Fourier optiği - Fourier optics

Fourier optiği , dikkate alınan dalga formunun düzlem dalgaların bir kombinasyonundan veya süperpozisyonundan oluştuğu kabul edilen Fourier dönüşümlerini (FT'ler) kullanan klasik optik çalışmasıdır . Dalga cephesinin, toplamı incelenen dalga cephesi olan küresel dalga cephelerinin (faz cepheleri olarak da adlandırılır) bir kombinasyonundan oluştuğu kabul edilen Huygens-Fresnel ilkesiyle bazı paralellikleri vardır . Önemli bir fark, Fourier optiğinin, küresel dalgaların fiziksel ortamda kaynaklandığı Huygens-Fresnel'in aksine, düzlem dalgaları yayılma ortamının doğal modları olarak kabul etmesidir.

Bu "doğal modlardan" sonsuz sayıda, yani uzayda farklı yönlere yönlendirilmiş düzlem dalga faz cephelerinden bir eğri faz cephesi sentezlenebilir. Kaynaklarından uzakta, genişleyen küresel bir dalga, radyal yayılma yönüne çapraz olan düzlemsel bir faz cephesine (sonsuz spektrumdan tek bir düzlem dalga) yerel olarak teğettir. Bu durumda, tek bir küresel dalga fazı merkezinden yayılan bir Fraunhofer kırınım modeli oluşturulur. Yakın alanda, iyi tanımlanmış tek bir küresel dalga faz merkezi yoktur, bu nedenle dalga cephesi küresel bir topa yerel olarak teğet değildir. Bu durumda, genişletilmiş bir dalgadan yayılan bir Fresnel kırınım deseni oluşturulacaktır.Uzayda (fiziksel olarak tanımlanabilir) küresel dalga kaynaklarının dağılımından oluşan kaynak. Yakın alanda, Fresnel yakın alan dalgasını yerel olarak bile temsil etmek için tam bir düzlem dalga spektrumu gereklidir . İleriye doğru hareket eden bir "geniş" dalga (kıyıya doğru gelen genişleyen bir okyanus dalgası gibi) sonsuz sayıda " düzlem dalga modu " olarak kabul edilebilir , bunların hepsi (yolda bir şeyle çarpıştıklarında) birinden bağımsız olarak saçılabilir. başka. Bu matematiksel basitleştirmeler ve hesaplamalar, Fourier analizi ve sentezinin alanıdır - birlikte, ışığın çeşitli yarıklardan, merceklerden veya aynalardan bir şekilde veya diğer şekilde kıvrıldığında veya tamamen veya kısmen yansıtıldığında ne olduğunu tanımlayabilirler.

Fourier optiği, görüntü işleme tekniklerinin arkasındaki teorinin çoğunu oluşturmanın yanı sıra, kuantum optiği gibi optik kaynaklardan bilginin çıkarılması gereken uygulamaları bulur . Geleneksel Fourier dönüşüm teorisinde kullanılan frekans ve zaman kavramına benzer şekilde biraz daha karmaşık bir şekilde ifade etmek gerekirse , Fourier optiği uzamsal frekans alanını ( k _x , k _y ) uzamsalın eşleniği olarak kullanır ( x , y ) etki alanı. Dönüşüm teorisi, spektrum, bant genişliği, pencere fonksiyonları ve tek boyutlu sinyal işlemeden örnekleme gibi terimler ve kavramlar yaygın olarak kullanılmaktadır.

Işığın homojen, kaynaksız ortamda yayılması

Işık, boş bir alan (vakum) veya maddi bir ortam (hava veya cam gibi) boyunca yayılan bir dalga formu olarak tanımlanabilir. Matematiksel olarak, bir dalgayı tanımlayan bir vektör alanının gerçek değerli bir bileşeni , hem uzaya hem de zamana bağlı olan bir skaler dalga fonksiyonu u ile temsil edilir :

${\displaystyle u=u(\mathbf {r} ,t)}$

nerede

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$

üç boyutlu uzayda bir konumu temsil eder ( burada Kartezyen koordinat sisteminde ) ve t zamanı temsil eder.

dalga denklemi

Fourier optiği homojen, skaler dalga denklemi ile başlar (kaynaksız bölgelerde geçerlidir):

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}} \right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$

burada bir hızı hafif ve u ( r , t ), a, gerçek değerli bir boş alan (örneğin, bir elektromanyetik dalganın Kartezyen bileşeni u ( r , t ) = E _i ( R , t ) için i = x , y , ya da z e _i olan i , bir elektrik alanı bileşeni -Axis E içinde Kartezyen koordinat sistemi ). ${\görüntüleme stili c}$

Sinüzoidal kararlı durum

Sabit bir ışık durumunda zaman içinde frekans / dalga boyu / renk (tek modlu bir lazerden gibi) olduğu varsayılır, daha sonra, bir kabul mühendislik zaman esası, temel açısal frekansta dalga Çözeltilerin zaman bağımlılığı ile burada bir zaman dalgaların periyodu , optik alanın zaman harmonik formu şu şekilde verilir: ${\görüntüleme stili e^{i\omega t}}$${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\görüntüleme stili f=1/\tau }$${\görüntüleme stili\tau }$

${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=\mathrm {Re} \left\{\psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\sağ\}}$.

nerede olduğu hayali birim , gerçek katılan operatörüdür , ${\görüntüleme stili ben}$${\displaystyle \mathrm {Re} \sol\{x\sağ\}}$${\görüntüleme stili x}$

${\displaystyle \omega =2\pi f}$

ışık dalgalarının açısal frekansıdır (birim zamandaki radyan cinsinden) ve

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=a(\mathbf {r} )e^{i\phi (\mathbf {r} )}}$

genel olarak, negatif olmayan gerçek sayı ve fazda ayrı genliğe sahip karmaşık bir niceliktir . ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili\phi }$

Helmholtz denklemi

Bu ifadeyi yukarıdaki skaler dalga denkleminde yerine koymak, dalga denkleminin zamandan bağımsız formunu verir,

${\displaystyle \mathrm {Re} \left\{\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )\right\}=0}$

nerede

${\displaystyle k={\omega \c}={2\pi \over\lambda }}$

boşlukta dalga boyu ile, dalga sayısıdır (yayılma sabiti olarak da adlandırılır), bir elektromanyetik dalganın karmaşık değerli Kartezyen bileşeninin uzamsal kısmıdır . Yayılma sabiti ve açısal frekansın , homojen ortamdaki enine elektromanyetik (TEM) dalgaların tipik bir özelliği olan, birbiriyle doğrusal olarak ilişkili olduğuna dikkat edin. ${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$${\görüntüleme stili k}$${\ Displaystyle \ omega }$

Skaler dalga denkleminin orijinal olarak istenen gerçek değerli çözümü , 'nin gerçek kısmı alınarak kolayca elde edilebildiğinden, Helmholtz denklemi olarak bilinen aşağıdaki denklemi çözmek , çoğunlukla karmaşık değerli bir fonksiyonu ele almaktan çok daha kolay olduğu için ilgilenir. karşılık gelen gerçek değerli fonksiyonun işlenmesi. ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\sağ)\psi (\mathbf {r} )=0}$.

Helmholtz denklemini çözme

Kartezyen koordinat sistemindeki Helmholtz denkleminin çözümleri, kısmi diferansiyel denklemler için değişkenlerin ayrılması ilkesi aracılığıyla kolaylıkla bulunabilir . Bu ilke, ayrılabilir ortogonal koordinatlarda , bu dalga denkleminin temel bir ürün çözümünün aşağıdaki biçimde oluşturulabileceğini söyler :

${\displaystyle \psi (x,y,z)=f_{x}(x)\kez f_{y}(y)\kez f_{z}(z)}$

yani, x'in bir fonksiyonunun çarpımı , çarpı y'nin bir fonksiyonu, çarpı z'nin bir fonksiyonu olarak . Bu temel ürün çözümü , Kartezyen koordinat sistemindeki skaler Laplacian kullanılarak dalga denkleminde ikame edilirse

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{ \partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}}$

, daha sonra 3 ayrı fonksiyon için aşağıdaki denklem elde edilir

${\displaystyle f''_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f''_{y}(y)f_{z}( z)+f_{x}(x)f_{y}(y)f''_{z}(z)+k^{2}f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z }(z)=0\,}$

hangi formda kolayca yeniden düzenlenir:

${\displaystyle {\frac {f''_{x}(x)}{f_{x}(x)}}+{\frac {f''_{y}(y)}{f_{y}( y)}}+{\frac {f''_{z}(z)}{f_{z}(z)}}+k^{2}=0}$

Şimdi, yukarıdaki denklemdeki her bölümün zorunlu olarak sabit olması gerektiği tartışılabilir. Bunu doğrulamak için, birinci bölümün bir sabit olmadığını ve x'in bir fonksiyonu olduğunu varsayalım . Denklemdeki diğer terimlerin hiçbiri x değişkenine bağımlı olmadığı için, ilk terimin de herhangi bir x bağımlılığı olmamalıdır ; bir sabit olmalıdır. (Eğer birinci terim x'in bir fonksiyonuysa, bu denklemin sol tarafını sıfır yapmanın bir yolu yoktur.) Bu sabit - k _x ² olarak gösterilir . y ve z bölümleri için benzer şekilde akıl yürüterek, bir ayırma koşuluyla birlikte f _x , f _y ve f _z için üç adi diferansiyel denklem elde edilir :

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f_{x}(x)+k_{x}^{2}f_{x}(x)=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}f_{y}(y)+k_{y}^{2}f_{y}(y)=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dz^{2}}}f_{z}(z)+k_{z}^{2}f_{z}(z)=0}$

${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$

Bu 3 diferansiyel denklemin her biri aynı çözüm biçimine sahiptir: sinüsler, kosinüsler veya karmaşık üsteller. Karmaşık bir fonksiyon olarak karmaşık üstel ile gideceğiz . Bunun bir sonucu olarak, basit bir ürün çözeltisi bir ${\görüntüleme stili \psi (x,y,z)}$${\görüntüleme stili \psi (x,y,z)}$

${\displaystyle \psi (x,y,z)=Ae^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}e^{ik_{z}z}}$

${\displaystyle =Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ik_{z}z}}$

${\displaystyle =Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{\pm iz{\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y }^{2}}}}}$

genellikle karmaşık bir sayı ile . Bu çözüm, yayılan bir düzlem dalgasının karmaşık değerli bir Kartezyen bileşeninin (örneğin , , veya Kartezyen koordinat sistemindeki her eksen boyunca elektrik alan bileşeni olarak) uzaysal kısmıdır . ( , , veya ) burada gerçek bir sayıdır, çünkü kaynaksız bir ortamdaki dalgalar, ortamda yayılırken her bir düzlem dalganın bozulmadığı veya amplifiye edilmediği varsayıldığından. Bir dalga vektöründeki ( , , veya )' nin negatif işareti (burada ), dalga yayılma yönü vektörünün bir pozitif ( , , veya )-bileşenine sahip olduğu anlamına gelirken, pozitif işareti bir negatif ( , , veya )-bileşeni anlamına gelir . o vektör. ${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle E_{x}}$${\ Displaystyle E_{y}}$${\displaystyle E_{z}}$${\görüntüleme stili k_{i}}$${\görüntüleme stili i=x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili z}$${\görüntüleme stili k_{i}}$${\görüntüleme stili i=x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili z}$${\displaystyle {\vec {k}}=k_{x}{\widehat {x}}+k_{y}{\widehat {y}}+k_{z}{\widehat {z}}}$${\displaystyle \left\vert {\vec {k}}\right\vert =k={\omega \overc}={2\pi \over\lambda }}$${\görüntüleme stili ben}$${\görüntüleme stili i=x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili z}$${\görüntüleme stili k_{i}}$${\görüntüleme stili ben}$${\görüntüleme stili i=x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili z}$

Helmholtz denklemi Ürün çözeltileri de kolaylıkla elde edilmektedir , silindirik ve küresel koordinatlar veren, silindirik ve küresel harmonik (kalan ayrılabilir koordinat sistemleri sıklıkla daha az kullanılması ile).

Tam çözüm: süperpozisyon integrali

Sabit bir zaman frekansı homojen elektromanyetik dalga denklemine genel bir çözüm olarak Kartezyen koordinat sisteminin tüm olası temel düzlem dalgası çözümleri ağırlıklı süperpozisyonu olarak oluşturulabilir ${\görüntüleme stili f}$

${\displaystyle \psi (x,y,z)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{ x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~e^{\pm iz{\sqrt {k^{2}-k_{x}^{ 2}-k_{y}^{2}}}~dk_{x}dk_{y}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2.1)}$

kısıtlamaları ile , her biri gerçek bir sayı olarak ve nerede . ${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$${\görüntüleme stili k_{i}}$${\displaystyle k={\omega \c}={2\pi \over\lambda }}$${\displaystyle \omega =2\pi f}$

Sonra, izin ver

${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\psi (x,y,z)|_{z=0}}$.

Sonra:

${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}( k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$

Genel bir elektromanyetik alanın (örneğin küresel bir dalga) bu düzlem dalga spektrumu temsili, Fourier optiğinin temel temelidir (bu nokta yeterince güçlü bir şekilde vurgulanamaz), çünkü z = 0 olduğunda , yukarıdaki denklem basitçe bir Fourier dönüşümü (FT) olur. ) alan ve düzlem dalga içeriği arasındaki ilişki (dolayısıyla "Fourier optiği" adı).

Böylece:

${\displaystyle \Psi _{0}(k_{x},k_{y})={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)\}}$

ve

${\displaystyle \psi _{0}(x,y)={\matematiksel {F}}^{-1}\{\Psi _{0}(k_{x},k_{y})\}}$

Her bir düzlem dalga bileşeninin tüm uzaysal bağımlılığı, bir üstel fonksiyon ile açık bir şekilde tanımlanır. Üstel katsayısı, her bir düzlem dalga için dalga vektörünün sadece iki bileşeninin bir fonksiyonudur (çünkü kalan diğer bileşen yukarıda belirtilen kısıtlamalar yoluyla belirlenebilir), örneğin ve , tıpkı sıradan Fourier analizi ve Fourier dönüşümlerinde olduğu gibi . ${\görüntüleme stili k_{x}}$${\görüntüleme stili k_{y}}$

Fourier optiği ve görüntüleme çözünürlüğü arasındaki bağlantı

Z ekseninin sistemin optik ekseni olduğu ve nesne düzleminin (sistemin görüntü düzleminde görüntülenecek) 'deki düzlem olduğu bir görüntüleme sistemi düşünelim . Nesne düzlemi üzerinde, bir mekansal bölüm karmaşık-değerli bir dalganın kartezyen bileşeni olarak, yukarıda gösterilen ile kısıtlar arasında , her biri bir gerçek sayı ve şekilde burada . Görüntüleme, nesne düzleminde (görüntülenecek nesne düzlemindeki bir desen hakkında bilgi sahibi olan) bir dalganın, nesneden görüntü düzlemlerine doğru dalga yayılımı yoluyla görüntü düzleminde yeniden oluşturulmasıdır, (Örneğin, görüntüleme hakkında düşünün). bir hava alanı. bir görüntü) ve nesne düzleminde dalga, bu tamamen tarif edilen, prensip olarak, model, görüntülenecek aşağıdaki serbest Fourier dönüşümü ters burada gerçek sayılar sonsuz sayıda alır. Bunun anlamı, belirli bir ışık frekansı için, yukarıda belirtilen kısıtlamalar nedeniyle, modelin tam özelliğinin yalnızca bir bölümünün görüntülenebileceği anlamına gelir ; (1) Ters Fourier dönüşümünde temsili uzamsal frekanslar gerektiren , enine dalga sayılarının tatmin edici olduğu ince bir özellik , verilen ışık için böyle dalgalar mevcut olmadığından tam olarak görüntülenemez (Bu fenomen kırınım sınırı olarak bilinir. .), ve (2) optik eksene göre çok daha yüksek dalga çıkış açılarına sahip ancak buna yakın uzaysal frekanslar , pahalı ve inşa edilmesi zor olan yüksek bir NA ( Sayısal Açıklık ) görüntüleme sistemi gerektirir. (1), kompleks değerli uzunlamasına dalga sayıları bile için (genellikle bir katı madde olan hafif ve nesne düzlemi deseni arasında bilinmeyen bir etkileşim yoluyla) kullanılabilir, boyunca ışık çürümeye yol boyunca (her eksen Işık amplifikasyon ekseni değil nesne ve görüntü düzlemleri arasında amplifikasyon malzemesi yoksa fiziksel olarak anlamlıdır ve bu olağan bir durumdur.) bu nedenle, bu tür dalgalar genellikle nesne düzleminden yeterince uzakta olan görüntü düzlemine ulaşmayabilir. ${\ Displaystyle \ Displaystyle z=0}$${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}( k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$${\görüntüleme stili k_{i}}$${\displaystyle k={\omega \c}={2\pi \over\lambda }}$${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle \psi _{0,unc}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0 }(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$${\görüntüleme stili k_{i}}$${\görüntüleme stili k_{i}}$${\displaystyle {\frac {\displaystyle k_{T}}{2\pi }}}$${\görüntüleme stili\görüntüleme stili k_{T}}$${\displaystyle \displaystyle k_{T}^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\geq k^{2}}$${\görüntüleme stili\görüntüleme stili k_{T}}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili k_{T}<k}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili k_{z}}$${\görüntüleme stili k_{z}}$${\görüntüleme stili z}$${\görüntüleme stili z}$${\görüntüleme stili k_{z}}$

Elektronik bileşenlerin fotolitografisi ile bağlantılı olarak , bunlar (1) ve (2) , entegre devrelerin daha ince özelliklerini görüntülemek için daha yüksek frekanslı ışığın (daha küçük dalga boyu, dolayısıyla daha büyük büyüklük ) veya daha yüksek bir NA görüntüleme sisteminin gerekli olmasının nedenleridir . bir gofret üzerinde bir fotorezist . Sonuç olarak, böyle bir optik litografiyi gerçekleştiren makineler giderek daha karmaşık ve pahalı hale geldi ve elektronik bileşen üretiminin maliyetini önemli ölçüde artırdı. ${\görüntüleme stili k}$

paraaksiyel yaklaşım

Paraaksiyel dalga yayılımı (optik eksen z ekseni olarak kabul edilir)

Tek bir frekans dalgasının karmaşık değerli Kartezyen bileşeninin uzaysal kısmı olarak Helmholtz denkleminin bir çözümünün şu şekilde olduğu varsayılır:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

burada bir dalga vektörü ve ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =k_{x}\mathbf {x} +k_{y}\mathbf {y} +k_{z}\mathbf {z} }$

ve

${\displaystyle k=\|\mathbf {k} \|={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\ omega \ üzerinde c}}$

dalga sayısıdır. Daha sonra, kullanma paraksiyal yaklaşım , bu ise küçük açı yaklaşımı şekilde

${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\ll k_{z}^{2}}$

yani, trigonometrik fonksiyonların ikinci dereceden yaklaşıklığına kadar (yani, her trigonometrik fonksiyonun Taylor serisi açılımında sadece ikinci terime kadar ),

${\ Displaystyle \sin \ teta \ yaklaşık \ teta }$

${\ Displaystyle \ tan \ teta \ yaklaşık \ teta }$

${\displaystyle \cos \teta \yaklaşık 1-\teta ^{2}/2}$

burada dalga vektörü arasındaki (radyan cinsinden) açısının bir k ve tartışılan bir optik sistemin optik eksenine olarak z ekseni. ${\görüntüleme stili \teta}$

Sonuç olarak,

${\displaystyle k_{z}=k\cos \theta \yaklaşık k(1-\theta ^{2}/2)}$

ve

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\yaklaşık A(\mathbf {r} )e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ikz\theta ^{2 }/2}e^{-ikz}}$

paraaksiyel dalga denklemi

Bu ifadeyi Helmholtz denkleminde yerine koyarak, eksenel dalga denklemi türetilir:

${\displaystyle \nabla _{T}^{2}A-2ik{\partial A \over \partial z}=0}$

nerede

${\displaystyle \nabla _{T}^{2}=\nabla ^{2}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}}$

enine Laplace operatörü olarak kartezyen koordinat sisteminde . Eksenel dalga denkleminin türetilmesinde aşağıdaki yaklaşımlar kullanılır.

