ( r ) bir akışkan hızını belirler r . Akı içinden akan akışkan miktarı olarak tanımlanır S , birim zaman başına.

Bu çizim, vektör alanı her noktada S'ye teğet ise , o zaman akı sıfırdır, çünkü sıvı sadece S'ye paralel olarak akar ve ne içeri ne de dışarı doğru akmaktadır . Bu ayrıca, eğer v sadece S boyunca akmıyorsa , yani v'nin hem teğetsel hem de normal bir bileşeni varsa, o zaman sadece normal bileşenin akıya katkıda bulunduğu anlamına gelir. Bu mantık çerçevesinde, akı bulmak için, biz almak gerekir nokta ürünün ve v birimi ile yüzey normali n için S bize skalar alanı verecek, her noktasında, ve yukarıdaki gibi elde edilen alan entegre. formülü buluyoruz

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {S} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\sağ)\,\mathrm {d} S\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf { r} (s,t))\cdot {{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\kısmi t}} \ üzerinde \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\right )\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\sağ\|\mathrm { d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\sağ)\mathrm {d} s\,\mathrm {d } t.\end{hizalanmış}}}$

Bu ifadenin sağ tarafındaki çapraz çarpım, parametreleştirme tarafından belirlenen (mutlaka tek olması gerekmeyen) bir yüzey normalidir.

Bu formül soldaki integrali tanımlar (yüzey elemanı için nokta ve vektör notasyonuna dikkat edin).

Bunu, vektör alanını bir 1-form ile tanımladığımız ve daha sonra Hodge dual'ini yüzey üzerinde entegre ettiğimiz, 2-formları entegre etmenin özel bir durumu olarak da yorumlayabiliriz . Bu, ortam uzayının Riemann metriğinin yüzeyin dış normali ile iç çarpımı ile elde edilen, yüzeyde indüklenen hacim formunun olduğu daldırılmış yüzey üzerinde integral almaya eşdeğerdir . ${\displaystyle \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \sağ\rangle \mathrm {d} S}$${\displaystyle \mathrm {d} S}$

diferansiyel 2-formların yüzey integralleri

İzin vermek

${\displaystyle f=f_{z}\,\mathrm {d} x\kama \mathrm {d} y+f_{x}\,\mathrm {d} y\kama \mathrm {d} z+f_{y }\,\mathrm {d} z\kama \mathrm {d} x}$

S yüzeyinde tanımlanmış bir diferansiyel 2-form olsun ve

${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!}$

Bir olmak yönlendirme muhafaza parametre ayarı S ile de D . Koordinatları olarak değiştirildiğinde , diferansiyel formlar şu şekilde dönüşür: ${\görüntüleme stili (s,t)}$${\görüntüleme stili (x,y)}$${\görüntüleme stili (s,t)}$

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\kısmi x}{\kısmi s}}\mathrm {d} s+{\frac {\kısmi x}{\kısmi t}}\mathrm {d} t }$

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\kısmi y}{\kısmi s}}\mathrm {d} s+{\frac {\kısmi y}{\kısmi t}}\mathrm {d} t }$

Böylece için dönüşümler , burada belirtmektedir belirleyici bölgesinin Jacobi geçiş fonksiyonu için . Diğer formların dönüşümü benzerdir. ${\displaystyle \mathrm {d} x\kama \mathrm {d} y}$${\displaystyle {\frac {\kısmi (x,y)}{\kısmi (s,t)}}\mathrm {d} s\kama \mathrm {d} t}$${\displaystyle {\frac {\kısmi (x,y)}{\kısmi (s,t)}}}$${\görüntüleme stili (s,t)}$${\görüntüleme stili (x,y)}$

Daha sonra f'nin S üzerindeki yüzey integrali şu şekilde verilir:

${\displaystyle \iint _{D}\sol[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\kısmi (x,y)}{\kısmi (s,t)}} +f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\kısmi (y,z)}{\kısmi (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\kısmi (z,x)}{\kısmi (s,t)}}\sağ]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

nerede

${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\displaystyle {\partial\mathbf {r}) \partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s ,t)}}\sağ)}$

S'ye normal yüzey elemanıdır .

Bu 2-formun yüzey integralinin, bileşenleri olarak , ve 'ye sahip vektör alanının yüzey integrali ile aynı olduğuna dikkat edelim . ${\görüntüleme stili f_{x}}$${\görüntüleme stili f_{y}}$${\displaystyle f_{z}}$

Yüzey integrallerini içeren teoremler

Yüzey integralleri için çeşitli yararlı sonuçlar , diverjans teoremi ve onun genellemesi, Stokes teoremi gibi diferansiyel geometri ve vektör hesabı kullanılarak elde edilebilir .

Parametrelendirmeye bağımlılık

Yüzey integralini S yüzeyinin parametrizasyonunu kullanarak tanımladığımıza dikkat edelim . Belirli bir yüzeyin birkaç parametresi olabileceğini biliyoruz. Örneğin, bir küre üzerinde Kuzey Kutbu ve Güney Kutbu'nun konumlarını hareket ettirirsek, küre üzerindeki tüm noktaların enlem ve boylamları değişir. Doğal bir soru, yüzey integralinin tanımının seçilen parametreleştirmeye bağlı olup olmadığıdır. Skaler alanların integralleri için bu sorunun cevabı basittir; Hangi parametre kullanılırsa kullanılsın yüzey integralinin değeri aynı olacaktır.

Vektör alanlarının integralleri için işler daha karmaşıktır çünkü yüzey normali söz konusudur. Yüzey normalleri aynı yönü gösteren aynı yüzeyin iki parametresi verildiğinde, her iki parametre ile yüzey integrali için aynı değerin elde edildiği kanıtlanabilir. Bununla birlikte, bu parametreler için normaller zıt yönlere işaret ediyorsa, bir parametreleme kullanılarak elde edilen yüzey integralinin değeri, diğer parametreleştirme ile elde edilenin negatifidir. Bir yüzey verildiğinde, herhangi bir benzersiz parametreleştirmeye bağlı kalmamıza gerek yoktur, ancak vektör alanlarını entegre ederken, normalin hangi yöne işaret edeceğine önceden karar vermemiz ve ardından bu yön ile tutarlı herhangi bir parametreleme seçmemiz gerekir.

Diğer bir konu ise bazen yüzeylerin tüm yüzeyi kaplayan parametrelendirmeleri olmamasıdır. Açık çözüm, o yüzeyi birkaç parçaya bölmek, her parçadaki yüzey integralini hesaplamak ve sonra hepsini toplamaktır. Aslında işler böyle yürür, ancak vektör alanlarını entegre ederken, yüzeyin her bir parçası için normal işaretli vektörün nasıl seçileceğine tekrar dikkat edilmelidir, böylece parçalar tekrar bir araya getirildiğinde sonuçlar tutarlı olur. Silindir için bu, yan bölge için normalin gövdeyi işaret edeceğine karar verirsek, o zaman üst ve alt dairesel parçalar için normalin gövdeyi de göstermesi gerektiği anlamına gelir.

Son olarak, tutarlı sonuçlar veren her noktada normal bir yüzey kabul etmeyen yüzeyler vardır (örneğin, Möbius şeridi ). Böyle bir yüzey parçalara ayrılırsa, her parça üzerinde bir parametrelendirme ve karşılık gelen yüzey normali seçilir ve parçalar tekrar bir araya getirilirse, farklı parçalardan gelen normal vektörlerin uzlaştırılamayacağını göreceğiz. Bu, iki parça arasındaki bir kavşakta zıt yönleri gösteren normal vektörlere sahip olacağımız anlamına gelir. Böyle bir yüzeye yönlendirilemez denir ve bu tür bir yüzeyde vektör alanlarını entegre etmekten söz edilemez.

Ayrıca bakınız

• diverjans teoremi
• Stokes teoremi
• çizgi integrali
• hacim öğesi
• hacim integrali
• Kartezyen koordinat sistemi
• Küresel koordinat sistemlerinde hacim ve yüzey alanı elemanları
• Silindirik koordinat sistemlerinde hacim ve yüzey alanı elemanları
• Holstein-Herring yöntemi

Referanslar

Dış bağlantılar

• Yüzey İntegrali — MathWorld'den
• Yüzey İntegrali - Teori ve alıştırmalar