Chebyshev polinomları - Chebyshev polynomials

Chebyshev polinomları olarak notated kosinüs ve sinüs işlevleri ile ilgili polinomların iki sekans ve . Aynı sonuca sahip birkaç yolla tanımlanabilirler; Bu makalede polinomlar, trigonometrik fonksiyonlarla başlayarak tanımlanır :

İlk tür Chebyshev polinomları tarafından verilmektedir
Benzer bir şekilde tanımlama, ikinci tür Chebyshev polinomları olarak

Bu tanımlar polinomlar gibi görünmüyor , ancak çeşitli trigonometrik kimlikler kullanılarak açıkça polinom biçimine dönüştürülebilirler. Örneğin, n = 2 için T 2 formülü , çift açı formülü kullanılarak x = cos( θ ) argümanıyla bir polinoma dönüştürülebilir :

Formüldeki terimleri yukarıdaki tanımlarla değiştirirsek,

Diğer T n ( x ) benzer şekilde tanımlanır, burada ikinci tür ( U n ) polinomları için sin( n θ ) çarpı cos( θ ) cinsinden bir polinom olarak sin( n θ ) elde etmek için de Moivre'nin formülünü kullanmamız gerekir . Örneğin,

verir

Polinom forma dönüştürülür sonra, T N ( X ) ve U , n ( x ) olarak adlandırılır ilk Chebyshev polinomları ve ikinci tür sırasıyla.

Tersine, trigonometrik fonksiyonların keyfi bir tamsayı gücü, Chebyshev polinomları kullanılarak trigonometrik fonksiyonların doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir.

burada toplam sembolündeki asal, j = 0'ın katkısının görünmesi durumunda yarıya indirilmesi gerektiğini gösterir ve .

T n ( x )' in önemli ve kullanışlı bir özelliği , iç çarpımına göre ortogonal olmalarıdır.

ve U n ( x ) aşağıda verilen başka bir benzer iç ürüne göre ortogonaldir . Bu, Chebyshev polinomlarının Chebyshev diferansiyel denklemlerini çözmesinden kaynaklanmaktadır.

hangi şunlardır Sturm-Liouville diferansiyel denklemler . Bu tür diferansiyel denklemlerin genel bir özelliği, ayırt edici bir ortonormal çözüm kümesinin olmasıdır. (Chebyshev polinomlarını tanımlamanın başka bir yolu da bu denklemlerin çözümleridir .)

Chebyshev polinomları T n , [-1, 1] aralığında mutlak değeri 1 ile sınırlanan , olası en büyük öncü katsayıya sahip polinomlardır . Bunlar aynı zamanda diğer birçok özellik için "aşırı" polinomlardır.

Chebyshev polinomları önemli olan yaklaşım teorisinin kökleri için T N ( x ) olarak da adlandırılan, Chebyshev düğümleri , optimize etmek için uygun noktaları olarak kullanılır polinom interpolasyon . Ortaya çıkan interpolasyon polinomu, Runge fenomeni sorununu en aza indirir ve aynı zamanda " minimax " kriteri olarak da adlandırılan maksimum norm altında sürekli bir fonksiyona en iyi polinom yaklaşımına yakın bir yaklaşım sağlar . Bu yaklaşım doğrudan Clenshaw–Curtis kareleme yöntemine götürür .

Bu polinomlar, Pafnuty Chebyshev'in adını almıştır . T harfi , Chebyshev adının Tchebycheff , Tchebyshev (Fransızca) veya Tschebyschow (Almanca) olarak alternatif transliterasyonları nedeniyle kullanılır .

