Hayali birim - Imaginary unit

I olarak karmaşık veya Kartezyen düzlemde. Gerçek sayılar yatay eksende, hayali sayılar dikey eksende yer alır.

Sanal birim veya birim sanal sayı ( i ) için bir çözüm kuadratik denklemi x 2 + 1 = 0 . Hiçbir olmamasına rağmen gerçek sayı bu özelliğiyle, ben denilen şeyin gerçek sayılar uzatmak için kullanılabilir karmaşık sayılar kullanılarak eklenmesini ve çarpma . i'nin karmaşık bir sayıda kullanımına basit bir örnek 2 + 3 i'dir .

Hayali sayılar , gerçek sayı sistemini her sabit olmayan polinom için en az bir kökün bulunduğu karmaşık sayı sistemine genişleten önemli bir matematiksel kavramdır (bkz. Cebirsel kapatma ve Cebirin temel teoremi ). Negatif karesi olan bir gerçek sayı olmadığı için burada "hayali" terimi kullanılmıştır .

İki kompleks karekök vardır -1 , yani I ve - ı , iki kompleks olması gibi karekök dışında her gerçek sayı sıfır (birine sahip çift kare kökü ).

i harfinin kullanımının belirsiz veya sorunlu olduğu bağlamlarda , bazen bunun yerine j harfi veya Yunanca ι kullanılır. Örneğin, elektrik mühendisliği ve kontrol sistemleri mühendisliği , hayali cihaz normal ile gösterilir j yerine i için, I genel olarak belirtmek için kullanılır elektrik akımı .

Tanım

i'nin güçleri
döngüsel değerler döndürür:
... (desen tekrarlar
gelen kalın mavi alan)
ben -3 = ben
ben -2 = -1
ben -1 = − ben
ben 0 = 1
ben 1 = ben
ben 2 = -1
ben 3 = - ben
ben 4 = 1
ben 5 = ben
ben 6 = -1
... (desen tekrarlar
gelen kalın mavi alan)

Sanal i sayısı yalnızca karesinin -1 olması özelliğiyle tanımlanır :

İle I bu şekilde tanımlanan cebir şirketinden aşağıdaki I ve - ı hem karekök -1.

Yapıya "hayali" denmesine ve hayali bir sayı kavramının kavranması sezgisel olarak gerçek bir sayınınkinden daha zor olmasına rağmen, yapı matematiksel açıdan tamamen geçerlidir. Gerçek sayı işlemleri, bir ifadeyi değiştirirken i'yi bilinmeyen bir nicelik olarak ele alarak (ve i 2'nin herhangi bir oluşumunu -1 ile değiştirmek için tanımı kullanarak) hayali ve karmaşık sayılara genişletilebilir . i'nin daha yüksek integral güçleri i , 1, i , veya −1 ile de değiştirilebilir :

Veya eşdeğer olarak,

Benzer şekilde, sıfır olmayan herhangi bir gerçek sayıda olduğu gibi:

Bir kompleks sayı olarak, i temsil edilmektedir dikdörtgen biçimli olarak 0 + 1 i , sıfır gerçek bileşen ve bir birim sanal bileşen ile. Olarak kutupsal formda , I ile temsil edilir 1⋅ e / 2 (ya da sadece e / 2 ), bir ile mutlak değer (ya da büyüklük: 1) ve bir bağımsız değişken bölgesinin (ya da açı) tt / 2 . Olarak , kompleks düzlemin bir özel bir yorumdur (aynı zamanda Argand düzlemi olarak da bilinir), Kartezyen düzlemde , i birlikte kökenli noktası bulunan bir birimdir sanal eksen (dik olan reel eksene ).

ben vs. - ben

Bir olmak ikinci dereceden bir polinom bir ile birden çok kök tanımlayan denklem x 2 = -1 sahip iki eşit şekilde geçerlidir ve olmak ne farklı çözümler, katkı maddesi ve çarpımsal tersleri birbirinden. Bir çözelti, bir kez i denkleminin giderildi, değer - i den farklıdır, i , aynı zamanda bir çözümdür. Denklem, i'nin tek tanımı olduğundan, tanımın belirsiz olduğu (daha doğrusu iyi tanımlanmadığı ) görülmektedir. Bununla birlikte, çözümlerden biri seçildiği ve " i " olarak etiketlendiği, diğeri ise - i olarak etiketlendiği sürece hiçbir belirsizlik ortaya çıkmayacaktır . Sonuçta, her ne kadar - ı ve + ı değildir kantitatif (bunlar eşit olan birbirinin negatif), orada hiçbir cebirsel arasındaki fark + i ve - i hem de hayali numaraları olan kare sayısı olmak üzere hak iddia olarak, -1 .

Aslında, ile tekrar yazılabilir hayali ya da karmaşık sayılar ilgili tüm matematiksel ders kitapları ve literatürde, eğer - ı her olay yerine + i (her geçtiği ve dolayısıyla - ı yerine göre - (- ı ) = + i ) Tüm gerçekler ve teoremler geçerli kalır. İki kök arasındaki fark x arasında x 2 + 1 = 0 bunlardan biri bir eksi işareti ile etiketlenmiş olan, sadece bir gösteriminin kalıntı; hiçbir kökün diğerinden daha birincil veya temel olduğu söylenemez ve bunların hiçbiri "pozitif" veya "negatif" değildir.

Sorun incelikli olabilir: En kesin açıklama, ℝ[ x ]/( x 2 + 1) (bkz. karmaşık sayı ) olarak tanımlanan karmaşık alanın izomorfizme kadar benzersiz olmasına rağmen benzersiz olmadığını söylemektir. kadar bir için benzersiz bir izomorfik: tam olarak var iki alan otomorfizmalar arasında ℝ [ x ] / ( x 2 + 1) , sabit, her gerçek sayı tutmak: kimlik ve gönderme otomorfizm x için - x . Daha fazlası için karmaşık eşlenik ve Galois grubuna bakın .

matrisler

( x , y ) bir sanal birim matris için hiperbol xy = –1 ile sınırlandırılır .

Karmaşık sayılar 2 × 2 gerçek matrisler olarak yorumlanırsa benzer bir sorun ortaya çıkar (bkz . karmaşık sayıların matris gösterimi ), çünkü o zaman her ikisi de

    ve    

matris denkleminin çözümleri olurdu

Bu durumda, belirsizlik, birim çember etrafındaki "yönü" nün "pozitif" dönüş olduğu geometrik seçimden kaynaklanır . Daha kesin bir açıklaması yani otomorfizm grubu arasında ortogonal grubu , SO (2, ℝ kimlik ve değişimler "CW" (saat yönünde) ve "Sol" (saat yönünün tersine) rotasyonlar otomorfizm:) tam olarak iki elemana sahiptir . Daha fazlası için ortogonal gruba bakın .

Tüm bu belirsizlikler, karmaşık sayının daha kesin bir tanımını benimseyerek ve denklemin çözümlerinden birini sanal birim olarak açıkça seçerek çözülebilir. Örneğin, sıralı çift (0, 1), iki boyutlu vektörlerle karmaşık sayıların olağan yapısında.

Burada, z 2 + xy = –1 matris denklemini düşünün , yani xy çarpımı negatiftir çünkü xy = –(1 + z 2 ) , dolayısıyla ( x , y ) noktası II veya IV çeyreği içindedir. Üstelik,

yani ( x , y ) hiperbol xy = –1 ile sınırlıdır .

Uygun kullanım

Hayali birim bazen ileri matematik bağlamlarında (ve daha az gelişmiş popüler metinlerde) -1  şeklinde yazılır . Bununla birlikte, radikalleri içeren formülleri manipüle ederken çok dikkatli olunmalıdır . Kök işareti gösterimi, yalnızca gerçek x ≥ 0 için tanımlanan temel karekök işlevi veya karmaşık karekök işlevinin ana dalı için ayrılmıştır . Karmaşık karekök işlevinin ana dalını değiştirmek için asıl (gerçek) karekök işlevinin hesaplama kurallarını uygulamaya çalışmak yanlış sonuçlara yol açabilir:

Benzer şekilde:

hesaplama kuralları

ve

sadece a ve b'nin gerçek, pozitif değerleri için geçerlidir .

-7  yerine i gibi ifadeler yazıp değiştirerek bu sorunlardan kaçınılabilir . Daha kapsamlı bir tartışma için bkz . karekök ve dallanma noktası .

Özellikler

Karekök

Karmaşık düzlemde i'nin iki karekökü
Karmaşık düzlemde i'nin üç küp kökü

Sıfırdan farklı tüm karmaşık sayılar gibi, benim de iki kareköküm var: bunlar

Gerçekten de, her iki ifadenin karesini almak şunu verir:

Temel karekök için kök işaretini kullanarak şunu elde ederiz:

Küp kökleri

i'nin üç küp kökü :

ve

1'in tüm köklerine benzer şekilde , i'nin tüm kökleri , karmaşık düzlemde birim çember içinde yazılı olan düzgün çokgenlerin köşeleridir .

Çarpma ve bölme

Karmaşık bir sayıyı i ile çarpmak şunu verir:

(Bu, bir vektörün karmaşık düzlemde orijin etrafında saat yönünün tersine 90° dönüşüne eşdeğerdir.)

İle bölünmesi, i ile çarpımına eşit olan karşılıklı bir i :

i ile bölmeyi tüm karmaşık sayılara genelleştirmek için bu özdeşliği kullanmak şunları verir:

(Bu, bir vektörün karmaşık düzlemde orijin etrafında saat yönünde 90° dönmesine eşdeğerdir.)

güçler

i'nin güçleri, n'nin herhangi bir tam sayı olduğu aşağıdaki modelle ifade edilebilen bir döngüde tekrarlanır :

Bu şu sonuca yol açar:

burada mod modulo işlemini temsil eder . Eşdeğer:

i kuvvetine yükseltilen i

Yararlanarak Euler formülü , i i ise

nerede k ∈ ℤ , tamsayılar kümesi .

Temel değer için ( k = 0 ) 'dir , e - π / 2 , ya da yaklaşık ,207879576.

faktöriyel

Faktöriyel hayali birimin i genellikle açısından verilmiştir gama fonksiyonu değerlendirildi 1 + ı :

Ayrıca,

Diğer işlemler

Gerçek sayılarla yapılabilen birçok matematiksel işlem, üs alma, kök, logaritma, trigonometrik fonksiyonlar gibi i ile de yapılabilir . Aşağıdaki fonksiyonların tümü karmaşık çok değerli fonksiyonlardır ve pratikte fonksiyonun Riemann yüzeyinin hangi dalında tanımlandığı açıkça belirtilmelidir . Aşağıda en sık seçilen branşın sonuçları listelenmiştir.

Ni gücüne yükseltilmiş bir sayı :

Ni inci bir sayının köküdür:

Hayali-baz logaritma bir dizi olduğu:

Herhangi bir karmaşık logaritmada olduğu gibi, log tabanı i benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır.

Kosinüs ait i gerçek sayıdır:

Ve sinüs bölgesinin i tamamen hayalidir:

Tarih

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar