Whittaker–Shannon enterpolasyon formülü - Whittaker–Shannon interpolation formula

Whittaker Shannon interpolasyon formülü ya da Sinc enterpolasyon bir oluşturmak için bir yöntemdir , sürekli-zaman Bantsınırlı gerçek sayılar dizisinden işlevi. Formül , 1898'de E. Borel'in ve 1915'te ET Whittaker'ın çalışmalarına dayanmaktadır ve 1935'te JM Whittaker'ın çalışmalarından ve 1949'da Claude Shannon tarafından Nyquist-Shannon örnekleme teoreminin formülasyonunda alıntılanmıştır . ayrıca yaygın olarak Shannon'un enterpolasyon formülü ve Whittaker'ın enterpolasyon formülü olarak da adlandırılır . 1915'te yayınlayan ET Whittaker, buna Kardinal serisi adını verdi .

Tanım

Soldaki şekil, sürekli artan numune yoğunluklarında örneklenen ve yeniden oluşturulan (altın renginde) bir fonksiyonu (gri/siyah olarak) gösterirken, sağdaki şekil, değişmeyen gri/siyah fonksiyonunun frekans spektrumunu gösterir. . Spektrumdaki en yüksek frekans, tüm spektrumun genişliğinin ½'sidir. Sürekli artan pembe gölgelemenin genişliği, numune hızına eşittir. Tüm frekans spektrumunu kapsadığında, en yüksek frekansın iki katı büyüklüğündedir ve bu, yeniden oluşturulan dalga biçiminin örneklenenle eşleştiği zamandır.

Bir reel sayı dizisi verildiğinde, x [ n ], sürekli fonksiyon

( "Sinc" terimi burada normalize Sinc fonksiyonu ) bir olan Fourier dönüşümü , X ( ön olan sıfır değerleri bölge ile sınırlı olan), | f | ≤ 1/(2 T ). T parametresi saniye birimlerine sahip olduğunda, bant sınırı , 1/(2 T ), devir/sn ( hertz ) birimlerine sahiptir . x [ n ] dizisi , sürekli bir fonksiyonun T aralığında zaman örneklerini temsil ettiğinde, f s = 1/ T niceliği örnekleme hızı olarak bilinir ve f s /2, karşılık gelen Nyquist frekansıdır . Örneklenen fonksiyonun bant limiti B , Nyquist frekansından küçük olduğunda, x ( t ) orijinal fonksiyonun mükemmel bir yeniden yapılandırmasıdır . (Bkz. Örnekleme teoremi .) Aksi takdirde, Nyquist frekansının üzerindeki frekans bileşenleri, X'in ( f ) alt Nyquist bölgesine "katlanır" , bu da bozulma ile sonuçlanır. (Bkz. Aliasing .)

Eşdeğer formülasyon: evrişim/alçak geçiren filtre

İnterpolasyon formülü olarak elde edilir Nyquist-Shannon örnekleme teoremi bu aynı zamanda şu şekilde ifade edilebilir işaret maddesi, konvolüsyon bir bölgesinin sonsuz darbe tren bir ile Sinc fonksiyonu :

Bu, geçiş bandında 1 (veya 0 dB) kazançlı ideal ( tuğla duvar ) düşük geçişli bir filtre ile dürtü dizisini filtrelemeye eşdeğerdir . Örnekleme hızı yeterince yüksekse, bu, temel bant görüntüsünün (örneklemeden önceki orijinal sinyal) değiştirilmeden geçirildiği ve diğer görüntülerin tuğla duvar filtresi tarafından kaldırıldığı anlamına gelir.

yakınsama

Enterpolasyon formülü her zaman mutlak ve yerel olarak düzgün yakınsar .

Tarafından eşitsizliği Hölder dizisi bu karşılandığı herhangi birine ait boşluk 1 ≤ ile  p  <∞, yani

Bu koşul yeterlidir, ancak gerekli değildir. Örneğin, örnek dizisi hemen hemen her durağan süreç örneklemesinden geliyorsa, toplam genellikle yakınsayacaktır , bu durumda örnek dizisi kare toplanabilir değildir ve herhangi bir boşlukta değildir .

Durağan rastgele süreçler

Eğer x [ n ] geniş anlamda bir örnek fonksiyonu örneklerinden sonsuz bir dizisidir sabit işlemi , daha sonra, herhangi bir üyesi değildir veya L p alanı olasılık 1; yani, bir p gücüne yükseltilmiş örneklerin sonsuz toplamı, sonlu bir beklenen değere sahip değildir. Bununla birlikte, enterpolasyon formülü 1 olasılıkla yakınsar. Yakınsama, toplamın kesilmiş terimlerinin varyanslarının hesaplanmasıyla ve yeterli sayıda terim seçilerek varyansın keyfi olarak küçük yapılabileceğini göstererek kolayca gösterilebilir. Eğer süreç ortalaması sıfır değilse, o zaman budanmış terimlerin beklenen değerinin sıfıra yakınsadığını göstermek için terim çiftlerinin de dikkate alınması gerekir.

Rastgele bir sürecin Fourier dönüşümü olmadığından, toplamın orijinal fonksiyona yakınsadığı koşul da farklı olmalıdır. Durağan rastgele bir süreç, bir otokorelasyon fonksiyonuna ve dolayısıyla Wiener-Khinchin teoremine göre bir spektral yoğunluğa sahiptir . Prosesten bir numune fonksiyonuna yakınsama için uygun bir koşul, prosesin spektral yoğunluğunun, numune hızının yarısına eşit ve bunun üzerindeki tüm frekanslarda sıfır olmasıdır.

Ayrıca bakınız