Tanımlar

yineleme tanımı

Birinci türden ilk beş T n Chebyshev polinomunun grafiği

Birinci tür Chebyshev polinomları elde edilen tekrar ilişkisi

Olağan jeneratör işlevi için , T , n olduğu

Chebyshev polinomları için birkaç başka üretici fonksiyon vardır ; Üstel üreten fonksiyon olduğu

2 boyutlu potansiyel teorisi ve çok kutuplu genişleme ile ilgili üretici fonksiyon ,

İkinci türden ilk beş U n Chebyshev polinomunun grafiği

İkinci tür Chebyshev polinomları nüks aşağıdaki denklem ile tanımlandığı gibidir

İki yineleme ilişkisi kümesinin vs. dışında aynı olduğuna dikkat edin . U n için sıradan üreten fonksiyon şudur:

üstel üreten fonksiyon

trigonometrik tanım

Girişte açıklandığı gibi, birinci tür Chebyshev polinomları, aşağıdakileri karşılayan benzersiz polinomlar olarak tanımlanabilir:

veya başka bir deyişle, tatmin edici benzersiz polinomlar olarak

için n = 0, 1, 2, 3, ... , teknik açıdan olarak bir varyantı (eşdeğer devrik) olan Schröder denklemi . Diğer bir deyişle, T n ( x ) , aşağıdaki yuvalama özelliğinde kodlanmış olan nx öğesine işlevsel olarak eşleniktir .

İkinci türden polinomlar şunları sağlar:

veya

yapısal olarak Dirichlet çekirdeğine oldukça benzer olan D n ( x ) :

Bu , çünkü , nx bir olduğu , n polinom inci derece çünkü x gözlenmesiyle görülebilir , çünkü nx bir tarafının gerçek bir parçası olduğu de Moivre formül . Diğer taraftan gerçek kısmı polinom olduğunu , çünkü X ve sin x bütün güçleri olan, sin x bile ve böylece değiştirilebilir kimliği üzerinden verilir , çünkü 2 x + sin 2 x = 1 . Aynı mantıkla, sin nx , polinomun, sin x'in tüm güçlerinin tek olduğu ve bu nedenle, biri çarpanlara ayrılırsa, geri kalanın bir ( n -1) inci dereceden polinom oluşturmak için değiştirilebildiği , polinomun sanal kısmıdır. içinde cos x .

Özyinelemeli üretim formülü ile bağlantılı olarak, bir açının herhangi bir tam katının kosinüsünü yalnızca taban açısının kosinüsü cinsinden hesaplamayı mümkün kıldığı için, özdeşlik oldukça faydalıdır.

İlk iki Chebyshev polinomunu değerlendirerek,

ve

bunu doğrudan belirleyebilir

ve benzeri.

İki doğrudan sonuç, kompozisyon kimliğidir (veya bir yarı grubu belirten yuvalama özelliği )

ve karmaşık üstelleştirmenin Chebyshev polinomları cinsinden ifadesi: verilen z = a + bi ,

Pell denklemi tanımı

Chebyshev polinomları, Pell denkleminin çözümleri olarak da tanımlanabilir.

bir halkada R [ x ] . Böylece, temel bir çözümün güçlerini alan Pell denklemleri için standart teknikle üretilebilirler:

İki tür Chebyshev polinomu arasındaki ilişkiler

Birinci ve ikinci tür Chebyshev polinomları tamamlayıcı bir çiftine karşılık Lucas sekansları v N ( P , Q, ) ve Û n ( p , Q, ) parametreleri ile P = 2 x ve S = 1 :

Ayrıca bir çift karşılıklı yineleme denklemini de sağladıklarını takip eder:

Birinci ve ikinci türden Chebyshev polinomları da aşağıdaki ilişkilerle bağlanır:

Chebyshev polinomlarının türevinin yineleme ilişkisi şu ilişkilerden türetilebilir:

Bu ilişki, diferansiyel denklemleri çözmek için Chebyshev spektral yönteminde kullanılır .

Turán'ın Chebyshev polinomları için eşitsizlikleri

integral ilişkiler

burada integraller temel değer olarak kabul edilir.

açık ifadeler

Chebyshev polinomlarını tanımlamaya yönelik farklı yaklaşımlar, aşağıdakiler gibi farklı açık ifadelere yol açar:

ters ile

burada toplam sembolündeki asal, göründüğü takdirde j = 0'ın katkısının yarıya indirilmesi gerektiğini gösterir.

burada 2 F 1 bir hipergeometrik fonksiyondur .

Özellikler

Simetri

Yani, çift sıralı Chebyshev polinomları çift ​​simetriye sahiptir ve yalnızca x'in çift ​​kuvvetlerini içerir . Tek sıralı Chebyshev polinomları tek simetriye sahiptir ve yalnızca x'in tek güçlerini içerir .

Kökler ve ekstrema

Derecesi n olan her iki türden bir Chebyshev polinomu, [-1, 1] aralığında Chebyshev kökleri olarak adlandırılan n farklı basit köke sahiptir . Birinci tür Chebyshev polinomunun kökleri bazen Chebyshev düğümleri olarak adlandırılır çünkü bunlar polinom interpolasyonunda düğümler olarak kullanılır . Trigonometrik tanımı ve gerçeğini kullanarak

T n'nin köklerinin olduğu gösterilebilir.

Benzer bir şekilde, kökleri U n olan

Maksimum minimum bir T N aralığına -1 ≤ x ≤ 1 yer almaktadır

Birinci tür Chebyshev polinomlarının benzersiz bir özelliği, −1 ≤ x ≤ 1 aralığında tüm ekstremumların -1 veya 1 olan değerlere sahip olmasıdır. Bu nedenle, bu polinomların yalnızca iki sonlu kritik değeri vardır . Şabat polinomları . Hem birinci hem de ikinci tür Chebyshev polinomunun uç noktalarında uç noktaları vardır, şu şekilde verilir:

Farklılaşma ve entegrasyon

Polinomların türevleri basit olmaktan daha az olabilir. Polinomların trigonometrik formlarında türevleri alınarak şu şekilde gösterilebilir:

Son iki formül, sıfıra bölme nedeniyle sayısal olarak zahmetli olabilir (0/0 belirsiz form , özellikle) x = 1 ve x = -1'de . Şunlar gösterilebilir:

Kanıt

Birinci türden Chebyshev polinomunun ikinci türevi ,

bu, yukarıda gösterildiği gibi değerlendirilirse , x = ±1'de belirsiz olduğu için bir sorun teşkil eder . Fonksiyon bir polinom olduğundan, türevlerin (tümü) tüm reel sayılar için mevcut olması gerekir, bu nedenle yukarıdaki ifadede limit alma işlemi istenen değeri vermelidir:

burada şimdilik sadece x = 1 kabul edilir. Paydayı çarpanlara ayırma:

Limit bir bütün olarak var olması gerektiğinden, pay ve paydanın limiti bağımsız olarak var olmalıdır ve

Payda (hala) sıfırla sınırlıdır; bu, payın sıfırla sınırlandırılması gerektiği anlamına gelir, yani daha sonra faydalı olacak olan U n − 1 (1) = nT n (1) = n . Pay ve paydanın ikisi de sıfırla sınırlı olduğundan, L'Hôpital kuralı geçerlidir:

x = −1'in ispatı , T n (−1) = (−1) n'nin önemli olması gerçeğiyle benzerdir .

Daha genel formül şunları belirtir:

özdeğer problemlerinin sayısal çözümünde çok kullanışlıdır.

Ayrıca, bizde

burada toplama sembollerindeki asal, k = 0 tarafından sağlanan terimin , göründüğü takdirde yarıya indirileceği anlamına gelir .

Entegrasyonla ilgili olarak, T n'nin birinci türevi şunu ima eder:

ve türevleri içeren birinci tür polinomlar için tekrarlama bağıntısı, n ≥ 2 için

Son formülü bundan başka, integralini ifade etmek için manipüle edilebilir T N yalnızca birinci türden Chebyshev polinomları bir fonksiyonu olarak:

Ayrıca, sahip olduğumuz

Chebyshev polinomlarının ürünleri

Chebyshev polinomlarıyla çalışırken, genellikle ikisinin ürünleri ortaya çıkar. Bu ürünler, daha düşük veya daha yüksek dereceli Chebyshev polinomlarının kombinasyonlarına indirgenebilir ve ürün hakkında sonuç ifadeleri yapmak daha kolaydır. Aşağıda m indeksinin n indeksinden büyük veya ona eşit olduğu ve n'nin negatif olmadığı varsayılacaktır. Birinci türden Chebyshev polinomları için ürün genişler.

hangi toplama teoremi için bir benzetmedir

kimliklerle

İçin , n = 1 daha önce bilinen nüks formül Bu sonuçlar, sadece farklı şekilde düzenlenmiş, ile , n = 2 bu (düşük parite bağlı olarak ya çift ya tek Chebyshev polinomları yineleme ilişkisi oluşturur m fonksiyonları tasarımı sağlar) Öngörülen simetri özellikleri ile. Bu çarpım açılımından Chebyshev polinomlarını değerlendirmek için üç faydalı formül daha çıkarılabilir:

İkinci tür Chebyshev polinomları için ürünler şu şekilde yazılabilir:

için mn .

Bununla, yukarıdaki gibi, n = 2 ile ikinci tür Chebyshev polinomları için tekrarlama formülü her iki simetri türü için de

m'nin 2 veya 3 ile başlamasına bağlı olarak .

ortogonallik

Hem T n ve u , n , bir dizi oluşturan dik polinomlar . İlk tür polinomları T N ağırlığına göre ortogonal olan

[−1, 1] aralığında , yani:

Bu sağlayarak ispat edilebilir x = cos θ ve belirleyici kimliği kullanarak T N (cos θ ) = cos .

Benzer şekilde, ikinci tür U n polinomları , ağırlığa göre ortogonaldir.

[−1, 1] aralığında , yani:

( 1 − x 2 d x ölçüsü , bir normalleştirme sabiti içinde Wigner yarım daire dağılımıdır .)

T N da ayrı bir diklik şartı yerine getirir:

burada N max( i , j ) değerinden büyük herhangi bir tamsayıdır ve x k , T N ( x ) öğesinin N Chebyshev düğümleridir (yukarıya bakın ) :

İkinci tür polinomlar ve aynı Chebyshev düğümleri x k olan herhangi bir N > i + j tamsayısı için benzer toplamlar vardır:

ve ağırlık fonksiyonu olmadan:

U N ( x ) 'nin N sıfırına dayalı herhangi bir N > i + j tamsayı için :

bir toplamı alabilir:

ve yine ağırlık fonksiyonu olmadan:

Minimal -norm

Herhangi bir n ≥ 1 için , başta katsayı 1 olan n dereceli polinomlar arasında ( monik polinomlar),

[-1,1] aralığındaki maksimum mutlak değeri minimum olan değerdir.

Bu maksimum mutlak değer,

ve | f ( x ) | bu maksimuma tam olarak n + 1 kez ulaşır

Kanıt

En varsayalım w n ( x ) derecesi bir polinomdur n aralığı üzerinde maksimal değerde katsayısı 1, önde gelen [1,1] az 1/2 n- 1 - .

Tanımlamak

Çünkü, aşırı noktalarında T N Elimizdeki

Kaynaktan ara değer teoremi , f , n ( x ) , en azından sahip N kökleri. Bununla birlikte, f n ( x ) n − 1 dereceli bir polinom olduğundan, bu imkansızdır, bu nedenle cebirin temel teoremi en fazla n − 1 köke sahip olduğunu ima eder .

Açıklama

By Equioscillation teoremi derece polinomların tümü arasında, n , polinom f minimize || f || ile [1,1] eğer olmaması durumunda , n + 2 puan -1 ≤ x 0 < x 1 <⋯ < x , n + 1 ≤ 1 , öyle ki | f ( x ben ) | = || f || .

Elbette, [-1,1] aralığındaki sıfır polinomu kendi başına yaklaşılabilir ve -normunu minimize eder .

Ancak yukarıda | f | maksimumuna sadece n + 1 kez ulaşır, çünkü n ≥ 1 dereceli en iyi polinomu arıyoruz (bu nedenle daha önce uyandırılan teorem kullanılamaz).

Diğer özellikler

Chebyshev polinomları, kendileri Jacobi polinomlarının özel bir durumu olan ultrasferik veya Gegenbauer polinomlarının özel bir durumudur :

Her pozitif bir tamsayı için n , T , n ( x ) ve U , n ( x ) derecesi her iki polinomlar olan n . Bunlar hatta tek fonksiyonlar arasında x'in olarak n polinomlar olarak yazılır, bu nedenle zaman tek veya çift olup x , sadece sırasıyla çift veya tek derecelik terimleri vardır. Aslında,

ve

Lider katsayısı T N olduğu 2 , n 1 - eğer 1 ≤ n , ancak 1 ise 0 = n .

T N özel bir durumu olan eğriler Lissajous frekans oranına sahip için eşit n .

Gibi çeşitli polinom sekansları Lucas polinomları ( L , n ), Dickson polinomları ( D , n ), Fibonacci polinomları ( F N Chebyshev ile ilişkili) polinomları T n ve U , n .

Birinci türden Chebyshev polinomları, ilişkiyi tatmin eder.

bu, kosinüs için çarpım-toplam formülünden kolayca kanıtlanır . İkinci türden polinomlar benzer ilişkiyi sağlar.

( ulaşıma göre U -1 ≡ 0 tanımıyla ).

formüle benzer

benzer formülümüz var

İçin x ≠ 0 ,

ve

bu, x = e için tanım gereği geçerli olduğu gerçeğinden çıkar .

Tanımlamak

O zaman C n ( x ) ve C m ( x ) değişken polinomlardır:

yukarıda belirtilen Abelian yuvalama özelliğinde açıkça görüldüğü gibi.

Genelleştirilmiş Chebyshev polinomları

Genelleştirilmiş Chebyshev polinomları T bir tanımlanır

burada bir zorunlu bir tamsayıdır olup 2 F 1 ( a , b ; C , z ) Gaussian hipergeometrik fonksiyonu ; örnek olarak, . güç serisi genişletme

için birleşir .

Örnekler

Birinci tür

−1 < x < 1 alanındaki birinci türden ilk birkaç Chebyshev polinomu : Düz T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 4 ve T 5 .

İlk türünün ilk birkaç Chebyshev polinomları şunlardır OEISA028297

İkinci tür

−1 < x < 1 alanındaki ikinci türden ilk birkaç Chebyshev polinomu : Düz U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 ve U 5 . Resimde görünmese de, U n (1) = n + 1 ve U n (−1) = ( n + 1)(−1) n .

İkinci türünün ilk birkaç Chebyshev polinomları şunlardır OEISA053117

Temel set olarak

Düzgün olmayan fonksiyon (üst) y = − x 3 H (− x ) , burada H , Heaviside adım fonksiyonudur ve (altta) Chebyshev açılımının 5. kısmi toplamıdır. 7. toplam, grafiğin çözünürlüğünde orijinal fonksiyondan ayırt edilemez.

Uygun Sobolev uzayında , Chebyshev polinomları kümesi ortonormal bir temel oluşturur , böylece aynı uzaydaki bir fonksiyon −1 ≤ x ≤ 1 üzerinde açılım yoluyla ifade edilebilir:

Ayrıca, daha önce bahsedildiği gibi, Chebyshev polinomları, (diğer şeylerin yanı sıra) a n katsayılarının bir iç çarpım uygulaması yoluyla kolayca belirlenebileceğini ima eden ortogonal bir temel oluşturur . Bu toplama Chebyshev serisi veya Chebyshev açılımı denir .

Bir Chebyshev serisi ile ilgili olduğundan Fourier kosinüs serileri değişkenlerin bir değişiklik yoluyla, uygulanır vb teoremleri, kimlikler, tüm Fourier serileri bir Chebyshev muadili var. Bu nitelikler şunları içerir:

  • Chebyshev polinomları tam bir ortogonal sistem oluşturur.
  • Fonksiyon parçalı düzgün ve sürekli ise Chebyshev serisi f ( x ) 'e yakınsar . f ( x ) ve türevlerinde sonlu sayıda süreksizlik olduğu sürece, pürüzsüzlük gereksinimi çoğu durumda gevşetilebilir .
  • Süreksizlik durumunda seri sağ ve sol limitlerin ortalamasına yakınsar.

Fourier serilerinden miras alınan teoremlerin ve kimliklerin bolluğu Chebyshev polinomlarını sayısal analizde önemli araçlar haline getirir ; örneğin, spektral yöntemde kullanılan en popüler genel amaçlı temel fonksiyonlardır , sürekli fonksiyonlar için genellikle daha hızlı yakınsama nedeniyle genellikle trigonometrik seriler lehinedir ( Gibbs fenomeni hala bir problemdir).

örnek 1

log(1 + x )' in Chebyshev açılımını düşünün . Bir ifade edebilir

Bir n katsayıları , ya bir iç çarpım uygulaması yoluyla ya da ayrık diklik koşulu ile bulunabilir. İç ürün için,

hangi verir

Alternatif olarak, tahmin edilen fonksiyonun iç çarpımı değerlendirilemediğinde, ayrık diklik koşulu, yaklaşık katsayılar için genellikle yararlı bir sonuç verir ,

burada δ ij , Kronecker delta işlevidir ve x k , T N ( x ) öğesinin N Gauss–Chebyshev sıfırlarıdır :

Herhangi bir N için , bu yaklaşık katsayılar, bu noktalar arasında kontrollü bir hata ile x k'deki fonksiyona tam bir yaklaşım sağlar . Kesin katsayılar N = ∞ ile elde edilir , böylece fonksiyonu [-1,1] içindeki tüm noktalarda tam olarak temsil eder . Yakınsama hızı, işleve ve düzgünlüğüne bağlıdır.

Bu, yaklaşık katsayıları a n'yi ayrık kosinüs dönüşümü aracılığıyla çok verimli bir şekilde hesaplamamızı sağlar.

Örnek 2

Başka bir örnek vermek gerekirse:

Kısmi toplamlar

kısmi toplamları

çeşitli fonksiyonların yaklaştırılmasında ve diferansiyel denklemlerin çözümünde çok faydalıdır ( spektral yönteme bakınız ). Katsayılarının iki yaygın yöntemler bir N kullanımı ile olan iç çarpım olarak Galerkin yöntemi ve kullanımı ile collocation ilgilidir interpolasyon .

Bir interpolant olarak, ( N − 1) inci kısmi toplamın N katsayıları genellikle Chebyshev–Gauss–Lobatto noktalarında (veya Lobatto ızgarasında) elde edilir, bu da minimum hatayla sonuçlanır ve düzgün bir ızgarayla ilişkili Runge fenomenini önler . Bu nokta koleksiyonu, toplamdaki en yüksek dereceli polinomun uç noktalarına artı uç noktalarına karşılık gelir ve şu şekilde verilir:

Chebyshev formunda polinom

N dereceli keyfi bir polinom , birinci tür Chebyshev polinomları cinsinden yazılabilir. Böyle bir polinom p ( x ) biçimindedir

Chebyshev formundaki polinomlar, Clenshaw algoritması kullanılarak değerlendirilebilir .

Kaydırılmış Chebyshev polinomları

Birinci türden kaydırılmış Chebyshev polinomları şu şekilde tanımlanır:

Chebyshev polinomunun argümanı 2 x − 1 ∈ [−1, 1] aralığında olduğunda, kaydırılmış Chebyshev polinomunun argümanı x[0, 1] olur . Benzer şekilde, genel aralıklar [ a , b ] için kaydırılmış polinomlar tanımlanabilir .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Kaynaklar

Dış bağlantılar