Fourier analizi - Fourier analysis

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Fourier dönüşümleri
Sürekli Fourier dönüşümü
Fourier serisi
Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü
Ayrık Fourier dönüşümü
Bir halka üzerinde ayrık Fourier dönüşümü
Sonlu gruplar üzerinde Fourier dönüşümü
Fourier analizi
İlgili dönüşümler

Açık telin bas gitar zaman sinyali Bir nota (55 Hz).
Açık telli A notasının (55 Hz) bas gitar zaman sinyalinin Fourier dönüşümü. Fourier analizi, sinyallerin ve fonksiyonların salınımlı bileşenlerini ortaya çıkarır.

Gelen matematik , Fourier analizi ( / f ʊr i , - ı ər / ), genel bir şekilde çalışmasıdır fonksiyonları temsil ya da daha basit toplamları yaklaştırılabileceği trigonometrik fonksiyonlar . Fourier analizi, Fourier serisinin çalışmasından büyümüştür ve ismini , bir fonksiyonu trigonometrik fonksiyonların bir toplamı olarak temsil etmenin ısı transferi çalışmasını büyük ölçüde basitleştirdiğini gösteren Joseph Fourier'den almıştır .

Bugün, Fourier analizinin konusu geniş bir matematik yelpazesini kapsamaktadır. Bilimlerde ve mühendislikte, bir işlevi salınımlı bileşenlere ayırma süreci genellikle Fourier analizi olarak adlandırılırken, bu parçalardan işlevi yeniden oluşturma işlemi Fourier sentezi olarak bilinir . Örneğin, bir müzik notasında hangi bileşen frekanslarının mevcut olduğunun belirlenmesi, örneklenmiş bir müzik notasının Fourier dönüşümünün hesaplanmasını içerir. Daha sonra, Fourier analizinde ortaya çıkan frekans bileşenlerini dahil ederek aynı sesi yeniden sentezleyebilirsiniz. Matematikte, Fourier analizi terimi genellikle her iki işlemin de çalışmasını ifade eder.

Ayrıştırma sürecinin kendisine Fourier dönüşümü denir . Çıktısına, Fourier dönüşümü , genellikle, etki alanına ve dönüştürülen işlevin diğer özelliklerine bağlı olarak daha spesifik bir ad verilir . Dahası, orijinal Fourier analizi kavramı zaman içinde giderek daha soyut ve genel durumlara uygulanacak şekilde genişletilmiştir ve genel alan genellikle harmonik analiz olarak bilinir . Analiz için kullanılan her dönüşüm ( Fourier ile ilgili dönüşümlerin listesine bakın ), sentez için kullanılabilecek karşılık gelen bir ters dönüşüme sahiptir.

Başvurular

Fourier analizinin birçok bilimsel uygulaması vardır - fizik , kısmi diferansiyel denklemler , sayı teorisi , kombinatorik , sinyal işleme , dijital görüntü işleme , olasılık teorisi , istatistik , adli tıp , seçenek fiyatlandırma , kriptografi , sayısal analiz , akustik , oşinografi , sonar , optik , kırınım , geometri , protein yapısı analizi ve diğer alanlar.

Bu geniş uygulanabilirlik, dönüşümlerin birçok yararlı özelliğinden kaynaklanmaktadır:

Adli tıpta, laboratuvar kızılötesi spektrofotometreler, bir malzemenin kızılötesi spektrumda soğuracağı ışığın dalga boylarını ölçmek için Fourier dönüşüm analizini kullanır. FT yöntemi, ölçülen sinyallerin kodunu çözmek ve dalgaboyu verilerini kaydetmek için kullanılır. Ve bir bilgisayar kullanılarak, bu Fourier hesaplamaları hızlı bir şekilde gerçekleştirilir, böylece bilgisayarla çalıştırılan bir FT-IR cihazı birkaç saniye içinde prizma aletininkine benzer bir kızılötesi soğurma modeli üretebilir.

Fourier dönüşümü, bir sinyalin kompakt bir temsili olarak da kullanışlıdır. Örneğin, JPEG sıkıştırması, dijital bir görüntünün küçük kare parçalarının Fourier dönüşümünün ( ayrık kosinüs dönüşümü ) bir varyantını kullanır . Her karenin Fourier bileşenleri, daha düşük aritmetik hassasiyete yuvarlanır ve zayıf bileşenler tamamen ortadan kaldırılır, böylece kalan bileşenler çok kompakt bir şekilde depolanabilir. Görüntünün yeniden yapılandırılmasında, her görüntü karesi, korunmuş yaklaşık Fourier dönüştürülmüş bileşenlerden yeniden birleştirilir ve bunlar daha sonra orijinal görüntünün bir yaklaşıklığını oluşturmak için tersine dönüştürülür.

Sinyal işlemede uygulamalar

Fourier analizi, ses , radyo dalgaları , ışık dalgaları, sismik dalgalar ve hatta görüntüler gibi sinyalleri işlerken , bir bileşik dalga formunun dar bant bileşenlerini izole edebilir ve bunları daha kolay algılama veya çıkarma için yoğunlaştırabilir. Geniş bir sinyal işleme teknikleri ailesi, bir sinyali Fourier dönüştürmekten, Fourier tarafından dönüştürülmüş verileri basit bir şekilde manipüle etmekten ve dönüşümü tersine çevirmekten oluşur.

Bazı örnekler şunları içerir:

Fourier analizinin çeşitleri

Bir Fourier dönüşümü ve temeldeki zaman alanı fonksiyonunun periyodik örneklemesinin (T aralığında) ve / veya periyodik toplamının (P aralığında) neden olduğu 3 varyasyon. DFT dizisinin göreceli hesaplama kolaylığı ve S (  f  )
'ye
verdiği içgörü, onu popüler bir analiz aracı yapar.

(Sürekli) Fourier dönüşümü

Çoğu zaman, nitelenmemiş Fourier dönüşümü terimi, sürekli bir gerçek argümanın fonksiyonlarının dönüşümünü ifade eder ve frekans dağılımı olarak bilinen sürekli bir frekans fonksiyonu üretir . Bir işlev diğerine dönüştürülür ve işlem tersine çevrilebilir. Giriş (başlangıç) işlevinin alanı zaman ( t ) ve çıkış (son) işlevinin alanı sıradan frekans olduğunda , s ( t ) işlevinin f frekansındaki dönüşümü karmaşık sayı ile verilir:

Bu miktarın tüm f değerleri için değerlendirilmesi , frekans alanı işlevini üretir . O zaman s ( t ) , tüm olası frekansların karmaşık üstellerinin bir rekombinasyonu olarak temsil edilebilir :

ters dönüşüm formülü olan. Karmaşık sayı, S (  f  ) , f frekansının hem genliğini hem de fazını aktarır .

Aşağıdakiler dahil çok daha fazla bilgi için Fourier dönüşümüne bakın :

  • genlik normalleştirme ve frekans ölçekleme / birimler için kurallar
  • özellikleri dönüştür
  • belirli fonksiyonların tablo haline getirilmiş dönüşümleri
  • görüntüler gibi çok boyutlu işlevler için bir uzantı / genelleme.

Fourier serisi

Periyodik bir fonksiyonun Fourier dönüşümü, s P ( t ) , P periyoduyla , bir dizi karmaşık katsayı tarafından modüle edilen bir Dirac tarak fonksiyonu haline gelir :

    (burada P , P uzunluğunun herhangi bir aralığı üzerindeki integraldir ).

Fourier serisi olarak bilinen ters dönüşüm, her biri katsayılardan biri tarafından belirtilen bir genliğe ve faza sahip potansiyel olarak sonsuz sayıda harmonik olarak ilişkili sinüzoidlerin veya karmaşık üstel fonksiyonların bir toplamı olarak s P ( t ) ' nin bir temsilidir :

Herhangi bir s P ( t ) , başka bir fonksiyonun periyodik bir toplamı olarak ifade edilebilir , s ( t ) :

ve katsayılar , farklı aralıklarla S (  f  ) örnekleriyle orantılıdır . 1 / P :

Dönüşümü aynı ayrık örnek değerlere sahip olan herhangi bir s ( t ) periyodik toplamada kullanılabilir. Geri kazanmak için yeterli bir koşul, s ( t ) (ve bu nedenle S (  f  ) ) (yani, Fourier serisi) sadece bu örneklerden elde edilen sıfır olmayan kısmı, yani s ( t ) süresi içinde bilinen bir zaman aralığına sınırlı P , Nyquist-Shannon örnekleme teoreminin frekans etki alanı dualidir .

Tarihsel gelişim dahil daha fazla bilgi için Fourier serisine bakın .

Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT)

DTFT, zaman alanlı Fourier serisinin matematiksel ikilisidir. Bu nedenle, frekans alanındaki yakınsak periyodik bir toplam , katsayıları ilgili bir sürekli zaman fonksiyonunun örnekleri olan bir Fourier serisi ile temsil edilebilir :

DTFT olarak bilinir. Böylece DTFT ait s [ n ] dizisi de Fourier dönüşümü ile modüle edilmiş bir Dirac tarağı fonksiyonu.

Fourier serisi katsayıları (ve ters dönüşümü) şu şekilde tanımlanır :

Parametre T , örnekleme aralığına karşılık gelir ve bu Fourier serisi artık Poisson toplama formülünün bir formu olarak tanınabilir . Bu nedenle, ayrık bir veri dizisi s [ n ] , temelde yatan bir sürekli fonksiyonun, s ( t ) örnekleriyle orantılı olduğunda , sürekli Fourier dönüşümünün, S (  f  ) periyodik bir toplamının gözlemlenebileceği önemli bir sonuca sahibiz . Aynı ayrık örnek değerlerine sahip herhangi bir s ( t ) ' nin aynı DTFT'yi ürettiğine dikkat edin. Ancak belirli idealleştirilmiş koşullar altında teorik olarak S (  f  ) ve s ( t ) tam olarak geri kazanılabilir . Mükemmel geri kazanım için yeterli bir koşul, S (  f  ) 'nin sıfır olmayan kısmının bilinen bir genişlik frekans aralığı ile sınırlı olmasıdır. 1 / T . Bu aralık [- 1 / 2 T , 1 / 2 T ] , uygulanabilir yeniden yapılandırma formülü Whittaker-Shannon enterpolasyon formülüdür . Bu, dijital sinyal işlemenin temelindeki bir mihenk taşıdır .

S 1 / T (  f  ) ile ilgilenmenin bir başka nedeni de , genellikle örnekleme sürecinin neden olduğu örtüşme miktarına ilişkin fikir vermesidir .

DTFT'nin uygulamaları, örneklenmiş işlevlerle sınırlı değildir. Bu ve aşağıdakiler dahil diğer konular hakkında daha fazla bilgi için bkz. Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü :

  • normalleştirilmiş frekans birimleri
  • pencereleme (sonlu uzunluk dizileri)
  • özellikleri dönüştür
  • belirli fonksiyonların tablo haline getirilmiş dönüşümleri

Ayrık Fourier dönüşümü (DFT)

Bir Fourier dizisi benzer şekilde, periyodik bir dizisinin DTFT, s , N [ N ] , nokta ile N , kompleks katsayıları bir dizi tarafından modüle edilen bir Dirac tarağı fonksiyonu olur (bakınız DTFT § Periyodik veriler ):

    (burada n , N uzunluğundaki herhangi bir dizinin toplamıdır ).

S [ k ] dizisi geleneksel olarak bilinen şeydir DFT bir devrinin s , N . Aynı zamanda N- periyodiktir, bu nedenle N katsayısından fazlasını hesaplamak asla gerekli değildir . Ayrık bir Fourier serisi olarak da bilinen ters dönüşüm şu şekilde verilir:

  burada k , N uzunluğunun herhangi bir dizisinin toplamıdır .

Tüm s , N [ N ] bir şekilde ifade edilir periyodik olarak toplanır başka bir fonksiyonun:

  ve  

katsayılar, S 1 / T (  f  ) örnekleriyle orantılıdır . 1 / P = 1 / NT :

Bir rasgele bir sayı (hesaplamak için istediğinde Tersine, N sürekli DTFT bir devrinin farklı numunelerin), S 1 / T (  f  ) , bu nispeten basit DFT işlem yapılabilir s , N [ N ] olarak, yukarıda tanımlanmıştır. Çoğu durumda, N , s [ n ] ' nin sıfır olmayan kısmının uzunluğuna eşit olarak seçilir . Sıfır doldurma veya enterpolasyon olarak bilinen artan N , bir S 1 / T (  f  ) döngüsünün daha yakın aralıklı örnekleriyle sonuçlanır . Azalan N , zaman etki alanındaki (ekleme) (benzer şekilde, üst üste binme olur aliasing ), frekans etki alanında kırım karşılık gelir. (bkz. DTFT § DTFT'nin Örneklenmesi ) Pratik açıdan ilgi çekici çoğu durumda, s [ n ] dizisi, sonlu uzunlukta bir pencere işlevinin veya FIR filtre dizisinin uygulanmasıyla kesilen daha uzun bir diziyi temsil eder .

DFT, hızlı bir Fourier dönüşümü (FFT) algoritması kullanılarak hesaplanabilir , bu da onu bilgisayarlarda pratik ve önemli bir dönüşüm haline getirir.

Aşağıdakiler dahil çok daha fazla bilgi için Ayrık Fourier dönüşümü bölümüne bakın :

  • özellikleri dönüştür
  • uygulamaları
  • belirli fonksiyonların tablo haline getirilmiş dönüşümleri

Özet

Periyodik fonksiyonlar için, hem Fourier dönüşümü hem de DTFT yalnızca ayrı bir frekans bileşenleri kümesi (Fourier serisi) içerir ve dönüşümler bu frekanslarda birbirinden uzaklaşır. Yaygın bir uygulama (yukarıda tartışılmamıştır), bu sapmayı Dirac delta ve Dirac tarak fonksiyonları aracılığıyla ele almaktır . Ancak aynı spektral bilgi, diğer tüm döngüler aynı olduğundan, periyodik fonksiyonun yalnızca bir döngüsünden ayırt edilebilir. Benzer şekilde, sonlu süreli fonksiyonlar, ters dönüşümün periyodikliğinin yalnızca bir yapaylık olması dışında hiçbir gerçek bilgi kaybı olmaksızın bir Fourier serisi olarak temsil edilebilir.

Pratikte s (•) süresinin P veya N ile sınırlandırılması yaygındır . Ancak bu formüller bu koşulu gerektirmez.

s ( t ) dönüştürür (sürekli zaman)
Sürekli frekans Ayrık frekanslar
Dönüştürme
Ters
s ( nT ) dönüşümleri (ayrık zaman)
Sürekli frekans Ayrık frekanslar
Dönüştürme

Ters

Simetri özellikleri

Karmaşık bir fonksiyonun gerçek ve hayali kısımları çift ​​ve tek kısımlarına ayrıştırıldığında , aşağıda RE, RO, IE ve IO alt simgeleriyle gösterilen dört bileşen vardır. Ve karmaşık bir zaman fonksiyonunun dört bileşeni ile karmaşık frekans dönüşümünün dört bileşeni arasında bire bir eşleştirme vardır :

Bundan, çeşitli ilişkiler belirgindir, örneğin :

  • Gerçek değerli bir fonksiyonun dönüşümü ( s RE + s RO ), eşit simetrik fonksiyon S RE + i S IO'dur . Tersine, eşit simetrik bir dönüşüm, gerçek değerli bir zaman alanını ifade eder.
  • Hayali değerli bir fonksiyonun dönüşümü ( i s IE + i s IO ) tek simetrik fonksiyon S RO + i S IE'dir ve tersi doğrudur.
  • Çift simetrik bir fonksiyonun dönüşümü ( s RE + i s IO ) gerçek değerli S RE + S RO fonksiyonudur ve tersi doğrudur.
  • Tek simetrik bir fonksiyonun dönüşümü ( s RO + i s IE ) hayali değerli i S IE + i S IO fonksiyonudur ve tersi doğrudur.

Keyfi yerel olarak kompakt değişmeli topolojik gruplar üzerinde Fourier dönüşümleri

Fourier varyantları ayrıca , harmonik analizde incelenen, keyfi lokal olarak kompakt Abelian topolojik gruplar üzerindeki Fourier dönüşümlerine genelleştirilebilir ; burada, Fourier dönüşümü bir gruptaki işlevleri ikili gruptaki işlevlere alır. Bu işlem aynı zamanda Fourier dönüşümlerini ve evrişimlerini ilişkilendiren genel bir evrişim teoremi formülasyonuna izin verir . Fourier dönüşümünün genelleştirilmiş temelleri için Pontryagin dualitesine de bakınız .

Daha spesifik, Fourier analizi kosetler üzerinde, hatta ayrık kosetler üzerinde yapılabilir.

Zaman-frekans dönüşümleri

Gelen sinyal işleme açısından, bir işlev (zaman) ile mükemmel bir sinyalin bir temsilidir zaman çözünürlüğü Fourier mükemmel olan dönüşümü sırasında, ama hiçbir frekans bilgileri, frekans çözünürlüğü , ancak hiçbir zaman bilgisi.

Fourier dönüşümüne alternatif olarak, zaman-frekans analizinde , sinyalleri bir miktar zaman bilgisine ve bir miktar frekans bilgisine sahip bir biçimde temsil etmek için zaman-frekans dönüşümleri kullanılır - belirsizlik ilkesine göre , bunlar arasında bir değiş tokuş vardır. Bunlar, kısa süreli Fourier dönüşümü , Gabor dönüşümü veya kesirli Fourier dönüşümü (FRFT) gibi Fourier dönüşümünün genellemeleri olabilir veya dalgacık dönüşümlerinde ve chirplet dönüşümlerinde olduğu gibi sinyalleri temsil etmek için dalgacık analogu ile farklı işlevler kullanabilir. (sürekli) Fourier dönüşümü sürekli dalgacık dönüşümüdür .

Tarih

Harmonik serilerin erken bir formu, efemeridleri (astronomik konum tabloları) hesaplamak için kullandıkları eski Babil matematiğine kadar uzanır .

Klasik Yunan kavramları hürmetkâr ve epicycle içinde Ptolemaios sisteminin astronomi Fourier serilerinin ile ilgili idi (bkz hürmetkâr ve epicycle § Matematiksel biçimciliği ).

Modern zamanlarda, ayrık Fourier dönüşümünün varyantları, Alexis Clairaut tarafından 1754'te, DFT'nin ilk formülü olarak tanımlanan bir yörüngeyi hesaplamak için ve 1759'da Joseph Louis Lagrange tarafından trigonometrik bir serinin katsayılarının hesaplanmasında kullanıldı. titreşimli bir ip için. Teknik olarak, Clairaut'un çalışması yalnızca kosinüs serisiydi (bir tür ayrık kosinüs dönüşümü ), Lagrange'ın çalışması ise yalnızca sinüs serisiydi ( ayrık sinüs dönüşümü ); gerçek bir kosinüs + sinüs DFT tarafından kullanılan Gauss için 1805 yılında trigonometrik interpolasyon arasında asteroid yörüngeleri. Euler ve Lagrange, bugün örnek olarak adlandırılacakları kullanarak titreşimli sicim problemini ayrıklaştırdı.

Fourier analizine yönelik erken modern bir gelişme , Lagrange çözümleyicileri yönteminde bir kübik çözümünü incelemek için karmaşık bir Fourier ayrıştırması kullanan Lagrange'nin 1770 tarihli Réflexions sur la résolution algébrique des équations makalesi idi : Lagrange kökleri dönüştürdü x 1 , x 2 , x 3 çözücülere:

burada ζ kübik birlik kök düzenine 3 kalınlığıdır.

Bir dizi yazar, özellikle Jean le Rond d'Alembert ve Carl Friedrich Gauss , ısı denklemini incelemek için trigonometrik seriler kullandılar , ancak çığır açan gelişme, Joseph Fourier tarafından yazılan 1807 kağıt Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides idi. Fourier serisini tanıtan trigonometrik serilerle tüm fonksiyonları modellemek çok önemli bir fikirdi .

Tarihçiler, Lagrange ve diğerlerini Fourier teorisinin gelişimi için ne kadar ödeyecekleri konusunda ikiye bölünmüş durumdalar: Daniel Bernoulli ve Leonhard Euler , fonksiyonların trigonometrik temsillerini sunmuştu ve Lagrange, dalga denklemine Fourier serisi çözümünü vermişti, dolayısıyla Fourier'in katkısı esas olarak keyfi bir fonksiyonun bir Fourier serisi ile temsil edilebileceğine dair cesur bir iddia.

Alanın sonraki gelişimi harmonik analiz olarak bilinir ve aynı zamanda temsil teorisinin erken bir örneğidir .

DFT için ilk hızlı Fourier dönüşümü (FFT) algoritması, Carl Friedrich Gauss tarafından asteroitlerin Juno ve Pallas yörüngesinin ölçümlerinin enterpolasyonu sırasında keşfedildi , ancak bu özel FFT algoritması daha çok modern yeniden keşfedenleri Cooley ve Tukey'e atfediliyor .

Zaman ve sıklık açısından yorumlama

Gelen sinyal işleme Fourier genellikle alır dönüşümü zaman serisi veya bir fonksiyonu sürekli zaman ve içine eşler frekans spektrumu . Yani, zaman alanından frekans alanına bir işlevi alır ; Bir olan ayrışma bir fonksiyon sinüzoidler farklı frekanslar; Bir Fourier serisi veya ayrık Fourier dönüşümü durumunda , sinüzoidler, analiz edilen fonksiyonun temel frekansının harmonikleridir .

F fonksiyonu zamanın bir fonksiyonu olduğunda ve fiziksel bir sinyali temsil ettiğinde, dönüşüm, sinyalin frekans spektrumu olarak standart bir yoruma sahiptir. Büyüklüğü elde edilen kompleks değerli fonksiyonu F frekansı, co temsil genliği , bir frekans bileşeninin ilk aşaması faz ile verilir  F .

Fourier dönüşümleri, zamanın fonksiyonları ve zamansal frekanslarla sınırlı değildir. Uzamsal frekansları analiz etmek için ve aslında hemen hemen her işlev alanı için eşit şekilde uygulanabilir . Bu, görüntü işleme , ısı iletimi ve otomatik kontrol gibi çok çeşitli dallarda kullanımlarını haklı çıkarır .

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar