Fresnel kırınımı - Fresnel diffraction

Olarak optik , Fresnel kırınımı için denklem yakın alan kırınım bir yaklaşımdır Kirchhoff-Fresnel kırınımı içinde dalgaların yayılması için uygulanabilir yakın alan . Bir açıklıktan veya bir nesnenin etrafından geçen dalgaların nesneye nispeten yakın bir mesafeden bakıldığında oluşturduğu kırınım modelini hesaplamak için kullanılır . Buna karşılık, uzak alan bölgesindeki kırınım modeli , Fraunhofer kırınım denklemi ile verilir.

Yakın alan belirtilebilir Fresnel sayısı , F , optik düzenlemesinin. Ne zaman kırınım dalgası yakın alanda olduğu düşünülür. Bununla birlikte, Fresnel kırınım integralinin geçerliliği, aşağıda elde edilen yaklaşımlarla belirlenir. Spesifik olarak, üçüncü mertebe ve daha yüksek faz terimleri ihmal edilebilir olmalıdır, bu koşul şu şekilde yazılabilir: ${\görüntüleme stili F\gg 1}$

$${\displaystyle {\frac {F\theta ^{2}}{4}}\ll 1,}$$

burada , a ve L ile tanımlanan maksimum açı Fresnel sayısının tanımındakiyle aynıdır . ${\görüntüleme stili \teta}$${\ Displaystyle \ theta \ yaklaşık a/L}$

Merkezi Arago noktasını gösteren Fresnel kırınımı

Yakın aralıklı periyodik sırtlarda ( çıkıntılı ayna ) çoklu Fresnel kırınımı aynasal yansımaya neden olur ; bu etki atomik aynalar için kullanılabilir .

Bu fenomenin erken tedavileri

Fresnel kırınımı olarak bilinecek olan ilk çalışmalardan bazıları , 17. yüzyılda İtalya'da Francesco Maria Grimaldi tarafından gerçekleştirildi . Richard C. MacLaurin , "Işık" başlıklı monografında, ışık yayıldığında ne olduğunu ve uzaktaki bir ışık kaynağı tarafından üretilen ışının içine bir yarık veya delik bulunan bir bariyer yerleştirildiğinde bu sürecin nasıl etkilendiğini sorarak Fresnel kırınımını açıklar. ışık. Klasik terimlerle neyin meydana geldiğini araştırmak için Huygens Prensibini kullanır . Yarıktan ve biraz uzaktaki bir algılama ekranına ilerleyen dalga cephesi, gerçek fiziksel kenarla herhangi bir dakika etkileşimi dikkate alınmaksızın, boşluk alanı boyunca ortaya çıkan bir dalga cephesine çok yakın bir şekilde yaklaşır.

Sonuç, eğer boşluk çok dar ise, sadece parlak merkezleri olan kırınım desenleri meydana gelebilir. Boşluk giderek daha geniş yapılırsa, karanlık merkezli kırınım desenleri, parlak merkezli kırınım desenleriyle değişecektir. Boşluk büyüdükçe, koyu ve açık bantlar arasındaki farklar, bir kırınım etkisi artık algılanamayacak duruma gelene kadar azalır.

MacLaurin, ışık küçük bir delikten parlatıldığında üretilen kırınım halkaları dizisinin merkezinin siyah olabileceği ihtimalinden bahsetmez, ancak küçük dairesel bir nesne tarafından üretilen gölgenin paradoksal olarak parlak bir parlaklığa sahip olabileceği ters duruma işaret eder. merkez . (s. 219)

Francis Weston Sears Optics adlı eserinde , Fresnel tarafından önerilen ve kırınım modellerinin ana özelliklerini tahmin eden ve yalnızca basit matematiği kullanan matematiksel bir yaklaşım sunar. Gelen ışığın dalga boyu ile birlikte bir bariyer ekranındaki delikten yakındaki bir algılama ekranına dik mesafeyi göz önünde bulundurarak, yarım periyotlu elemanlar veya Fresnel bölgeleri olarak adlandırılan bir dizi bölgeyi hesaplamak mümkündür . İç bölge bir dairedir ve birbirini takip eden her bölge eşmerkezli dairesel bir halka olacaktır. Ekrandaki dairesel deliğin çapı, birinci veya merkezi Fresnel bölgesini ortaya çıkarmak için yeterliyse, algılama ekranının ortasındaki ışığın genliği, algılama ekranı engellenmemiş olsaydı olacağından iki kat daha fazla olacaktır. Ekrandaki dairesel deliğin çapı iki Fresnel bölgesini ortaya çıkarmak için yeterliyse, merkezdeki genlik neredeyse sıfırdır. Bu, bir Fresnel kırınım deseninin karanlık bir merkeze sahip olabileceği anlamına gelir. Bu modeller görülebilir ve ölçülebilir ve onlar için hesaplanan değerlere iyi karşılık gelir.

Fresnel kırınım integrali

Koordinat sistemi ile açıklık (veya kırınım yapan nesne) düzlemini ve görüntü düzlemini gösteren kırınım geometrisi.

Bir (x, y, z) noktasındaki elektrik alan kırınım modeli şu şekilde verilir:

$${\displaystyle E\left(x,y,z\sağ)={\frac {1}{i\lambda }}\iint _{-\infty }^{+\infty }{E\left(x', y',0\sağ){\frac {e^{ikr}}{r}}}{\frac {z}{r}}dx'dy'}$$

nerede

• ${\displaystyle E\sol(x',y',0\sağ)\,}$ açıklıktaki elektrik alanıdır;
• ${\displaystyle r={\sqrt {\sol(x-x'\sağ)^{2}+\sol(y-y'\sağ)^{2}+z^{2}}}\,}$;
• ${\görüntüleme stili k\,}$bir dalga sayısı ; ve${\displaystyle 2\pi /\lambda\,}$
• ${\görüntüleme stili i\,}$olan hayali birim .

Bu integralin analitik çözümü, en basit kırınım geometrileri dışında herkes için imkansızdır. Bu nedenle, genellikle sayısal olarak hesaplanır.

Fresnel yaklaşımı

Rayleigh-Sommerfeld denklemi, (eksensiz) Fresnel yaklaşımı ve (uzak alan) Fraunhofer yaklaşımı ile elde edilen kırınım modelinin karşılaştırılması.

İntegrali çözmek için temel problem, r'nin ifadesidir . İlk olarak, ikameyi tanıtarak cebiri basitleştirebiliriz:

$${\displaystyle \rho ^{2}=\left(x-x'\right)^{2}+\left(y-y'\right)^{2}\,}$$

r ifadesinin yerine geçerek şunu buluruz:

$${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}} }}}$$

Daha sonra, binom açılımı ile,

$${\displaystyle {\sqrt {1+u}}=(1+u)^{\frac {1}{2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{ 2}}{8}}+\cdots }$$

olarak ifade edebiliriz${\görüntüleme stili r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{ \frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}} }\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{ 3}}}+\cdots \end{hizalı}}}$$

Binom serisinin tüm terimlerini göz önünde bulundurursak, o zaman yaklaşıklık yoktur. Bu ifadeyi integral içinde üstel argümanında yerine koyalım; Fresnel yaklaşımının anahtarı, üçüncü terimin çok küçük olduğunu ve göz ardı edilebileceğini ve bundan böyle daha yüksek dereceleri varsaymaktır. Bunu mümkün kılmak için, neredeyse sıfır bir terim için üstellerin değişimine katkıda bulunmak zorundadır. Başka bir deyişle, karmaşık üstel periyodundan çok daha küçük olmalıdır; yani : ${\görüntüleme stili 2\pi }$

$${\displaystyle k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi }$$

k'yi dalga boyu cinsinden ifade etmek,

$${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$$

aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz:

$${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8}$$

Her iki tarafı da ile çarparsak , ${\displaystyle z^{3}/\lambda ^{3}}$

$${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{\lambda ^{4}}}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}}}$$

veya, daha önceki ifadenin yerine , ${\görüntüleme stili \rho ^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{4}}}\left[\left(x-x'\right)^{2}+\left(y-y'\right)^{2} \right]^{2}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}}}$$

Bu koşul tüm x , x' , y ve y' değerleri için geçerliyse , Taylor ifadesindeki üçüncü terimi yok sayabiliriz. Ayrıca, eğer üçüncü terim ihmal edilebilirse, o zaman tüm yüksek mertebeden terimler daha da küçük olacaktır, dolayısıyla onları da yok sayabiliriz.

Optik dalga boylarını içeren uygulamalar için, dalga boyu λ tipik olarak ilgili fiziksel boyutlardan çok sayıda büyüklük mertebesinde küçüktür. Özellikle:

$${\displaystyle \lambda \ll z}$$

ve

$${\displaystyle \lambda \ll \rho }$$

Böylece, pratik bir mesele olarak, gerekli eşitsizlik her zaman geçerli olacaktır.

$${\displaystyle \rho \ll z}$$

Daha sonra ifadeyi yalnızca ilk iki terimle tahmin edebiliriz:

$${\displaystyle r\yaklaşık z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+\left(y-y') \sağ)^{2}}{2z}}}$$

O halde bu denklem Fresnel yaklaşımıdır ve yukarıda belirtilen eşitsizlik, yaklaşımın geçerliliği için bir koşuldur.

Fresnel kırınımı

Geçerlilik koşulu oldukça zayıftır ve açıklığın yol uzunluğuna kıyasla küçük olması koşuluyla tüm uzunluk parametrelerinin karşılaştırılabilir değerler almasına izin verir. İçin r , paydada biz bir adım daha ileri gidip, sadece ilk dönem ile yaklaşır . Biz sadece değerleri kökeni küçük bir alanda yakın, alanda davranışları ilgilenen, bu özellikle geçerlidir x ve y çok daha küçüktür z . Genel olarak, Fresnel sayısı yaklaşık 1 ise Fresnel kırınımı geçerlidir . ${\görüntüleme stili r\yaklaşık z}$

Fresnel kırınımı için noktadaki elektrik alanı şu şekilde verilir: ${\görüntüleme stili (x,y,z)}$

$${\displaystyle E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E\left(x', y',0\sağ)e^{{\frac {ik}{2z}}\sol[\sol(x-x'\sağ)^{2}+\sol(y-y'\sağ)^{ 2}\sağ]}dx'dy'}$$

Lommel fonksiyonları ile çizilen dairesel açıklığın Fresnel kırınımı

Bu, Fresnel kırınım integralidir; bunun anlamı, eğer Fresnel yaklaşımı geçerliyse, yayılan alan, aralıktan kaynaklanan ve z boyunca hareket eden küresel bir dalgadır . İntegral, küresel dalganın genliğini ve fazını modüle eder. Bu ifadenin analitik çözümü hala sadece nadir durumlarda mümkündür. Sadece kırınım kaynağından çok daha büyük mesafeler için geçerli olan daha basitleştirilmiş bir durum için, bkz. Fraunhofer kırınımı . Fraunhofer kırınımından farklı olarak, Fresnel kırınımı , girişim yapan dalgaların nispi fazını doğru bir şekilde hesaplamak için dalga cephesinin eğriliğini hesaba katar .

alternatif formlar

evrişim

İntegral, bazı matematiksel özellikleri kullanarak hesaplamak için başka şekillerde ifade edilebilir. Aşağıdaki fonksiyonu tanımlarsak:

$${\displaystyle h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}\left(x^{2 }+y^{2}\sağ)}}$$

o zaman integral bir evrişim cinsinden ifade edilebilir :

$${\displaystyle E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z)}$$

diğer bir deyişle, doğrusal filtre modellemesi kullanarak yayılımı temsil ediyoruz. Bu nedenle, fonksiyona boş uzay yayılımının dürtü tepkisi adını verebiliriz . ${\görüntüleme stili h(x,y,z)}$

Fourier dönüşümü

Bir başka olası yol da Fourier dönüşümüdür . İntegralde k'yi dalga boyu cinsinden ifade edersek :

$${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$$

ve enine yer değiştirmenin her bir bileşenini genişletin:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x-x'\right)^{2}&=x^{2}+{x'}^{2}-2xx',\\\left(y- y'\sağ)^{2}&=y^{2}+{y'}^{2}-2yy',\end{hizalı}}}$$

o zaman integrali iki boyutlu Fourier dönüşümü cinsinden ifade edebiliriz. Aşağıdaki tanımı kullanalım:

$${\displaystyle G(p,q)={\mathcal {F}}\sol\{g(x,y)\sağ\}\equiv \iint _{-\infty }^{\infty }g(x, y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,}$$

burada p ve q uzaysal frekanslardır ( dalga sayıları ). Fresnel integrali şu şekilde ifade edilebilir:

$${\displaystyle {\begin{hizalanmış}E(x,y,z)&=\left.{\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi } {\lambda z}}\left(x^{2}+y^{2}\sağ)}{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{ \frac {\pi }{\lambda z}}\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=h(x,y)\cdot G(p,q){\big |}_ {p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}},\end{hizalanmış}}}$$

Yani, önce yayılacak alanı karmaşık bir üstel ile çarpın , iki boyutlu Fourier dönüşümünü hesaplayın, başka bir faktörle değiştirin ve onunla çarpın. Bu ifade, süreç bilinen bir Fourier dönüşümüne yol açtığında ve aşağıda tartışılan doğrusal kanonik dönüşümde Fourier dönüşümü ile bağlantı sıkılaştırıldığında diğerlerinden daha iyidir . ${\görüntüleme stili (p,q)}$${\displaystyle \sol({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\sağ)}$

Doğrusal kanonik dönüşüm

Bakış açısından doğrusal standart transformasyon , Fresnel kırınım bir şekilde görülebilir kesme olarak zaman-frekans Fourier zaman-frekans etki alanında bir rotasyon dönüşümü kadar tekabül eden.

Ayrıca bakınız

• Fraunhofer kırınımı
• fresnel integrali
• Fresnel bölgesi
• Fresnel numarası
• Augustin-Jean Fresnel
• çıkıntılı ayna
• Fresnel görüntüleyici
• Euler sarmalı

Notlar

Referanslar

• Goodman, Joseph W. (1996). Fourier optiğine giriş . New York: McGraw-Hill . ISBN'si 0-07-024254-2.