Fourier analizi -Fourier analysis

Açık dize A notasının (55 Hz) bas gitar zaman sinyali.

Açık tel A notasının (55 Hz) bas gitar zaman sinyalinin Fourier dönüşümü. Fourier analizi, sinyallerin ve fonksiyonların salınımlı bileşenlerini ortaya çıkarır .

Matematikte , Fourier analizi ( / ˈfʊr ieɪ , -iər / ) , genel fonksiyonların daha basit trigonometrik fonksiyonların toplamlarıyla temsil edilebileceği veya yaklaşık olarak hesaplanabileceği yolların incelenmesidir . Fourier analizi, Fourier serilerinin incelenmesinden doğmuştur ve adını , bir fonksiyonu trigonometrik fonksiyonların toplamı olarak temsil etmenin ısı transferi çalışmasını büyük ölçüde basitleştirdiğini gösteren Joseph Fourier'den almıştır .

Fourier analizinin konusu, geniş bir matematik yelpazesini kapsar. Bilimlerde ve mühendislikte, bir fonksiyonu salınımlı bileşenlere ayırma işlemi genellikle Fourier analizi olarak adlandırılırken, fonksiyonu bu parçalardan yeniden oluşturma işlemi Fourier sentezi olarak bilinir . Örneğin, bir müzik notasında hangi bileşen frekanslarının bulunduğunun belirlenmesi, örneklenmiş bir müzik notasının Fourier dönüşümünün hesaplanmasını içerecektir. Daha sonra, Fourier analizinde ortaya çıktığı gibi, frekans bileşenlerini dahil ederek aynı sesi yeniden sentezleyebilirsiniz. Matematikte, Fourier analizi terimi genellikle her iki işlemin incelenmesini ifade eder.

Ayrıştırma işleminin kendisine Fourier dönüşümü denir . Çıktısı olan Fourier dönüşümüne genellikle dönüştürülmekte olan fonksiyonun etki alanına ve diğer özelliklerine bağlı olarak daha spesifik bir ad verilir . Dahası, Fourier analizinin orijinal kavramı, zaman içinde daha soyut ve genel durumlara uygulanmak üzere genişletildi ve genel alan genellikle harmonik analiz olarak bilinir . Analiz için kullanılan her dönüşüm ( Fourier ile ilgili dönüşümlerin listesine bakın ), sentez için kullanılabilen karşılık gelen bir ters dönüşüme sahiptir.

Fourier analizini kullanmak için veriler eşit aralıklı olmalıdır. Eşit olmayan aralıklı verileri analiz etmek için farklı yaklaşımlar geliştirilmiştir, özellikle Fourier analizine benzer şekilde veri örneklerine sinüzoidlerin en küçük kareler uyumunu kullanan en küçük kareler spektral analizi (LSSA) yöntemleri. Bilimde en çok kullanılan spektral yöntem olan Fourier analizi, genellikle uzun boşluklu kayıtlarda uzun periyodik gürültüyü artırır; LSSA bu tür sorunları azaltır.

Uygulamalar

Fourier analizinin birçok bilimsel uygulaması vardır - fizikte , kısmi diferansiyel denklemlerde , sayı teorisinde , kombinatorikte , sinyal işlemede , dijital görüntü işlemede , olasılık teorisinde , istatistikte , adli tıpta , opsiyon fiyatlandırmasında , kriptografide , sayısal analizde , akustikte , oşinografide , sonarda , optikte , kırınımda , geometri , protein yapı analizi ve diğer alanlar.

Bu geniş uygulanabilirlik, dönüşümlerin birçok yararlı özelliğinden kaynaklanmaktadır:

• Dönüşümler lineer operatörlerdir ve uygun normalizasyon ile aynı zamanda üniterdir ( Parseval teoremi veya daha genel olarak Plancherel teoremi ve en genel olarak Pontryagin ikiliği aracılığıyla bilinen bir özellik ).
• Dönüşümler genellikle tersine çevrilebilir.
• Üstel fonksiyonlar, farklılaşmanın özfonksiyonlarıdır , yani bu temsil, sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemleri sıradan cebirsel denklemlere dönüştürür. Bu nedenle, doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemin davranışı, her frekansta bağımsız olarak analiz edilebilir.
• Evrişim teoremi ile Fourier dönüşümleri, karmaşık evrişim işlemini basit çarpma işlemine dönüştürür; bu, sinyal filtreleme, polinom çarpma ve büyük sayıları çarpma gibi evrişim tabanlı işlemleri hesaplamak için verimli bir yol sağladıkları anlamına gelir .
• Fourier dönüşümünün ayrık versiyonu (aşağıya bakın), hızlı Fourier dönüşümü (FFT) algoritmaları kullanan bilgisayarlarda hızlı bir şekilde değerlendirilebilir .

Adli tıpta, laboratuvar kızılötesi spektrofotometreleri, bir malzemenin kızılötesi spektrumda emeceği ışığın dalga boylarını ölçmek için Fourier dönüşüm analizini kullanır. FT yöntemi, ölçülen sinyallerin kodunu çözmek ve dalga boyu verilerini kaydetmek için kullanılır. Ve bir bilgisayar kullanılarak, bu Fourier hesaplamaları hızla gerçekleştirilir, böylece saniyeler içinde, bilgisayarla çalışan bir FT-IR aleti, bir prizma aletininkine benzer bir kızılötesi absorpsiyon modeli üretebilir.

Fourier dönüşümü, bir sinyalin kompakt bir temsili olarak da kullanışlıdır. Örneğin, JPEG sıkıştırma , bir dijital görüntünün küçük kare parçalarının Fourier dönüşümünün ( ayrık kosinüs dönüşümü ) bir çeşidini kullanır. Her karenin Fourier bileşenleri, aritmetik kesinliği azaltmak için yuvarlanır ve zayıf bileşenler tamamen ortadan kaldırılır, böylece kalan bileşenler çok kompakt bir şekilde depolanabilir. Görüntü rekonstrüksiyonunda, her bir görüntü karesi, korunan yaklaşık Fourier-dönüştürülmüş bileşenlerden yeniden birleştirilir ve bunlar daha sonra orijinal görüntünün bir yaklaşımını üretmek için ters dönüştürülür.

Sinyal işlemede , Fourier dönüşümü genellikle bir zaman serisini veya sürekli zamanın bir fonksiyonunu alır ve bunu bir frekans spektrumuna eşler . Yani, zaman alanından frekans alanına bir fonksiyon alır ; bir fonksiyonun farklı frekanslardaki sinüsoidlere ayrışmasıdır ; Fourier serisi veya ayrık Fourier dönüşümü durumunda sinüzoidler, analiz edilen fonksiyonun temel frekansının harmonikleridir .

Bir fonksiyon zamanın bir fonksiyonu olduğunda ve fiziksel bir sinyali temsil ettiğinde , dönüşüm, sinyalin frekans spektrumu olarak standart bir yoruma sahiptir. Ortaya çıkan karmaşık değerli fonksiyonun frekanstaki büyüklüğü , ilk fazı (kutupsal koordinatlar ) açısıyla verilen bir frekans bileşeninin genliğini temsil eder . ${\ ekran stili s (t)}$${\ ekran stili S (f)}$${\ ekran stili f}$${\ ekran stili S (f)}$

Fourier dönüşümleri, zaman fonksiyonları ve zamansal frekanslarla sınırlı değildir. Uzamsal frekansları analiz etmek için ve aslında hemen hemen her fonksiyon alanı için eşit şekilde uygulanabilirler . Bu, görüntü işleme , ısı iletimi ve otomatik kontrol gibi çok çeşitli dallarda kullanımlarını haklı çıkarır .

Ses , radyo dalgaları , ışık dalgaları, sismik dalgalar ve hatta görüntüler gibi sinyalleri işlerken , Fourier analizi bir bileşik dalga biçiminin dar bant bileşenlerini izole edebilir ve bunları daha kolay algılama veya kaldırma için yoğunlaştırabilir. Geniş bir sinyal işleme teknikleri ailesi, bir sinyalin Fourier-dönüştürülmesinden, Fourier-dönüştürülmüş verilerin basit bir şekilde manipüle edilmesinden ve dönüşümün tersine çevrilmesinden oluşur.

Bazı örnekler şunları içerir:

• Ses kayıtlarının bir dizi bant geçiren filtre ile eşitlenmesi ;
• Modern bir cep telefonunda veya radyo tarayıcısında olduğu gibi, süperheterodin devresi olmayan dijital radyo alımı ;
• Taramalı videodaki çentikler , şerit hava fotoğrafçılığındaki şerit yapaylıkları veya bir dijital kameradaki radyo frekansı girişiminden kaynaklanan dalga desenleri gibi periyodik veya anizotropik bozuklukları gidermek için görüntü işleme ;
• Ortak hizalama için benzer görüntülerin çapraz korelasyonu ;
• Kırınım modelinden bir kristal yapıyı yeniden oluşturmak için X-ışını kristalografisi ;
• Bir manyetik alandaki siklotron hareketinin frekansından iyonların kütlesini belirlemek için Fourier dönüşümü iyon siklotron rezonans kütle spektrometresi;
• Kızılötesi ve nükleer manyetik rezonans spektroskopileri dahil olmak üzere diğer birçok spektroskopi biçimi ;
• Sesleri analiz etmek için kullanılan ses spektrogramlarının oluşturulması ;
• Hedefleri makine gürültüsüne göre sınıflandırmak için kullanılan pasif sonar .

Fourier analizinin varyantları

Bir Fourier dönüşümü ve altta yatan zaman alanı fonksiyonunun periyodik örneklemesinin (T aralığında) ve/veya periyodik toplamının (P aralığında) neden olduğu 3 varyasyon. DFT dizisinin göreceli hesaplama kolaylığı ve S ( f ) 'ye verdiği içgörü , onu popüler bir analiz aracı haline getirir.

(Sürekli) Fourier dönüşümü

Çoğu zaman, niteliksiz Fourier dönüşümü terimi, sürekli bir gerçek argümanın fonksiyonlarının dönüşümüne atıfta bulunur ve frekans dağılımı olarak bilinen sürekli bir frekans fonksiyonu üretir . Bir işlev diğerine dönüştürülür ve işlem tersine çevrilebilir. Giriş (başlangıç) fonksiyonunun alanı zaman ( t ) ve çıkış (nihai) fonksiyonunun alanı normal frekans olduğunda, s ( t ) fonksiyonunun f frekansındaki dönüşümü karmaşık sayı ile verilir:

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty}^{\infty}s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}$

Bu miktarı f'nin tüm değerleri için değerlendirmek, frekans alanı işlevini üretir . O zaman s ( t ), olası tüm frekansların karmaşık üstellerinin bir yeniden birleşimi olarak temsil edilebilir :

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty}^{\infty}S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}$

bu ters dönüşüm formülüdür. Karmaşık sayı, S ( f ) , f frekansının hem genliğini hem de fazını taşır .

Aşağıdakiler dahil çok daha fazla bilgi için Fourier dönüşümüne bakın :

• genlik normalleştirme ve frekans ölçeklendirme/birimler için kurallar
• özellikleri dönüştür
• belirli fonksiyonların tablolaştırılmış dönüşümleri
• görüntüler gibi çok boyutlu işlevler için bir uzantı/genelleme.

Fourier serisi

Periyodik bir fonksiyonun, s _P ( t ) , P periyodu ile Fourier dönüşümü , bir dizi karmaşık katsayı tarafından modüle edilen bir Dirac tarak fonksiyonu haline gelir :

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (burada ∫ _P, herhangi bir P uzunluk aralığı üzerinden integraldir ).

Fourier serisi olarak bilinen ters dönüşüm , her biri katsayılardan biri tarafından belirtilen bir genliğe ve faza sahip, potansiyel olarak sonsuz sayıda harmonik olarak ilişkili sinüsoidlerin veya karmaşık üstel fonksiyonların toplamı cinsinden s _P ( t )' nin bir temsilidir :

${\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty}^{+\infty}S[k ]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\sağ)\sağ\}\ \ =\ \ \toplam _{k=-\infty }^{\infty }S[k ]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.}$

Herhangi bir s _P ( t ), başka bir fonksiyonun, s ( t ) periyodik toplamı olarak ifade edilebilir :

${\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty}^{\infty}s(t-mP),}$

ve katsayılar, S ( f ) örnekleriyle orantılıdır ve farklı aralıklarla 1/P:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\sağ).}$

Dönüşümü aynı ayrık örnek değerlere sahip herhangi bir s ( t ) 'nin periyodik toplamada kullanılabileceğini unutmayın . Sadece bu örneklerden (yani Fourier serisinden) s ( t )' yi (ve dolayısıyla S ( f ) ) geri kazanmak için yeterli bir koşul , s ( t ) 'nin sıfır olmayan kısmının bilinen bir P süresi aralığıyla sınırlı olmasıdır , bu , Nyquist-Shannon örnekleme teoreminin frekans alanı ikilisidir .

Tarihsel gelişim de dahil olmak üzere daha fazla bilgi için Fourier serisine bakın .

Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT)

DTFT, zaman alanlı Fourier serisinin matematiksel ikilisidir. Böylece, frekans alanındaki yakınsak bir periyodik toplam , katsayıları ilgili bir sürekli zaman fonksiyonunun örnekleri olan bir Fourier serisi ile temsil edilebilir:

${\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\toplam _{k=-\infty}^{\infty}S\left(f-{\frac {k) }{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier seri (DTFT)}}} _{\text{Poisson toplama formülü}}={\mathcal {F}}\left\{\toplam _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \ delta (t-nT)\sağ\},\,}$

DTFT olarak bilinir. Böylece s [ n ] dizisinin DTFT'si aynı zamanda modüle edilmiş Dirac tarak fonksiyonunun Fourier dönüşümüdür .

Fourier serisi katsayıları (ve ters dönüşüm) şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\ ,df=T\alt kuşak {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}. }$

T parametresi örnekleme aralığına karşılık gelir ve bu Fourier serisi artık Poisson toplama formülünün bir biçimi olarak kabul edilebilir . Böylece, ayrık bir veri dizisi, s [ n ] , altta yatan bir sürekli fonksiyonun, s ( t ) örnekleriyle orantılı olduğunda , sürekli Fourier dönüşümünün, S ( f ) periyodik bir toplamının gözlemlenebileceği önemli bir sonuca sahibiz . Aynı ayrı örnek değerlere sahip herhangi bir s ( t ) 'nin aynı DTFT'yi ürettiğine dikkat edin. Ancak belirli idealize edilmiş koşullar altında kişi teorik olarak S ( f ) ve s ( t )'yi tam olarak kurtarabilir . Mükemmel geri kazanım için yeterli bir koşul, S ( f ) 'nin sıfır olmayan kısmının bilinen bir genişlik frekans aralığı ile sınırlandırılmasıdır.1/T. Bu aralık [−1/2 ton,1/2 ton] , uygulanabilir yeniden yapılandırma formülü Whittaker-Shannon interpolasyon formülüdür . Bu, dijital sinyal işlemenin temelindeki bir mihenk taşıdır .

S _{1/ T} ( f ) ile ilgilenmenin bir başka nedeni de , örnekleme sürecinin neden olduğu örtüşme miktarı hakkında genellikle fikir sağlamasıdır .

DTFT'nin uygulamaları, örneklenmiş işlevlerle sınırlı değildir. Bu ve aşağıdakiler dahil diğer konular hakkında daha fazla bilgi için Ayrık zamanlı Fourier dönüşümüne bakın :

• normalleştirilmiş frekans birimleri
• pencereleme (sonlu uzunlukta diziler)
• özellikleri dönüştür
• belirli fonksiyonların tablolaştırılmış dönüşümleri

Ayrık Fourier dönüşümü (DFT)

Bir Fourier serisine benzer şekilde, periyodik bir dizinin DTFT'si, periyot ile , bir karmaşık katsayılar dizisi tarafından modüle edilen bir Dirac tarak fonksiyonu haline gelir (bkz. DTFT § Periyodik veriler ): ${\displaystyle s_{N}[n]}$${\ ekran stili N}$

${\displaystyle S[k]=\toplam _{n}s_{N}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (burada Σ _n, N uzunluğundaki herhangi bir dizinin toplamıdır ).

S [ k ] dizisi _, geleneksel olarak sN'nin bir döngüsünün DFT'si olarak bilinen dizidir . Aynı zamanda N -periyodiktir, dolayısıyla N katsayıdan fazlasını hesaplamak asla gerekli değildir . Ayrık Fourier serisi olarak da bilinen ters dönüşüm şu şekilde verilir:

${\displaystyle s_{N}[n]={\frac {1}{N}}\toplam _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k },}$   burada Σ _k, N uzunluğundaki herhangi bir dizinin toplamıdır .

s _N [ n ] başka bir fonksiyonun periyodik toplamı olarak ifade edildiğinde :

${\displaystyle s_{N}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty}^{\infty}s[n-mN],}$   Ve   ${\displaystyle s[n]\,\triangleq \,s(nT),}$

katsayılar, S _{1/ T} ( f ) örnekleriyle orantılıdır ve farklı aralıklarla1/P=1/NT:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\sağ).}$

Tersine, sürekli bir DTFT, S _{1/ T} ( f ) 'nin bir döngüsünün ayrık örneklerinin gelişigüzel bir sayısını ( N ) hesaplamak istendiğinde , bu , s _N [ n ] 'nin nispeten basit DFT'si hesaplanarak yapılabilir : yukarıda tanımlanmıştır. Çoğu durumda, N , s [ n ] öğesinin sıfır olmayan bölümünün uzunluğuna eşit olarak seçilir . Sıfır doldurma veya enterpolasyon olarak bilinen artan N , bir S1 _{/ T} ( f ) döngüsünün daha yakın aralıklı örnekleriyle sonuçlanır . Azalan N , zaman alanında örtüşmeye (eklemeye) neden olur ( aliasing'e benzer ), bu da frekans alanında kırdamaya karşılık gelir. (bkz. Ayrık-zamanlı Fourier dönüşümü § L=N×I ) Çoğu pratik ilgi durumunda, s [ n ] dizisi, sonlu uzunlukta bir pencere işlevi veya FIR filtre dizisinin uygulanmasıyla kesilmiş daha uzun bir diziyi temsil eder .

DFT, hızlı bir Fourier dönüşümü (FFT) algoritması kullanılarak hesaplanabilir , bu da onu bilgisayarlarda pratik ve önemli bir dönüşüm haline getirir.

Aşağıdakiler dahil çok daha fazla bilgi için Ayrık Fourier dönüşümüne bakın :

• özellikleri dönüştür
• uygulamalar
• belirli fonksiyonların tablolaştırılmış dönüşümleri

Özet

Periyodik fonksiyonlar için, hem Fourier dönüşümü hem de DTFT, yalnızca ayrık bir frekans bileşenleri kümesi (Fourier serisi) içerir ve dönüşümler bu frekanslarda ıraksar. Yaygın bir uygulama (yukarıda tartışılmayan), bu sapmayı Dirac delta ve Dirac tarak fonksiyonları aracılığıyla ele almaktır . Ancak aynı spektral bilgi, periyodik fonksiyonun yalnızca bir döngüsünden ayırt edilebilir, çünkü diğer tüm döngüler aynıdır. Benzer şekilde, sonlu süreli fonksiyonlar, ters dönüşümün periyodikliğinin yalnızca yapay bir yapı olması dışında gerçek bilgi kaybı olmaksızın bir Fourier serisi olarak temsil edilebilir.

Uygulamada s (•) süresinin P veya N süresiyle sınırlandırılması yaygındır . Ancak bu formüller bu koşulu gerektirmez.

s ( t ) dönüşümler (sürekli zaman)

	sürekli frekans	Ayrık frekanslar
Dönüştür	${\displaystyle S(f)\,\triangleq \,\int _{-\infty}^{\infty}s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt}$	${\displaystyle \overbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\sağ)} ^{S[k]}\,\triangleq \,{ \frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt \equiv {\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt}$
Ters	${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty}^{\infty}S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df}$	${\displaystyle \alt destek {s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty}^{\infty}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P} }t}} _{\text{Poisson toplama formülü (Fourier serisi)}}\,}$

s ( nT ) dönüşümler (ayrık zamanlı)

	sürekli frekans	Ayrık frekanslar
Dönüştür	${\ displaystyle \ underbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\,\triangleq \,\sum _ {n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi fnT}} _{\text{Poisson toplama formülü (DTFT)}}}$	${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\overbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\sağ)} ^{S[k]}\,&\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N }}}\\&\equiv \underbrace {\sum _{n}s_{P}(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{ DFT}}\,\end{hizalı}}}$
Ters	${\displaystyle s(nT)=T\int _{\frac {1}{T}}{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^ {i2\pi fnT}\,df}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot \delta (t-nT)=\alt kuşak {\int _{-\infty }^{\infty}}{\ frac {1}{T}}\ S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df} _{\text{ters Fourier dönüşümü}}\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}s_{P}(nT)&=\overbrace {{\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi { \frac {kn}{N}}}} ^{\text{ters DFT}}\\&={\tfrac {1}{P}}\sum _{k}S_{\frac {1}{T} }\left({\frac {k}{P}}\sağ)\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}\end{aligned}}}$

simetri özellikleri

Karmaşık bir fonksiyonun gerçek ve hayali kısımları çift ve tek kısımlarına ayrıştırıldığında , aşağıda RE, RO, IE ve IO alt simgeleriyle gösterilen dört bileşen vardır. Ve karmaşık bir zaman fonksiyonunun dört bileşeni ile karmaşık frekans dönüşümünün dört bileşeni arasında bire bir eşleştirme vardır:

${\displaystyle {\begin{dizi}{rccccccccc}{\text{Zaman alanı}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}}&+&is_{ _{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \ Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow } {\mathcal {F}}\\{\text{Frekans alanı}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+ &iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

Bundan, çeşitli ilişkiler açıktır, örneğin:

• Gerçek değerli bir fonksiyonun ( s _RE + s _RO ) dönüşümü çift simetrik fonksiyon S _RE + i S _IO'dur . Tersine, çift simetrik bir dönüşüm, gerçek değerli bir zaman alanı anlamına gelir.
• Hayali değerli bir fonksiyonun ( i s _IE + i s _IO ) dönüşümü, tek simetrik fonksiyon S _RO + i S _IE'dir ve bunun tersi doğrudur.
• Çift simetrik bir fonksiyonun ( s _RE + i s _IO ) dönüşümü, gerçek değerli fonksiyon S _RE + S _RO'dur ve bunun tersi doğrudur.
• Tek-simetrik bir fonksiyonun ( s _RO + i s _IE ) dönüşümü sanal değerli i S _IE + i S _IO fonksiyonudur ve bunun tersi doğrudur.

Tarih

Harmonik serilerin erken bir formu, ephemerides'i (astronomik konum tabloları) hesaplamak için kullanıldıkları eski Babil matematiğine kadar uzanır .

Ptolemaik astronomi sistemindeki Klasik Yunan hürmetli ve episikl kavramları , Fourier serileriyle ilgiliydi (bkz. Deferent ve epicycle § Matematiksel biçimcilik ).

Modern zamanlarda, ayrık Fourier dönüşümünün varyantları, 1754'te Alexis Clairaut tarafından DFT için ilk formül olarak tanımlanan bir yörüngeyi hesaplamak için ve 1759'da Joseph Louis Lagrange tarafından bir trigonometrik dizinin katsayılarını hesaplamada kullanıldı. titreşen bir ip için. Teknik olarak, Clairaut'un çalışması yalnızca kosinüs serisiydi (bir ayrık kosinüs dönüşümü biçimi ), Lagrange'ın çalışması yalnızca sinüs dizisiydi (bir ayrık sinüs dönüşümü biçimi ); asteroit yörüngelerinin trigonometrik enterpolasyonu için 1805'te Gauss tarafından gerçek bir kosinüs + sinüs DFT kullanıldı . Euler ve Lagrange, titreşen sicim problemini bugün örnek olarak adlandırılacak şeyi kullanarak ayrıklaştırdılar.

Fourier analizine yönelik erken modern bir gelişme , Lagrange'ın ₁₇₇₀ tarihli Réflexions sur la résolution algébrique des _équations makalesiydi ; , x ₃ çözücülere:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\ zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}}$

burada ζ , 3. mertebenin DFT'si olan birliğin kübik köküdür.

Bir dizi yazar, özellikle Jean le Rond d'Alembert ve Carl Friedrich Gauss , ısı denklemini incelemek için trigonometrik serileri kullandılar , ancak çığır açan gelişme, Joseph Fourier tarafından yazılan 1807 tarihli Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides makalesiydi . önemli kavrayış, Fourier serisini tanıtarak tüm fonksiyonları trigonometrik serilerle modellemekti .

Tarihçiler, Fourier teorisinin gelişimi için Lagrange ve diğerlerine ne kadar itibar edecekleri konusunda bölünmüş durumdalar: Daniel Bernoulli ve Leonhard Euler , fonksiyonların trigonometrik temsillerini ortaya koymuşlardı ve Lagrange, dalga denkleminin Fourier serisi çözümünü vermişti, bu nedenle Fourier'nin katkısı esas olarak keyfi bir fonksiyonun bir Fourier serisi ile temsil edilebileceğini iddia eden cesur iddia.

Alanın sonraki gelişimi harmonik analiz olarak bilinir ve aynı zamanda temsil teorisinin erken bir örneğidir .

DFT için ilk hızlı Fourier dönüşümü (FFT) algoritması, 1805 civarında Carl Friedrich Gauss tarafından asteroitler Juno ve Pallas'ın yörünge ölçümlerinin enterpolasyonu sırasında keşfedildi , ancak bu özel FFT algoritması daha çok modern yeniden kaşifleri Cooley ve Tukey'ye atfediliyor .

Zaman-frekans dönüşümleri

Sinyal işleme terimlerinde , bir fonksiyon (zaman), mükemmel zaman çözünürlüğüne sahip, ancak frekans bilgisi olmayan bir sinyalin temsilidir , Fourier dönüşümü ise mükemmel frekans çözünürlüğüne sahiptir , ancak zaman bilgisi yoktur.

Fourier dönüşümüne alternatif olarak, zaman-frekans analizinde , sinyalleri biraz zaman bilgisine ve biraz da frekans bilgisine sahip bir biçimde temsil etmek için zaman-frekans dönüşümleri kullanılır - belirsizlik ilkesine göre , bunlar arasında bir değiş tokuş vardır. Bunlar, kısa süreli Fourier dönüşümü , Gabor dönüşümü veya kesirli Fourier dönüşümü (FRFT) gibi Fourier dönüşümünün genelleştirmeleri olabilir veya dalgacık analoğuyla dalgacık dönüşümleri ve chirplet dönüşümlerinde olduğu gibi sinyalleri temsil etmek için farklı işlevler kullanabilir. (sürekli) Fourier dönüşümünün sürekli dalgacık dönüşümü olması .

Keyfi yerel kompakt değişmeli topolojik gruplarda Fourier dönüşümleri

Fourier varyantları ayrıca , harmonik analizde incelenen gelişigüzel yerel kompakt Abelian topolojik gruplar üzerindeki Fourier dönüşümlerine de genelleştirilebilir ; burada, Fourier dönüşümü bir gruptaki işlevleri ikili gruptaki işlevlere alır. Bu işlem aynı zamanda, Fourier dönüşümlerini ve evrişimleri ilişkilendiren evrişim teoreminin genel bir formülasyonunu sağlar . Fourier dönüşümünün genelleştirilmiş temelleri için ayrıca Pontryagin ikiliğine bakın.

Daha spesifik olarak, Fourier analizi ortak kümeler üzerinde, hatta ayrık kümeler üzerinde yapılabilir.

Ayrıca bakınız

notlar

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar

• EqWorld'de İntegral Dönüşüm Tabloları : Matematiksel Denklemler Dünyası.
• Steven Lehar'ın Fourier Teorisinin Sezgisel Açıklaması .
• Lectures on Image Processing: Vanderbilt Üniversitesi'nden pdf formatında 18 dersten oluşan bir koleksiyon. Ders 6, 1- ve 2-B Fourier Dönüşümü üzerinedir. 7-15. Dersler bundan faydalanır. Alan Peters tarafından
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). "Σ Toplama (ve Fourier Analizi)" . Altmış Sembol . Nottingham Üniversitesi adına Brady Haran .