Topolojik grup - Topological group

Gerçek sayılar altında topolojik grup oluştururlar ek

Gelen matematik , topolojik gruplar kombinasyonu mantıksal olarak grupları ve topolojik boşluklar , bu şekilde aynı zamanda grupları ve topolojik alanlar, bir başka deyişle süreklilik grubu işlemleri için durum bu iki yapı birbirine bağlar ve sonuç olarak, birbirinden bağımsız değildir .

Topolojik gruplar 1925 ile 1940 yılları arasında kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. Haar ve Weil (sırasıyla 1933 ve 1940'ta), integrallerin ve Fourier serilerinin çok geniş bir topolojik grup sınıfının özel durumları olduğunu göstermiştir .

Topolojik gruplar, sürekli grup eylemleriyle birlikte , örneğin fizikte birçok uygulaması olan sürekli simetrileri incelemek için kullanılır . Olarak fonksiyonel analiz , her topolojik vektör uzayı skalar çarpım sürekli olduğu konusunda ek özelliği ile bir katkı maddesi topolojik grubudur; sonuç olarak, topolojik gruplar teorisinden elde edilen birçok sonuç, fonksiyonel analize uygulanabilir.

Resmi tanımlama

Bir topolojik grup , G , grup işlemi (bu durumda ürün) olacak şekilde bir grup olan bir topolojik uzaydır :

⋅ : G × GG , ( x , y ) ↦ xy

ve inversiyon haritası:

-1  : GG , xx -1  

olan sürekli . Burada G × G , çarpım topolojisine sahip bir topolojik uzay olarak görülmektedir . Böyle bir topolojinin grup işlemleriyle uyumlu olduğu söylenir ve grup topolojisi olarak adlandırılır .

Sürekliliği kontrol etme

Ve sadece herhangi eğer ürün harita sürekli x , yG ve herhangi bir mahalle W arasında xy olarak G , mahalle orada mevcut U arasında x ve V bölgesinin y de G , öyle ki , UVW , UV  : = { uv  : uU , vV }. Ters harita sürekli, ancak ve ancak herhangi halinde xG ve herhangi bir mahalle V bölgesinin x  -1 de G , bir mahalle vardır u arasında x de G , öyle ki , U  -1V , burada U  -1  : = { u -1  : uU }.

Bir topolojinin grup işlemleriyle uyumlu olduğunu göstermek için haritanın kontrol edilmesi yeterlidir.

G × GG , ( x , y ) ↦ xy  -1

süreklidir. Açıkça, bu araçlarının herhangi biri için , x , yG ve herhangi bir mahalle W içinde , G ve xy  -1 , mahalle orada mevcut U arasında x ve V bölgesinin y de G şekilde U ⋅ ( V  -1 ) ⊆ W .

katkı gösterimi

Bu tanım, çarpımsal gruplar için gösterimi kullandı; katkı grupları için eşdeğer, aşağıdaki iki işlemin sürekli olması olacaktır:

+ : G × GG , ( x , y ) ↦ x + y
− : GG , x ↦ − x .
Hausdorffness

Bu tanımda parçası değil de, birçok yazar üzerinde topoloji gerektirir G olmak Haussdorf . Bunun bir nedeni, herhangi bir topolojik grubun, uygun bir kanonik bölüm alarak bir Hausdorff topolojik grubuyla kanonik olarak ilişkilendirilebilmesidir; ancak bu, çoğu zaman hala orijinal Hausdorff olmayan topolojik grupla çalışmayı gerektirir. Diğer nedenler ve bazı eşdeğer koşullar aşağıda tartışılmaktadır.

Bu makale, topolojik grupların mutlaka Hausdorff olduğunu varsaymayacaktır.

Kategori

Dilinde Kategori teorisi olarak, topolojik gruplar öz tanımlanabilir grubu nesneleri de topolojik boşluklar kategorisinde sıradan grupları grubu nesnelerdir aynı şekilde, kümelerin kategori . Aksiyomların haritalar (ikili çarpım, tekli ters ve sıfır özdeşliği) cinsinden verildiğine, dolayısıyla kategorik tanımlar olduğuna dikkat edin.

homomorfizmalar

Topolojik grupların bir homomorfizmi , sürekli bir grup homomorfizmi anlamına gelir GH . Topolojik gruplar, homomorfizmalarıyla birlikte bir kategori oluşturur . Değişmeli topolojik gruplar arasındaki bir grup homomorfizmi, ancak ve ancak bir noktada sürekli ise süreklidir .

Bir izomorfizm topolojik grupta olduğunu grubu izomorfizm da bir homeomorfizma yatan topolojik boşlukların. Bu, sürekli bir grup izomorfizmi gerektirmekten daha güçlüdür - tersi de sürekli olmalıdır. Sıradan gruplar olarak izomorfik olan ancak topolojik gruplar olarak olmayan topolojik grupların örnekleri vardır. Aslında, herhangi bir ayrık olmayan topolojik grup, ayrık topoloji ile birlikte düşünüldüğünde, aynı zamanda bir topolojik gruptur. Altta yatan gruplar aynıdır, ancak topolojik gruplar olarak bir izomorfizm yoktur.

Örnekler

Her grup, ayrık topoloji ile ele alınarak, önemsiz bir şekilde topolojik bir grup haline getirilebilir ; bu tür gruplara ayrık gruplar denir . Bu anlamda, topolojik gruplar teorisi, sıradan grupların teorisini kapsar. Bölünmemiş topolojisi (önemsiz topolojisini, yani) de topolojik gruba her grup yapar.

Gerçek sayılar , zamanki topoloji ile ek altında topolojik grup oluştururlar. Öklid n -space n toplama altında bir topolojik grubu olduğu, ve daha genel olarak, her topolojik vektör uzayı formları, (değişmeli) topolojik grubudur. Diğer bazı örnekler değişmeli topolojik grupları olan daire grubu S 1 veya simit ( S 1 ) n, herhangi bir doğal sayı n .

Klasik gruplar olmayan Değişmeli topolojik grupların önemli örnekleridir. Örneğin, gerçek girişleri olan tüm ters çevrilebilir n- by- n matrislerinin genel lineer grubu GL( n ,ℝ) , GL( n ,ℝ) Öklid uzayının bir alt uzayı olarak görüntülenerek tanımlanan topoloji ile bir topolojik grup olarak görülebilir. n × n . Diğer bir klasik grup dik grup O ( n ) , her grup doğrusal haritaları gelen n korumak bu kendine uzunluğu tüm vektörlerin. Ortogonal grup, topolojik bir uzay olarak kompakttır . Much Öklid geometrisi ortogonal grubunun yapı ya da yakından ilgili bir grubu okuyan olarak görülebilir O ( n ) ⋉ ℝ n ait izometrileri arasında n .

Buraya kadar bahsedilen grupların hepsi Lie gruplarıdır , yani grup işlemleri sadece sürekli değil , düzgün olacak şekilde düzgün manifoldlardır . Lie grupları en iyi anlaşılan topolojik gruplardır; Lie gruplarıyla ilgili birçok soru, Lie cebirleriyle ilgili tamamen cebirsel sorulara dönüştürülebilir ve daha sonra çözülebilir.

Bir Lie grubu olmayan bir topolojik grubun bir örneği katkı gruptur ait rasyonel sayılar miras topolojide, . Bu sayılabilir bir uzaydır ve ayrık topolojiye sahip değildir. İçin önemli bir örnek sayılar teorisi grubudur p ait p -adic tamsayılar bir için, asal sayı p , yani ters sınırı sonlu grupların ℤ / p n olarak n sonsuza gider. Grup p de o (homeomorphic aslında kompakt olduğunu davrandığını olan Cantor grubu ), ama olduğu o (gerçek) Lie grupları farklıdır tamamen kesildi . Daha genel olarak, bir teori mevcuttur s -adic Lie grupları gibi kompakt gruplar da dahil olmak üzere, GL ( n , ℤ p ) de olduğu gibi lokal olarak kompakt gruplar gibi GL ( n , ℚ s ) , s yerel kompakt alan bir s -adic numaralar .

Grubu s a, ön-sonlu grup ; topolojisi, sonlu gruplara ayrık topolojinin verildiği ürün topolojisi tarafından indüklenecek şekilde ürünün bir alt grubuna izomorfiktir . Sayı teorisinde önemli olan bir başka büyük sonlu grup sınıfı, mutlak Galois gruplarıdır .

Bazı topolojik gruplar sonsuz boyutlu Lie grupları olarak görülebilir ; Bu ifade en iyi birkaç farklı örnek ailesini içerecek şekilde gayri resmi olarak anlaşılır. Örneğin, Banach uzayı veya Hilbert uzayı gibi bir topolojik vektör uzayı , toplama altında bir değişmeli topolojik gruptur. Değişik derecelerde başarı ile çalışılan diğer bazı sonsuz boyutlu gruplar, döngü grupları , Kac-Moody grupları , difeomorfizm grupları , homeomorfizm grupları ve ayar gruplarıdır .

Çarpımsal özdeşliğe sahip her Banach cebirinde , ters çevrilebilir elemanlar kümesi çarpma altında topolojik bir grup oluşturur. Örneğin, bir Hilbert uzayındaki ters çevrilebilir sınırlı operatörler grubu bu şekilde ortaya çıkar.

Özellikler

Çeviri değişmezliği

Topolojik grubuna ters işlemi G bir homeomorfizma olan G kendisine. Benzer şekilde, bir herhangi bir elemandır G , daha sonra sol veya sağ çarpma bir verimle bir homeomorfizma GG . Sonuç olarak, eğer 𝒩 değişmeli bir G topolojik grubundaki özdeş elemanın bir komşuluk tabanı ise, o zaman tüm xX için ,

x 𝒩 := { xN  : N ∈ 𝒩 }

burada xN  := { xn  : nN } olmak üzere G'de x'in bir komşuluk tabanıdır . Özellikle, değişmeli bir topolojik grup üzerindeki herhangi bir grup topolojisi, kimlik öğesindeki herhangi bir komşuluk bazında tamamen belirlenir. Eğer S herhangi bir alt kümesi olup , G ve U bir açık alt kümesi G , daha sonra SU  : = { su  : sS , uU } arasında açık bir alt kümesi G .

simetrik mahalleler

Bir alt G arasında G olduğu söylenir simetrik ise S  -1 = S . Değişmeli bir topolojik gruptaki her simetrik kümenin kapanışı simetriktir. Eğer S değişmeli topolojik grubunun herhangi bir alt kümesi G , aşağıdaki setleri de simetriktir: S  -1S , S  -1S ve S  -1 S .

Herhangi bir mahalle için K değişmeli topolojik grup G kimlik elemanının, bir simetrik mahalle vardır M kimlik elemanının bu şekilde M  -1 MN not olduğu, M  -1 M mutlaka kimlik elemanının simetrik bir mahalle . Böylece simetrik kümelerden oluşan özdeşlik elemanında her topolojik grubun bir komşuluk temeli vardır.

Eğer G a, yerel kompakt değişmeli grubu, daha sonra herhangi bir mahalle için N olarak G kimlik elemanının, simetrik bir nispeten kompakt bir mahalle vardır M kimlik elemanının bu şekilde cl MN ( E hem de simetrik olan).

tek tip alan

Her topolojik grup, iki şekilde tek tip bir uzay olarak görülebilir ; Sol tekdüzelik ise düzgün sürekli haritalar içine tüm sol çarpımı döner sağ tekdüzelik düzgün sürekli haritalar içine tamam çarpımı döner. Eğer G değişmeli değildir, o zaman bu iki ihtiyacı çakışmayacak. Tek biçimli yapılar , topolojik gruplar üzerinde tamlık , tek biçimli süreklilik ve tek biçimli yakınsaklık gibi kavramlar hakkında konuşmaya izin verir .

ayırma özellikleri

Eğer U değişmeli topolojik grubun bir açık alt kümesi G ve U kompakt kümesi içerir K , daha sonra bir mahalle vardır N kimlik elemanı öyle ki KNu .

Düzgün bir uzay olarak, her değişmeli topolojik grup tamamen düzenlidir . Sonuç olarak, özdeşlik elemanı 1 olan bir çarpımsal topolojik grup G için aşağıdakiler eşdeğerdir:

  1. G, bir T 0 ile uzay ( Kolmogorov );
  2. G, bir T 2 ile uzay ( Hausdorff );
  3. G , bir T3½'dir ( Tychonoff );
  4. { 1 } G'de kapalı ;
  5. { 1 } := N ∈ 𝒩 N , 𝒩 kimlik elemanının bir mahalle temelidir G ;
  6. herhangi bir XG , öyle ki X ≠ 1 , bir mahalle vardır u içinde G kimlik elemanının öyle ki xu .

Değişmeli topolojik grubun bir alt grubu, ancak ve ancak izole bir noktası varsa ayrıktır .

Eğer G Hausdorff değil, daha sonra bir bölüm grubuna ileterek Hausdorff grubu elde edilebilir G / K , K olan kapatma kimlik. Bu alma eşdeğerdir Kolmogorov bölüm arasında G .

metriklenebilirlik

Birkhoff-Kakutani teoremi (matematikçiler adını Garrett Birkhoff ve Shizuo Kakutani ) bir topolojik grup, aşağıdaki üç koşul bildiren G eşdeğerdir:

  • Kimlik elemanı 1 'de kapatılır G , ve sayılabilir vardır bölgelerinden esas 1 için G .
  • G, bir metriklenebilir (topolojik alan olarak).
  • Bir sol-değişmez metrik bulunmaktadır G olduğu indükler verilen topolojisi G .

(A metrik G her bir nokta için, eğer sol değişmez olarak adlandırılan birG , harita xax bir bir izometri gelen G kendisi için).

alt gruplar

Bir topolojik grubun her alt grubunun kendisi, altuzay topolojisi verildiğinde bir topolojik gruptur . Her açık alt grup H ayrıca G'de kapalıdır , çünkü H'nin tümleyeni gG \ H için gH açık kümelerinin birleşimi tarafından verilen açık kümedir . Eğer , H bir alt grubudur , G , sonra bir kapak olarak H , bir alt grubudur. Benzer şekilde, H , normal bir alt-grubu olan G , bir kapak H normaldir G .

Bölümler ve normal alt gruplar

Eğer , H bir alt grubudur , G , sol grubu Kosetler G / H ile bölüm topolojisi denen homojen alanı için G . Bölüm haritası q  : GG / H her zaman açıktır . Örneğin, bir pozitif tamsayı , n , küre S , n için homojen bir alandır dönme grubunun SO ( n + 1) içinde n + 1 ile, S , n = SO ( n + 1) / SO ( n ) . Homojen bir G / H uzayı , ancak ve ancak H , G'de kapalıysa Hausdorff'tur . Kısmen bu nedenle, topolojik grupları incelerken kapalı alt gruplara odaklanmak doğaldır.

Eğer , H a, normal bir alt-grup içinde , G , daha sonra bölüm grubu G / H bölüm topolojisi verilen bir topolojik grup haline gelir. Hausdorff'tur, ancak ve ancak H , G'de kapalıysa . Örneğin, bölüm grubu ℝ / ℤ daire grubu izomorf S 1 .

Herhangi bir topolojik grupta, özdeşlik bileşeni (yani, kimlik öğesini içeren bağlı bileşen ) kapalı bir normal alt gruptur. Eğer Cı- kimlik bileşenidir ve bir herhangi bir nokta G , daha sonra, sol eşküme alternatif akım bileşeni olan G ihtiva eden bir . Tüm sol kalan sınıfları (veya sağ kalan sınıfları) toplanması Yani C de G tüm bileşenlerinin koleksiyonuna eşittir G . Bölüm grubu olduğu aşağıdaki G / C olan tamamen kesildi .

Kapatma ve kompaktlık

Herhangi bir değişmeli topolojik grupta, kompakt bir K kümesinin ve bir kapalı C kümesinin KC çarpımı (grubun çarpımsal olduğu varsayılırsa) kapalı bir kümedir. Bundan başka, herhangi bir alt-gruplar R ve S ve G , (c- R ' ), (c- s ) ⊆ cl ( RS ) .

Eğer H değişmeli topolojik grubunun bir alt grubudur G ve eğer K bir mahalle G , öyle ki özdeşlik elemanının H ∩ cl , N kapatılır, sonra , H kapatılır. Hausdorff değişmeli topolojik grubun her ayrık alt grubu kapalıdır.

izomorfizm teoremleri

İzomorfizm teoremleri sıradan grup teoriden her zaman topolojik ortamda doğru değildir. Bunun nedeni, bijektif bir homomorfizmin topolojik grupların bir izomorfizmi olması gerekmemesidir.

Örneğin, ilk izomorfizm teoreminin doğal bir versiyonu topolojik gruplar için yanlıştır: eğer topolojik grupların bir morfizmi ise (yani, sürekli bir homomorfizm), indüklenmiş homomorfizmin topolojik grupların bir izomorfizmi olduğu mutlaka doğru değildir ; bijective, sürekli bir homomorfizm olacak, ancak mutlaka bir homeomorfizm olmayacak. Başka bir deyişle, topolojik gruplar kategorisinde mutlaka bir tersini kabul etmeyecektir .

Topolojik gruplar için birinci izomorfizm teoreminin bir versiyonu vardır ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir: eğer f  : GH sürekli bir homomorfizma ise, o zaman G /ker( f )' den im( f ) ' ye indüklenen homomorfizma bir izomorfizmdir. sadece ve sadece f haritası kendi görüntüsüne açıksa.

Bununla birlikte, üçüncü izomorfizm teoremi, kolayca kontrol edilebileceği gibi, topolojik gruplar için aşağı yukarı doğrudur.

Hilbert'in beşinci sorunu

Topolojik gruplar ve Lie grupları arasındaki ilişki hakkında birkaç güçlü sonuç vardır. İlk olarak, Lie gruplarının her sürekli homomorfizmi düzgündür. Bundan, bir topolojik grubun, eğer varsa, bir Lie grubunun benzersiz bir yapısına sahip olduğu sonucu çıkar. Ayrıca, Cartan teoremi , bir Lie grubunun her kapalı alt grubunun bir Lie alt grubu, özellikle de düz bir alt manifold olduğunu söyler .

Hilbert'in beşinci problemi , topolojik bir manifold olanbir topolojik grup G'nin bir Lie grubu olmasıgerekip gerekmediğini sordu. Başka bir deyişle, G , grup işlemlerini düzgün yapan düzgün bir manifold yapısına sahip mi? Andrew Gleason , Deane Montgomery ve Leo Zippin tarafından gösterildiği gibi, bu sorunun cevabı evet. Aslında G , gerçek bir analitik yapıya sahiptir. Düzgün yapıyı kullanarak, G'nin Lie cebirini tanımlayabiliriz, lineer cebirin bir nesnesi olanve kapalı uzaylara kadar bağlantılı bir G grubunubelirleyenbir nesne. Sonuç olarak Hilbert'in beşinci probleminin çözümü, topolojik manifoldlar olan topolojik grupların sınıflandırılmasını genel olarak karmaşık bir problem olsa da cebirsel bir probleme indirgemektedir.

Teoremin ayrıca daha geniş topolojik grup sınıfları için sonuçları vardır. İlk olarak, her kompakt grup (Hausdorff olduğu anlaşılan), kompakt Lie gruplarının bir ters limitidir. (Önemli bir durum olarak adlandırılan sonlu gruplar ters sınırı olan profinite grubu . Örneğin, grup s arasında p -adic tamsayı ve mutlak Galois'in grubu , bir alanın profinite gruplarıdır.) Ayrıca, her yerel kompakt grubu bağlı bağlantılı Lie gruplarının ters sınırı. Diğer uçta, tamamen bağlantısız bir yerel olarak kompakt grup, her zaman zorunlu olarak profinite bir grup olan bir kompakt açık alt grup içerir. (Örneğin, yerel kompakt grubu GL ( n , ℚ s ) kompakt açık bir alt grubunu içeren GL ( n , ℤ s ) sonlu gruplar arasında ters sınırı, GL ( n , ℤ / p r ) olarak r 'geçer sonsuzluğa.)

Kompakt veya yerel olarak kompakt grupların temsilleri

Bir eylem bir topolojik grubunun G bir topolojik alan üzerinde X a, grup etkisi arasında G ile X karşılık gelen fonksiyonu şu şekilde G x XX süreklidir. Benzer şekilde, bir temsili bir topolojik grubunun G bir ya da kompleks topolojik vektör uzayı üzerinde V sürekli bir işlemdir G ile V her biri için bu şekilde gG , harita vgv gelen V kendisine doğrusaldır.

Grup eylemleri ve temsil teorisi, sonlu gruplar için ne olduğunu genelleyerek, kompakt gruplar için özellikle iyi anlaşılmıştır . Örneğin, bir kompakt grubun her sonlu boyutlu (gerçek veya karmaşık) temsili , indirgenemez temsillerin doğrudan toplamıdır . Kompakt bir grubun sonsuz boyutlu üniter temsili , tümü sonlu boyutlu olan indirgenemez temsillerin Hilbert uzayı doğrudan toplamı olarak ayrıştırılabilir; bu Peter-Weyl teoreminin bir parçasıdır . Örneğin, teorisi Fourier serisi çember grubu üniter temsil ayrışma tarif S 1 kompleks Hilbert alanı üzerinde L 2 ( S 1 ) . İndirgenemez temsilleri S 1 formu, her 1-boyutlu, zz n tam sayılar için n ( S 1 çarpımsal grubu bir alt grubu olarak görülür *). Temsilleri bu her biri, çok sayıda 1 ile ortaya çıkan L 2 ( S 1 ) .

Tüm kompakt bağlantılı Lie gruplarının indirgenemez temsilleri sınıflandırılmıştır. Özel olarak, bir karakter her indirgenemez temsil verilir Weyl karakteri, formül .

Daha genel olarak, yerel kompakt gruplar zengin bir harmonik analiz teorisine sahiptir , çünkü Haar ölçüsü tarafından verilen doğal bir ölçü ve integral kavramını kabul ederler . Yerel olarak kompakt bir grubun her üniter temsili , indirgenemez üniter temsillerin doğrudan bir integrali olarak tanımlanabilir . ( G , değişmeli gruplar ve yarıbasit Lie grupları gibi en önemli örnekleri içeren Tip I ise, ayrıştırma esasen benzersizdir .) Temel bir örnek, toplama grubunun Hilbert uzayı üzerindeki etkisini ayrıştıran Fourier dönüşümüdür. L 2 (ℝ) indirgenemeyen üniter temsilleri doğrudan integrali olarak . ℝ'nin indirgenemez üniter temsillerinin tümü, a ∈ ℝ için xe iax biçiminde 1 boyutludur .

Yerel olarak kompakt bir grubun indirgenemez üniter temsilleri sonsuz boyutlu olabilir. İlgili temsil teorisi temel hedeflerinden biri, Langlands sınıflandırma içinde kabul temsiller , bulmaktır üniter çift yarı-basit Lie grupları için (bütün indirgenemez üniter temsiller boşluk). Üniter ikili, SL(2,ℝ) gibi birçok durumda bilinir , ancak hepsi değil.

Yerel olarak kompakt bir değişmeli grup G için , her indirgenemez üniter temsilin boyutu 1'dir. Bu durumda, üniter ikili bir gruptur, aslında başka bir yerel olarak kompakt değişmeli gruptur. Pontryagin dualitesi , yerel olarak kompakt bir değişmeli grup G için , dualinin orijinal G grubu olduğunu belirtir . Örneğin, tamsayılarının ikili grubu S 1 daire grubudur , gerçek sayıların grubu ise kendi ikilisine eşbiçimlidir.

Her yerel olarak kompakt G grubu , iyi bir indirgenemez üniter temsil kaynağına sahiptir; örneğin, G'nin noktalarını ayırt etmek için yeterli temsiller ( Gelfand–Raikov teoremi ). Buna karşılık, yerel olarak kompakt olmayan topolojik gruplar için temsil teorisi şimdiye kadar sadece özel durumlarda geliştirilmiştir ve genel bir teori beklemek makul olmayabilir. Örneğin, Hilbert uzayındaki her temsilin önemsiz olduğu birçok değişmeli Banach-Lie grubu vardır.

Topolojik grupların homotopi teorisi

Topolojik gruplar, homotopi türleri açısından bile tüm topolojik uzaylar arasında özeldir . Temel bir nokta bir topolojik grup olmasıdır G bir yol bağlantılı topolojik alanı belirler, sınıflandırma alanı BG (sınıflandırır ana G -bundles hafif hipotez altında, üzerinde topolojik boşluk). Grup G izomorfik olduğu Homotopy kategorisi için döngü alanı arasında BG ; bu, G'nin homotopi tipi üzerinde çeşitli kısıtlamalar anlamına gelir . Bu kısıtlamalardan bazıları daha geniş H-uzayları bağlamında geçerlidir .

Örneğin, bir topolojik grup G'nin temel grubu değişmeli'dir. (Daha genel olarak, G'nin homotopi grupları üzerindeki Whitehead çarpımı sıfırdır.) Ayrıca, herhangi bir k alanı için , kohomoloji halkası H *( G , k ) bir Hopf cebirinin yapısına sahiptir . Heinz Hopf ve Armand Borel tarafından Hopf cebirleri üzerindeki yapı teoremleri göz önüne alındığında , bu, topolojik grupların olası kohomoloji halkalarına güçlü kısıtlamalar getirir. Özellikle, G , rasyonel kohomoloji halkası H *( G ,ℚ) her derecede sonlu boyutlu olan yola bağlı bir topolojik grup ise, bu halka üzerinde serbest dereceli değişmeli bir cebir , yani tensör olmalıdır. Tek dereceli üreteçler üzerinde bir dış cebir ile çift dereceli üreteçler üzerindeki bir polinom halkasının çarpımı .

Özel olarak, bağlı bir Lie grubu için G , rasyonel cohomoloji halkası G tek derece jeneratörlerinde bir dış cebiridir. Ayrıca, bağlı bir Lie grubu G bir sahiptir maksimal kompakt alt grup K konjugasyon özgü kadar, ve dahil K içine G a, Homotopy eşdeğerlik . Bu nedenle, Lie gruplarının homotopi tiplerini tanımlamak, kompakt Lie gruplarının durumuna indirgenir. Örneğin, SL(2,ℝ)' nin maksimum kompakt alt grubu, SO(2) daire grubudur ve homojen uzay SL(2,ℝ)/SO(2) hiperbolik düzlem ile tanımlanabilir . Hiperbolik düzlem büzülebilir olduğundan , daire grubunun SL(2,ℝ)'ye dahil edilmesi bir homotopi denkliğidir.

Son olarak, kompakt bağlantılı Lie grupları Wilhelm Killing , Élie Cartan ve Hermann Weyl tarafından sınıflandırılmıştır . Sonuç olarak, Lie gruplarının olası homotopi türlerinin esasen eksiksiz bir açıklaması vardır. Örneğin, en fazla 3 boyutlu bir kompakt bağlı Lie grubu, bir torus, burada her iki olan SU (2) ( diffeomorphic 3-küreye S 3 , ya da bölüm bir grup) SU (2) / {± 1} ≅ SO (3) ( RP 3'e göre difeomorfik ).

Değişken topolojik grupları tamamlayın

Tanımlar ve özellikler gibi ağların ve filtrelerin yakınsaması hakkında bilgiler topolojideki filtreler hakkındaki makalede bulunabilir .

Değişmeli bir topolojik grupta kanonik tekdüzelik

Bundan böyle, göz önünde bulundurduğumuz herhangi bir topolojik grubun, kimlik öğesi 0 olan bir toplamalı değişmeli topolojik grup olduğunu varsayacağız .

Tanım ( Kanonik çevre ve köşegen ):

Diyagonal bir X grubu olduğu

Δ X  := { ( x , x ) : xX }

ve herhangi KX içeren 0 , standart muhit veya çevresinde kanonik civarını N kümesidir

Δ X ( N ) := { ( x , y ) ∈ X × X  : x - yN  } =  yX[( y + N ) × { y }] = Δ X + ( N × { 0 })

Tanım ( Kanonik homojenlik ) topolojik grubu için ( X , τ) , standart homojenlik ile X bir homojen yapısı tüm standart entourages grubu ile indüklenen Δ ( K ) olarak K tüm mahallelerinin aralıkları 0 içinde X .

Yani aşağıdaki ön filtrenin X × X üzerinde yukarı doğru kapanmasıdır ,

{ Δ( N ) : N , X'te 0'ın bir komşuluğudur }
burada bu ön filtre , kanonik tekdüzeliğin çevrelerinin bir tabanı olarak bilinen şeyi oluşturur .
Tanım ( Öteleme -değişmeyen tekdüzelik ): Değişmeli bir katkı grubu X için, her B ∈ ℬ , ( x , y ) ∈ B için ve yalnızca ( x + z , y ) ise , temel bir çevre sistemi öteleme-değişmez olarak adlandırılır + z ) ∈ B tüm x , y , zX için . Bir tekdüzelik , çeviri değişmez olan bir çevre tabanına sahipse, çeviri değişmezi olarak adlandırılır.

Açıklamalar :

  • Herhangi bir değişmeli topolojik gruptaki kanonik tekdüzelik, çeviri değişmezdir.
  • Aynı kanonik tekdüzelik, orijinin tüm komşuluklarının filtresinden ziyade orijin komşuluk bazının kullanılmasıyla sonuçlanacaktır.
  • Her çevre Δ X ( N ) köşegeni Δ X  := Δ X ({0}) = { ( x , x ) : xX } içerir çünkü 0 ∈ N .
  • Eğer , N olan , simetrik (yani - N = N ), daha sonra Δ x ( N ) simetriktir (olduğunu, x ( N )) op  = Δ x ( N ) ) ve
    Δ X ( N ) ∘ Δ X ( N ) = { ( x , z ) : ∃ yX  öyle ki  x , zy + N } =  yX[( y + N ) × ( y + N )] = Δ X + ( N × N ) .
  • Kanonik tekdüzelik tarafından X üzerinde indüklenen topoloji, X'in başladığı topoloji ile aynıdır (yani τ 'dir ).

Cauchy ön filtreler ve ağlar

Düzgün uzayların genel teorisinin kendi "Cauchy ön filtresi" ve "Cauchy ağı" tanımı vardır. X üzerindeki kanonik tekdüzelik için bunlar aşağıda açıklanan tanıma indirgenir.

Tanım ( Ağların toplamı ve çarpımı ): Diyelim ki x = ( x i ) iI , X'te bir ağ ve y = ( y i ) jJ , Y'de bir ağ . Yap I x J bildirerek yönlendirilmiş bir dizi içine ( i , j ) ≤ ( i 2 , j 2 ) ancak ve ancak beni 2 ve jj 2 . Sonra x × y  := ( x ben , y j ) ( i , j ) ∈ I × J ürün ağını  belirtir . Eğer X = Y, daha sonra fazladan bir haritada altında net görüntü X x xX belirtmektedir toplamı bu iki ağları:
x + y  := (  x ben + y j  ) ( ben , j ) ∈ I × J

ve benzer şekilde farkları , çıkarma haritasının altındaki ürün ağının görüntüsü olarak tanımlanır:

x - y  := (  x ben - y j  ) ( ben , j ) ∈ I × J .
Tanım ( Cauchy net ): Bir x = ( x i ) iI bir katkı topolojik grup X olarak adlandırılan bir Cauchy ağ halinde
(  X i - x j  ) ( i , j ) ∈ I x I  → 0   içinde   X,

veya eşdeğer, eğer her mahalle için N arasında , 0 içinde X , bazı vardır i 0I öyle ki x i - x jN tüm i , ji 0 ile i , jI .

Bir Cauchy dizisi , bir dizi olan bir Cauchy ağıdır.
Tanım ( N -küçük grubu ) ise B bir katkı grubu bir alt kümesidir X ve N ihtiva eden bir dizi 0 , o zaman söylemek B olduğu N- -Küçük veya sipariş küçük N ise B - BN .

Tanım ( Cauchy ön filtresi ): Aşağıdaki eşdeğer koşullardan herhangi birini karşılıyorsa Cauchy ön filtresi olarak adlandırılan bir X topolojik grubu üzerinde bir ön filtre :

  1. ℬ - ℬ → 0   içerisinde X ,   ℬ - ℬ: = { B  -  C  :  B , C ∈ ℬ} , bir ön filtre olup.
  2. { B  -  B  :  B ∈ ℬ} → 0   içerisinde X , burada   { B  -  B  :  B ∈ ℬ} için bir ön-filtre eşdeğerdir ℬ - ℬ .
  3. Her mahalle için N arasında , 0 içinde X , bazı içeren N (yani, bazı vardır -küçük grubu B ∈ ℬ bu şekilde B - BN ).

ve eğer X değişmeli ise o zaman ayrıca:

  1. Her mahalle için N arasında , 0 içinde X , bazı vardır B ∈ ℬ ve bazı xX , öyle ki Bx + N .
  • Bu herhangi bir yukarıdaki durumun herhangi kontrol edilmesi yeterlidir mahalle bazında arasında 0'a yılında X .

Açıklama:

  • Diyelim ki , değişmeli bir topolojik grup X ve xX üzerinde bir ön filtredir . Sonra ℬ → x içinde X ancak ve ancak x ∈ cl ℬ ve Cauchy olduğunu.

Tam değişmeli topolojik grup

Açıklama : Herhangi bir SX için S üzerindeki bir ön filtrenin 𝒞 mutlaka ℘( S ) ' nin bir alt kümesi olduğunu hatırlayın ; yani, 𝒞 ⊆ ℘( S ) .
Tanım ( Komple alt küme ): X topolojik grubunun bir S alt kümesi , aşağıdaki eşdeğer koşullardan herhangi birini sağlıyorsa tam olarak adlandırılır :
  1. Her Cauchy ön-filtre 𝒞 ⊆ ℘ ( S ) ile S yakınsak en az bir noktaya S .
    • Eğer X Hausdorff o zaman her ön filtresi S çoğu az bir noktaya yakınsar X . Ancak X Hausdorff değilse , o zaman bir ön filtre X'deki birden çok noktaya yakınsayabilir . Aynı şey ağlar için de geçerlidir.
  2. Her Cauchy net S en az bir noktada birleşir S ;
  3. Her Cauchy filtre 𝒞 üzerinde S en az bir noktada birleşir S .
  4. S a, tamamen ( "nokta-grubu topolojisi tanımı altında homojen alanı tamamen homojen alanı ") S kanonik homojenliği ile kendisine neden bütünlüğü ile donatılmış olup , X ;
Tanım alt kümesi S denir ardışık tam ise her Cauchy dizisi S (ya da eşdeğer şekilde, her temel Cauchy filtre / ön-filtre S ) en az bir noktada birleşir S .
  • Açıklama ( Yakınsama dışında S izin edin:) X Haussdorf değildir ve her Cauchy ön filtresi ise S bazı noktada birleşir S , daha sonra S tamamlanmış olacaktır bazı veya tüm Cauchy ön filtreler bile S ayrıca (ler) puana yakınsama içerisinde X,S . Kısacası, bu Cauchy ön filtreler hiçbir gereklilik yoktur S yakınsama sadece içinde noktalarına S . Aynı Cauchy ağlarının yakınlaşma söylenebilir S .
    • Değişmeli topolojik grup halinde bir sonucu olarak, X, bir değil Hausdorff , kapatılması, daha sonra, her alt-kümesi , {0   }, ki S ⊆ Cı {0   (açıkça kompakt ve her kompakt grubu mutlaka tam olduğu)}, tamamlanmıştır. Bu yüzden, özellikle, eğer S ≠ ∅ (örneğin, eğer , S , bir gibi tekil dizi olan S = {0   }) daha sonra S tam olacağını bile her Cauchy net S (ve her Cauchy ön-filtre S ) için yakınsak her noktada Cl { 0   } ( S'de olmayan Cl { 0   } içindeki noktaları dahil edin ).
    • Bu örnek ayrıca Hausdorff olmayan bir uzayın tam alt kümelerinin (aslında kompakt alt kümelerinin bile) kapatılamayacağını gösterir. (örneğin, eğer ∅ ≠ S ⊆ Cı {0   }, sonra S kapalı olduğu durumda ise sadece S = Cl {0   }).
Tanım ( Tam grubu ) kapsar: A değişmeli topolojik grup X olarak adlandırılan tam eşdeğer aşağıdaki koşullardan herhangi birine sahip ise:
  1. X , kendisinin bir alt kümesi olarak tamdır.
  2. Her Cauchy net X yakınsak en az bir noktaya X .
  3. Bir mahalle söz konusudur 0 yılında X de tam bir alt kümesidir X .
    • Bu, her yerel kompakt değişmeli topolojik grubun tamamlandığı anlamına gelir.
  4. Onun kanonik homojenlik sahip olduğunda, X haline gelen bir olduğunu tam üniforma uzay .
Tanım ( Sıralı tam grubu ): çağrılır ardışık tam eğer X, kendisinin bir sıralı tam bir alt kümesidir.

Açıklama:

  • Yakın baz : Varsayalım değişmeli topolojik grubunun tamamlanması X ile X ve 𝒩 a, mahalle baz menşe X . Daha sonra küme
    { Cl C N  :  N ∈ 𝒩   }
    C'nin orijininde bir komşuluk temelidir .
Tekdüze süreklilik
Tanım ( Düzgün süreklilik ): X ve Y topolojik gruplar, DX ve f  : DY bir harita olsun. Daha sonra f  : DY olan düzgün sürekli her mahalle için eğer U menşei X , bir mahalle vardır V menşe Y bu şekilde tüm   x , yD , eğer   Y - XU   sonra   f ( y ) - f ( x ) ∈ V .

genellemeler

Süreklilik koşullarının zayıflatılmasıyla topolojik grupların çeşitli genellemeleri elde edilebilir:

  • Bir semitopolojik grup , her cG için xxc ve xcx tarafından tanımlanan iki GG fonksiyonu sürekli olacak şekilde bir topolojiye sahip bir G grubudur .
  • Bir quasitopolojik grup , fonksiyon eşleme elemanlarının terslerine de sürekli olduğu bir semitopolojik gruptur.
  • Bir paratopological grubu grubu işlemi sürekli bir şekilde bir topolojisi ile bir gruptur.

Ayrıca bakınız

Notlar

alıntılar

Referanslar