Riemann zeta fonksiyonu - Riemann zeta function

Alan renklendirme ile çizilen Riemann zeta fonksiyonu ζ ( z ) .
'deki kutup ve kritik çizgide iki sıfır.

Riemann zeta fonksiyonu veya Euler-Riemann zeta fonksiyonu , ζ ( s ) , a, matematiksel fonksiyon a kompleks değişken s ve şu şekilde ifade edilebilir:

, eğer .

Riemann zeta işlevi analitik sayı teorisinde çok önemli bir rol oynar ve fizik , olasılık teorisi ve uygulamalı istatistikte uygulamaları vardır .

Leonhard Euler ilk tanıtıldı ve tek kullanan, on sekizinci yüzyılın ilk yarısında işlevini okudu gerçek sayılar gibi karmaşık analiz anda mevcut değildi. Bernhard Riemann'ın 1859 tarihli " Belirli Bir Büyüklükten Küçük Asal Sayıların Sayısı Üzerine " adlı makalesi , Euler tanımını karmaşık bir değişkene genişletti, meromorfik devamını ve fonksiyonel denklemini kanıtladı ve sıfırları ile asal sayıların dağılımı arasında bir ilişki kurdu .

Pozitif tamsayılarda bile Riemann zeta fonksiyonunun değerleri Euler tarafından hesaplanmıştır. Bunlardan ilki, ζ (2) , Basel problemine bir çözüm sunar . 1979'da Roger Apéry , ζ (3)' ün mantıksızlığını kanıtladı . Euler tarafından da bulunan negatif tamsayı noktalarındaki değerler rasyonel sayılardır ve modüler formlar teorisinde önemli bir rol oynar . Dirichlet serisi , Dirichlet L fonksiyonları ve L fonksiyonları gibi Riemann zeta fonksiyonunun birçok genellemesi bilinmektedir.

Tanım

Bernhard Riemann'ın belirli bir büyüklüğün altındaki asal sayıların sayısı üzerine makalesi .

Riemann zeta fonksiyonu ζ ( ler ) kompleks değerli bir fonksiyonudur s = σ + o . ( s , σ ve t gösterimi , Riemann'dan sonra zeta fonksiyonunun çalışmasında geleneksel olarak kullanılır.) Re( s ) = σ > 1 olduğunda, fonksiyon yakınsak bir toplam veya integral olarak yazılabilir:

nerede

bir gama fonksiyonu . Riemann zeta fonksiyonu, σ > 1 için tanımlanan fonksiyonun analitik devamı yoluyla diğer karmaşık değerler için tanımlanır .

Leonhard Euler yukarıdaki seriyi 1740'ta s'nin pozitif tamsayı değerleri için düşündü ve daha sonra Chebyshev tanımı genişletti.

Yukarıdaki seri bir prototip olan Dirichlet seriye ait olduğunu kesinlikle yakınsak bir için analitik fonksiyonu için s , öyle ki σ > 1 ve ıraksamaktadır tüm diğer değerleri için s . Riemann, yakınsaklığın yarı düzlemindeki seriler tarafından tanımlanan fonksiyonun, tüm karmaşık değerler s ≠ 1 için analitik olarak devam ettirilebileceğini gösterdi . İçin s = 1 , dizi armonik seriye ait olduğu ıraksamaktadır + ∞ ve

Böylece Riemann zeta fonksiyonu olan meromorfik fonksiyonu bütün kompleks s olan -plane, holomorfik bir dışında her yerde basit bir kutup olarak s = 1 ile Tortu, 1 .

Belirli değerler

Herhangi bir pozitif çift tam sayı için 2 n :

burada B 2 , n ise 2 , n -inci Bernoulli sayısı .

Tek pozitif tamsayılar için, bu değerlerin cebirsel K -tamsayılar teorisi ile ilişkili olduğu düşünülse de, böyle basit bir ifade bilinmemektedir ; bkz . L- fonksiyonlarının özel değerleri .

Pozitif olmayan tamsayılar için, bir

için n ≥ 0 olduğu sistem kullanılarak ( B 1 = - 1/2).

Özellikle, ζ negatif çift tamsayılarda yok olur çünkü 1 dışındaki tüm tek m için B m = 0 olur. Bunlar, zeta fonksiyonunun "önemsiz sıfırları" olarak adlandırılır.

Via analitik devamında , tek gösterebilir:

Bu, sicim teorisi gibi belirli bağlamlarda ( Ramanujan toplamı ) kullanılmış olan 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ıraksak serisine sonlu bir değer atamak için bir bahane sağlar .
Yukarıdakine benzer şekilde, bu 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ serisine sonlu bir sonuç atar .
  • -1,460 354 508 809 586 812 88 ... ( OEISA059750 )
Bu, lineer kinetik denklemlerin kinetik sınır tabakası problemlerinin hesaplanmasında kullanılır.
1'den büyük sayılardan yaklaşırsak, bu harmonik seridir . Ama onun Cauchy asıl değeri
vardır ve Euler–Mascheroni sabitidir γ = 0.5772... .
  • 2,612 375 348 685 488 343 348 ... ( OEISA078434 )
Bu, periyodik sınır koşullarına sahip bir kutudaki bir Bose-Einstein yoğuşması için kritik sıcaklığın hesaplanmasında ve manyetik sistemlerde spin dalgası fiziği için kullanılır.
  • 1,644 934 066 848 226 436 472 ... ( OEISA013661 )
Bu eşitliğin ispatı Basel problemi olarak bilinir . Bu toplamın tersi şu soruyu yanıtlar: Rastgele seçilen iki sayının göreli olarak asal olma olasılığı nedir ?
  • 1,202 056 903 159 594 285 399 ... ( OEISA002117 )
Bu sayı Apéry sabiti olarak adlandırılır .
  • 1,082 323 233 711 138 191 516 ... ( OEISA013662 )
Bu , Stefan-Boltzmann yasasını fizikte elde etmek için Planck yasasını entegre ederken ortaya çıkar .

Limiti alarak kişi elde eder .

Euler'in ürün formülü

1737'de, zeta fonksiyonu ile asal sayılar arasındaki bağlantı , özdeşliği kanıtlayan Euler tarafından keşfedildi.

burada, tanım gereği, sol taraf ζ ( s )'dir ve sağ taraftaki sonsuz çarpım tüm p asal sayılarına uzanır (bu tür ifadelere Euler çarpımı denir ):

Euler çarpım formülünün her iki tarafı Re( s ) > 1 için yakınsar . Euler kimlik belgesi sadece formül kullanır geometrik dizi ve aritmetik temel teoremi . Yana harmonik dizi elde zaman s 1 = , yakınsamaktadır olur, Euler formül ( Π p P/p - 1) sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ima eder .

Euler Ürün formül hesaplamak için kullanılabilir asimptotik olasılık s rastgele seçilen tam sayılardır set-bazlı göreceli asal . Sezgisel olarak, herhangi bir tek sayının bir asal (veya herhangi bir tam sayı) p ile bölünebilme olasılığı1/P. Bu nedenle, s sayılarının hepsinin bu asal sayıya bölünebilme olasılığı1/p s, ve bunlardan en az birinin olmama olasılığı 1 -1/p s. Şimdi, farklı asal sayılar için, bu bölünebilirlik olayları karşılıklı olarak bağımsızdır, çünkü aday bölenler asaldır (bir sayı n ve m asal bölenleriyle bölünebilir, ancak ve ancak ve ancak nm ile bölünebilirse  , olasılık ile gerçekleşen bir olaydır) 1/nm). Böylece, s sayılarının aralarında asal olmalarının asimptotik olasılığı, tüm asal sayıların çarpımı tarafından verilir,

Riemann'ın fonksiyonel denklemi

Zeta işlevi, işlevsel denklemi karşılar

burada Γ ( s ) olan gama fonksiyonu . Bu, tüm karmaşık düzlemde geçerli olan meromorfik fonksiyonların bir eşitliğidir . Denklem, s ve 1 - s noktalarındaki Riemann zeta fonksiyonunun değerlerini, özellikle çift pozitif tam sayıları tek negatif tam sayılarla ilişkilendirir. Sinüs fonksiyonunun sıfır sayesinde, işlevsel denklem ima ζ ( s ) , her çift negatif tamsayı bir basit sıfırdır s = -2 n olarak bilinen, önemsiz sıfır ait Ç ( ler ) . Tüm s eşit bir pozitif tam sayı, ürün sin (π s/2Sağdaki )Γ(1 − s ) sıfır değildir çünkü Γ(1 − s ) sinüs faktörünün basit sıfırını iptal eden basit bir kutba sahiptir .

Riemann'ın fonksiyonel denkleminin kanıtı

Fonksiyonel denklemin bir kanıtı aşağıdaki gibi ilerler: Şunu gözlemliyoruz ki eğer , o zaman

Sonuç olarak, eğer öyleyse

mutlak yakınsama ile gerekçelendirilen sınırlayıcı süreçlerin tersine çevrilmesiyle (bu nedenle 'de daha katı gereklilik ).

Kolaylık için, izin ver

Sonra

By Poisson toplama formülüyle Elimizdeki

Böylece

Buradan

Bu eşdeğerdir

veya

Yani

tüm s için yakınsak olan, analitik devam için de geçerlidir. Ayrıca, s 1 - s olarak değiştirilirse  RHS değişmez . Buradan

fonksiyonel denklemdir. AT Titchmarsh (1986). Riemann Zeta-fonksiyonunun Teorisi (2. baskı). Oxford : Oxford Bilim Yayınları. s. 21–22. ISBN'si 0-19-853369-1.Atfedilen Bernhard Riemann .

İşlevsel denklem, Riemann tarafından 1859 tarihli "Belirli Bir Büyüklükten Küçük Asal Sayılar Üzerine " makalesinde kuruldu ve ilk etapta analitik devamı oluşturmak için kullanıldı. Euler tarafından yüz yıldan fazla bir süre önce, 1749'da, Dirichlet eta fonksiyonu (alternatif zeta fonksiyonu) için eşdeğer bir ilişki tahmin edilmişti :

Bu arada, bu ilişki 0 < Re( s ) < 1 bölgesinde ζ ( s ) hesaplamak için bir denklem verir , yani

burada η -serisi daha büyük yarım düzlem s > 0'da yakınsaktır ( mutlak olmasa da ).

Riemann ayrıca , xi fonksiyonuna uygulanan fonksiyonel denklemin simetrik bir versiyonunu da buldu :

hangisi tatmin eder:

(Riemann'ın orijinal ξ ( t ) biraz farklıydı.)

Sıfırlar, kritik çizgi ve Riemann hipotezi

Önemsiz sıfırlar dışında, Riemann zeta fonksiyonunun σ = 1'in sağında ve σ = 0'ın solunda sıfır yoktur (sıfırlar da bu çizgilere çok yakın olamaz). Ayrıca, önemsiz olmayan sıfırlar, gerçek eksen ve σ = doğrusu etrafında simetriktir.1/2ve Riemann hipotezine göre hepsi σ = doğrusu üzerindedir.1/2.
Bu görüntü, 0'dan 34'e uzanan gerçek t değerleri için kritik çizgi boyunca Riemann zeta fonksiyonunun bir çizimini göstermektedir . Kritik şeritteki ilk beş sıfır, spirallerin orijinden geçtiği yer olarak açıkça görülebilir.
Riemann zeta'nın reel kısmı (kırmızı) ve sanal kısmı (mavi), Re( s ) = 1/2 kritik çizgisi boyunca çalışır . İlk önemsiz olmayan sıfırlar Im( s ) = ±14.135, ±21.022 ve ±25.011'de görülebilir.

Fonksiyonel denklem, Riemann zeta fonksiyonunun -2, -4,...' de sıfırlara sahip olduğunu gösterir . Bunlara önemsiz sıfırlar denir . Varlıklarının, örneğin günahtan dolayı kanıtlanmasının nispeten kolay olması anlamında önemsizdirler.π s/2fonksiyonel denklemde 0 olmak. Önemsiz sıfırlar çok daha fazla dikkat çekmiştir çünkü dağılımları yalnızca çok daha az anlaşılmakla kalmaz, daha da önemlisi, çalışmaları asal sayılar ve sayı teorisindeki ilgili nesnelerle ilgili önemli sonuçlar verir. Herhangi bir önemsiz olmayan sıfırın , kritik şerit olarak adlandırılan { s ∈  : 0 < Re( s ) < 1} açık şeridinde bulunduğu bilinmektedir . { s : Re( s ) = kümesi1/2} kritik çizgi  olarak adlandırılır . Matematikteki çözülmemiş en büyük problemlerden biri olarak kabul edilen Riemann hipotezi , önemsiz olmayan tüm sıfırların kritik çizgide olduğunu iddia eder. 1989'da Conrey, Riemann zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan sıfırlarının %40'ından fazlasının kritik çizgide olduğunu kanıtladı.

Kritik hat üzerindeki Riemann zeta işlevi için, bkz. Z- fonksiyonu .

İlk birkaç önemsiz sıfır
Sıfır
1/2 ± 14.134725 ben
1/2 ± 21.022040 ben
1/2 ± 25.010858 ben
1/2 ± 30.424876 ben
1/2 ± 32.935062 ben
1/2 ± 37.586178 ben

Kritik şeritteki sıfır sayısı

Sanal kısımları aralıkta olan kritik şeritteki sıfırların sayısı olsun . Trudgian kanıtladı, eğer öyleyse , o zaman

.

Hardy-Littlewood varsayımları

1914'te Godfrey Harold Hardy , ζ (1/2+ it ) sonsuz sayıda gerçek sıfıra sahiptir.

Hardy ve John Edensor Littlewood , ζ'nin sıfırları arasındaki yoğunluk ve mesafe hakkında iki varsayım formüle etti (1/2+ it ) büyük pozitif gerçek sayıların aralıklarında. Aşağıda, N ( T ) gerçek sıfırlar ve toplam sayısı N 0 ( T ) fonksiyonu tek sırada sıfır sayısı Ç (1/2+ it ) (0, T ] aralığında yer alır .

  1. Herhangi bir ε > 0 için , bir T 0 ( ε ) > 0 vardır, öyle ki,
    ( T , T + H ] aralığı tek sıralı bir sıfır içerir.
  2. Herhangi bir ε > 0 için , bir T 0 ( ε ) > 0 ve c ε > 0 vardır, öyle ki eşitsizlik
    ne zaman tutar

Bu iki varsayım, Riemann zeta fonksiyonunun araştırılmasında yeni yönler açtı.

Sıfır içermeyen bölge

Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarının konumu, sayılar teorisinde büyük önem taşır. Asal sayı teoremi zeta fonksiyonunun bir sıfır olduğu gerçeğine eşdeğerdir Re ( s ) 1 = hattı. Etkili bir formundan aşağıdaki Daha iyi bir sonuç Vinogradov ortalama değer teoremi yani ζ ( σ + kendisine ) ≠ 0 olduğunda | t | ≥ 3 ve

2015 yılında Mossinghoff ve Trudgian, zeta'nın bölgede sıfır olmadığını kanıtladı.

için | t | ≥ 2 . Bu kritik şeritte bilinen en büyük sıfırdan arındırılmış bölgedir .

Bu türden umut edilebilecek en güçlü sonuç , sayılar teorisinde çok derin sonuçları olacak olan Riemann hipotezinin doğruluğudur .

Diğer sonuçlar

Kritik çizgide sonsuz sayıda sıfır olduğu bilinmektedir. Littlewood , ( γ n ) dizisinin üst yarı düzlemdeki tüm sıfırların sanal kısımlarını artan sırada içeriyorsa , o zaman

Kritik hat teoremi iddia kritik hat üzerinde aşikar olmayan sıfırlar yalanlar olumlu oranı. (Riemann hipotezi, bu oranın 1 olduğunu ima eder.)

Kritik şeritte, negatif olmayan en küçük sanal kısmı olan sıfır, 1/2+ 14.13472514 ... i ( OEISA058303 ). gerçeği

tüm kompleksler için s ≠ 1 , Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarının gerçek eksene göre simetrik olduğu anlamına gelir. Bu simetriyi fonksiyonel denklemle birleştirerek, ayrıca, önemsiz olmayan sıfırların Re( s ) = kritik doğrusu etrafında simetrik olduğu görülür.1/2.

Çeşitli özellikler

Tamsayı ve yarım tamsayı değerlerinde zeta fonksiyonunu içeren toplamlar için, rasyonel zeta serisine bakınız .

Karşılıklı

Zeta fonksiyonunun tersi , Möbius fonksiyonu μ ( n ) üzerinde bir Dirichlet serisi olarak ifade edilebilir :

gerçel kısmı 1'den büyük olan her karmaşık sayı için s. Çeşitli iyi bilinen çarpımsal fonksiyonları içeren bir dizi benzer bağıntı vardır ; bunlar Dirichlet serisiyle ilgili makalede verilmiştir .

Riemann hipotezi, bu ifadenin, s'nin gerçek kısmı ' den büyük olduğunda geçerli olduğu iddiasına eşdeğerdir.1/2.

evrensellik

Riemann zeta fonksiyonunun kritik şeridi, olağanüstü evrensellik özelliğine sahiptir . Bu zeta fonksiyonu evrenselliği , kritik şerit üzerinde herhangi bir holomorfik fonksiyona keyfi olarak iyi yaklaşan bir konum olduğunu belirtir . Holomorfik fonksiyonlar çok genel olduğu için bu özellik oldukça dikkat çekicidir. Evrenselliğin ilk kanıtı 1975'te Sergei Mikhailovitch Voronin tarafından sağlandı . Daha yeni çalışmalar Voronin teoreminin etkili versiyonlarını içerdi ve onu Dirichlet L-fonksiyonlarına genişletti .

Zeta fonksiyonunun modülünün maksimumunun tahminleri

Fonksiyonları olsun F ( t , lH ), ve G ( s 0 , Δ) eşitlikler ile tanımlanabilir

Burada T yeterince büyük bir pozitif sayıdır, 0 < H ≪ log log T , s 0 = σ 0 + iT ,1/2σ 0 ≤ 1 , 0 < Δ <1/3. F ve G değerlerinin aşağıdan tahmin edilmesi, kritik çizginin kısa aralıklarında veya kritik şeritte uzanan noktaların küçük komşuluklarında ( modül cinsinden) ζ ( s ) değerlerinin ne kadar büyük (modül cinsinden ) alabileceğini gösterir 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 .

Vaka H »günlüğü T tarafından incelenmiştir Kanakanahalli Ramachandra'nın ; durumda Δ> c , c yeterince büyük bir sabittir, basittir.

Anatolii Karatsuba , özellikle, H ve Δ değerleri belirli yeterince küçük sabitleri aşarsa, o zaman tahminlerin

tutun, burada c 1 ve c 2 belirli mutlak sabitlerdir.

Riemann zeta fonksiyonunun argümanı

İşlev

Riemann zeta fonksiyonunun argümanı olarak adlandırılır . Burada arg ζ (1/2+ it ) , 2 , 2 + it ve noktalarını birleştiren kesikli çizgi boyunca arg ζ ( s ) ' nin keyfi bir sürekli dalının artışıdır.1/2+ o .

S ( t ) fonksiyonunun özellikleri hakkında bazı teoremler vardır . Bu sonuçlar arasında S ( t ) için ortalama değer teoremleri ve ilk integrali bulunmaktadır.

gerçek doğrunun aralıkları ve ayrıca her aralığın ( T , T + H ] için olduğunu iddia eden teorem

en azından içerir

S ( t ) fonksiyonunun işaret değiştirdiği noktalar . Daha önce benzer sonuçlar Atle Selberg tarafından dava için elde edilmişti.

temsiller

Dirichlet serisi

Orijinal seri yeniden düzenlenerek yakınsama alanının bir uzantısı elde edilebilir. Seri

Re( s ) > 0 için yakınsar , oysa

Re( s ) > -1 için bile yakınsar . Bu şekilde, herhangi bir k negatif tamsayı için yakınsama alanı Re( s ) > − k'ye genişletilebilir .

Mellin tipi integraller

Mellin dönüşümü bir fonksiyonu f ( x ) olarak tanımlanır

integralin tanımlandığı bölgede. Mellin dönüşümüne benzer integraller olarak zeta fonksiyonu için çeşitli ifadeler vardır. s'nin reel kısmı birden büyükse,

burada Γ gama fonksiyonunu gösterir . Konturu değiştirerek , Riemann şunu gösterdi:

tüm s için (burada H , Hankel konturunu gösterir ).

İntegral formülüyle başlayarak, doğal için ikame ve yinelenen farklılaşma ile gösterilebilir.

bir gösterimi kullanarak umbral hesap her güç tarafından değiştirilecek olan için örneğin bu yüzden, elimizdeki için ise bu olur

Asal sayılar ve asal sayı teoremi ile ilgili ifadeler de bulabiliriz . Eğer π ( X ) olan ana sayma fonksiyonu daha sonra,

Re( s ) > 1 olan değerler için .

Benzer bir Mellin dönüşümü, p n asal kuvvetlerini aşağıdaki ağırlıkla sayan Riemann J ( x ) fonksiyonunu içerir .1/n, Böylece

şimdi elimizde

Bu ifadeler, ters Mellin dönüşümü aracılığıyla asal sayı teoremini kanıtlamak için kullanılabilir. Riemann'ın asal sayma işleviyle çalışmak daha kolaydır ve π ( x ) Möbius tersine çevrilmesiyle bundan kurtarılabilir .

teta fonksiyonları

Riemann zeta fonksiyonu bir Mellin dönüşümü ile verilebilir.

Jacobi'nin teta işlevi açısından

Bununla birlikte, bu integral yalnızca s'nin gerçek kısmı 1'den büyükse yakınsar , ancak düzenli hale getirilebilir. Bu, 0 ve 1 hariç tüm s için iyi tanımlanmış olan zeta işlevi için aşağıdaki ifadeyi verir :

Laurent serisi

Riemann zeta fonksiyonu, s = 1'de tek mertebeden bir kutuplu meromorfiktir . Bu nedenle, s = 1 hakkında bir Laurent serisi olarak genişletilebilir ; seri geliştirme daha sonra

Buradaki γ n sabitleri Stieltjes sabitleri olarak adlandırılır ve limit ile tanımlanabilir.

Sabit terim γ 0 , Euler–Mascheroni sabitidir .

integral

Tüm sC , s ≠ 1 için integral ilişkisi (bkz. Abel–Plana formülü )

zeta fonksiyonunun sayısal bir değerlendirmesi için kullanılabilen doğrudur.

artan faktöriyel

Tüm karmaşık düzlem için geçerli olan yükselen faktöriyelini kullanan bir başka seri geliştirme ,

Bu, Dirichlet serisi tanımını tüm karmaşık sayılara genişletmek için özyinelemeli olarak kullanılabilir.

Riemann zeta fonksiyonu ayrıca , x s − 1 üzerine etki eden Gauss–Kuzmin–Wirsing operatörü üzerinde bir integralde Mellin dönüşümüne benzer bir biçimde görünür ; bu bağlam düşen faktöriyel açısından bir seri açılımına yol açar .

Hadamard ürünü

Temelinde Weierstrass 'çarpanlara teoremi , Hadamard verdi sonsuz ürün genişleme

Ürün fazla olduğu önemsiz olmayan sıfır p ve Ç ve harf γ tekrar belirtmektedir Euler-Mascheroni sabit . Daha basit bir sonsuz ürün genişletmesi

Bu form, basit kutbu s = 1'de , paydadaki gama fonksiyonu terimi nedeniyle -2, -4, ...'de önemsiz sıfırları ve s = ρ'da önemsiz olmayan sıfırları açıkça gösterir . (İkinci formülde yakınsamayı sağlamak için, çarpım "eşleşen sıfır çiftleri" üzerinden alınmalıdır, yani ρ ve 1 − ρ biçimindeki bir çift sıfır için çarpanlar birleştirilmelidir.)

Küresel yakınsak seriler

s = 1 + hariç tüm karmaşık sayılar s için geçerli, zeta işlevi için küresel olarak yakınsak bir diziben/2'den bir tam sayı için n ile varsayılmı¸tır Konrad Knopp ve kanıtlanmış Helmut Hasse 1930'da (bakınız, Euler toplama ):

Seri, Hasse'nin makalesinin bir ekinde yer aldı ve 1994'te Jonathan Sondow tarafından ikinci kez yayınlandı.

Hasse ayrıca küresel olarak yakınsak seriyi kanıtladı

aynı yayında. Iaroslav Blagouchine tarafından yapılan araştırma, benzer, eşdeğer bir dizinin 1926'da Joseph Ser tarafından yayınlandığını bulmuştur .

Peter Borwein uygulayan bir algoritma geliştirdi Chebyshev polinomları için Dirichlet eta fonksiyonu bir üretmek için yüksek hassasiyetli sayısal hesaplamalar için uygun çok hızlı yakınsak dizi .

İlksel aracılığıyla pozitif tamsayılarda seri gösterimi

İşte p n # olan primoriyel dizisi ve J k olan Jordan'ın totient işlevi .

Eksik poli-Bernoulli sayılarıyla seri gösterimi

Re( s ) > 1 için ζ fonksiyonu sonsuz seri ile temsil edilebilir.

burada k ∈ {-1, 0} , W, k, bir k th dalı Lambert W taşımasının avantajlı ve B( μ )
n , ≥2
eksik bir poli-Bernoulli sayısıdır.

Engel haritasının Mellin dönüşümü

Fonksiyon : Engel açılımlarında görünen katsayıları bulmak için yinelenir .

Mellin dönüşümü haritanın formülle Riemann zeta fonksiyonu ile ilgilidir

Geometrik serilerin toplamı olarak seri gösterimi

Geometrik seriler kullanılarak ispatlanabilen Euler çarpımına benzer şekilde, Re( s )>1 için zeta fonksiyonu geometrik serilerin toplamı olarak temsil edilebilir:

n:inci mükemmel olmayan güç nerede .

sayısal algoritmalar

Yaklaşık 1930'dan önce kullanılan klasik bir algoritma, n ve m pozitif tamsayılar için Euler-Maclaurin formülünü uygulayarak ilerler ,

burada, belirtilen Bernoulli sayısını belirtmek için izin verin ,

ve hata tatmin edici

ile σ Re (= s ).

Modern bir sayısal algoritma, Odlyzko-Schönhage algoritmasıdır .

Uygulamalar

Zeta işlevi, uygulanan istatistiklerde ortaya çıkar (bkz. Zipf yasası ve Zipf–Mandelbrot yasası ).

Zeta fonksiyonu düzenlileştirme muhtemel bir aracı olarak kullanılır duzenleme ve farklı dizi ve farklı integralleri olarak kuantum alan teorisi . Dikkate değer bir örnekte, Riemann zeta işlevi, Casimir etkisini hesaplamanın bir yönteminde açıkça ortaya çıkıyor . Zeta işlevi, dinamik sistemlerin analizi için de yararlıdır .

Sonsuz seriler

Eşit uzaklıkta pozitif tamsayılarda değerlendirilen zeta işlevi, bir dizi sabitin sonsuz seri gösterimlerinde görünür.

Aslında çift ve tek terimler iki toplamı verir

ve

Yukarıdaki toplamların parametreli versiyonları şu şekilde verilmiştir:

ve

ile ve nerede ve olan poligama fonksiyonu ve Euler sabiti , hem de

tümü süreklidir . Diğer toplamlar şunları içerir:

burada Im , karmaşık bir sayının sanal kısmını gösterir .

Harmonik sayı makalesinde daha fazla formül var .

genellemeler

Riemann zeta fonksiyonunun genellemeleri olarak kabul edilebilecek bir dizi ilgili zeta fonksiyonu vardır. Bunlar Hurwitz zeta işlevini içerir

(Yakınsak seri gösterimi 1930'da Helmut Hasse tarafından verilmiştir , bkz. Hurwitz zeta işlevi ), bu, q = 1 olduğunda Riemann zeta işleviyle çakışır (Hurwitz zeta işlevindeki toplamın alt sınırı 1 değil 0'dır), Dirichlet L- fonksiyonları ve Dedekind zeta fonksiyonu . Diğer ilgili işlevler için zeta işlevi ve L - işlevi makalelerine bakın .

Polylogarithm verilir

bu, z = 1 olduğunda Riemann zeta işleviyle çakışır . Clausen fonksiyonu cl s ( θ ) gerçek veya sanal bir parçası olarak seçilebilir Li s ( e ) .

Lerch aşkın verilir

bu, z = 1 ve q = 1 olduğunda Riemann zeta işleviyle çakışır (Lerch aşkındaki toplamın alt sınırı 1 değil 0'dır).

Birden zeta fonksiyonları ile tanımlanmaktadır

Bu fonksiyonlar analitik olarak n -boyutlu karmaşık uzaya kadar devam ettirilebilir . Pozitif tamsayı argümanlarında bu fonksiyonların aldığı özel değerler , sayı teorisyenleri tarafından çoklu zeta değerleri olarak adlandırılır ve matematik ve fizikte birçok farklı dalla ilişkilendirilmiştir.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar