Pencere işlevi - Window function

Popüler bir pencere işlevi olan Hann penceresi . En popüler pencere işlevleri, benzer çan şeklindeki eğrilerdir.

Gelen sinyal işleme ve istatistik , bir pencere fonksiyonu (aynı zamanda, bir şekilde bilinmektedir apodizasyon fonksiyonu ya da uca daralan fonksiyonu ) a, matematiksel fonksiyon seçilen bazı dışında sıfır değerli bir aralık genellikle en fazla yakın aralığının ortasında yaklaşık normal olarak simetrik, ortada ve genellikle ortadan uzaklaşıyor. Matematiksel olarak, başka bir işlev veya dalga biçimi/veri dizisi bir pencere işleviyle "çarpıldığında", ürün de aralığın dışında sıfır değerlidir: geriye kalan tek şey üst üste geldikleri kısımdır, "pencereden görünüm". Eşdeğer olarak ve fiili uygulamada, pencere içindeki veri segmenti önce izole edilir ve daha sonra sadece bu veriler pencere fonksiyon değerleri ile çarpılır. Bu nedenle, pencere işlevlerinin ana amacı segmentasyon değil , sivrilmedir .

Daha uzun bir fonksiyonun bölümlerini incelemenin nedenleri arasında geçici olayların saptanması ve frekans spektrumlarının zaman ortalamasının alınması yer alır. Segmentlerin süresi, her uygulamada zaman ve frekans çözünürlüğü gibi gereksinimlere göre belirlenir. Ancak bu yöntem, spektral sızıntı adı verilen bir etkiyle sinyalin frekans içeriğini de değiştirir . Pencere işlevleri, belirli uygulamanın ihtiyaçlarına göre sızıntıyı spektral olarak farklı şekillerde dağıtmamızı sağlar. Bu makalede ayrıntılı olarak verilen birçok seçenek vardır, ancak farklılıkların çoğu uygulamada önemsiz olacak kadar incedir.

Tipik uygulamalarda, kullanılan pencere fonksiyonları negatif olmayan, pürüzsüz, "çan biçimli" eğrilerdir. Dikdörtgen, üçgen ve diğer işlevler de kullanılabilir. Pencere fonksiyonlarının daha genel bir tanımı, pencerenin çarpımının argümanıyla çarpımı kare integrallenebilir olduğu ve daha spesifik olarak, fonksiyonun yeterince hızlı bir şekilde sıfıra doğru gittiği sürece, bir aralığın dışında aynı şekilde sıfır olmalarını gerektirmez .

Uygulamalar

Pencere fonksiyonları, spektral analiz /modifikasyon/ yeniden sentezlemede , sonlu darbe yanıt filtrelerinin tasarımında , hüzme oluşturma ve anten tasarımında kullanılır.

Spektral analiz

Fourier dönüşümü fonksiyonu (cos ωt ) frekans ± haricinde, sıfırdır w . Bununla birlikte, diğer birçok fonksiyon ve dalga biçimi, uygun kapalı biçim dönüşümlerine sahip değildir. Alternatif olarak, sadece belirli bir zaman periyodunda spektral içerikleriyle ilgilenilebilir.

Her iki durumda da Fourier dönüşümü (veya benzer bir dönüşüm), dalga formunun bir veya daha fazla sonlu aralığına uygulanabilir. Genel olarak, dönüşüm, dalga biçiminin ürününe ve bir pencere işlevine uygulanır. Herhangi bir pencere (dikdörtgen dahil), bu yöntemle hesaplanan spektral tahmini etkiler.

Şekil 2: Bir sinüzoidin pencerelenmesi spektral sızıntıya neden olur. Pencerede (sıra 1 ve 2) bir tamsayı (mavi) veya tamsayı olmayan (kırmızı) döngü sayısı olsun, aynı miktarda sızıntı meydana gelir. Sinüzoid örneklendiğinde ve pencerelendiğinde, ayrık zamanlı Fourier dönüşümü de aynı sızıntı modelini sergiler (3. ve 4. sıralar). Ancak DTFT belirli bir aralıkta yalnızca seyrek olarak örneklendiğinde (bakış açınıza bağlı olarak): (1) sızıntıyı önlemek veya (2) sızıntı olmadığı yanılsamasını yaratmak mümkündür. Mavi DTFT durumunda, bu örnekler ayrık Fourier dönüşümünün (DFT) çıktılarıdır. Kırmızı DTFT aynı sıfır geçiş aralığına sahiptir, ancak DFT örnekleri bunların arasına düşer ve sızıntı ortaya çıkar.

Pencere fonksiyonu seçimi

cos( ωt ) gibi basit bir dalga formunun pencerelenmesi , Fourier dönüşümünün ω dışındaki frekanslarda sıfır olmayan değerler (genellikle spektral sızıntı olarak adlandırılır ) geliştirmesine neden olur . Kaçak kötü (en yüksek) yakın olma eğilimindedir ω en uzak frekanslarda ve en  w .

Analiz edilen dalga formu farklı frekanslarda iki sinüzoid içeriyorsa, sızıntı onları spektral olarak ayırt etme yeteneğimizi etkileyebilir. Olası parazit türleri genellikle aşağıdaki gibi iki karşıt sınıfa ayrılır: Bileşen frekansları farklıysa ve bir bileşen daha zayıfsa, o zaman daha güçlü bileşenden sızıntı, daha zayıf olanın varlığını gizleyebilir. Ancak frekanslar çok benzerse, sinüzoidler eşit güçte olsa bile sızıntı onları çözülemez hale getirebilir . Birinci tür girişime karşı etkili olan, yani bileşenlerin farklı frekans ve genliklere sahip olduğu pencerelere yüksek dinamik aralık denir . Tersine, benzer frekans ve genliğe sahip bileşenleri ayırt edebilen pencerelere yüksek çözünürlük denir .

Dikdörtgen pencere, yüksek çözünürlüklü ancak düşük dinamik aralıklı bir pencere örneğidir , yani frekanslar da yakın olduğunda bile benzer genliğe sahip bileşenleri ayırt etmek için iyidir, ancak frekanslar uzak olduğunda bile farklı genlikteki bileşenleri ayırt etmekte yetersizdir. uzak. Dikdörtgen pencere gibi yüksek çözünürlüklü, düşük dinamik aralıklı pencereler , ilave rastgele gürültü varlığında nispeten zayıf sinüzoidleri ortaya çıkarma yeteneği olan yüksek hassasiyet özelliğine de sahiptir . Bunun nedeni, gürültünün yüksek çözünürlüklü pencerelere göre yüksek dinamik aralıklı pencerelerde daha güçlü bir tepki üretmesidir.

Pencere türleri aralığının diğer ucunda, dinamik aralığı yüksek, ancak çözünürlüğü ve duyarlılığı düşük olan pencereler bulunur. Yüksek dinamik aralıklı pencereler, çoğunlukla , analiz edilen spektrumun çeşitli genliklerde birçok farklı bileşen içermesinin beklendiği geniş bant uygulamalarında haklı çıkar .

Aşırı uçlar arasında Hamming ve Hann gibi ılımlı pencereler var . Telefon kanalının spektrumu gibi dar bant uygulamalarında yaygın olarak kullanılırlar .

Özetle, spektral analiz, benzer frekanslarla ( yüksek çözünürlük/hassasiyet ) karşılaştırılabilir mukavemet bileşenlerinin çözümlenmesi ile farklı frekanslara sahip farklı mukavemet bileşenlerinin ( yüksek dinamik aralık ) çözülmesi arasında bir dengeyi içerir . Bu takas, pencere işlevi seçildiğinde gerçekleşir.

Ayrık zamanlı sinyaller

Giriş dalga biçimi sürekli yerine zaman örnekli olduğunda, analiz genellikle bir pencere işlevi ve ardından ayrık bir Fourier dönüşümü (DFT) uygulanarak yapılır. Ancak DFT, gerçek ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT) spektrumunun yalnızca seyrek bir örneklemesini sağlar . Şekil 2, satır 3, dikdörtgen pencereli bir sinüzoid için bir DTFT'yi göstermektedir. Sinüzoidin gerçek frekansı yatay eksende "13" ile gösterilir. Diğer her şey, logaritmik bir sunumun kullanılmasıyla abartılı bir şekilde sızıntıdır. Frekans birimi "DFT kutuları"dır; yani, frekans eksenindeki tamsayı değerleri, DFT tarafından örneklenen frekanslara karşılık gelir. Bu nedenle şekil, sinüzoidin gerçek frekansının bir DFT numunesiyle çakıştığı ve spektrumun maksimum değerinin bu numune tarafından doğru bir şekilde ölçüldüğü bir durumu göstermektedir. 4. satırda, maksimum değeri ½ kutu kadar kaçırır ve ortaya çıkan ölçüm hatası, dalgalı kayıp (tepenin şeklinden esinlenerek) olarak adlandırılır. Müzik notası veya sinüzoidal test sinyali gibi bilinen bir frekans için, frekansın bir DFT kutusuyla eşleştirilmesi, pencere içinde tam sayıda döngü ile sonuçlanan bir örnekleme oranı ve bir pencere uzunluğu seçimleriyle önceden düzenlenebilir.

Şekil 3: Bu şekil, sinüzoidal girişler için üç pencere fonksiyonunun işlem kayıplarını hem minimum hem de maksimum tarak kaybıyla karşılaştırır.

Gürültü bant genişliği

Çözünürlük ve dinamik aralık kavramları, kullanıcının gerçekte ne yapmaya çalıştığına bağlı olarak biraz öznel olma eğilimindedir. Ama aynı zamanda, ölçülebilir olan toplam sızıntı ile yüksek oranda ilişkili olma eğilimindedirler. Genellikle eşdeğer bir bant genişliği, B olarak ifade edilir. DTFT'nin, spektral maksimuma ve B genişliğine eşit bir dikdörtgen şeklinde yeniden dağıtılması olarak düşünülebilir. Sızıntı ne kadar fazlaysa, bant genişliği o kadar büyük olur. Bazen denir gürültü eşdeğer bant genişliği veya eşdeğer gürültü bant genişliği o giriş sinyali rastgele gürültü bileşeni içeren (veya her DFT bin tarafından tescil edilecektir ortalama güce orantılıdır, çünkü olduğunu sadece rastgele gürültü). Güç spektrumunun zaman içinde ortalaması alınan bir grafiği tipik olarak bu etkinin neden olduğu düz bir gürültü tabanını ortaya çıkarır . Gürültü tabanının yüksekliği B ile orantılıdır. Dolayısıyla iki farklı pencere işlevi farklı gürültü tabanları üretebilir.

İşlem kazancı ve kayıpları

Gelen sinyal işleme , operasyon sinyali ve bozucu etkiler arasındaki farklılıklardan yararlanılarak bir sinyalin kalitesinin bir yönünü artırmak üzere seçilir. Sinyal, ek rastgele gürültü tarafından bozulmuş bir sinüzoid olduğunda, spektral analiz, sinyal ve gürültü bileşenlerini farklı şekilde dağıtır, genellikle sinyalin varlığını algılamayı veya genlik ve frekans gibi belirli özellikleri ölçmeyi kolaylaştırır. Etkili bir şekilde, sinyal-gürültü oranı (SNR), sinüzoidin enerjisinin çoğunu bir frekans etrafında yoğunlaştırırken gürültüyü eşit olarak dağıtarak iyileştirilir. İşlem kazancı , genellikle bir SNR iyileştirmesini tanımlamak için kullanılan bir terimdir. Spektral analizin işlem kazancı, hem gürültü bant genişliği (B) hem de potansiyel tarak kaybı olan pencere işlevine bağlıdır. Bu etkiler kısmen dengelenir, çünkü en az çıkıntılı pencereler doğal olarak en fazla sızıntıya sahiptir.

Şekil 3, ek gürültüde iki eşit güçlü sinüzoid içeren aynı veri seti üzerindeki üç farklı pencere fonksiyonunun etkilerini göstermektedir. Sinüzoidlerin frekansları, biri hiçbir şekilde dalgalanma olmayacak ve diğeri maksimum dalgalanma ile karşılaşacak şekilde seçilir. Her iki sinüzoid de Hann penceresi altında BlackmanHarris penceresi altında olduğundan daha az SNR kaybı yaşar . Genel olarak (daha önce belirtildiği gibi), bu, düşük dinamik aralıklı uygulamalarda yüksek dinamik aralıklı pencereleri kullanmak için caydırıcıdır.

Şekil 4:  Spektral analiz uygulamaları için 8 noktalı Gauss pencere dizisi ( σ = 0.4) oluşturmanın iki farklı yolu . MATLAB bunları "simetrik" ve "periyodik" olarak adlandırır. İkincisi, tarihsel olarak DFT-even olarak da adlandırılır .
Şekil 5: Şekil 4'teki fonksiyonların spektral sızıntı özellikleri

Simetri

Bu makalede sağlanan formüller, sanki sürekli bir pencere işlevi "örneklenmiş" gibi ayrık diziler üretir. ( Kaiser penceresindeki bir örneğe bakın .) Spektral analiz için pencere dizileri ya simetriktir ya da simetrik olmayan 1-örnek kısadır ( periyodik , DFT-çift veya DFT-simetrik olarak adlandırılır ). Örneğin, tek bir merkez noktasında maksimumu olan gerçek bir simetrik dizi, MATLAB işlevi tarafından üretilir hann(9,'symmetric'). Son örneğin silinmesi, ile aynı olan bir dizi üretir hann(8,'periodic'). Benzer şekilde, dizinin hann(8,'symmetric')iki eşit merkez noktası vardır.

Bazı işlevlerin, çoğu uygulamada gereksiz olan bir veya iki sıfır değerli uç noktası vardır. Sıfır değerli bir uç noktanın silinmesinin DTFT (spektral sızıntı) üzerinde hiçbir etkisi yoktur. Ancak,  bir veya her iki uç noktayı silme beklentisiyle N  + 1 veya N + 2 örnekleri için tasarlanan işlev , tipik olarak biraz daha dar bir ana lob, biraz daha yüksek yan loblar ve biraz daha küçük bir gürültü bant genişliğine sahiptir.

DFT-simetri

DFT'nin öncülü sonlu Fourier dönüşümüdür ve pencere fonksiyonları "her zaman tek sayıda noktadır ve orijine göre eşit simetri sergiler". Bu durumda, DTFT tamamen gerçek değerlidir. Aynı sekans, bir ötelendiğinde zaman DFT veri penceresi , DTFT düzenli aralıklarla yerleştirilmiş frekanslar haricinde, kompleks değerli olur bir tarafından örneklenmiş Böylece uzunlukta DFT (bkz periyodik toplamı numuneleri (adlandırılır) DFT katsayıları ) olan hala gerçek değerli. Bu, kesilmiş DFT-simetrik dizinin bir uzunluk DFT'si için de geçerlidir : Kesme, DTFT'yi (spektral sızıntı) etkiler, ancak genellikle ihmal edilebilir bir miktarda ( küçük olmadığı sürece , örneğin ≤ 20 ).

Pencereler gerçek verilere çarpımsal olarak uygulandığında, dizi genellikle herhangi bir simetriden yoksundur ve DFT genellikle gerçek değerli değildir . Bu uyarıya rağmen, birçok yazar refleks olarak DFT simetrik pencereleri varsaymaktadır. Bu nedenle, alışılmış uygulama olan zaman alanı verilerine uygulandığında herhangi bir performans avantajı olmadığını belirtmekte fayda var. Gerçek değerli DFT katsayılarının avantajı, pencerelemenin DFT katsayıları ile verilerin pencerelenmemiş bir DFT'si arasındaki evrişim yoluyla elde edildiği bazı ezoterik uygulamalarda gerçekleştirilir . Bu uygulamalarda, Cosine-sum ailesinden DFT-simetrik pencereler (çift veya tek uzunluk) tercih edilir, çünkü DFT katsayılarının çoğu sıfır değerlidir, bu da evrişimi çok verimli kılar.

Notlar

Filtre tasarımı

Pencere bazen tasarımında kullanılan dijital filtreleri gibi a sınırsız sürede, bir "ideal" bir dürtü yanıtı dönüştürmek için, özellikle, Sinc fonksiyonu a, sonlu dürtü yanıtı (FIR) filtresi tasarımı. Buna pencere yöntemi denir .

İstatistikler ve eğri uydurma

Pencere işlevleri bazen istatistiksel analiz alanında, analiz edilen veri kümesini, uygun olan eğri kısmından daha uzaktaki noktaların etkisini azaltan bir ağırlık faktörü ile, belirli bir noktaya yakın bir aralıkla sınırlamak için kullanılır . Bayes analizi ve eğri uydurma alanında buna genellikle çekirdek denir .

Dikdörtgen pencere uygulamaları

Geçici olayların analizi

Bir darbe, bir şok yanıtı, bir sinüs patlaması, bir cıvıltı patlaması veya gürültü patlaması gibi modal analizde bir geçici sinyali analiz ederken , enerji-zaman dağılımının aşırı derecede eşit olmadığı durumlarda, dikdörtgen pencere en uygun olabilir. Örneğin, enerjinin çoğu kaydın başında olduğunda, dikdörtgen olmayan bir pencere enerjinin çoğunu azaltarak sinyal-gürültü oranını düşürür.

harmonik analiz

Belirli bir enstrümandan alınan bir notanın armonik içeriğini veya belirli bir frekansta bir amplifikatörün harmonik distorsiyonunu ölçmek istenebilir. Tekrar Şekil 2'ye atıfta bulunarak , DFT tarafından örneklenen harmonik olarak ilişkili ayrı bir frekans setinde sızıntı olmadığını gözlemleyebiliriz. (Spektral boş değerler aslında sıfır geçişlerdir ve bunun gibi bir logaritmik ölçekte gösterilemez.) Bu özellik dikdörtgen pencereye özgüdür ve yukarıda açıklandığı gibi sinyal frekansı için uygun şekilde yapılandırılmalıdır.

Pencere fonksiyonlarının bir listesi

Sözleşmeler :

  • sıfır fazlı bir fonksiyondur (simetrik yaklaşık ), pozitif bir tamsayı (çift veya tek) olduğu yerde süreklidir .
  • Sekansı     olan simetrik bir uzunlukta,
  •   bir DFT-simetrik , uzunluğunun
  • Her spektral çizimde görüntülenen B parametresi , işlevin DFT kutu birimleri cinsinden gürültü eşdeğer bant genişliği metriğidir .

Bir DTFT'nin seyrek örneklemesi (Şekil 2'deki DFT'ler gibi) yalnızca frekansı aynı zamanda bir tamsayı DFT kutusu olan bir sinüzoidden DFT kutularına sızıntıyı ortaya çıkarır. Görünmeyen yan loblar, diğer frekanslardaki sinüzoidlerden beklenebilecek sızıntıyı ortaya koymaktadır. Bu nedenle, bir pencere işlevi seçerken, DTFT'yi daha yoğun bir şekilde örneklemek (bu bölümde yaptığımız gibi) ve yan lobları kabul edilebilir bir düzeye bastıran bir pencere seçmek genellikle önemlidir.

dikdörtgen pencere

dikdörtgen pencere

Dikdörtgen pencere (bazen vagon veya Dirichlet penceresi olarak da bilinir ) en basit penceredir, bir veri dizisinin N dışındaki tüm değerlerinin sıfırlarla değiştirilmesine eşdeğerdir , bu da dalga biçiminin aniden açılıp kapanıyormuş gibi görünmesini sağlar:

Diğer pencereler, yukarıda açıklandığı gibi ( § Spektral analiz ).

Dikdörtgen pencere 1 st sipariş B -spline pencere ve 0 inci güç güç-of-sinüs pencere .

B- spline pencereler

B- spline pencereler , dikdörtgen pencerenin k- kat kıvrımları olarak elde edilebilir . Dikdörtgen pencerenin kendisini ( k  = 1), § Üçgen pencereyi ( k  = 2) ve § Parzen penceresini ( k  = 4) içerirler . Alternatif tanımlar, kıvrımlı ayrık zaman pencereleri yerine uygun normalleştirilmiş B- spline temel işlevlerini örneklemektedir . Bir   k inci mertebeden B -spline baz fonksiyonu derecesi bir parça-bazlı polinom fonksiyonu k -1 elde edilir k bir kat kendini kıvrım dikdörtgen fonksiyonu .

üçgen pencere

Üçgen pencere ( L  =  N  + 1 ile)

Üçgen pencereler şu şekilde verilir:

burada L olabilir N , N  + 1 ya da N  + 2 ilk olarak da bilinir Bartlett pencere veya Fejér pencere . Her üç tanım da büyük N'de birleşir  .

Üçgen pencere 2. dereceden B -spline penceresidir. L  =  K formu iki evrişimi olarak görülebilir , N / 2-eni dikdörtgen pencere. Sonucun Fourier dönüşümü, yarı genişlikli dikdörtgen pencerenin dönüşümünün kare değerleridir.

Parzen penceresi

Parzen penceresi

LN + 1'i tanımlayan   , de la Vallée Poussin penceresi olarak da bilinen Parzen penceresi, aşağıdakiler tarafından verilen 4. sıra B- spline penceresidir:

Welch penceresi

Diğer polinom pencereler

Welch penceresi

Welch penceresi tek bir parabolik bölümden oluşur :

Tanımlayıcı ikinci dereceden polinom , pencerenin açıklığının hemen dışındaki örneklerde sıfır değerine ulaşır.

sinüs penceresi

sinüs penceresi

Karşılık gelen fonksiyon, π /2 faz kayması olmayan bir kosinüsdür . Bu nedenle sinüs penceresine bazen kosinüs penceresi de denir . Sinüzoidal bir fonksiyonun yarım döngüsünü temsil ettiğinden, değişken olarak yarım sinüs penceresi veya yarım kosinüs penceresi olarak da bilinir .

Otokorelasyon bir sinüs pencere Bohman penceresi olarak bilinen bir işlevi üretir.

Sinüs gücü/kosinüs pencereleri

Bu pencere işlevleri şu şekildedir:

Dikdörtgen pencere ( α  = 0 ), bir sinüs penceresi ( α  = 1 ) ve Hann penceresi ( α  = 2 ), bu ailenin bir üyesidir.

α'nın çift-tamsayı değerleri için , bu fonksiyonlar kosinüs-toplam biçiminde de ifade edilebilir :

kosinüs toplamı pencereleri

Bu aile aynı zamanda genelleştirilmiş kosinüs pencereleri olarak da bilinir .

 

 

 

 

( Denk.1 )

Aşağıdaki örnekler de dahil olmak üzere çoğu durumda, tüm katsayılar a k  ≥ 0'dır. Bu pencereler yalnızca 2 K  + 1 sıfır olmayan N noktalı DFT katsayılarına sahiptir.

Hann ve Hamming pencereleri

Hann penceresi
Pencere Hamming, bir 0  = 0,53836 ve bir 1  = 0,46164. Orijinal Hamming penceresi olurdu bir 0  = 0.54 ve bir 1  = 0.46.

K  = 1 durumu için geleneksel kosinüs toplam pencereleri şu şekildedir:

sıfır fazlı versiyonuyla kolayca (ve sıklıkla) karıştırılan:

Ayar     bir Hann penceresi oluşturur:

Julius von Hann'ın adını almıştır ve muhtemelen Hamming penceresine dilbilimsel ve kalıplaşmış benzerliklerinden dolayı bazen Hanning olarak anılır . Yükseltilmiş kosinüs olarak da bilinir , çünkü sıfır fazlı versiyon, yükseltilmiş bir kosinüs fonksiyonunun bir lobudur.

Bu fonksiyon, her iki üyesi olan kosinüs toplamı ve güç-of-sinüs ailesine. Hamming penceresinin aksine, Hann penceresinin bitiş noktaları sadece sıfıra dokunur. Ortaya çıkan yan loblar , oktav başına yaklaşık 18 dB'de yuvarlanır.

Ayar     yaklaşık 0,54, daha doğrusu 25/46 için üretiyor Hamming penceresi, önerdiği Richard W. Hamming . Bu seçim, 5 π /( N  − 1) frekansında bir sıfır geçişi yerleştirir ve bu, Hann penceresinin ilk yan lobunu iptal ederek, ona Hann penceresininkinin yaklaşık beşte biri kadar bir yükseklik verir. Darbe şekillendirme için kullanıldığında Hamming penceresi genellikle Hamming blip olarak adlandırılır .

Katsayıların iki ondalık basamağa yaklaştırılması, yan lobların seviyesini neredeyse eşit bir duruma düşürür. Eşitlik anlamında, katsayılar için optimal değerler a 0  = 0.53836 ve a 1  = 0.46164'tür.

zenci penceresi

Blackman penceresi; a  = 0.16

Blackman pencereleri şu şekilde tanımlanır:

Ortak Geleneksel olarak, nitelendirilmemiş Blackman pencereli Blackman arasında değil "çok ciddi bir öneri" anlamına gelir a  = 0.16 ( bir 0  = 0.42, bir 1  = 0.5, bir 2  = 0.08), yakından yaklaşan tam Blackman ile, bir 0  = 7938/18608 ≈ 0.42659, a 1  = 9240/18608 ≈ 0.49656 ve a 2  = 1430/18608 ≈ 0.076849. Bu kesin değerler, üçüncü ve dördüncü yan loblara sıfırlar yerleştirir, ancak kenarlarda bir süreksizlik ve 6 dB/oct düşüşü ile sonuçlanır. Kesik katsayılar yan lobları da geçersiz kılmaz, ancak geliştirilmiş 18 dB/oct düşüşüne sahiptir.

Nuttall penceresi, sürekli birinci türev

Nuttall penceresi, sürekli birinci türev

Nuttall penceresinin sürekli formu ve birinci türevi , Hann fonksiyonu gibi her yerde süreklidir . Yani fonksiyon , Blackman–Nuttall, Blackman–Harris ve Hamming pencerelerinden farklı olarak x  = ± N /2'de 0'a gider . Blackman penceresi ( α  = 0.16 ) da kenarda sürekli türev ile süreklidir, ancak "tam Blackman penceresi" değildir.

Blackman-Nuttall penceresi

Blackman-Nuttall penceresi

Blackman-Harris penceresi

Blackman-Harris penceresi

Hamming ailesinin, yan lob seviyelerini en aza indirgemek amacıyla daha fazla kaydırılmış sinc fonksiyonları eklenerek üretilen bir genellemesi

Düz üst pencere

Düz pencere

Düz üst pencere, frekans alanında minimum tarak kaybı olan kısmen negatif değerli bir penceredir . Bu özellik, sinüzoidal frekans bileşenlerinin genliklerinin ölçümü için arzu edilir. Geniş bant genişliğinin dezavantajları, zayıf frekans çözünürlüğü ve yüksek § Gürültü bant genişliğidir .

Düz tepeli pencereler, düşük geçişli filtre tasarım yöntemleri kullanılarak tasarlanabilir veya olağan kosinüs toplamlı çeşitlilikte olabilir:

Matlab varyantı bu katsayılar var

Ana lobun yakınında daha yüksek değerler pahasına yuvarlanan yan loblar gibi başka varyasyonlar da mevcuttur.

Rife-Vincent pencereleri

Rife-Vincent pencereleri alışılmış olarak birlik tepe değeri yerine birlik ortalama değeri için ölçeklendirilir. Eq.1'e uygulanan aşağıdaki katsayı değerleri bu özel durumu yansıtır.

Sınıf I, Sıra 1 ( K = 1):        İşlevsel olarak Hann penceresine eşdeğerdir .

Sınıf I, Sıra 2 ( K = 2): 

Sınıf I, yüksek dereceli yan lob genliğini en aza indirerek tanımlanır. K=4'e kadar olan siparişler için katsayılar tablolaştırılmıştır.

Sınıf II, belirli bir maksimum yan lob için ana lob genişliğini en aza indirir.

Sınıf III, K  = 2 sırasının § Blackman penceresine benzediği bir uzlaşmadır .

Ayarlanabilir pencereler

Gauss penceresi

Gauss penceresi, σ  = 0.4

Bir Gauss'un Fourier dönüşümü de bir Gauss'tur. Bir Gauss fonksiyonunun desteği sonsuza kadar uzandığından, ya pencerenin uçlarında kesilmeli ya da kendisi başka bir sıfır uçlu pencere ile pencerelenmelidir.

Bir Gauss'un logu bir parabol ürettiğinden , bu frekans tahmininde neredeyse kesin ikinci dereceden enterpolasyon için kullanılabilir .

Gauss fonksiyonunun standart sapması σ  ·  N /2 örnekleme periyotlarıdır.

Sınırlı Gauss penceresi, σ t  = 0.1

Kapalı Gauss penceresi

Sınırlandırılmış Gauss penceresi, belirli bir zamansal genişlik ( N + 1) σ t için olası en küçük kök ortalama kare frekans genişliğini σ ω verir   . Bu pencereler, RMS zaman-frekans bant genişliği ürünlerini optimize eder. Parametreye bağlı bir matrisin minimum özvektörleri olarak hesaplanırlar. Sınırlandırılmış Gauss pencere ailesi , sırasıyla büyük ve küçük σ t sınırlama durumlarında § Sinüs penceresini ve § Gauss penceresini içerir .

Yaklaşık sınırlı Gauss penceresi, σ t  = 0.1

Yaklaşık sınırlı Gauss penceresi

Tanımlama   LK + 1 , bir kapalı Gauss pencere zamansal genişliği   L x σ t   iyi yaklaşılır:

Gauss fonksiyonu nerede :

Yaklaşık pencerenin standart sapması, σ t < 0.14   için   asimptotik olarak (yani N'nin büyük değerleri )   L × σ t'ye eşittir .

Genelleştirilmiş normal pencere

Gauss penceresinin daha genelleştirilmiş bir versiyonu, genelleştirilmiş normal penceredir. Yukarıdaki Gauss penceresindeki gösterimi koruyarak, bu pencereyi şu şekilde gösterebiliriz:

hatta herhangi biri için . 'de bu bir Gauss penceresidir ve yaklaşırken bu dikdörtgen bir pencereye yaklaşır . Fourier dönüşümü bir general için kapalı bir biçimde yok bu pencerenin . Ancak, pürüzsüz, ayarlanabilir bant genişliği olmanın diğer faydalarını gösterir. Gibi § Tukey penceresinde , bu pencere doğal bir zaman serisi (ki biz Gauss pencereli bir kontrol yok) genliği zayıflama kontrol etmek için bir "düz top" sunuyor. Özünde, Gauss penceresi ve dikdörtgen pencere arasında spektral sızıntı, frekans çözünürlüğü ve genlik zayıflaması açısından iyi (kontrol edilebilir) bir uzlaşma sunar. Bu pencerenin (veya fonksiyonun) zaman-frekans gösterimi üzerine bir çalışma için ayrıca bakınız .

Türkiye penceresi

Tukey penceresi, α  = 0,5

Kosinüs-konik pencere olarak da bilinen Tukey penceresi, N (1 − α /2) genişliğinde dikdörtgen bir pencere ile kıvrılan, /2 genişliğinde ( /2 + 1 gözlemleri kapsayan) bir kosinüs lobu olarak kabul edilebilir. ) .

 

En α  = 0 dikdörtgen olur ve en α  1 = bir Hann penceresi olur.

Planck-konik pencere

Planck-konik pencere, ε  = 0.1

Sözde "Planck-konik" pencere olan yumru fonksiyonu yaygın teorisi kullanılmıştır birlik bölümleri içinde manifoldu . Her yerde düzgündür (bir fonksiyondur), ancak kompakt bir bölgenin dışında tam olarak sıfırdır, o bölge içinde bir aralıkta tam olarak birdir ve bu sınırlar arasında düzgün ve monoton bir şekilde değişir. Sinyal işlemede bir pencere işlevi olarak kullanımı ilk olarak Planck dağılımından esinlenerek yerçekimi dalgası astronomisi bağlamında önerildi . Parçalı bir fonksiyon olarak tanımlanır :

Daralma miktarı ε parametresi tarafından kontrol edilir ve daha küçük değerler daha keskin geçişler verir.

DPSS veya Slepian penceresi

DPSS (ayrık prolate küresel dizi) veya Slepian penceresi , ana lobdaki enerji konsantrasyonunu maksimuma çıkarır ve spektrumdaki gürültünün ortalamasını alan ve pencerenin kenarlarındaki bilgi kaybını azaltan çok yönlü spektral analizde kullanılır .

Ana lob, α parametresi tarafından verilen bir frekans kutusunda sona erer .

DPSS penceresi, α  = 2
DPSS penceresi, α  = 3

Aşağıdaki Kaiser pencereleri, DPSS pencerelerine basit bir yaklaşımla oluşturulmuştur:

Kaiser penceresi, α  = 2
Kaiser penceresi, α  = 3

Kayzer penceresi

Kaiser veya Kaiser-Bessel penceresi, James Kaiser tarafından keşfedilen, Bessel işlevlerini kullanan DPSS penceresinin basit bir yaklaşımıdır .

   

birinci türden sıfırıncı dereceden değiştirilmiş Bessel işlevi nerede . Değişken parametre , spektral sızıntı modelinin ana lob genişliği ile yan lob seviyeleri arasındaki dengeyi belirler. Boş değerler arasındaki ana lob genişliği,   DFT kutuları birimlerinde verilir   ve tipik bir değer 3'tür.

Dolph-Chebyshev penceresi

Dolph–Chebyshev penceresi, α  = 5

Belirli bir ana lob genişliği için yan lobların Chebyshev normunu en aza indirir .

Sıfır fazlı Dolph-Chebyshev pencere işlevi , genellikle gerçek değerli ayrık Fourier dönüşümü cinsinden tanımlanır :

T N ( X ) 'dir , n -inci , Chebyshev polinom İlk tür değerlendirilmiştir arasında x , kullanılarak hesaplanır ulaşılabilen

ve

α parametresinin yan lobların Chebyshev normunu -20 α  desibele ayarladığı benzersiz pozitif gerçek çözümdür .

Pencere işlevi, ters ayrık Fourier dönüşümü (DFT) ile W 0 ( k )' den hesaplanabilir :

Gecikmeli pencerenin versiyonu elde edilebilir:

N'nin çift ​​değerleri için aşağıdaki gibi hesaplanmalıdır:

hangi bir ters DFT  

Varyasyonlar:

  • Eş dalgalanma koşulu nedeniyle, zaman alanı penceresinin kenarlarında süreksizlikler vardır. Eş dalgaların kenarlardan düşmesine izin vererek bunları önleyen bir yaklaşım, bir Taylor penceresidir .
  • Ters DFT tanımına bir alternatif de mevcuttur. [1] .

Ultra küresel pencere

Ultrasferik pencerenin µ parametresi, Fourier dönüşümünün yan lob genliklerinin frekansla birlikte azaldığını, seviye mi yoksa (burada gösterilmektedir) artıp artmadığını belirler.

Ultrasferik pencere 1984 yılında Roy Streit tarafından tanıtıldı ve anten dizisi tasarımı, özyinelemeli olmayan filtre tasarımı ve spektrum analizinde uygulaması var.

Diğer ayarlanabilir pencereler gibi, Ultraspherical pencere, Fourier dönüşümü ana lob genişliğini ve göreli yan lob genliğini kontrol etmek için kullanılabilecek parametrelere sahiptir. Diğer pencerelerde yaygın olmayan, yan lobların genlikteki azalma (veya artış) hızını ayarlamak için kullanılabilen ek bir parametreye sahiptir.

Pencere, zaman alanında aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

burada bir Ultraspherical polinom derecesi N ve ve yan lob desenleri kontrol eder.

Belirli belirli değerler, diğer iyi bilinen pencereleri verir: ve sırasıyla Dolph–Chebyshev ve Saramäki pencerelerini verir. Çeşitli parametrelere sahip Ultrasferik pencerelerin gösterimi için buraya bakın .

Üstel veya Poisson penceresi

Üstel pencere, τ  =  N /2
Üstel pencere, τ  = ( N/ 2)/ ( 60/8.69)

Poisson penceresi veya daha genel olarak üstel pencere, pencerenin merkezine doğru üssel olarak artar ve ikinci yarıda üssel olarak azalır. Yana üstel fonksiyon hiç sıfıra ulaştığında, sınırlarının pencerenin değerleri sıfır olmayan (bir dikdörtgen pencere tarafından bir üstel fonksiyon çarpımı olarak görülebilir) vardır. tarafından tanımlanır

burada τ fonksiyonunun zaman sabitidir. Üstel fonksiyon,  zaman sabiti başına e ≃ 2.71828 veya yaklaşık 8.69 dB olarak azalır . Bu  , pencere uzunluğunun yarısında hedeflenen D dB azalması için zaman sabitinin τ olduğu anlamına gelir.

Hibrit pencereler

Pencere işlevleri, diğer pencerelerin çarpımsal veya toplamsal kombinasyonları olarak da oluşturulmuştur.

Bartlett-Hann penceresi

Bartlett-Hann penceresi

Planck-Bessel penceresi

Planck–Bessel penceresi, ε  = 0.1, α  = 4.45

Bir § Planck-taper penceresi , değiştirilmiş bir Bessel fonksiyonu olarak tanımlanan bir Kaiser penceresi ile çarpılır . Bu hibrit pencere işlevi, iyi asimptotik bozunmasından yararlanırken, Planck-konik penceresinin tepe yan lob seviyesini azaltmak için tanıtıldı. Planck-taper'den ε ve Kaiser penceresinden α olmak üzere iki ayarlanabilir parametresi vardır , böylece belirli bir sinyalin gereksinimlerine uyacak şekilde ayarlanabilir.

Hann-Poisson penceresi

Hann–Poisson penceresi, α  = 2

Fourier dönüşümünün (için ) ana lobdan sonsuza kadar uzaklaşması anlamında yan lobları olmayan bir Poisson penceresi ile çarpılan bir Hann penceresi . Bu nedenle Newton'un yöntemi gibi tepe tırmanma algoritmalarında kullanılabilir . Hann-Poisson penceresi şu şekilde tanımlanır:

burada α , üstel eğimi kontrol eden bir parametredir.

Diğer pencereler

GAP penceresi (GAP optimize Nuttall penceresi)

Genelleştirilmiş uyarlamalı polinom (GAP) penceresi

GAP penceresi, düzenin simetrik bir polinom genişlemesine dayanan bir ayarlanabilir pencere fonksiyonları ailesidir . Her yerde sürekli türev ile süreklidir. Uygun genişleme katsayıları ve genişleme sırası ile, GAP penceresi bilinen tüm pencere fonksiyonlarını taklit ederek spektral özelliklerini doğru bir şekilde yeniden üretebilir.

 

dizinin standart sapması nerede .

Ek olarak, bilinen belirli bir pencere fonksiyonunu taklit eden bir dizi genişleme katsayısı ile başlayarak , ana lob genişliği, yan lob gibi bir veya daha fazla spektral özelliği iyileştiren yeni bir katsayı seti elde etmek için GAP penceresi minimizasyon prosedürleriyle optimize edilebilir. zayıflama ve yan lob düşme oranı. Bu nedenle, belirli uygulamaya bağlı olarak tasarlanmış spektral özelliklerle bir GAP penceresi işlevi geliştirilebilir.

Sinc veya Lanczos penceresi

Lanczos penceresi

  • Lanczos yeniden örneklemede kullanılır
  • Lanczos penceresi için şu şekilde tanımlanır:
  • günah penceresi olarak da bilinir , çünkü :
normalleştirilmiş bir sinüs fonksiyonunun ana lobudur

Pencerelerin karşılaştırılması

Frekans alanındaki pencere işlevleri ("spektral sızıntı")

Bir uygulama için uygun bir pencere işlevi seçerken, bu karşılaştırma grafiği faydalı olabilir. N uzunluğundaki pencere verilere uygulandığında ve N uzunluğunda bir dönüşüm hesaplandığında , frekans ekseni FFT "kutuları" birimlerine sahiptir . Örneğin, ½ "bin" (üçüncü çentik işareti) frekansındaki değer, k ve k  + 1 kutularında k  + ½ frekansında sinüzoidal bir sinyale ölçülecek yanıttır . Sinyal frekansı bir tamsayı kutu sayısı olduğunda meydana gelen olası maksimum yanıta göredir. ½ frekansındaki değer, pencereleri karşılaştırmak için kullanılan bir ölçü olan pencerenin maksimum tarak kaybı olarak adlandırılır . Dikdörtgen pencere, bu metrik açısından diğerlerinden belirgin şekilde daha kötü.

Görülebilen diğer metrikler, sırasıyla karşılaştırılabilir güç sinyallerini ve farklı güç sinyallerini çözme yeteneğini belirleyen ana lobun genişliği ve yan lobların tepe seviyesidir. Dikdörtgen pencere (örneğin), birincisi için en iyi seçim ve ikincisi için en kötü seçimdir. Grafiklerden görülemeyen şey, dikdörtgen pencerenin en iyi gürültü bant genişliğine sahip olmasıdır, bu da onu beyaz gürültü ortamında düşük seviyeli sinüzoidleri tespit etmek için iyi bir aday yapar . Sıfır doldurma ve frekans kaydırma gibi enterpolasyon teknikleri, potansiyel tarak kaybını azaltmak için mevcuttur.

örtüşen pencereler

Dönüştürülecek bir veri kümesinin uzunluğu, istenen frekans çözünürlüğünü sağlamak için gerekenden daha büyük olduğunda, yaygın bir uygulama, onu daha küçük kümelere bölmek ve bunları ayrı ayrı pencerelemektir. Pencerenin kenarlarındaki "kaybı" azaltmak için, bireysel kümeler zamanla örtüşebilir. Bkz Welch yöntemi güç spektral analiz ve değiştirilmiş ayrık kosinüs dönüşümü .

İki boyutlu pencereler

İki boyutlu pencereler, görüntü Fourier dönüşümündeki istenmeyen yüksek frekansları azaltmak için görüntü işlemede yaygın olarak kullanılır. Tek boyutlu pencerelerden iki formdan birinde oluşturulabilirler. Ayrılabilir form, hesaplanması önemsizdir. Radyal bir şekilde, çapındaki içerir, , olup , izotropik , koordinat eksenlerinin yönlenmesinden bağımsız. Sadece Gauss fonksiyonu hem ayrılabilir hem de izotropiktir. Diğer tüm pencere fonksiyonlarının ayrılabilir formları, koordinat eksenlerinin seçimine bağlı olan köşelere sahiptir. İki boyutlu bir pencere fonksiyonunun izotropisi/ anizotropisi , iki boyutlu Fourier dönüşümü ile paylaşılır. Ayrılabilir ve radyal formlar arasındaki fark , sırasıyla iki sinc fonksiyonun ve bir Airy fonksiyonunun çarpımı olarak görselleştirilebilen dikdörtgen ve dairesel açıklıklardan kırınım sonucuna benzer .

Ayrıca bakınız

Notlar

Sayfa alıntıları

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar