özfonksiyon - Eigenfunction
Gelen matematik bir öz fonksiyon a doğrusal operatör D bazı tanımlanmış fonksiyon alanı sıfır olmayan herhangi bir fonksiyon f ile işlem yapıldığında, o alana D , sadece olarak adlandırılan bazı ölçekleme faktörü ile çarpılır özdeğer . Bir denklem olarak, bu koşul şu şekilde yazılabilir:
Bir özfonksiyon, bir özvektör türüdür .
özfonksiyonlar
Genel olarak, doğrusal bir operatör bir özvektör D bir vektör alanı tanımlanmış etki sıfır olmayan bir vektördür D , D bir skaler değer bir özdeğer adı ile buna göre hareket, sadece ölçeklenir. D' nin bir fonksiyon uzayında tanımlandığı özel durumda , özvektörlere özfonksiyonlar denir . Yani, bir f fonksiyonu , denklemi sağlıyorsa, D' nin bir özfonksiyonudur.
|
|
( 1 ) |
burada λ bir skalerdir. Denklem ( 1 )' in çözümleri de sınır koşullarına tabi olabilir. Sınır koşulları nedeniyle, λ'nın olası değerleri genellikle, örneğin ayrık bir λ 1 , λ 2 , … veya bir aralıkta sürekli bir küme ile sınırlıdır . D' nin tüm olası özdeğerlerinin kümesi bazen onun spektrumu olarak adlandırılır; bu, kesikli, sürekli veya her ikisinin bir kombinasyonu olabilir.
λ'nın her değeri bir veya daha fazla özfonksiyona karşılık gelir. Birden fazla lineer bağımsız özfonksiyon aynı özdeğere sahipse, özdeğerin dejenere olduğu söylenir ve aynı özdeğerle ilişkili lineer olarak bağımsız özfonksiyonların maksimum sayısı özdeğerin dejenerasyon derecesi veya geometrik çokluktur .
türev örneği
Sonsuz boyutlu uzaylar üzerinde etkili olan lineer operatörlerin yaygın olarak kullanılan bir sınıfı, gerçek veya karmaşık bir argümanın t sonsuz türevlenebilir gerçek veya karmaşık fonksiyonlarının C ∞ uzayı üzerindeki diferansiyel operatörlerdir . Örneğin, özdeğer denklemli türev operatörünü düşünün.
Bu diferansiyel denklem, her iki tarafı da çarparak ve integral alarak çözülebilir . Çözümü, üstel fonksiyon
Örnekte, f ( t )'nin f (0) = 1 ve sınır koşullarına tabi olduğunu varsayalım . sonra bunu buluruz
Matrislerin özdeğerlerine ve özvektörlerine bağlantı
Özfonksiyonlar, sütun vektörleri olarak ifade edilebilir ve doğrusal operatörler, sonsuz boyutlara sahip olmalarına rağmen matrisler olarak ifade edilebilir. Sonuç olarak, matrislerin özvektörleri ile ilgili kavramların çoğu, özfonksiyonların çalışmasına aktarılır.
D' nin tanımlandığı fonksiyon uzayındaki iç çarpımı tanımlayın.
İşlev uzayının, n'nin sonsuz olabileceği { u 1 ( t ), u 2 ( t ), …, u n ( t )} kümesi tarafından verilen bir ortonormal temeli olduğunu varsayalım . Ortonormal taban için,
Fonksiyonlar, temel fonksiyonların lineer bir kombinasyonu olarak yazılabilir,
Ek olarak, doğrusal operatör D'nin elemanlarla bir matris temsilini tanımlayın
Df ( t ) fonksiyonunu ya temel fonksiyonların lineer bir birleşimi olarak ya da f ( t ) ' nin açılımına etki eden D olarak yazabiliriz ,
Bu denklemin her bir tarafının iç çarpımını keyfi bir temel fonksiyon u i ( t ) ile alarak ,
Bu, toplama notasyonunda yazılan Ab = c matris çarpımıdır ve ortonormal temelde ifade edilen f ( t ) fonksiyonuna etki eden D operatörünün bir matris eşdeğeridir . Eğer f ( t ) bir öz fonksiyon olan D özdeğer λ, daha sonra Ab = λb .
Hermit operatörlerinin özdeğerleri ve özfonksiyonları
Fizikte karşılaşılan operatörlerin çoğu Hermityendir . D doğrusal operatörünün { u 1 ( t ), u 2 ( t ), …, u n ( t )} fonksiyonları tarafından verilen ortonormal temeli olan bir Hilbert uzayı olan bir fonksiyon uzayı üzerinde hareket ettiğini varsayalım , burada n olabilir sonsuz ol. Bu temelde, D operatörü , elemanları olan bir A matris temsiline sahiptir.
Hermit matrislerine benzer şekilde , eğer A ij = A ji * ise D , bir Hermityen operatördür veya:
Özdeğerleri λ 1 , λ 2 , … ve karşılık gelen özfonksiyonları f 1 ( t ), f 2 ( t ), … olan Hermitian D operatörünü düşünün . Bu Hermit operatörü aşağıdaki özelliklere sahiptir:
- Özdeğerleri gerçektir, λ i = λ i *
- Eğer i ≠ j ise özfonksiyonları bir ortogonallik koşuluna uyar.
İkinci koşul her zaman λ i ≠ λ j için geçerlidir . Aynı özdeğeri λ i olan dejenere özfonksiyonlar için, örneğin Gram-Schmidt işlemi kullanılarak λ i ile ilişkili özuzayı kapsayan ortogonal özfonksiyonlar her zaman seçilebilir . Spektrumun ayrık veya sürekli olmasına bağlı olarak, özfonksiyonların iç çarpımı sırasıyla Kronecker delta veya Dirac delta fonksiyonuna eşit olarak ayarlanarak özfonksiyonlar normalleştirilebilir .
Birçok Hermitian operatör için, özellikle Sturm-Liouville operatörleri için , üçüncü bir özellik
- Özfonksiyonları, operatörün tanımlandığı fonksiyon uzayının temelini oluşturur.
Sonuç olarak, birçok önemli durumda, Hermit operatörünün özfonksiyonları ortonormal bir temel oluşturur. Bu durumlarda, keyfi bir fonksiyon, Hermitian operatörünün özfonksiyonlarının lineer bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir.
Uygulamalar
titreşimli teller
Let h ( x , t ), böyle bir elastik akor, stresli enine yer değiştirmesini belirtmektedir titreşimli dizeleri a dizisi aletin konumunun bir fonksiyonu olarak, x dizi boyunca ve zaman t . Telin sonsuz küçük kısımlarına mekanik yasalarını uygulayan h fonksiyonu , kısmi diferansiyel denklemi sağlar.
Bu problem değişkenlerin ayrılması yöntemine uygundur . h ( x , t ) ' nin X ( x ) T ( t ) formunun ürünü olarak yazılabileceğini varsayarsak, bir çift adi diferansiyel denklem oluşturabiliriz:
Bunların her biri , sırasıyla özdeğerleri ve − ω 2 olan bir özdeğer denklemidir . ω ve c'nin herhangi bir değeri için , denklemler fonksiyonlar tarafından karşılanır.
Örneğin, dizenin uçlarının x = 0 ve x = L' de sabitlendiği , yani X (0) = X ( L ) = 0 olduğu ve T (0) = 0 olduğu gibi sınır koşulları uygularsak , özdeğerler. Bu sınır koşulları için sin( φ ) = 0 ve sin( ψ ) = 0 , dolayısıyla faz açıları φ = ψ = 0 ve
Bu son sınır koşulu, ω'yi bir ω n = değeri almaya zorlar . ncπ/L, burada n herhangi bir tam sayıdır. Böylece, sıkıştırılmış ip, formun duran dalgalarının bir ailesini destekler.
Bir dizi aracı, frekans örnekte w n sıklığıdır n -inci harmonik olarak adlandırılır, ( n - 1) 'inci aşırı ton .
Schrödinger denklemi
Gelen kuantum mekaniği , Schrödinger denklemi
|
|
( 2 ) |
|
|
( 3 ) |
Bu diferansiyel denklemlerin her ikisi de özdeğeri E olan özdeğer denklemleridir . Daha önceki bir örnekte gösterildiği gibi, Denklem ( 3 )' ün çözümü üsteldir.
Denklem ( 2 ) zamandan bağımsız Schrödinger denklemidir. Hamilton operatörünün φ k özfonksiyonları , kuantum mekanik sistemin durağan durumlarıdır ve her biri karşılık gelen bir enerjiye E k sahiptir . Sistemin izin verilen enerji durumlarını temsil ederler ve sınır koşulları tarafından sınırlandırılabilirler.
Hamilton operatörü H , özfonksiyonları ortonormal bir temel oluşturan bir Hermit operatörü örneğidir. Hamilton zamanında açıkça bağlı olmadığı zaman, Schrödinger denkleminin genel çözümler titreşimli çarpılır sabit durumlarının doğrusal kombinasyonları olduğu , T ( t ) , sürekli bir spektrumu ile bir sistem için veya,
Hidrojenin spektral özelliklerini açıklamada Schrödinger denkleminin başarısı, 20. yüzyıl fiziğinin en büyük zaferlerinden biri olarak kabul edilir.
Sinyaller ve sistemler
Çalışmasında sinyaller ve sistemler , bir sistemin, bir öz fonksiyon bir sinyaldir f ( t ) , bu giriş sistemine, bir yanıt ürettiği zaman y ( t ) = λf ( t ) , λ kompleks skalar özdeğeridir.
Ayrıca bakınız
- Özdeğerler ve özvektörler
- Hilbert-Schmidt teoremi
- Adi diferansiyel denklemlerin spektral teorisi
- Sabit nokta birleştirici
- Fourier dönüşümü özfonksiyonları
Notlar
alıntılar
Atıfta bulunulan eserler
-
Courant, Richard; Hilbert, David. Matematiksel Fiziğin Yöntemleri . Cilt 1. Wiley. ISBN'si 047150447-5.
|volume=
fazladan metin var ( yardım )(Cilt 2: ISBN 047150439-4 ) - Davydov, AS (1976). Kuantum Mekaniği . Çevrilmiş, düzenlenmiş ve D. ter Haar tarafından yapılan eklemelerle (2. baskı). Oxford: Bergama Basını. ISBN'si 008020438-4.
- Girod, Bernd ; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Alexander (2001). Sinyaller ve sistemler (2. baskı). Wiley. ISBN'si 047198800-6.
- Kusse, Bruce; Westwig, Erik (1998). Matematiksel Fizik . New York: Wiley Interscience. ISBN'si 047115431-8.
- Wasserman, Eric W. (2016). "Özfonksiyon" . Matematik Dünyası . Wolfram Araştırma . 12 Nisan 2016'da erişildi .
Dış bağlantılar
- Atom in a Box'ta daha fazla görüntü (GPL olmayan)