Çizgi integrali - Line integral

Gelen matematik , bir hat yekpare bir olan yekpare fonksiyonu bir birlikte değerlendirilir entegre edilmesi eğrisi . Terimleri yol integrali , eğri yekpare ve eğrisel entegre de kullanılır; Kontur integrali de kullanılır, ancak bu tipik olarak karmaşık düzlemdeki çizgi integralleri için ayrılmıştır .

Entegre edilecek fonksiyon bir skaler alan veya bir vektör alanı olabilir . Çizgi integralinin değeri, eğri üzerindeki bazı skaler fonksiyonlarla (genel olarak yay uzunluğu veya bir vektör alanı için, vektör alanının diferansiyel ile skaler ürünü) ağırlıklandırılan, eğri üzerindeki tüm noktalarda alanın değerlerinin toplamıdır. eğrideki vektör). Bu ağırlıklandırma, çizgi integralini, aralıklarla tanımlanan daha basit integrallerden ayırır . Fizikteki birçok basit formül, örneğin işin tanımı gibi , çizgi integralleri açısından doğal sürekli analoglara sahiptir, bu durumda , bir yol boyunca bir elektrik veya yerçekimi alanı F boyunca hareket eden bir nesne üzerinde yapılan işi hesaplar .

vektör hesabı

Nitel terimlerle, vektör hesabındaki bir çizgi integrali, belirli bir eğri boyunca belirli bir tensör alanının toplam etkisinin bir ölçüsü olarak düşünülebilir . Örneğin, bir skaler alan (sıra 0 tensör) üzerindeki çizgi integrali, belirli bir eğri tarafından oyulmuş alanın altındaki alan olarak yorumlanabilir. Bu, z = f ( x , y ) tarafından oluşturulan yüzey ve xy düzleminde bir C eğrisi olarak görselleştirilebilir . f'nin çizgi integrali, oluşturulan "perdenin" alanı olacaktır - yüzeyin doğrudan C'nin üzerindeki noktaları oyulduğunda.

Bir skaler alanın çizgi integrali

Bir f skaler alanı üzerindeki çizgi integrali , alan tarafından tanımlanan bir z = f ( x , y ) yüzeyi boyunca C eğrisinin altındaki alan olarak düşünülebilir .

Tanım

Bazı için skaler alan bir hat boyunca ayrılmaz, parça parça düz eğri olarak tanımlanır

burada tanımlanacak herhangi bir örten parametrizasyonu eğrisinin bu şekilde R ( a ) ve R ( B ) uç noktalarını verir ve bir < b . Burada ve makalenin geri kalanında, mutlak değer çubukları bir vektörün standart (Öklid) normunu gösterir.

f fonksiyonuna integral adı verilir, eğri integralin alanıdır ve ds sembolü sezgisel olarak bir temel yay uzunluğu olarak yorumlanabilir . Bir eğrinin üzerinde sayıl alanlar çizgi integralleri seçilen parametrizasyonları bağımlı olmayan r arasında .

Geometrik olarak, skaler alan zaman f bir düzlem üzerinde tanımlanmıştır ( n = 2) , kendi grafik bir yüzeydir z = f ( x , y ) uzayda ve hat tamamlayıcı (işaretli) verir kesit ile sınırlanan alanı f eğrisi ve grafiği . Sağdaki animasyona bakın.

türetme

Skalar alanın üzerine bir çizgi entegrali için, birleşik bir inşa edilebilir Riemann toplamı yukarıda tanımları kullanarak f , C ve parametrizasyon r arasında C . Bu bölümleme yapılabilir aralık [ a , b ] içine n alt aralıkları [ t ı -1 , t i ] uzunluğunun Δ t = ( b - a ) / n sonra, R ( t i ) bir noktada temsil eder, C eğrisi üzerinde bir örnek nokta olarak adlandırın . Biz kullanabilir grubu örnek noktalarının { r ( t i : 1 ≤) in } eğrisi meydana getirmek için C bir yan çokgen yolu örnek noktalarının her biri arasındaki bir düz çizgi parçasının sokulmasıyla r ( t i -1 ) ve r ( t ben ) . Daha sonra eğri üzerindeki örnek noktaların her biri arasındaki mesafeyi Δ s i olarak etiketliyoruz . f ( r ( t i )) ve Δ s i'nin çarpımı , sırasıyla f ( r ( t i )) ve Δ s ben yüksekliğinde ve genişliğinde bir dikdörtgenin işaretli alanı ile ilişkilendirilebilir . Alarak sınırı arasında toplam bölüm uzunluğu gibi terimlerin sıfır bize veren yaklaşımlar

Tarafından ortalama değer teoremi , eğri üzerinde sonraki nokta arasındaki mesafe, bir

Bunu yukarıdaki Riemann toplam verimlerinde değiştirmek

bu integral için Riemann toplamıdır

Bir vektör alanının çizgi integrali

Tanım

Bir vektör alanı F : UR nR n için , r yönünde parçalı düzgün bir CU eğrisi boyunca çizgi integrali şu şekilde tanımlanır:

burada · olan nokta ürünün ve R : [ a , b ] → C a, örten parametrizasyonu eğrisi C bu şekilde R ( a ) ve R ( B ) uç noktalarını verir C .

Bir skaler alanın çizgi integrali, vektörlerin her zaman çizgiye teğet olduğu bir vektör alanının çizgi integralidir .

Vektör alanlarının eğrisel integraller parametrizasyonları bağımsız r içinde mutlak değer , ama yaptıkları onun bağlıdır yönelim . Spesifik olarak, parametrelendirmenin oryantasyonunun tersine çevrilmesi, çizgi integralinin işaretini değiştirir.

Diferansiyel geometri açısından bakıldığında, bir eğri boyunca bir vektör alanının çizgi integrali, müzikal izomorfizm (vektör alanını karşılık gelen kovektör alanına götürür ), daldırılmış olarak kabul edilen eğri üzerinde karşılık gelen 1-formunun integralidir. 1-manifoldu.

türetme

Bir vektör alanı içindeki bir eğri boyunca bir parçacığın (kırmızı renkte) yörüngesi. İtibaren bir parçacık yolu izler C vektör alanı boyunca F . Teğet vektörünün (kırmızı ok) ve alan vektörünün (mavi ok) nokta ürünü (yeşil çizgi), yolun çizgi integraline eşdeğer olan bir eğrinin altındaki alanı tanımlar. (Ayrıntılı açıklama için resme tıklayın.)

Bir vektör alanının çizgi integrali, bir skaler alan durumuna çok benzer bir şekilde türetilebilir, ancak bu sefer bir nokta çarpımı dahil edilerek. Yine yukarıdaki F , C tanımlarını ve bunun r ( t ) parametrelendirmesini kullanarak, bir Riemann toplamından integrali oluşturuyoruz . Bu bölme aralık [ a , b ] (değerleri aralığıdır parametre t içine) n- uzunlukta aralıklarla Δ t = ( b - a /) n . İzin vermek t ı olduğu I th noktası [ a , b ] , o zaman R ( t i ) bize konumunu verir i eğri üzerinde inci noktası. Ancak, sonraki noktalar arasındaki mesafeleri hesaplamak yerine, onların yer değiştirme vektörlerini, Δ r i hesaplamamız gerekir . Daha önce olduğu gibi , eğri üzerindeki tüm noktalarda F'yi değerlendirmek ve her yer değiştirme vektörü ile nokta çarpımını almak bize F'nin C üzerindeki her bölümünün sonsuz küçük katkısını verir . Bölümlerin boyutunun sıfıra gitmesine izin vermek bize bir toplam verir

Tarafından ortalama değer teoremi , eğride bitişik noktalar arasında yer değiştirme vektörü olduğunu görüyoruz

Bunu yukarıdaki Riemann toplam verimlerinde değiştirmek

bu, yukarıda tanımlanan integral için Riemann toplamıdır.

Yol bağımsızlığı

Bir vektör alanı ise F olduğu gradyan a skaler alan G (yani eğer F olan tutucu ), yani

o zaman değişkenli zincir kural türevi bir bileşimin ve G ve R ( t olduğu)

bu, F'nin r ( t ) üzerindeki çizgi integralinin integrali olur . C yolu verildiğinde ,

Başka bir deyişle, F bölü C'nin integrali yalnızca G'nin r ( b ) ve r ( a ) noktalarındaki değerlerine bağlıdır ve bu nedenle aralarındaki yoldan bağımsızdır. Bu nedenle, korunumlu bir vektör alanının çizgi integraline yoldan bağımsız denir .

Uygulamalar

Çizgi integralinin fizikte birçok kullanımı vardır. Örneğin, bir vektör alanı F olarak temsil edilen bir kuvvet alanı içinde bir C eğrisi üzerinde hareket eden bir parçacık üzerinde yapılan , F'nin C üzerindeki çizgi integralidir .

Bir eğri boyunca akış

Bir vektör alanı için , F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y ) ) , bir CU eğrisi boyunca çizgi integrali , akı integrali olarak da adlandırılır , şu şekilde tanımlanır: parçalı düzgün parametreleştirme r : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) , şu şekilde:

Burada • nokta çarpımdır ve hız vektörünün saat yönüne dikidir .

Akış yönlendirilmiş bir anlamda hesaplanır: C eğrisi r ( a ) ile r ( b ) arasında belirli bir ileri yöne sahiptir ve F ( r ( t ) ) saat yönünde olduğunda akış pozitif olarak sayılır . ileri hız vektörü r' ( t ) .

Karmaşık çizgi integrali

Olarak karmaşık analiz , satır integralin cinsinden tanımlanır çarpma ve ek olarak karmaşık sayılar. Varsayalım U bir olduğunu açık bir kümesi bir kompleks düzlem C , f  : UC bir fonksiyondur, ve parametrize sınırlı uzunlukta bir eğri, bir y : [ a , b ] → L , γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) . çizgi integrali

[ a , b ] aralığını a = t 0 < t 1 < ... < t n = b şeklinde alt bölümlere ayırarak ve ifadeyi dikkate alarak tanımlanabilir

İntegral, bu durumda , alt bölme aralıklarının uzunlukları sıfıra yaklaştıkça bu Riemann toplamının sınırıdır .

Parametrizasyonu Eğer γ olan sürekli türevlenebilir , satır yekpare gerçek bir değişkenin bir fonksiyonu bir integrali olarak değerlendirilebilir:

Tüm L kapalı bir eğri (ilk ve son noktaları denk), hat tamamlayıcı genellikle gösterilir bazen olarak mühendislik ifade siklik integrali .

Eşlenik karmaşık diferansiyele göre çizgi integrali şu şekilde tanımlanır:

Karmaşık fonksiyonların çizgi integralleri bir dizi teknik kullanılarak değerlendirilebilir. En doğrudan olanı, problemi iki gerçek değerli çizgi integralini değerlendirmeye indirgeyerek gerçek ve sanal parçalara ayırmaktır. Cauchy integral teoremi bir hat integralini eşit için kullanılabilir analitik işlevi daha uygun bir eğri boyunca aynı integraline. Ayrıca, f ( z )' nin tekillikler olmadan analitik olduğu bir bölgeyi çevreleyen kapalı bir eğri üzerinde , integralin değerinin basitçe sıfır olduğunu veya bölgenin tekillikler içermesi durumunda, kalıntı teoreminin integrali tekillikler cinsinden hesapladığını ima eder.

Misal

İşlevi göz önünde f ( Z ) = 1 / z , ve kontur izin L saat yönünün tersine olmak birim çember z (parametrize 0 ila yaklaşık, t =) e o ile t kullanan [0, 2π] içinde karmaşık bir üs . Değiştirerek buluruz:

Bu, Cauchy integral formülü ve kalıntı teoreminin tipik bir sonucudur .

Karmaşık çizgi integrali ve vektör alanının çizgi integrali ilişkisi

2-boyutlu olarak karmaşık sayılar görüntüleme vektörler , karmaşık değerli bir fonksiyonun hattı entegre gerçek ve karmaşık parçalar hattı integrali ve tekabül eden vektör alanın akış integraline eşit olan eşlenik fonksiyonu ise, Özellikle parametrize L ve karşılık geldiği vektör alanı daha sonra:

Tarafından Cauchy teoremi zaman, sol yekpare sıfırdır (karşılayan analitik olan Cauchy Riemann denklemleri herhangi bir düz kapalı eğrinin L. Buna uygun için) ile Green teoremi zaman, sağ-taraf integralleri sıfır olduğu potansiyel olmayan ( kıvrılma içermeyen) ve sıkıştırılamaz ( diverjanssız ). Aslında, Cauchy-Riemann denklemleri F için kıvrılma ve diverjansın kaybolmasıyla aynıdır .

Tarafından Green teoremi , bir kapalı, pozitif yönlendirilmiş eğrisinin düzgün ile kapatılmış bir bölgenin alanı entegrali ile verilir kanıtı, örneğin Bu durum kullanılan, alan teoremi .

Kuantum mekaniği

Yol integrali formülasyon bir kuantum mekaniği aslında yolu, bu anlamda ama integraller verememe, fonksiyonel integrallerin bir fonksiyonun, yolların bir alan üzerinde olduğu, integrallerin arasında olası bir yolu. Ancak, bu makale anlamında yol integralleri kuantum mekaniğinde önemlidir; örneğin, karmaşık kontur entegrasyonu, kuantum saçılma teorisindeki olasılık genliklerinin değerlendirilmesinde sıklıkla kullanılır .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar