Matematiksel analiz - Mathematical analysis

Analiz , farklılaşma , entegrasyon , ölçüm , sonsuz seriler ve analitik fonksiyonlar gibi limitler ve ilgili teorilerle ilgilenen matematiğin dalıdır .

Bu teoriler genellikle gerçek ve karmaşık sayılar ve fonksiyonlar bağlamında incelenir . Analiz , temel analiz kavramlarını ve tekniklerini içeren kalkülüsten evrimleşmiştir . Analiz, geometriden ayırt edilebilir ; Bununla birlikte, herhangi bir uygulanabilir alanı arasında matematiksel nesnelerin bir yakınlık tanımını (a sahip topolojik alan nesneler arasında) ya da özel bir mesafe (a metrik alan ).

Tarih

Antik

Matematiksel analiz, 17. yüzyılda Bilimsel Devrim sırasında resmi olarak geliştirildi , ancak fikirlerinin çoğu daha önceki matematikçilere kadar izlenebilir. Analizdeki erken sonuçlar, antik Yunan matematiğinin ilk günlerinde örtük olarak mevcuttu . Örneğin, bir sonsuz geometrik toplamı örtülü olan Zeno'un ikilik paradoksu . Daha sonra, Eudoxus ve Arşimet gibi Yunan matematikçiler , bölgelerin ve katıların alanını ve hacmini hesaplamak için tükenme yöntemini kullandıklarında limit ve yakınsama kavramlarını daha açık, ancak gayri resmi olarak kullandılar . Sonsuz küçüklerin açık kullanımı , 20. yüzyılda yeniden keşfedilen Arşimet'in Mekanik Teoremler Yöntemi'nde ortaya çıkar . Asya'da Çinli matematikçi Liu Hui , bir dairenin alanını bulmak için MS 3. yüzyılda tükenme yöntemini kullandı. Jain Literatürden, Hindular toplamı için formüller sahibi idi anlaşılmaktadır aritmetik ve geometrik erken MÖ 4. yüzyılda olduğu kadar seri acarya Bhadrabāhu yılında 433 M.Ö. onun Kalpasūtra bir geometrik serinin toplamını kullanır Hint matematik , özellikle aritmetik dizi örneklerinin Vedik Edebiyatında MÖ 2000 kadar erken bir tarihte olduğu bulunmuştur.

Ortaçağa ait

Zu Chongzhi , 5. yüzyılda bir kürenin hacmini bulmak için daha sonra Cavalieri ilkesi olarak adlandırılacak bir yöntem geliştirdi . 12. yüzyılda, Hintli matematikçi Bhāskara II , türev örnekleri verdi ve şimdi Rolle teoremi olarak bilinen şeyi kullandı .

14. yüzyılda, Sangamagrama'lı Madhava, sinüs , kosinüs , tanjant ve arktanjant gibi fonksiyonların şimdi Taylor serisi olarak adlandırılan sonsuz seri açılımlarını geliştirdi . Taylor serisi trigonometrik fonksiyonları geliştirmesinin yanı sıra, bu serilerin kesilmesinden kaynaklanan hata terimlerinin büyüklüğünü de tahmin etti ve bazı sonsuz serilerin rasyonel bir yaklaşımını verdi. Kerala Astronomi ve Matematik Okulu'ndaki takipçileri, çalışmalarını 16. yüzyıla kadar genişletti.

Modern

Vakıflar

Matematiksel analizin modern temelleri 17. yüzyıl Avrupa'sında atılmıştır. Bu, Fermat ve Descartes'ın modern kalkülüsün öncüsü olan analitik geometriyi geliştirmesiyle başladı . Fermat'ın uygunluk yöntemi, fonksiyonların maksimum ve minimumlarını ve eğrilerin teğetlerini belirlemesine izin verdi. Descartes'ın 1637'de Kartezyen koordinat sistemini tanıtan La Géométrie'yi yayınlaması , matematiksel analizin kuruluşu olarak kabul edilir. Birkaç on yıl sonra, Newton ve Leibniz bağımsız olarak sonsuz küçükler hesabını geliştirdiler , bu da 18. yüzyıl boyunca devam eden uygulamalı çalışmanın teşvikiyle, varyasyonlar hesabı , adi ve kısmi diferansiyel denklemler , Fourier analizi gibi analiz konularına dönüştü. , ve üreten fonksiyonlar . Bu dönemde, sürekli problemlerle ayrık problemlere yaklaşmak için kalkülüs teknikleri uygulandı .

modernizasyon

18. yüzyılda Euler matematiksel fonksiyon kavramını ortaya attı . Bernard Bolzano 1816'da modern süreklilik tanımını sunduğunda gerçek analiz bağımsız bir özne olarak ortaya çıkmaya başladı , ancak Bolzano'nun çalışması 1870'lere kadar geniş çapta tanınmadı. 1821'de Cauchy , özellikle Euler tarafından daha önceki çalışmalarda yaygın olarak kullanılan cebirin genelliği ilkesini reddederek, hesabı sağlam bir mantıksal temele oturtmaya başladı . Bunun yerine Cauchy, hesabı geometrik fikirler ve sonsuz küçükler cinsinden formüle etti . Bu nedenle, süreklilik kendi tanımı içinde son derece küçük bir değişiklik gerekli x bir sonsuz değişikliğe tekabül için y . Ayrıca Cauchy dizisi kavramını tanıttı ve karmaşık analizin biçimsel teorisini başlattı . Poisson , Liouville , Fourier ve diğerleri, kısmi diferansiyel denklemler ve harmonik analiz üzerinde çalıştılar . Bu matematikçilerin ve Weierstrass gibi diğerlerinin katkıları, limit yaklaşımının (ε, δ) tanımını geliştirdi ve böylece modern matematiksel analiz alanını kurdu .

19. yüzyılın ortalarında Riemann entegrasyon teorisini tanıttı . Yüzyılın son üçte gördü Analizin aritmetizasyonu tarafından Weierstrass o geometrik muhakeme doğal olarak yanıltıcı olduğunu düşündüm, ve tanıtılan "epsilon-delta" tanımını ait sınırı . Sonra matematikçiler , gerçek sayıların sürekliliğinin kanıtı olmadan var olduğunu varsaydıklarından endişelenmeye başladılar . Dedekind daha sonra , rasyonel sayılar arasındaki "boşlukları" doldurmaya hizmet eden, irrasyonel sayıların resmi olarak tanımlandığı Dedekind kesimleriyle gerçek sayıları oluşturdu, böylece tam bir küme yarattı : Simon Stevin tarafından zaten geliştirilmiş olan gerçek sayıların sürekliliği ondalık açılımlar açısından . O günlerde, girişimleri rafine teoremleri arasında Riemann entegrasyonu kümesi "büyüklüğü" çalışma yol açtı süreksizliklerin gerçek işlevlerinin.

Ayrıca " canavarlar " ( hiçbir yerde sürekli fonksiyonlar , sürekli fakat hiçbir yerde türevlenemez fonksiyonlar , boşluk dolduran eğriler ) araştırılmaya başlandı. Bu bağlamda, Jordan kendi ölçü teorisini geliştirdi , Cantor şimdi saf küme teorisi olarak adlandırılan şeyi geliştirdi ve Baire , Baire kategori teoremini kanıtladı . 20. yüzyılın başlarında, matematik bir aksiyomatik küme teorisi kullanılarak resmileştirildi . Lebesgue , ölçü problemini çözdü ve Hilbert , integral denklemleri çözmek için Hilbert uzaylarını tanıttı . Normlu vektör uzayı fikri havadaydı ve 1920'lerde Banach fonksiyonel analiz yarattı .

Önemli kavramlar

Metrik uzaylar

Gelen matematik , bir metrik alan a, dizi bir kavramı mesafe (a olarak adlandırılan metrik dizi elemanları arasında) tanımlanmıştır.

Analizlerin çoğu bazı metrik uzayda gerçekleşir; en yaygın olarak kullanılanlar gerçek doğru , karmaşık düzlem , Öklid uzayı , diğer vektör uzayları ve tam sayılardır . Metrik içermeyen analiz örnekleri arasında ölçüm teorisi (mesafeden ziyade boyutu tanımlayan) ve fonksiyonel analiz ( herhangi bir mesafe duygusuna ihtiyaç duymayan topolojik vektör uzaylarını inceleyen) yer alır.

Resmen bir metrik uzay bir olduğunu sıralı ikili kümesidir ve bir olan metrik üzerinde , yani, bir işlev${\görüntüleme stili (M,d)}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili M}$

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

herhangi biri için aşağıdakiler geçerli olacak şekilde: ${\görüntüleme stili x,y,z\M'de}$

1. ${\görüntüleme stili d(x,y)=0}$ ancak ve ancak    ( ayırt edilemezlerin kimliği ),${\görüntüleme stili x=y}$
2. ${\görüntüleme stili d(x,y)=d(y,x)}$    ( simetri ) ve
3. ${\görüntüleme stili d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$    ( üçgen eşitsizliği ).

Üçüncü özelliği alıp izin vererek ,     ( negatif olmayan ) gösterilebilir. ${\görüntüleme stili z=x}$${\görüntüleme stili d(x,y)\geq 0}$

Diziler ve limitler

Bir dizi sıralı bir listesidir. Bir küme gibi, üyeler içerir ( elemanlar veya terimler de denir ). Bir kümeden farklı olarak, sıra önemlidir ve tamamen aynı öğeler dizideki farklı konumlarda birden çok kez görünebilir. En kesin olarak, bir dizi , alanı, doğal sayılar gibi sayılabilir tamamen sıralı bir küme olan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir .

Bir dizinin en önemli özelliklerinden biri yakınsamadır . Gayri resmi olarak, bir dizi bir limite sahipse yakınsar . Gayri resmi olarak devam edersek, ( tek-sonsuz ) bir dizinin, n çok büyüdüğü için limit olarak adlandırılan bir x noktasına yaklaşırsa bir limiti vardır . Yani, soyut bir dizi ( a _n ) için ( n 1'den sonsuza kadar anlaşılır) a _n ve x arasındaki mesafe 0'a n → ∞ olarak gösterilir.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=x.}$

Ana dallar

Gerçek analiz

Gerçek analiz (geleneksel olarak, gerçek bir değişkenin işlevleri teorisi ), gerçek bir değişkenin gerçek sayıları ve gerçek değerli işlevleriyle ilgilenen bir matematiksel analiz dalıdır . Özel olarak, bu gerçek analitik özellikleri ile ilgilidir fonksiyonlar ve dizilerin dahil olmak üzere, yakınsama ve sınırları arasında dizilerin gerçek sayılar, kalkülüs gerçek sayılar ve sürekliliği , pürüzsüzlük ve gerçek değerli fonksiyonların ilgili özellikleri.

Karmaşık analiz

Karmaşık analiz geleneksel olarak bilinen karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi , matematiksel analiz dalıdır inceler olduğunu fonksiyonları arasında karmaşık sayılar . Cebirsel geometri , sayılar teorisi , uygulamalı matematik dahil olmak üzere matematiğin birçok dalında faydalıdır ; hidrodinamik , termodinamik , makine mühendisliği , elektrik mühendisliği ve özellikle kuantum alan teorisi dahil olmak üzere fizikte olduğu gibi .

Karmaşık analiz, özellikle karmaşık değişkenlerin analitik fonksiyonlarıyla (veya daha genel olarak meromorfik fonksiyonlarla ) ilgilidir. Herhangi bir analitik fonksiyonun ayrı gerçek ve sanal kısımlarının Laplace denklemini sağlaması gerektiğinden , karmaşık analiz fizikteki iki boyutlu problemlere geniş çapta uygulanabilir .

Fonksiyonel Analiz

Fonksiyonel analiz , çekirdek çalışma ile oluşturulur matematiksel analiz dalıdır vektör uzayı limit yapının ilgili bir tür ile donatılmış (örneğin, iç çarpım , norm , topoloji , vs.) ve doğrusal operatör bu alanlarda üzerine etki ve bu yapılara uygun bir anlamda saygı duymak. Fonksiyonel analizin tarihsel kökleri, fonksiyon uzaylarının incelenmesinde ve Fourier dönüşümü gibi fonksiyonların dönüşümlerinin özelliklerinin fonksiyon uzayları arasında sürekli , üniter vb. operatörleri tanımlayan dönüşümler olarak formüle edilmesinde yatmaktadır . Bu bakış açısının özellikle diferansiyel ve integral denklemlerin incelenmesi için faydalı olduğu ortaya çıktı .

Diferansiyel denklemler

Bir diferansiyel denklem , bir veya daha fazla değişkenin bilinmeyen bir fonksiyonu için , fonksiyonun kendi değerlerini ve çeşitli derecelerdeki türevlerini ilişkilendiren matematiksel bir denklemdir . Diferansiyel denklemler mühendislik , fizik , ekonomi , biyoloji ve diğer disiplinlerde önemli bir rol oynamaktadır .

Diferansiyel denklemler, bilim ve teknolojinin birçok alanında, özellikle sürekli değişen bazı nicelikleri (fonksiyonlarla modellenen) ve bunların uzay veya zamandaki değişim oranlarını (türevler olarak ifade edilen) içeren deterministik bir ilişki bilindiğinde veya varsayıldığında ortaya çıkar. Bu, bir cismin hareketinin, zaman değeri değiştikçe konumu ve hızı ile tanımlandığı klasik mekanikte gösterilmektedir . Newton yasaları (konum, hız, ivme ve cisme etki eden çeşitli kuvvetler göz önüne alındığında), bu değişkenleri zamanın bir fonksiyonu olarak cismin bilinmeyen konumu için bir diferansiyel denklem olarak dinamik olarak ifade etmesine izin verir. Bazı durumlarda, bu diferansiyel denklem ( hareket denklemi olarak adlandırılır ) açıkça çözülebilir.

ölçü teorisi

Bir kümedeki ölçü , o kümenin her uygun alt kümesine, boyutu olarak sezgisel olarak yorumlanan bir sayı atamanın sistematik bir yoludur . Bu anlamda ölçü, uzunluk, alan ve hacim kavramlarının genelleştirilmesidir. Özellikle önemli bir örnektir Lebesgue ölçümü bir ilgili Öklid alan geleneksel atar, uzunluk , alan ve hacim arasında Öklid geometrisinin uygun alt-gruba boyutlu Öklid alan . Örneğin , gerçek sayılardaki aralığın Lebesgue ölçüsü , kelimenin günlük anlamıyla uzunluğudur - özellikle, 1. ${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\görüntüleme stili \sol[0,1\sağ]}$

Teknik olarak bir ölçü, bir kümenin (belirli) alt kümelerine negatif olmayan bir gerçek sayı veya +∞ atayan bir işlevdir . Boş kümeye 0 atamalı ve ( sayılabilir ) toplamsal olmalıdır: sonlu (veya sayılabilir) sayıda "daha küçük" ayrık alt kümelere ayrıştırılabilen "büyük" bir alt kümenin ölçüsü, ölçülerinin toplamıdır. "daha küçük" alt kümeler. Genel olarak, bir ölçünün diğer aksiyomlarını karşılarken belirli bir kümenin her alt kümesiyle tutarlı bir boyut ilişkilendirmek isterse , yalnızca sayma ölçüsü gibi önemsiz örnekler bulur . Bu sorun, yalnızca tüm alt kümelerin bir alt koleksiyonunda ölçü tanımlanarak çözüldü; -cebir oluşturmak için gerekli olan sözde ölçülebilir alt kümeler . Bu araçlar sayılabilir olduğunu birlikleri , sayılabilen kavşaklar ve tamamlar ölçülebilir alt kümelerinin ölçülebilir. Lebesgue ölçüsünün tutarlı bir şekilde tanımlanamadığı bir Öklid uzayındaki ölçülemeyen kümeler , tamamlayıcılarıyla kötü bir şekilde karıştırılmaları anlamında zorunlu olarak karmaşıktır. Aslında onların varlığı, seçim aksiyomunun önemsiz olmayan bir sonucudur . ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili \sigma }$

Sayısal analiz

Sayısal analiz , matematiksel analiz problemleri için ( ayrık matematikten farklı olarak) sayısal yaklaşımı (genel sembolik manipülasyonların aksine) kullanan algoritmaların incelenmesidir .

Modern sayısal analiz kesin cevaplar aramaz, çünkü pratikte kesin cevapları elde etmek çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine, sayısal analizlerin çoğu, hatalar üzerinde makul sınırları korurken yaklaşık çözümler elde etmekle ilgilenir.

Sayısal analiz, doğal olarak mühendislik ve fizik bilimlerinin tüm alanlarında uygulama bulur, ancak 21. yüzyılda yaşam bilimleri ve hatta sanatlar, bilimsel hesaplama unsurlarını benimsemiştir. Adi diferansiyel denklemler görünen gök mekaniği (gezegenler, yıldızlar ve galaksiler); sayısal lineer cebir veri analizi için önemlidir; Stokastik diferansiyel denklemler ve Markov zincirleri , tıp ve biyoloji için canlı hücreleri simüle etmede esastır.

vektör analizi

tensör analizi

Diğer başlıklar

• Varyasyonlar hesabı , işlevlerle ilgilenen sıradan hesapların aksine, aşırıya kaçan işlevsellerle ilgilenir .
• Harmonik analiz , temel dalgaların süperpozisyonu olarak fonksiyonların veya sinyallerin temsili ile ilgilenir .
• Geometrik analiz , kısmi diferansiyel denklemlerin incelenmesinde geometrik yöntemlerin kullanımını ve kısmi diferansiyel denklemler teorisinin geometriye uygulanmasını içerir.
• Clifford analizi , Dirac veya Dirac benzeri operatörler tarafından yok edilen Clifford değerli fonksiyonların çalışması, genel olarak monogenik veya Clifford analitik fonksiyonları olarak adlandırılır.
• p -adic analizi ,gerçek ve karmaşık benzerlerinden bazı ilginç ve şaşırtıcı şekillerde farklılık gösteren p -adic sayıları bağlamında analiz çalışması.
• Hipergerçek sayıları ve işlevlerini araştıran ve sonsuz küçüklerin ve sonsuz büyük sayıların titiz bir şekilde işlenmesini sağlayan standart dışı analiz .
• Hesaplanabilir analiz , analizin hangi bölümlerinin hesaplanabilir bir şekilde gerçekleştirilebileceği çalışması.
• Stokastik hesap – stokastik süreçler için geliştirilmiş analitik kavramlar .
• Set değerli analiz – analiz ve topolojiden fikirleri set değerli fonksiyonlara uygular.
• Dışbükey analiz , dışbükey kümeler ve fonksiyonların incelenmesi.
• İdempotent analizi - bir idempotent semiring bağlamında analiz , burada toplamsal bir tersinin olmaması, idempotent kuralı A + A = A ile bir şekilde telafi edilir.
  • Tropikal analiz – tropikal semiring (veya max-plus cebir / min-plus cebir ) olarak adlandırılan idempotent semiring'in analizi .

Uygulamalar

Analizden elde edilen teknikler, aşağıdakiler gibi diğer alanlarda da bulunur:

fizik bilimleri

Klasik mekanik , görelilik ve kuantum mekaniğinin büyük çoğunluğu uygulamalı analize ve özellikle diferansiyel denklemlere dayanmaktadır . Önemli diferansiyel denklemlerin örnekleri arasında Newton'un ikinci yasası , Schrödinger denklemi ve Einstein alan denklemleri yer alır .

Fonksiyonel analiz de kuantum mekaniğinde önemli bir faktördür .

Sinyal işleme

Fourier analizi, ses , radyo dalgaları , ışık dalgaları, sismik dalgalar ve hatta görüntüler gibi sinyalleri işlerken, daha kolay algılama veya kaldırma için bir bileşik dalga biçiminin tek tek bileşenlerini izole edebilir. Geniş bir sinyal işleme teknikleri ailesi, bir sinyali Fourier ile dönüştürmek, Fourier ile dönüştürülmüş verileri basit bir şekilde işlemek ve dönüşümü tersine çevirmekten oluşur.

Matematiğin diğer alanları

Analizden elde edilen teknikler, aşağıdakiler de dahil olmak üzere matematiğin birçok alanında kullanılmaktadır:

• Analitik sayı teorisi
• Analitik kombinatorik
• sürekli olasılık
• bilgi teorisinde diferansiyel entropi
• Diferansiyel oyunlar
• Diferansiyel geometri , kalkülüsün karmaşık bir iç yapıya sahip olan ancak yerel olarak basit bir şekilde davranan manifoldlar olarak bilinen belirli matematiksel uzaylara uygulanması .
• diferansiyellenebilir manifoldlar
• diferansiyel topoloji
• Kısmi diferansiyel denklemler

Ayrıca bakınız

• Yapıcı analiz
• hesabın tarihi
• Hiperkompleks analizi
• Klasik olmayan analiz
• tutarsız mantık
• Pürüzsüz sonsuz küçük analiz
• Kalkülüsün zaman çizelgesi ve matematiksel analiz

Referanslar

daha fazla okuma

• Aleksandrov [Алекса́ндров], Aleksandr Danilovich [Алекса́ндр Дани́лович] ; Lavrent'ev [Лавре́нтьев], Mikhail Alexseevich [Михаи́л Алексе́евич] ; Nikol'skiĭ [Нико́льский], Sergey Mihayloviç [Серге́й Миха́йлович] ; Delone [Делоне́], Boris Nikolaevich [Бори́с Никола́евич] ; Petrovskiĭ [Петро́вский], Ivan Georgievich [Ива́н Гео́ргиевич] ; Sobolev [Со́болев], Sergei Lvovich [Серге́й Льво́вич] ; Ladyženskaja [Лады́женская], Olga Aleksandrovna [Óльга Алекса́ндровна] ; Krylov [Крылоў], Vladimir İvanoviç [Уладзімір Іванавіч] ; Keldyš [Ке́лдыш], Mstislav Vsevolodovich [Мстисла́в Все́володович] ; Mardzanisvili [Марджанишвили], Konstantin Konstantinovich [Константин Константинович] ; Postnikov [Постников], Aleksei Georgievich [Алексей Георгиевич] ; Kolmogorov [Колмого́ров], Andrey Nikolaevich [Андре́й Никола́евич] ; Lebedev [Ле́бедев], Sergey Alekseyeviç [Серге́й Алексе́евич] ; Kantoroviç [Канторо́вич], Leonid Vitaliyevich [Леони́д Вита́льевич] ; Stečkin [Сте́чкин], Sergey Borisovich [Серге́й Бори́сович] ; Faddeev [Фадде́ев], Dmitry Konstantinovich [Дми́трий Константи́нович] ; Aleksandrov [Алекса́ндров], Pavel Sergeyevich [Па́вел Серге́евич] ; Gel'fand [Гельфа́нд], İsrail Moyseyovich [Изра́иль Моисе́евич] ; Mal'cev [Ма́льцев], Anatoly Ivanovich [Анато́лий Ива́нович] (Mart 1969). Aleksandrov [Алекса́ндров], Aleksandr Danilovich [Алекса́ндр Дани́лович] ; Kolmogorov [Колмого́ров], Andrey Nikolaevich [Андре́й Никола́евич] ; Lavrent'ev [Лавре́нтьев], Mikhail Alexseevich [Михаи́л Алексе́евич] (ed.). Matematik: İçeriği, Yöntemleri ve Anlamı . 1-3 . Çeviren Gould, Sidney Henry ; Hirsch, Kurt August ; Bartha, Tamas. Gould tarafından düzenlenen çeviri (2. baskı). Cambridge, Massachusetts, ABD: MIT Press / American Mathematical Society . LCCN  64-7547 . MIT 106, 107, 108. ark:/13960/t4sj8550w. [1] (Not. 3 kapaklı kapaklı cilt. Mart 1956'da orijinal Rus başlığı: Математика, ее содержание, методы и значение [2] [3] [4] . 1962/1963'te AMS tarafından 6 ciltlik ilk İngilizce baskı, MIT Press tarafından Ağustos 1964'te 3 cilt olarak gözden geçirilmiş İngilizce baskı: [5] , MIT Press tarafından Nisan 1965'te 2. baskı. Mart 1969'da ilk MIT ciltsiz baskısı. Dover tarafından bir ciltte yeniden basıldı.)
• Apostol, Tom M. (1974). Matematiksel Analiz (2. baskı). Addison-Wesley . ISBN'si 978-0-201-00288-1.
• Binmore, Kenneth George (1981) [1981]. Analizin temelleri: basit bir giriş . Cambridge Üniversitesi Yayınları .
• Johnsonbaugh, Richard ; Pfaffenberger, William Elmer (1981). Matematiksel analizin temelleri . New York: M. Dekker .
• Nikol'skiĭ [Нико́льский], Sergey Mihayloviç [Серге́й Миха́йлович] (2002). "Matematiksel analiz" . Gelen Hazewinkel, Michiel (ed.). Matematik Ansiklopedisi . Springer-Verlag . ISBN'si 978-1-4020-0609-8.
• Fusco, Nicola ; Marcellini, Paulo ; Sbordone, Carlo (1996). Analisi Matematica Due (İtalyanca). Liguori Editörü  [ o ] . ISBN'si 978-88-207-2675-1.
• Rombaldi, Jean-Étienne (2004). Éléments d'analyse réelle: CAPES et agrégation interne de matématiques (Fransızca). EDP ​​Bilimleri . ISBN'si 978-2-86883-681-6.
• Rudin, Walter (1976). Matematiksel Analizin İlkeleri (3. baskı). New York, ABD: McGraw-Hill . ISBN'si 978-0-07-054235-8.
• Rudin, Walter (1987). Gerçek ve Karmaşık Analiz (3. baskı). New York, ABD: McGraw-Hill . ISBN'si 978-0-07-054234-1.
• Whittaker, Edmund Taylor ; Watson, George Neville (1927-01-02). Modern Analiz Dersi: Sonsuz Süreçler ve Analitik Fonksiyonların Genel Teorisine Giriş; Temel Aşkın Fonksiyonların Hesabı ile (4. baskı). Cambridge, Birleşik Krallık: University Press'te . ISBN'si 0-521-06794-4. (vi+608 sayfa) (yeniden basıldı: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
• "Gerçek Analiz - Ders Notları" (PDF) .

Dış bağlantılar

• Bazı Matematik Sözcüklerinin Bilinen İlk Kullanımları: Hesap ve Analiz
• Temel Analiz: Jiri Lebl tarafından Gerçek Analize Giriş ( Creative Commons BY-NC-SA )
• Matematiksel Analiz-Ansiklopedi Britannica
• Matematik ve Analiz