• ${\görüntüleme stili \teta}$küçüktür ( ) bu nedenle ile bir terim yok sayılır.${\ Displaystyle \ theta \ll 1}$${\ Displaystyle \ theta ^{2}}$
• İle Şartlar ve bir dönem çok daha küçük olan (veya bu iki terim göz ardı edilir böylece).${\ Displaystyle 2k_{x}}$${\ Displaystyle 2k_{y}}$${\ ekran stili 2k}$${\ Displaystyle 2k_{z}}$
• ${\displaystyle \left\vert {\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{z}^{2}}}}A(\mathbf {r} )\right\vert \ll \left \vert k{\frac {\kısmi }{\partial {z}}}A(\mathbf {r} )\sağ\vert }$yani ile bir terim yok sayılır. Bu ise yavaş değişen zarf yaklaşımı , bir dalganın genliği ya da zarf aracı yavaş dalga önemli bir süre ile karşılaştırıldığında farklılaşan bir .${\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{z}^{2}}}}A(\mathbf {r} )}$${\ Displaystyle A(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}}$

Uzak alan yaklaşımı

(Kullanarak uzak alanda asimptotik değerlendirilebilir yukarıdaki denklem durağan faz yöntemi ) uzak bir noktada alanı (olduğunu göstermek için x , y , z () nedeniyle sadece düzlem dalgası komponenti gerçekten de k _X , k, _y , k _z yayılır vektörü (paralel) x , y , z olan düzlem (en phasefront teğet olduğu) ve x , y , z ). Bu sürecin matematiksel detayları Scott [1998] veya Scott [1990]'da bulunabilir. Yukarıdaki ifade üzerinde durağan bir faz integrasyonu gerçekleştirmenin sonucu aşağıdaki ifadedir,

${\displaystyle E_{u}(r,\theta ,\phi )~=~2\pi i~(k~\cos \theta )~{\frac {e^{-ikr}}{r}}~E_ {u}(k~\sin \theta ~\cos \phi ,k~\sin \theta ~\sin \phi )~~~~~~~~~~~~(2.2)}$

bu, (x,y,z) noktasındaki alanın (x,y,z) yönündeki spektral bileşenle doğru orantılı olduğunu açıkça gösterir, burada,

${\displaystyle x=r~\sin \theta ~\cos \phi }$

${\displaystyle y=r~\sin \theta ~\sin \phi }$

${\displaystyle z=r~\cos \theta ~}$

ve

${\displaystyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$

${\displaystyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$

${\displaystyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

Başka bir deyişle, herhangi bir düzlemsel alan dağılımının radyasyon modeli, o kaynak dağılımının FT'sidir (bkz. Huygens-Fresnel ilkesi , burada aynı denklem bir Green fonksiyonu yaklaşımı kullanılarak geliştirilir ). Bunun bir düzlem dalga OLMADIĞINI unutmayın. Yerel genliği o kadar alan açısında kaynak düzlem dağılımının FT - her ikisi de büyüklük ve faz - radyal bağımlı bir küresel bir dalgadır. Düzlem dalga spektrumunun, alanın uzak mesafeler için bir düzlem dalga gibi davrandığını söylemekle hiçbir ilgisi yoktur. ${\displaystyle {\frac {e^{-ikr}}{r}}}$

Mekansal ve açısal bant genişliği

Yukarıdaki denklem (2.2) , uzak alanda uzamsal bant genişliği (bir yandan) ve açısal bant genişliği (diğer yandan) arasında bağlantı kurmak için kritik öneme sahiptir . "Uzak alan" teriminin genellikle, oldukça iyi tanımlanmış bir faz merkezi ile yakınsayan veya uzaklaşan küresel bir dalgadan bahsettiğimiz anlamına geldiğini unutmayın. Uzak alandaki uzamsal ve açısal bant genişliği arasındaki bağlantı, ince lenslerin düşük geçiş filtreleme özelliğini anlamada esastır. Uzak alan bölgesini tanımlayan koşul için bölüm 5.1.3'e bakın.

Açısal bant genişliği kavramı bir kez anlaşıldığında, optik bilim adamı, yalnızca uzaysal alan veya ışın optiği değerlendirmeleri yoluyla normalde bu kadar kolay elde edilemeyecek olan içgörüleri hızla elde etmek için uzamsal ve spektral alanlar arasında "ileri geri atlayabilir". Örneğin, birinci merceğe kenar açısını geçen herhangi bir kaynak bant genişliği (bu kenar açısı optik sistemin bant genişliğini belirler) işlenecek sistem tarafından yakalanmayacaktır.

Bir yan not olarak, elektromanyetik bilimciler uzak bölge elektrik alanını hesaplamak için durağan faz entegrasyonunu içermeyen alternatif bir yol tasarladılar. Genellikle M ile gösterilen ve olarak tanımlanan "hayali manyetik akımlar" olarak bilinen bir kavram tasarladılar .

${\displaystyle ~~\mathbf {M} ~=~2\mathbf {E} ^{aper}~\times ~\mathbf {\hat {z}} }$.

Bu denklemde z yönündeki birim vektörün uzak alan hesaplamalarının yapılacağı yarı uzayı gösterdiği varsayılır. Bu eşdeğer manyetik akımlar, sonsuz düzlemsel bir arayüz durumunda, herhangi bir elektrik akımının, J'nin "görüntülenmesine" izin veren eşdeğerlik ilkeleri kullanılarak elde edilirken, hayali manyetik akımlar, açıklık elektrik alanının iki katından elde edilir (bkz. Scott [1998] ]). Daha sonra yayılan elektrik alanı, bir elektrik akımı tarafından yayılan manyetik alan denklemine benzer bir denklem kullanılarak manyetik akımlardan hesaplanır. Bu şekilde, yayılan elektrik alanı için açıklık elektrik alanı cinsinden bir vektör denklemi elde edilir ve türetme durağan faz fikirlerinin kullanılmasını gerektirmez.

Düzlem dalga spektrumu: Fourier optiğinin temeli

Fourier optiği, kameralar, teleskoplar ve mikroskoplar gibi odaklanmış görüntüleme sistemlerinin analizinde ve tasarımında tipik olarak kullanılan sıradan ışın optiğinden biraz farklıdır. Işın optiği, çoğumuzun hayatımızda karşılaştığı ilk optik türüdür; kavramsallaştırması ve anlaması kolaydır ve yaygın optik cihazlar hakkında temel bir anlayış kazanmada çok iyi çalışır. Ne yazık ki ışın optiği, genel olarak odaklanmış sistemler olmayan Fourier optik sistemlerinin işleyişini açıklamaz. Işın optiği, dalga optiğinin bir alt kümesidir (jargonda, dalga optiğinin "asimptotik sıfır dalga boyu sınırı"dır) ve bu nedenle sınırlı uygulanabilirliği vardır. Ne zaman geçerli olduğunu ve ne zaman olmadığını bilmeliyiz - ve bu, geçerli olmadığı zamanlardan biridir. Mevcut görevimiz için, optik alanın Maxwell denklemlerinin bir çözümü olarak görüldüğü dalga optiklerini kapsayacak şekilde optik fenomen anlayışımızı genişletmeliyiz. Bu daha genel dalga optiği , Fourier optik cihazlarının çalışmasını doğru bir şekilde açıklar.

Bu bölümde, Maxwell denklemlerine geri dönmeyeceğiz, bunun yerine, Maxwell denklemlerinden bir üst seviye olan homojen Helmholtz denklemi (kaynaksız ortamda geçerlidir) ile başlayacağız (Scott [1998]). ). Bu denklemden, sonsuz düzgün düzlem dalgaların, boş uzayda (birçok olası çözümden) bir alan çözümünü nasıl oluşturduğunu göstereceğiz. Bu düzgün düzlem dalgalar, Fourier optiğinin anlaşılmasının temelini oluşturur.

Düzlem dalgası spektrum kavramı Fourier optik temel temelidir. Düzlem dalga spektrumu, düzgün düzlem dalgaların sürekli bir spektrumudur ve uzak alan faz cephesindeki her teğet nokta için spektrumda bir düzlem dalga bileşeni vardır. Bu düzlem dalga bileşeninin genliği, o teğet noktasındaki optik alanın genliği olacaktır. Yine, bu sadece uzak alanda doğrudur ve şu şekilde tanımlanır: Aralık = 2 D ² / λ burada D optik kaynakların maksimum doğrusal kapsamı ve λ dalga boyudur (Scott [1998]). Düzlem dalga spektrumu genellikle belirli periyodik ızgara türleri için ayrık olarak kabul edilir, ancak gerçekte ızgaralardan gelen spektrumlar da süreklidir, çünkü hiçbir fiziksel cihaz gerçek bir çizgi spektrumu üretmek için gereken sonsuz genişliğe sahip olamaz.

Elektrik sinyallerinde olduğu gibi, bant genişliği bir görüntünün ne kadar ince detaylı olduğunun bir ölçüsüdür; ayrıntı ne kadar ince olursa, onu temsil etmek için gereken bant genişliği o kadar büyük olur. Bir DC elektrik sinyali sabittir ve salınımı yoktur; optik ( ) eksene paralel yayılan bir düzlem dalga , herhangi bir x - y düzleminde sabit değere sahiptir ve bu nedenle bir elektrik sinyalinin (sabit) DC bileşenine benzer. Elektrik sinyallerindeki bant genişliği, sinyalin spektrumunda bulunan en yüksek ve en düşük frekanslar arasındaki farkla ilgilidir. İçin optik sistemler, bant genişliği de uzamsal frekans içeriği (mekansal bant genişliği) ile ilgilidir, ama aynı zamanda ikinci bir anlama sahiptir. Aynı zamanda, karşılık gelen düzlem dalgalarının optik eksenden ne kadar uzakta eğildiğini de ölçer ve bu nedenle bu tür bant genişliğine genellikle açısal bant genişliği de denir. Bir elektrik devresinde kısa bir darbe üretmek için daha fazla frekans bant genişliği ve bir optik sistemde keskin bir nokta oluşturmak için daha fazla açısal (veya uzaysal frekans) bant genişliği gerekir (bkz. Nokta yayma işlevi ile ilgili tartışma ). ${\görüntüleme stili z}$

Dalga spektrum gibi doğal olarak ortaya çıkan öz fonksiyon homojen ya da "doğal modu" çözelti elektromanyetik dalga denklemi Dikdörtgen bölgede (bakınız ayrıca Elektromanyetik radyasyon kaynağı içermeyen ortam Maxwell denklemlerinin Dalga denklemi elde, veya Scott [1998]) . Olarak , frekans alanında bir varsayılan bir zaman esası ile , homojen bir elektromanyetik dalga denklemi olarak da bilinir Helmholtz denklemi ve şeklini alır: ${\görüntüleme stili e^{i\omega t}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}E_{u}+k^{2}E_{u}=0~~~~~~~~~~~~~~~(2.0)}$

burada u = x , y , z ve k = 2π/λ ortamın dalga sayısıdır .

Özfonksiyon (doğal mod) çözümleri: arka plan ve genel bakış

Diferansiyel denklemler durumunda, matris denklemlerinde olduğu gibi, bir denklemin sağ tarafı sıfır olduğunda (yani, zorlama fonksiyonu / zorlama vektörü sıfırdır), denklem yine de önemsiz olmayan bir çözüm kabul edebilir, uygulamalı matematikte özfonksiyon çözümü, fizikte "doğal mod" çözümü ve elektrik devresi teorisinde "sıfır giriş yanıtı" olarak bilinir . Bu, çok çeşitli fiziksel disiplinleri kapsayan bir kavramdır. Rezonans doğal modlarının yaygın fiziksel örnekleri, yaylı çalgıların (1D), vurmalı çalgıların (2D) veya eski Tacoma Narrows Bridge'in (3D) rezonans titreşim modlarını içerir . Yayılan doğal modların örnekleri arasında dalga kılavuzu modları, optik fiber modları, solitonlar ve Bloch dalgaları yer alır . Sonsuz homojen ortamlar, incelenen koordinat sistemine bağlı olarak, Helmholtz denkleminin dikdörtgen, dairesel ve küresel harmonik çözümlerini kabul eder. Bu makalede inceleyeceğimiz yayılan düzlem dalgalar, belki de herhangi bir ortam türünde bulunan en basit yayılan dalga türüdür.

Yukarıda yazılabilecek olan Helmholtz denklemi (2.0) arasında çarpıcı bir benzerlik vardır.

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})~f=0,}$

ve bir kare matrisin özdeğerleri/özvektörleri için genel denklem , A ,

${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )~\mathbf {x} =0}$ ,

özellikle hem skaler Laplacian hem de matris A , ilgili fonksiyon/vektör uzayları üzerinde lineer operatörler olduğundan (ikinci denklemdeki eksi işareti, tüm niyet ve amaçlar için önemsizdir; ancak birinci denklemdeki artı işareti önemlidir) ). Sırasıyla bu iki denklemin hem özfonksiyonu hem de özvektör çözümlerinin, genellikle, göz önünde bulundurulan fonksiyon/vektör uzaylarını kapsayan (yani, için bir temel set oluşturan) bir ortogonal fonksiyonlar/vektörler seti verdiğini belirtmekte fayda var. İlgili okuyucu, Legendre polinomları , Chebyshev polinomları ve Hermite polinomları gibi farklı türde ortogonal özfonksiyonlara yol açan diğer fonksiyonel lineer operatörleri araştırabilir . ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Matris durumunda özdeğerler , matrisin determinantını sıfıra eşitleyerek, yani matrisin tersinin olmadığı yeri bularak bulunabilir. Sonlu matrislerin yalnızca sınırlı sayıda özdeğeri/özvektörü vardır, oysa lineer operatörler sınırsız sayıda özdeğere/özfonksiyona (sınırlı bölgelerde) veya sınırsız bölgelerde olduğu gibi sayılamayan sonsuz (sürekli) çözüm spektrumlarına sahip olabilir. ${\ Displaystyle \ lambda }$

Periyodik bir hacimdeki bantların hesaplanması gibi belirli fizik uygulamalarında , genellikle bir matrisin öğelerinin çok karmaşık frekans ve dalga sayısı fonksiyonları olması ve matrisin çoğu frekans kombinasyonu için tekil olmaması durumudur. ve dalga sayısı, ancak belirli belirli kombinasyonlar için de tekil olacaktır. Hangi frekans ve dalga sayısı kombinasyonlarının matrisin determinantını sıfıra götürdüğünü bularak, ortamın yayılma özellikleri belirlenebilir. Frekans ve dalga sayısı arasındaki bu tür ilişkiler dağılım ilişkileri olarak bilinir ve bazı fiziksel sistemler birçok farklı türde dağılım ilişkisini kabul edebilir. Elektromanyetiklerden bir örnek, her biri benzersiz bir dalga kılavuzu modu ile ilişkili çok sayıda dağılım ilişkisini kabul edebilen sıradan dalga kılavuzudur. Dalga kılavuzunun her yayılma modu, dalga kılavuzundaki Maxwell denklemlerine bir özfonksiyon çözümü (veya öz mod çözümü) olarak bilinir . Boş alan aynı zamanda öz mod (doğal mod) çözümlerini (daha yaygın olarak düzlem dalgalar olarak bilinir) kabul eder, ancak herhangi bir belirli frekans için boş alanın sürekli bir modal spektrumu kabul etmesi, dalga kılavuzlarının ayrı bir mod spektrumuna sahip olması farkıyla. Bu durumda dağılım ilişkisi bölüm 1.2'deki gibi doğrusaldır.

K-uzay

Ayrılma durumu,

${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$

Üç boyutlu konfigürasyon uzayında Öklid metriği denklemiyle özdeş olan bu denklem , dikdörtgen koordinatlarda (düzlem dalgaları yaymak için) tanımlanan üç boyutlu "k-uzayda" bir k-vektörü kavramını önerir :

${\displaystyle \mathbf {k} ~=~k_{x}\mathbf {\hat {x}} +k_{y}\mathbf {\hat {y}} +k_{z}\mathbf {\hat {z }} }$

ve , bilya koordinat sistemi olarak

${\displaystyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$

${\displaystyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$

${\displaystyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

Bir sonraki bölümde bu küresel koordinat sistemi bağıntılarından yararlanılacaktır.

K-uzay kavramı, özellikle kristalografi ve yarı iletken malzemelerin bant teorisi gibi periyodik hacimlerin incelenmesinde, mühendislik ve fizikteki birçok disiplinin merkezinde yer alır.

İki boyutlu Fourier dönüşümü

Analiz Denklemi (fonksiyonun spektrumunun hesaplanması):

${\displaystyle U(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(x,y)e^ {-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy}$

Sentez Denklemi (fonksiyonun spektrumundan yeniden oluşturulması):

${\displaystyle u(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^ {\infty}U(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}}$

Not : Normalleştirme faktörü: açısal frekans (radyan) kullanıldığında mevcuttur, ancak normal frekans (döngüler) kullanıldığında yoktur. ${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{2}}}}$

Optik sistemler: Genel bakış ve elektriksel sinyal işleme sistemleriyle analoji

Bir optik sistem, bir giriş düzlemi ve çıkış düzleminden ve girişte oluşturulan f görüntüsünü çıkışta oluşturulan farklı bir g görüntüsüne dönüştüren bir dizi bileşenden oluşur. Çıkış görüntüsü, giriş görüntüsünü optik darbe yanıtı, h ( odaklanmış optik sistemler için nokta yayma işlevi olarak bilinir) ile birleştirerek giriş görüntüsüyle ilişkilidir . Darbe yanıtı, optik sistemin giriş-çıkış davranışını benzersiz bir şekilde tanımlar. Geleneksel olarak, sistemin optik ekseni z ekseni olarak alınır . Sonuç olarak, iki görüntü ve dürtü yanıtının tümü enine koordinatların, x ve y'nin işlevleridir .

${\görüntüleme stili g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)}$

Bir optik görüntüleme sisteminin dürtü yanıtı, giriş düzlemine (genellikle eksen üzerinde) ideal bir matematiksel nokta ışık kaynağı yerleştirildiğinde üretilen çıkış düzlemi alanıdır. Pratikte, kesin bir dürtü yanıtını belirlemek için ideal bir nokta kaynağına sahip olmak gerekli değildir. Bunun nedeni, sistemin bant genişliği dışında kalan herhangi bir kaynak bant genişliğinin hiçbir şekilde önemli olmayacağıdır (çünkü optik sistem tarafından bile yakalanamayacağından), bu nedenle darbe yanıtını belirlemede gerekli değildir. Kaynağın yalnızca en az optik sistem kadar (açısal) bant genişliğine sahip olması gerekir.

Optik sistemler tipik olarak iki farklı kategoriden birine girer. Birincisi, giriş düzleminin nesne düzlemi ve çıkış düzleminin görüntü düzlemi olarak adlandırıldığı, sıradan odaklı optik görüntüleme sistemidir. Görüntü düzlemindeki alanın, nesne düzlemindeki alanın yüksek kaliteli bir yeniden üretimi olması arzu edilir. Bu durumda, optik sistemin darbe yanıtının, giriş düzlemindeki darbenin konumuna karşılık gelen çıkış düzleminde aynı konumda (veya doğrusal olarak ölçeklenmiş bir konumda) bir 2D delta işlevine yaklaşması istenir. Gerçek dürtü yanıtı, tipik olarak benzer havadar fonksiyonu yarı çapı kullanılan ışığın dalga boyunun mertebesindedir. Bu durumda, nesne düzlemindeki matematiksel ışık noktası görüntü düzleminde bir Airy işlevine yayıldığından , dürtü yanıtı tipik olarak bir nokta yayılma işlevi olarak adlandırılır .

İkinci tip, giriş düzlemi alanındaki önemli bir özelliğin yerleştirileceği ve izole edileceği optik görüntü işleme sistemidir. Bu durumda, sistemin dürtü yanıtının, giriş düzlemi alanında aranan özelliğin yakın bir kopyası (resmi) olması istenir, böylece dürtü yanıtının bir konvolüsyonu (istenen özelliğin bir görüntüsü) olur. giriş düzlemine karşı alan, çıkış düzlemindeki özellik konumunda parlak bir nokta üretecektir. Bu bölümün konusu , bu son tip optik görüntü işleme sistemidir. Bölüm 5.2, bu bölümde açıklanan optik görüntü işleme işlemlerinin bir donanım uygulamasını sunar.

giriş düzlemi

Giriş düzlemi, z = 0 olacak şekilde tüm noktaların yeri olarak tanımlanır. Bu nedenle giriş görüntüsü f

${\displaystyle f(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=0}}$

Çıkış düzlemi

Çıkış düzlemi, z = d olacak şekilde tüm noktaların yeri olarak tanımlanır . Çıktı görüntüsü g bu nedenle

${\displaystyle g(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=d}}$

Giriş işlevinin dürtü yanıt işlevine karşı 2B evrişimi

${\görüntüleme stili g(x,y)~=~h(x,y)*f(x,y)}$

yani,

${\displaystyle g(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }h(x-x',y-y')~f (x',y')~dx'dy'~~~~~~(4.1)~}$

Dikkatli okuyucu, yukarıdaki integralin, dürtü yanıtının, giriş düzlemindeki ışık dürtüsünün konumunun (x',y') bir fonksiyonu OLMADIĞINI zımnen varsaydığına dikkat edecektir (eğer böyle olmasaydı, bu tür evrişim) mümkün olmazdı). Bu özellik, kaydırma değişmezliği olarak bilinir (Scott [1998]). Hiçbir optik sistem mükemmel kayma değişmezi değildir: ideal, matematiksel ışık noktası optik eksenden uzağa tarandığı için, sapmalar sonunda darbe yanıtını ( odaklanmış görüntüleme sistemlerinde koma olarak bilinir) bozar . Bununla birlikte, yüksek kaliteli optik sistemler genellikle giriş düzleminin belirli bölgeleri üzerinde "yeterince kayma değişmezidir", dürtü yanıtını yalnızca giriş ve çıkış düzlemi koordinatları arasındaki farkın bir fonksiyonu olarak kabul edebiliriz ve bu nedenle yukarıdaki denklemi dokunulmazlıkla kullanırız. .

Ayrıca, bu denklem birim büyütmeyi varsayar. Büyütme varsa, eqn. (4.1) olur

${\displaystyle g(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }h_{M}(x-Mx',y-My' )~f(x',y')~dx'dy'~~~~~~(4.2)~}$

temel olarak darbe yanıt fonksiyonunu, h _M (), x' den x=Mx' e çeviren . (4.2)'de, h _M (), benzer, büyütülmemiş bir sistemin dürtü yanıt fonksiyonunun h() büyütülmüş bir versiyonu olacaktır, böylece h _M (x,y) =h(x/M,y/M).

Evrişim denkleminin türetilmesi

Nedenselliğin zaman alanında var olduğu, ancak uzamsal alanda olmadığı farkı dışında, iki boyutun genişletilmesi önemsizdir . Nedensellik, t' zamanında uygulanan bir darbe nedeniyle bir elektrik sisteminin darbe tepkisinin h ( t - t'), t - t' < 0 olacak şekilde tüm t zamanları için zorunlu olarak sıfır olması gerektiği anlamına gelir.

Sistem yanıtının evrişim gösteriminin elde edilmesi, giriş sinyalinin , Dirac delta fonksiyonlarının kaydırma özelliğini kullanarak bir dürtü fonksiyonları dizisi üzerinde ağırlıklı bir süperpozisyon olarak temsil edilmesini gerektirir .

${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-t')f(t')dt'}$

Daha sonra, söz konusu sistemin lineer olduğu , yani iki farklı girdiden dolayı (muhtemelen iki farklı zamanda) sistemin çıktısının, sistemin iki girdiye olan bireysel çıktılarının toplamı olduğu varsayılır. bireysel olarak tanıtıldı. Bu nedenle optik sistem, doğrusal olmayan malzemeler veya aktif cihazlar (muhtemelen aşırı derecede doğrusal aktif cihazlar hariç) içermeyebilir. Tek bir delta fonksiyonu girişi için sistemin çıkışı, sistemin darbe yanıtı , h(t - t') olarak tanımlanır. Ve doğrusallık varsayımımızla (yani, sistemin bir darbe katarı girişine çıkışının, her bir darbeye bağlı çıkışların toplamı olduğu), şimdi genel giriş fonksiyonunun f ( t ) çıkışı ürettiğini söyleyebiliriz :

${\displaystyle g(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')f(t')dt'}$

burada h (t - t'), lineer sistemin t' zamanında uygulanan delta fonksiyon girişine δ(t - t') (impuls) yanıtıdır. Yukarıdaki evrişim denkleminin geldiği yer burasıdır. Evrişim denklemi yararlıdır, çünkü bir sistemin delta fonksiyonu girişine cevabını bulmak - ve daha sonra keyfi bir girişe cevabı bulmak için yukarıdaki evrişimi yapmak - cevabı bulmaya çalışmaktan çok daha kolaydır. doğrudan keyfi giriş. Ayrıca, dürtü yanıtı (zaman veya frekans alanlarında) genellikle sistemin ilgili değerlerine ilişkin fikir verir. Çoğu lens durumunda, nokta yayma işlevi (PSF), değerlendirme amaçları için oldukça yaygın bir değerdir.

Aynı mantık, Huygens-Fresnel ilkesi veya Stratton-Chu formülasyonu ile bağlantılı olarak kullanılır , burada "dürtü yanıtı" sistemin Green'in işlevi olarak adlandırılır . Dolayısıyla lineer bir optik sistemin uzaysal etki alanı işlemi bu şekilde Huygens-Fresnel ilkesine benzer.

Sistem aktarım işlevi

Yukarıdaki son denklem Fourier dönüştürülmüşse, şu hale gelir:

${\displaystyle G(\omega )~=~H(\omega )\cdot F(\omega )}$

nerede

${\ Displaystyle G(\omega )~}$ çıkış sinyalinin spektrumudur

${\ Displaystyle H(\omega )~}$ sistem transfer fonksiyonudur

${\ Displaystyle F(\omega )~}$ giriş sinyalinin spektrumu

Benzer şekilde, (4.1) Fourier'i verim için dönüştürülebilir:

${\displaystyle G(k_{x},k_{y})~=~H(k_{x},k_{y})\cdot F(k_{x},k_{y})}$

Sistem aktarım işlevi, . Optik görüntülemede bu fonksiyon daha çok optik transfer fonksiyonu (Goodman) olarak bilinir . ${\ Displaystyle H(\omega )}$

Abbe sinüs koşulu hakkındaki tartışmadan bir kez daha bu denklemin birim büyütmeyi varsaydığı belirtilebilir.

Bu denklem, Fourier dönüşümü, enine dalga sayıları olan düzlem dalganın katsayısı ile ilişkilendirildiğinde gerçek anlamını alır . Böylece, giriş düzlemi düzlem dalga spektrumu, sistem transfer fonksiyonunun çarpımsal eylemi yoluyla çıkış düzlemi düzlem dalga spektrumuna dönüştürülür. Düzlem dalga spektrumundaki önceki arka planın Fourier optik sistemlerinin kavramsallaştırılması için paha biçilmez hale geldiği bu anlama aşamasındadır. ${\görüntüleme stili ~G(k_{x},k_{y})}$${\görüntüleme stili ~(k_{x},k_{y})}$

Fourier optik ilkelerinin uygulamaları

Temeli klasik 4F işlemci olan optik bilgi işleme alanında Fourier optiği kullanılır.

Fourier dönüşümü bir özellikleri lens çok sayıda uygulamaları sunmak işleme optik sinyal gibi uzamsal filtreleme , optik korelasyon ve bilgisayar oluşturulan hologram .

Fourier optik teorisi interferometri , optik cımbız , atom tuzakları ve kuantum hesaplamada kullanılır . Fourier optiğinin kavramları , uzaysal frekans düzleminde ışık yoğunluğunun fazını yeniden yapılandırmak için kullanılır (bkz. uyarlamalı-toplamalı algoritma ).

Lenslerin Fourier dönüştürme özelliği

İletken bir nesne merceğin bir odak uzaklığına yerleştirilirse , Fourier dönüşümü merceğin arkasında bir odak uzaklığı oluşacaktır. Sağdaki şekli düşünün (büyütmek için tıklayın)

Bu şekilde soldan bir düzlem dalga olayı olduğu varsayılmaktadır. Ön odak düzlemindeki (yani Düzlem 1) geçirgenlik fonksiyonu, denklemin sol tarafında olduğu gibi , gelen düzlem dalgasını büyüklük ve fazda uzamsal olarak modüle eder . (2.1) ( z = 0 olarak belirtilir ) ve bunu yaparken, denklemin sağ tarafında olduğu gibi , geçirgenlik fonksiyonunun FT'sine karşılık gelen bir düzlem dalga spektrumu üretir . (2.1) ( z >0 için). Çeşitli düzlem dalga bileşenleri, merceğin optik eksenine (yani yatay eksene) göre farklı eğim açılarında yayılır. Saydamlıktaki özellikler ne kadar ince olursa, düzlem dalga spektrumunun açısal bant genişliği o kadar geniş olur. Optik eksene göre θ açısında yayılan böyle bir düzlem dalga bileşenini ele alacağız. θ'nin küçük olduğu varsayılır ( eksenel yaklaşım ), bu nedenle

${\displaystyle {\frac {k_{x}}{k}}=\sin \theta \simeq \theta}$

ve

${\displaystyle {\frac {k_{z}}{k}}=\cos \theta \simeq 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

ve

${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}\simeq {\frac {1}{1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}}\simeq 1+{\ frac {\theta ^{2}}{2}}}$

Şekilde, ön odak düzleminden mercek düzlemine yatay olarak hareket eden düzlem dalga fazı,

${\displaystyle e^{ikf\cos \theta}\,}$

ve mercekten arka odak düzlemindeki noktaya kadar olan küresel dalga fazı:

${\displaystyle e^{ikf/\cos \theta}\,}$

ve iki yol uzunlukları toplamıdır f (1 + θ ² - θ / 2 + 1 ² = 2/2) f , yani, bunun sabit bir değer paraksiyal düzlem dalgaları için eğim açıyla bağımsız. Ön odak düzlemindeki alanın her bir paraksiyal düzlem dalga bileşeni, ön odak düzlemindeki orijinal düzlem dalga bileşeninin yoğunluğuna ve fazına eşit bir yoğunluk ve faz ile arka odak düzleminde bir nokta yayılma fonksiyonu noktası olarak görünür . Başka bir deyişle, arka odak düzlemindeki alan, ön odak düzlemindeki alanın Fourier dönüşümüdür .

Tüm FT bileşenleri aynı anda - paralel olarak - ışık hızında hesaplanır. Örnek olarak, ışık kabaca 1 ft (0.30 m) hızla hareket eder. / ns, yani bir merceğin 1 ft (0,30 m) uzunluğu varsa. odak uzaklığı, tüm 2D FT yaklaşık 2 ns (2 x 10 ^-9 saniye) içinde hesaplanabilir . Odak uzaklığı 1 inç ise, zaman 200 ps'nin altındadır. Hiçbir elektronik bilgisayar bu tür sayılarla rekabet edemez veya belki de asla umamaz, ancak süper bilgisayarlar aslında optikten daha hızlı olduğunu kanıtlayabilir , ne kadar imkansız görünse de. Bununla birlikte, hızları, bireysel olarak hala optikten daha yavaş olan çok sayıda bilgisayarın birleştirilmesiyle elde edilir. Optik FT'nin dezavantajı, türetmenin gösterdiği gibi, FT ilişkisinin sadece eksenel düzlem dalgalar için geçerli olmasıdır, bu nedenle bu FT "bilgisayarı" doğal olarak bant sınırlıdır. Öte yandan, görünür ışığın dalga boyu, görüntüdeki en küçük görünür özellik boyutlarına göre bile çok küçük olduğundan, yani,

${\displaystyle k^{2}\gg k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}$

( görüntünün uzamsal bant genişliği içindeki tüm k _x , k _y için, böylece k _z neredeyse k 'ye eşittir ), paralel yaklaşım pratikte çok sınırlayıcı değildir. Ve elbette, bu bir analog - dijital değil - bir bilgisayar, dolayısıyla kesinlik sınırlıdır. Ayrıca, fazın çıkarılması zor olabilir; genellikle interferometrik olarak çıkarılır.

Optik işleme, özellikle örüntü tanıma ile ilgili olarak, büyük miktarda 2D verinin hızlı işlenmesinin gerekli olduğu gerçek zamanlı uygulamalarda özellikle yararlıdır.

Nesne kesme ve Gibbs fenomeni

Denklem'in sol tarafında gösterilen uzamsal olarak modüle edilmiş elektrik alanı. (2.1), tipik olarak x,y düzleminde yalnızca sonlu (genellikle dikdörtgen) bir açıklığı kaplar. Dikdörtgen açıklık işlevi, alanın bu 2B dikdörtgenin dışında sıfır olduğu varsayıldığında, 2B kare üst filtre gibi davranır. Denklemin sağ tarafında FT katsayılarını hesaplamak için uzaysal alan integralleri. (2.1) bu açıklığın sınırında kesilir. Bu adımın kesilmesi, denklemin RHS'si üzerindeki düzlem dalga katsayılarının hem teorik hesaplamalarında hem de ölçülen değerlerinde yanlışlıklara neden olabilir. (2.1).

Bir FT alanında bir fonksiyon kesintili olarak kesildiğinde, diğer FT alanında genişleme ve dalgalanma meydana gelir. Optik ile ilgili mükemmel bir örnek (dairesel bir düzenleme ile) bir ikinci dereceden lensin ilgili ekseni Düzlem dalgası aydınlatma, bir havadar fonksiyonu olan nokta dağılım fonksiyonu ile bağlantı içinde olan J ₁ ( x ) / x . Kelimenin tam anlamıyla, nokta kaynağı (dalgalanmalar eklenerek) "yayılmıştır" (dalgalanmalar eklenerek), Havadar nokta yayılma işlevini (merceğin sonlu açıklığı tarafından düzlem dalga spektrumunun kesilmesinin bir sonucu olarak) oluşturur. Bu hata kaynağı Gibbs fenomeni olarak bilinir ve tüm önemli içeriğin şeffaflığın merkezine yakın olmasını sağlayarak veya alanı çerçeve sınırlarında sıfıra düzgün bir şekilde daraltan pencere işlevlerinin kullanılmasıyla hafifletilebilir . Evrişim teoremi ile, keyfi bir şeffaflık fonksiyonunun FT'si - bir açıklık fonksiyonu ile çarpılır (veya kesilir) - açıklık fonksiyonunun FT'sine karşı evrilen, kesilmemiş şeffaflık fonksiyonunun FT'sine eşittir, bu durumda bu spektral alanda "Yeşiller işlevi" veya "dürtü yanıt işlevi" türü. Bu nedenle, dairesel bir merceğin görüntüsü, Airy işlevine karşı kıvrılmış nesne düzlemi işlevine eşittir (dairesel bir açıklık fonksiyonunun FT'si J ₁ ( x )/ x'dir ve dikdörtgen bir açıklık fonksiyonunun FT'si, sinc fonksiyonlarının bir ürünüdür) , günah x / x ).

Fourier analizi ve fonksiyonel ayrıştırma

Girdi saydamlığı x - y düzleminin (Düzlem 1) yalnızca sonlu bir bölümünü işgal etse de , düzlem dalga spektrumunu oluşturan tek biçimli düzlem dalgalar tüm x - y düzlemini kaplar , bu nedenle (bu amaç için) yalnızca boyuna düzlemi dalga fazı ( z yönünde, Düzlem 1'den Düzlem 2'ye) dikkate alınmalıdır, z yönüne çapraz faz değil . Saydamlığın sonlu açıklığından yayılan bir düzlem dalganın yataydan çok uzağa eğilmesi durumunda, bir şekilde merceği tamamen "özleyeceğini" düşünmek elbette çok cezbedicidir, ancak tekdüze düzlem dalga sonsuzca uzağa uzandığı için tekrar. enine ( x - y ) düzlemdeki tüm yönlerde , düzlemsel dalga bileşenleri merceği kaçıramaz.

Bu sorun, belki de Fourier analizindeki baskın zorluğu, yani sonlu bir destek (yani, kendi sonlu açıklığı üzerinden) üzerinde tanımlanan girdi düzlemi fonksiyonunun, sonsuz desteğe ( i . , e ., bunlar, tüm sonsuz üzerinden tanımlanır x - y düzlemi). Bu, hesaplama açısından inanılmaz derecede verimsizdir ve dalgacıkların tasarlanmasının temel nedenidir , yani bir fonksiyonu (sonlu bir aralık veya alanda tanımlanmış) aynı zamanda sonlu aralıklar veya alanlar üzerinde tanımlanan salınım fonksiyonları cinsinden temsil etmektir. Bu nedenle, tüm görüntünün frekans içeriğini bir kerede almak yerine ( görüntünün üzerinde sıfır değerine sahip olduğu x - y düzleminin geri kalanının frekans içeriğiyle birlikte ), sonuç bunun yerine farklı frekans içeriğidir. genellikle çok daha basit olan görüntünün parçaları. Ne yazık ki, x - y düzlemindeki dalgacıklar , Fourier'in sinüzoidlerinin ( x - y düzleminde) üç boyutlu düzlem dalga fonksiyonlarına karşılık gelmesi gibi , bilinen herhangi bir yayılan dalga fonksiyonuna karşılık gelmez . Bununla birlikte, çoğu dalgacığın FT'leri iyi bilinmektedir ve muhtemelen bazı yararlı yayılma alanına eşdeğer olduğu gösterilebilir.

Diğer yandan, Sinc fonksiyonları ve havadar fonksiyonları sırasıyla dikdörtgen ve dairesel delikler, değil, sadece nokta dağılım fonksiyonları, aynı zamanda yaygın fonksiyonel ayrıştırma için kullanılan ana fonksiyonları - interpolasyon / örnekleme teori [1990 Scott] - yapılacak tekabül yakınsayan veya uzaklaşan küresel dalgalar ve bu nedenle potansiyel olarak nesne düzlemi fonksiyonunun tamamen yeni bir işlevsel ayrışması olarak uygulanabilir, böylece doğada Fourier optiğine benzer başka bir bakış açısına yol açar. Bu temelde geleneksel ışın optiği ile aynı olacaktır, ancak kırınım efektleri dahil edilmiştir. Bu durumda, her nokta yayma işlevi, bir fiber üzerindeki bir soliton'un "düzgün bir darbe" olmasıyla aynı şekilde bir tür "düz piksel" olacaktır.

Belki de bu "nokta yayma işlevi" bakış açısındaki bir mercek liyakat figürü, bir merceğin, optikten radyal uzaklığın bir fonksiyonu olarak, nesne düzlemindeki bir Airy fonksiyonunu görüntü düzleminde bir Airy işlevine ne kadar iyi dönüştürdüğünü sormak olabilir. eksen veya nesne düzleminin boyutunun bir fonksiyonu olarak Airy fonksiyonu. Bu biraz nokta yayılma fonksiyonuna benziyor, ancak şimdi buna gerçekten bir tür girdiden çıktıya düzlem transfer fonksiyonu (MTF gibi) olarak bakıyoruz ve mükemmel bir noktaya göre mutlak terimlerle çok fazla değil. Benzer şekilde, yayılan bir Gauss huzmesinin beline tekabül edecek olan Gauss dalgacıkları da potansiyel olarak nesne düzlemi alanının başka bir işlevsel ayrışmasında kullanılabilir.

Uzak alan aralığı ve 2D ² / λ kriteri

Lenslerin Fourier dönüştürme özelliğini gösteren yukarıdaki şekilde, lens nesne düzlemi şeffaflığının yakın alanındadır, bu nedenle lensteki nesne düzlemi alanı, her biri her biri yayılan düzlem dalgalarının bir süperpozisyonu olarak kabul edilebilir. z eksenine göre bir açı. Bu bağlamda, uzak alan kriteri gevşek bir şekilde şu şekilde tanımlanır: Aralık = 2 D ² / λ burada D optik kaynakların maksimum doğrusal kapsamı ve λ dalga boyudur (Scott [1998]). D şeffaflık cm (10 mertebesindedir ^-2 m) ve ışık dalga boyu 10 mertebesindedir ^-6 nedenle, m D / λ bütün şeffaflık 10 mertebesindedir ⁴ . Bu kez D , 10 ² m veya yüzlerce metre mertebesindedir . Öte yandan, bir PSF noktasından uzak alan mesafesi λ mertebesindedir. Bunun nedeni, nokta için D'nin λ mertebesinde olmasıdır, dolayısıyla D /λ birlik mertebesindedir; bu kez D (yani, λ) λ (10 ⁻⁶ m) düzeyindedir .

Mercek herhangi bir PSF noktasının uzak alanında olduğundan, noktadan mercek üzerine gelen alan denklemde olduğu gibi küresel bir dalga olarak kabul edilebilir. (2.2), denklemdeki gibi bir düzlem dalga spektrumu olarak değil. (2.1). Öte yandan, lens tüm giriş düzlemi şeffaflığının yakın alanındadır, bu nedenle eqn. (2.1) - tam düzlem dalga spektrumu - bu daha büyük, genişletilmiş kaynaktan mercek üzerine gelen alanı doğru bir şekilde temsil eder.

Alçak geçiren filtre olarak lens

Bir lens temel olarak bir alçak geçiren düzlem dalga filtresidir (bkz. Alçak geçiren filtre ). Lensin nesne düzleminde eksen üzerinde bulunan "küçük" bir ışık kaynağı düşünün. Uzak alan kriterine göre, kaynağın yeterince küçük olduğu ve lensin "küçük" kaynağın uzak alanında olduğu varsayılır. Daha sonra, küçük kaynak tarafından yayılan alan, denklemde olduğu gibi kaynak dağılımının FT'si tarafından modüle edilen küresel bir dalgadır. (2.2), Daha sonra, mercek - nesne düzleminden görüntü düzlemine geçer - yayılan küresel dalganın sadece merceğin kenar açısının içinde kalan kısmı. Bu uzak alan durumunda, yayılan küresel dalganın kesilmesi, küçük kaynağın düzlem dalga spektrumunun kesilmesine eşdeğerdir. Bu nedenle, merceğin kenar açısının ötesinde uzanan bu uzak alan küresel dalgasındaki düzlem dalga bileşenleri, mercek tarafından yakalanmaz ve görüntü düzlemine aktarılmaz. Not: Bu mantık, daha önce bahsedilen 2 D ² / λ kriterine göre, lens kaynağın uzak alan bölgesinde olacak şekilde sadece küçük kaynaklar için geçerlidir . Bir nesne düzlemi şeffaflığı , her birinin spektrumu bu şekilde kesilmiş olan küçük kaynaklar ( Whittaker-Shannon interpolasyon formülünde olduğu gibi , Scott [1990]) üzerinde bir toplama olarak hayal edilirse , o zaman tüm nesne düzleminin şeffaflığının her noktası zarar görür. bu düşük geçişli filtrelemenin aynı etkileri.

Yüksek (uzaysal) frekans içeriğinin kaybı, bulanıklığa ve netlik kaybına neden olur ( nokta yayma işleviyle ilgili tartışmaya bakın ). Bant genişliğinin kesilmesi, nesne düzlemindeki (hayali, matematiksel, ideal) bir nokta kaynağının görüntü düzleminde bulanıklaşmasına (veya yayılmasına) neden olarak "nokta yayma işlevi" terimine yol açar. Bant genişliği her genişletildiğinde veya daraltıldığında, görüntü boyutu tipik olarak buna göre daraltılır veya genişletilir, öyle ki alan-bant genişliği çarpımı Heisenberg ilkesine göre (Scott [1998] ve Abbe sinüs koşulu ) sabit kalır .

Tutarlılık ve Fourier dönüşümü

Frekans alanında çalışırken, varsayılan bir e ^jωt (mühendislik) zaman bağımlılığı ile, frekans alanında bir delta fonksiyonu bağımlılığı olan tutarlı (lazer) ışık örtük olarak varsayılır. Farklı (delta fonksiyonu) frekanslarındaki ışık, düzlem dalga spektrumunu farklı açılarda "püskürtecek" ve sonuç olarak bu düzlem dalga bileşenleri çıkış düzleminde farklı yerlere odaklanacaktır. Lenslerin Fourier dönüştürme özelliği, bazı özel amaçlara ulaşmak için farklı frekanslardaki ışığı birleştirmek için özel bir neden olmadıkça, tutarlı ışıkla en iyi şekilde çalışır.

Sistem transfer fonksiyonunun donanım uygulaması: 4F korelatörü

Bölüm 4'te sunulan optik transfer fonksiyonları teorisi biraz soyuttur. Ancak, yalnızca 2 özdeş lens ve bir şeffaf plaka kullanarak donanımda sistem aktarım işlevi H'yi uygulayan çok iyi bilinen bir cihaz vardır - 4F korelatör. Bu cihazın önemli bir uygulaması kesinlikle çapraz korelasyon ve evrişimin matematiksel işlemlerini uygulamak olsa da , bu cihaz - 4 odak uzaklığı uzunluğunda - aslında adından da anlaşılacağı gibi çok çeşitli görüntü işleme operasyonlarına hizmet ediyor. Aşağıdaki şekilde tipik bir 4F korelatör diyagramı gösterilmektedir (büyütmek için tıklayın). Bu cihaz, elektrik alanının ( bölüm 2 ) düzlem dalga spektrum gösterimi ile ikinci dereceden merceklerin ( bölüm 5.1 ) Fourier dönüştürme özelliğinin birleştirilmesiyle , bölüm 4'te açıklanan optik görüntü işleme operasyonlarını vermek üzere kolaylıkla anlaşılabilir .

4F korelatör dayanan evrişim teoremi gelen Fourier dönüşümü belirtir teori, kıvrım uzamsal olarak ( x , y ) etki uzamsal frekans, doğrudan çarpımına eşittir ( k _X , k, _y ) alan (aka: spektral ) . Bir kez daha, bir düzlem dalganın soldan geldiği varsayılır ve bir 2D fonksiyonu, f ( x , y ) içeren bir saydamlık , ilk merceğin bir odak uzaklığında bulunan korelatörün giriş düzlemine yerleştirilir. Saydamlık, eqn'nin sol tarafında olduğu gibi, gelen düzlem dalgasını büyüklük ve fazda uzamsal olarak modüle eder. (2.1) ve bunu yaparken, denklemin sağ tarafında olduğu gibi, geçirgenlik fonksiyonunun FT'sine karşılık gelen bir düzlem dalga spektrumu üretir. (2.1). Bu spektrum daha sonra, gösterildiği gibi, birinci merceğin arkasında bir odak uzaklığı olan bir "görüntü" olarak oluşturulur. İkinci fonksiyonun FT'sini içeren bir iletim maskesi, g ( x , y ), bu aynı düzlemde, bir odak uzaklığı birinci merceğin arkasına yerleştirilir ve maske yoluyla iletimin F ( k _x çarpımına eşit olmasına neden olur) , k _y ) × G ( k _x , k _y ). İkinci lens "giriş düzlemi" artık yalan Bu ürün (önünde bir odak uzunluğu), öyle ki, bu ürünün FT (yani konvolüsyon arasında f ( x , y ) ve g ( x , y )), ikinci merceğin arka odak düzleminde oluşur.

İlk merceğin giriş düzleminde eksen üzerinde ideal, matematiksel bir nokta ışık kaynağı yerleştirilirse, birinci merceğin çıkış düzleminde üretilen tek biçimli, paralel bir alan olacaktır. Bu düzgün, paralelleştirilmiş alan FT düzlem maskesi ile çarpıldığında ve ardından ikinci mercek tarafından Fourier dönüştürüldüğünde, çıkış düzlemi alanı (bu durumda korelatörün dürtü yanıtıdır ) sadece bizim ilişkilendirme fonksiyonumuzdur, g ( x , y ). Pratik uygulamalarda, g ( x , y ) tanımlanması ve giriş düzlemi alanı içinde konumlandırılması gereken bir tür özellik olacaktır (bkz. Scott [1998]). Askeri uygulamalarda bu özellik, daha karmaşık bir sahnede hızlı bir şekilde tanımlanması gereken bir tank, gemi veya uçak olabilir.

4F korelatör, yukarıda 4. bölümde bahsi geçen optik aletlerin "sistemler" özelliklerini göstermek için mükemmel bir cihazdır . FT düzlem maske fonksiyonu, G ( k _x , k _y ), genel olarak H ( k _x , k _y ) olarak ifade ettiğimiz bağıntılayıcının sistem transfer fonksiyonudur ve dürtü yanıt fonksiyonunun FT'sidir. korelatör, bir saat ( x , y sadece bizim korelasyon fonksiyonudur) g ( x , y ). Ve yukarıda bahsedildiği gibi, korelatörün dürtü yanıtı, girdi görüntüsünde bulmaya çalıştığımız özelliğin sadece bir resmidir. 4F korelatöründe, sistem transfer fonksiyonu H ( k _x , k _y ) çıkış fonksiyonunun spektrumunu üretmek için doğrudan giriş fonksiyonunun spektrumu F ( k _x , k _y ) ile çarpılır . Elektriksel sinyal işleme sistemleri, 1 boyutlu zamansal sinyaller üzerinde bu şekilde çalışır.

Görüntü Restorasyonu

Nokta yayma işleviyle görüntü bulanıklaştırma, optik bilgi işlemede kapsamlı bir şekilde incelenir, bulanıklığı azaltmanın bir yolu Wiener Filtresini kullanmaktır. Örneğin, bunun tutarsız bir nesneden gelen yoğunluk dağılımı olduğunu, uzayda değişmeyen nokta yayılma işlevi ve algılama sürecinde ortaya çıkan bir gürültü tarafından bulanıklaştırılan görüntüsünün yoğunluk dağılımı olduğunu varsayalım : ${\görüntüleme stili o(x,y)}$${\görüntüleme stili i(x,y)}$${\görüntüleme stili s(x,y)}$${\görüntüleme stili n(x,y)}$

${\görüntüleme stili i(x,y)=o(x,y)\o zamanlar s(x,y)+n(x,y)}$

Görüntü restorasyonunun amacı, gerçek dağılım ve tahmin arasındaki ortalama kare hatasını en aza indiren doğrusal bir restorasyon filtresi bulmaktır . Yani en aza indirmek ${\displaystyle {\hat {o}}(x,y)}$

${\displaystyle \epsilon ^{2}=|o-{\hat {o}}|^{2}}$

Bu optimizasyon probleminin çözümü Wiener filtresidir :

${\displaystyle H\left(f_{X},f_{Y}\sağ)={\frac {S^{*}\left(f_{X},f_{Y}\sağ)}{\sol|S \left(f_{X},f_{Y}\sağ)\sağ|^{2}+{\frac {\Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\sağ)}{ \Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\sağ)}}}}}$,

nokta yayılma fonksiyonunun, nesnenin ve gürültünün güç spektral yoğunlukları nerede . ${\displaystyle S\left(f_{X},f_{Y}\sağ),\Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\sağ),\Phi _{n}\sol (f_{X},f_{Y}\sağ)}$

Ragnarsson, şekilde gösterilen kurulum gibi holografik teknikle Wiener restorasyon filtrelerini optik olarak gerçekleştirmek için bir yöntem önerdi. Kurulum işlevinin türetilmesi aşağıdaki gibi açıklanmaktadır.

Kayıt düzlemi olarak bir şeffaflık ve bir nokta kaynağından S yayılan bir darbe olduğunu varsayın . Darbe dalgası, L1 lensi tarafından hizalanır ve darbe yanıtına eşit bir dağılım oluşturur . Daha sonra dağıtım iki kısma ayrılır: ${\görüntüleme stili h}$${\görüntüleme stili h}$

1. Üst kısım ilk önce bir mercek L2 tarafından mercek L3'ün ön odak planındaki bir noktaya odaklanılır (yani Fourier dönüştürülür) , küresel bir dalga üreten sanal bir nokta kaynağı oluşturur. Dalga daha sonra L3 lensi tarafından hizalanır ve kayıt düzleminde form ile eğik bir düzlem dalgası üretir .${\displaystyle r_{0}e^{-j2\pi \alpha y}}$
2. Alt kısım, L3 lensi tarafından doğrudan hizalanarak bir genlik dağılımı elde edilir .${\displaystyle {\frac {1}{\lambda f}}H({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}})}$

Bu nedenle, toplam yoğunluk dağılımı

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}\left(x_{2},y_{2}\right)=&\left|r_{o}\exp \left(-j2\pi \ alpha y_{2}\right)+{\frac {1}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}} {\lambda f}}\sağ)\sağ|^{2}\\=&r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}\sol |H\sol({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\sağ)\sağ|^{2}+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\sağ) \exp \left(j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H^{*}\left({\frac {x_{2}} {\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\sağ)\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\sağ)\end{hizalı}}}$

Bir genlik dağılımına ve bir faz dağılımına sahip olduğunu varsayalım . ${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili\psi }$

${\displaystyle H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\sağ)=S\left({\frac { x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\sağ)\exp \left[j\psi \left({\frac {x_{2}} {\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\sağ)\sağ]}$,

o zaman yoğunluğu aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

${\displaystyle {\begin{aligned}I\left(x_{2},y_{2}\right)=&r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^ {2}}}S^{2}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\sağ)+{\ frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right )\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f }}\sağ)\sağ].\end{hizalanmış}}}$

Film düzleminin başlangıç ​​noktasındaki nokta için ( ), alt kısımdan kaydedilen dalganın üst kısımdan çok daha güçlü olması gerektiğine dikkat edin, çünkü alt yoldan geçen dalga odaklanmıştır, bu da ilişkiye yol açar . ${\displaystyle (x_{2},y_{2})=\mathbf {0} }$${\displaystyle r_{0}<<{\frac {1}{\lambda f}}}$

Ragnarsson'un çalışmasında bu yöntem aşağıdaki varsayımlara dayanmaktadır:

1. Bulanık sistemin bilinen darbe yanıtını kaydeden , ile orantılı genlik geçirgenliği ile bir saydamlık olduğunu varsayalım .${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili s(x,y)}$
2. Filtre tarafından sağlanan maksimum faz kayması, radyanlardan çok daha küçüktür, bu nedenle .${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili 2\pi }$${\displaystyle e^{j\phi }\yaklaşık 1+j\phi }$
3. Ağartmadan sonra şeffaflığın faz kayması, ağartmadan önce mevcut olan gümüş yoğunluğu ile doğrusal orantılıdır .${\görüntüleme stili D}$
4. Yoğunluk, maruz kalmanın logaritması ile doğrusal orantılıdır .${\displaystyle {\begin{aligned}I=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}\end{aligned} }}$
5. Ortalama maruz kalma , değişen maruziyetten çok daha güçlüdür .${\görüntüleme stili {\bar {I}}}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta I\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\sağ)= {\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}} \right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\ lambda f}}\sağ)\sağ].\end{hizalanmış}}}$

Bu varsayımlarla, aşağıdaki ilişkiye sahibiz:

${\displaystyle \Delta t\propto \Delta \phi \propto \Delta D\propto \Delta (logI)\yaklaşık {\frac {\Delta I}{I}}}$.

Son olarak, bir Wiener filtresi biçiminde bir genlik geçirgenliği elde ederiz:

${\displaystyle \Delta t\propto {\frac {S^{\ast }}{r_{0}^{2}\lambda ^{2}f^{2}+\left\vert S\right\vert ^ {2}}}}$.

Son söz: Daha geniş fonksiyonel ayrışma bağlamında düzlem dalga spektrumu

Elektrik alanları matematiksel olarak birçok farklı şekilde temsil edilebilir. Gelen Huygens-Fresnel veya Stratton -Chu bakış açıları, elektrik alan bir yol açan, her biri nokta kaynaklar bir üst üste olarak temsil edilir Green'in fonksiyon alanına. Toplam alan, Green'in tüm fonksiyon alanlarının ağırlıklı toplamıdır. Bu, çoğu insan için elektrik alanını görmenin en doğal yolu gibi görünüyor - kuşkusuz, çünkü çoğumuz şu ya da bu zamanda, Thomas Young'ın klasik eserinde yaptığı gibi, daireleri iletki ve kağıtla çizmişizdir. çift ​​yarık deneyi üzerine kağıt . Bununla birlikte, sinüzoidal olarak değişen düzlem dalgaların bir spektrumu olarak da temsil edilebilen elektrik alanını temsil etmenin tek yolu bu değildir. Ek olarak, Frits Zernike , birim diskte tanımlanan Zernike polinomlarına dayanan başka bir fonksiyonel ayrıştırma önerdi . Üçüncü dereceden (ve daha düşük) Zernike polinomları, normal lens sapmalarına karşılık gelir. Whittaker-Shannon interpolasyon formülü ve Nyquist-Shannon örnekleme teoreminde olduğu gibi Sinc fonksiyonları ve Airy fonksiyonları açısından yine başka bir fonksiyonel ayrıştırma yapılabilir . Tüm bu işlevsel ayrışmaların farklı durumlarda faydası vardır. Bu çeşitli temsil biçimlerine erişimi olan optik bilim adamı, bu harika alanların doğası ve özellikleri hakkında daha zengin bir kavrayışa sahiptir. Alana bakmanın bu farklı yolları çelişkili veya çelişkili değildir, daha ziyade bağlantılarını keşfederek, dalga alanlarının doğası hakkında daha derin bir kavrayış elde edilebilir.

Fonksiyonel ayrıştırma ve özfonksiyonlar

Her ikisi de burada kısaca değinilen özfonksiyon açılımları ve fonksiyonel ayrıştırmanın ikiz konuları tamamen bağımsız değildir. Belirli bir etki alanı üzerinde tanımlanan belirli doğrusal operatörlere özfonksiyon açılımları, genellikle bu etki alanını kapsayacak olan sayılabilir sonsuz bir ortogonal işlevler seti verecektir. Operatöre ve etki alanının boyutsallığına (ve şekline ve sınır koşullarına) bağlı olarak, prensipte birçok farklı türde fonksiyonel ayrıştırma mümkündür.

Ayrıca bakınız

• Abbe sinüs koşulu
• Uyarlamalı-katkılı algoritma
• Huygens-Fresnel ilkesi
• Nokta yayılma fonksiyonu
• Kontrast mikroskopi aşaması
• Fraunhofer kırınımı
• Fresnel kırınımı
• geometrik optik
• Hilbert uzayı
• optik korelatör
• Optik Hartley dönüşümü

Referanslar

• Duffieux, Pierre-Michel (1983). Fourier Dönüşümü ve Optik Uygulamaları . New York, ABD: John Wiley & Sons .
• Goodman, Yusuf (2005). Fourier Optiğine Giriş (3 ed.). Roberts & Company Yayıncılar. ISBN'si 0-9747077-2-4. 2017-10-28 alındı .
• Hecht, Eugene (1987). Optik (2 ed.). Addison Wesley . ISBN'si 0-201-11609-X.
• Wilson, Raymond (1995). Çağdaş Optikte Fourier Serileri ve Optik Dönüşüm Teknikleri . John Wiley ve Oğulları . ISBN'si 0-471-30357-7.
• Scott, Craig (1998). Optik ve Optik Görüntülemeye Giriş . John Wiley ve Oğulları . ISBN'si 0-7803-3440-X.
• Scott, Craig (1990). Modern Reflektör Anten Analizi ve Tasarımı Yöntemleri . Artech Evi . ISBN'si 0-89006-419-9.
• Scott, Craig (1989). Elektromanyetikte Spektral Alan Yöntemi . Artech Evi . ISBN'si 0-89006-349-4.
• Fourier Optics ve 4F korelatörüne giriş

Dış bağlantılar

• Ambs, Pierre (2010). "Optik Hesaplama: 60 Yıllık Bir Macera" . Optik Teknolojilerdeki Gelişmeler . Hindawi Limited. 2010 : 1–15. doi : 10.1155/2010/372652 . ISSN  1687-6393 .
• Stratton, JA; Chu, LJ (1939-07-01). "Elektromanyetik Dalgaların Kırınım Teorisi" (PDF) . Fiziksel İnceleme . Amerikan Fizik Derneği (APS). 56 (1): 99-107. doi : 10.1103/physrev.56.99 . ISSN  0031-899X .