Teleskop serisi - Telescoping series

Gelen matematik , bir iç içe geçen dizi a, dizi olan genel bir terim olarak yazılabilir , bir sekansın, iki ardışık terimlerin farkı, yani . ${\görüntüleme stili t_{n}}$${\displaystyle t_{n}=a_{n}-a_{n+1}}$${\görüntüleme stili (a_{n})}$

Sonuç olarak, kısmi toplamlar yalnızca iptal sonrasının iki döneminden oluşur . Her dönemin bir kısmının bir sonraki dönemin bir kısmı ile iptal edildiği iptal tekniği, farklar yöntemi olarak bilinir . ${\görüntüleme stili (a_{n})}$

Örneğin, dizi

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}$

(seri tersinin ait pronic sayılar ) olarak basitleştiren

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^ {\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\sağ)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\sağ)\\{}&{}= \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\ frac {1}{3}}\sağ)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\sağ)}\sağ\rbrack \ \{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ sağ)+\sol(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\sağ)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+ {\frac {1}{N}}\sağ)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\ sol\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\sağ\rbrack =1.\end{hizalı}}}$

Genel olarak

Teleskopik bir dizi güç

Teleskopik toplamlar , ardışık terim çiftlerinin birbirini yok ettiği ve yalnızca ilk ve son terimleri bıraktığı sonlu toplamlardır.

Bir sayı dizisi olsun . Sonra, ${\ Displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\sağ)=a_{N}-a_{0}}$

Eğer ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\sağ)=-a_{0}}$

Teleskopik ürünler , ardışık terimlerin pay ile paydayı iptal ettiği, yalnızca başlangıç ​​ve son terimleri bıraktığı sonlu ürünlerdir.

Bir sayı dizisi olsun . Sonra, ${\ Displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}} }$

Eğer ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 1}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}$

Daha fazla örnek

• Birçok trigonometrik fonksiyon , ardışık terimler arasında teleskopik iptale izin veren bir fark olarak temsili de kabul eder.

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac { 1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\sağ)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\sağ)\sin \left (n\sağ)\sağ)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\sağ)\sum _{n=1} ^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\sağ)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\sağ)\sağ )\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\sağ)\left(\cos \left({\frac {1}{ 2}}\sağ)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\sağ)\sağ).\end{hizalı}}}$

• Formun bazı toplamları

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}}$

burada f ve g olan bir polinom fonksiyonu olan bölüm bölünmüştür edilebilir kısmi fraksiyonlar , kabul başarısız olur toplamı bu yöntemle. Özellikle, birinin sahip olduğu

${\displaystyle {\begin{hizalı}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum _ {n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\sağ)\\={}&\sol( {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\sağ)+\sol({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\ sağ)+\sol({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\sağ)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1} {n-1}}+{\frac {1}{n}}\sağ)+\sol({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\sağ) +\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\sağ)+\cdots \\={}&\infty .\end{hizalı}} }$

Sorun, şartların iptal edilmemesidir.

• Let k pozitif bir tamsayı. Sonra

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}}$

nerede H _k olan k inci harmonik sayı . 1/( k  − 1)'den sonraki tüm terimler iptal olur.

Olasılık teorisinde bir uygulama

Olarak olasılık teorisi , bir Poisson süreci En basit durumda, rasgele zamanlarda "oluşumları", bir sonraki oluşumu, bir elde edilinceye kadar bekleme süresi içerir olan bir stokastik süreçtir belleksizlik üstel dağılımı olan bir aralığı herhangi bir zamanda, ve "olaylar" sayısını Beklenen değeri zaman aralığının uzunluğuyla orantılı olan Poisson dağılımı . Let x _t zaman önce "oluşumları" sayısı, t ve izin T _x kadar bekleme süresi olmak x inci "bir olayda". Biz aramak olasılık yoğunluk fonksiyonunu ait rastgele değişkenin T _x . Poisson dağılımı için olasılık kütle fonksiyonunu kullanırız , bu bize şunu söyler:

${\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},}$

burada λ uzunluk 1 olan herhangi bir zaman aralığındaki ortalama oluşum sayısıdır. { X _t ≥ x} olayının { T _x ≤ t } olayı ile aynı olduğunu ve dolayısıyla aynı olasılığa sahip olduklarını gözlemleyin. Bir şey en azından oluşursa Sezgisel, kat saatinden önce , en az beklemek zorunda için bir oluşum. Aradığımız yoğunluk fonksiyonu bu nedenle ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili x.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\ Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac { d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\ sol(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\sağ)\\ \\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{ u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\sağ)\end{hizalı }}}$

Toplam teleskoplar, ayrılıyor

${\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.}$

benzer kavramlar

teleskopik ürün

İç içe geçen bir çarpım, sonlu bir çarpımdır (ya da sonsuz bir çarpımın kısmi çarpımıdır), bu, bölümler yöntemiyle, sonunda yalnızca sonlu sayıda faktör olacak şekilde iptal edilebilir.

Örneğin, sonsuz ürün

${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\sağ)}$

olarak basitleştirir

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\sağ)&=\prod _{ n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{ n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&= \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\ times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3} }\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}}\times {\frac {N+1}{N}}}\sağ\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}} \right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N}{N}}+{\frac {1}{N} }\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{hizalı}}}$

Diğer uygulamalar

Diğer uygulamalar için bkz.

• Grandi'nin serisi ;
• İspatlardan birinin iç içe geçen bir toplam kullandığı durumlarda , asal sayıların karşılıklılarının toplamının birbirinden ayrıldığının kanıtı;
• Kalkülüsün temel teoremi, iç içe geçen serilerin sürekli bir analoğu;
• Sıra istatistiği , burada bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun türetilmesinde iç içe geçen bir toplam oluşur;
• Cebirsel topolojide iç içe geçen bir toplamın ortaya çıktığı Lefschetz sabit nokta teoremi ;
• Homoloji teorisi , yine cebirsel topolojide;
• Eilenberg-Mazur dolandırıcılığı , burada iç içe geçen bir düğüm toplamı meydana gelir;
• Faddeev-LeVerrier algoritması .

Referanslar