evrişim - Convolution
Gelen matematik (özellikle, içinde fonksiyonel analiz ), kıvrım a, matematik işlemi iki ilgili fonksiyonları ( ön ve g üçüncü bir fonksiyonu (üretici) ) bir şekli, diğer modifiye nasıl eksprese olduğu. Terimi evrişim iki sonuç işlevine ve işlem sürecine işaret eder. Biri tersine çevrildikten ve kaydırıldıktan sonra iki fonksiyonun çarpımının integrali olarak tanımlanır . İntegral, evrişim fonksiyonunu üreten tüm kaydırma değerleri için değerlendirilir.
Evrişimin bazı özellikleri çapraz korelasyona benzer : sürekli veya ayrık bir değişkenin gerçek değerli fonksiyonları için çapraz korelasyondan ( ) yalnızca f ( x ) veya g ( x )' in y hakkında yansıtılmasıyla farklıdır. -eksen; bu nedenle f ( x ) ve g (− x ) veya f (− x ) ve g ( x ) çapraz korelasyonudur . Kompleks değerli fonksiyonları için, çapraz korelasyon operatörü eşlenik evrişim operatörün.
Evrişim, olasılık , istatistik , akustik , spektroskopi , sinyal işleme ve görüntü işleme , mühendislik , fizik , bilgisayarla görme ve diferansiyel denklemleri içeren uygulamalara sahiptir .
Evrişim, Öklid uzayı ve diğer gruplar üzerindeki fonksiyonlar için tanımlanabilir . Örneğin , ayrık zamanlı Fourier dönüşümü gibi periyodik fonksiyonlar , bir daire üzerinde tanımlanabilir ve periyodik evrişim ile kıvrılabilir . ( DTFT § Özellikler'de 18. satıra bakın .) Tamsayılar kümesindeki işlevler için ayrı bir evrişim tanımlanabilir .
Evrişimin genelleştirilmesi, sayısal analiz ve sayısal doğrusal cebir alanında ve sinyal işlemede sonlu darbe yanıt filtrelerinin tasarımı ve uygulanmasında uygulamalara sahiptir .
Bilgisayar ters evrişim işlemi olarak bilinir dekonvolüsyon .
Tanım
Evrişim f ve g yazılır f * g sembolü operatöre gösteren, * . Biri tersine çevrildikten ve kaydırıldıktan sonra iki fonksiyonun çarpımının integrali olarak tanımlanır. Bu nedenle, belirli bir tür integral dönüşümdür :
Eşdeğer bir tanım şudur ( değişmeliliğe bakınız ):
Yukarıda t sembolü kullanılırken, zaman alanını temsil etmesi gerekmez. Ancak bu bağlamda, evrişim formülü, t miktarıyla kaydırılan g (− τ ) işleviyle ağırlıklandırılmış f ( τ ) işlevinin altındaki alan olarak tanımlanabilir . Olarak T değişikliği, ağırlık fonksiyonu g ( t - τ ) giriş işlevi farklı kısımlarını vurgular f ( τ ) .
Yalnızca [0, ∞) üzerinde desteklenen f , g işlevleri için (yani, negatif bağımsız değişkenler için sıfır), entegrasyon sınırları kesilebilir, bu da aşağıdakilerle sonuçlanır:
Evrişimin çok boyutlu formülasyonu için tanım alanına bakın (aşağıda).
gösterim
Ortak bir mühendislik gösterim kuralı:
karışıklığı önlemek için dikkatli bir şekilde yorumlanmalıdır. Örneğin, f ( t )∗ g ( t − t 0 ) ( f ∗ g )( t − t 0 ) öğesine eşdeğerdir , ancak f ( t − t 0 )∗ g ( t − t 0 ) aslında eşdeğerdir için ( f ∗ g )( t − 2 t 0 ) .
türevler
Evrişim, doğrusal zamanla değişmeyen (LTI) olarak bilinen önemli bir işlem sınıfının çıktısını (girdi cinsinden) tanımlar . LTI kısıtlamalarının sonucu olarak bir evrişim türevi için LTI sistem teorisine bakın . Bir LTI işleminin giriş ve çıkışının Fourier dönüşümleri açısından, yeni frekans bileşenleri oluşturulmaz. Mevcut olanlar sadece değiştirilir (genlik ve/veya faz). Başka bir deyişle, çıkış dönüşümü, giriş dönüşümünün üçüncü bir dönüşümle ( transfer fonksiyonu olarak bilinir ) noktasal ürünüdür . Evrişimin bu özelliğinin bir türevi için Evrişim teoremine bakın . Tersine, evrişim, iki Fourier dönüşümünün noktasal ürününün ters Fourier dönüşümü olarak türetilebilir.
Görsel açıklama
Ortaya çıkan dalga biçimi (burada gösterilmemiştir), f ve g fonksiyonlarının evrişimidir . Eğer f ( t ) a, birim dürtü , bu sürecin bir sonucu basitçe g ( t ) . Resmi olarak: |
|
Bu örnekte, kırmızı renkli "darbe", bir bir çift işlev evrişim korelasyon eşdeğerdir böylece. Bu "filmin" bir anlık görüntüsü , eksenden kırmızı darbenin merkezine olan mesafe olarak keyfi olarak tanımlanan bazı parametre değerleri için işlevleri ve (mavi renkte) gösterir . Sarı miktarı , evrişim/korelasyon integrali tarafından hesaplanan ürünün alanıdır . Film, integralin sürekli olarak değiştirilmesi ve yeniden hesaplanmasıyla oluşturulur . Sonuç (siyah renkle gösterilmiştir) bir fonksiyonudur, ancak kolaylık ve karşılaştırma için aynı eksende çizilir . | |
Bu tasvir olarak, meydana dar darbesine bir RC devresi tepkisini temsil edebilir ise Başka bir deyişle, konvolüsyon sonucu sadece olan ama zaman geniş bir puls (kırmızı) olup, yanıt bir "lekeli" versiyonu Bu başlar tanımladığımız için mesafe olarak eksen merkezi geniş nabız (yerine ön kenarı) arasında. |
Tarihsel gelişmeler
Göründü büklüm integrali en erken kullanımlarından biri DAlembert 's derivasyon Taylor'un teoremi de du système du monde RECHERCHES sur différents noktaları importants, 1754 yılında yayınlamıştır.
Ayrıca, türün bir ifadesi:
Sylvestre François Lacroix tarafından , ansiklopedik serinin 3 cildinin sonuncusu olan Treatise on Different and series başlıklı kitabının 505. sayfasında kullanılmaktadır : Traité du calcul différentiel et du calcul intégral , Chez Courcier, Paris, 1797–1800. Kısa bir süre sonra, Pierre Simon Laplace , Jean-Baptiste Joseph Fourier , Siméon Denis Poisson ve diğerlerinin çalışmalarında evrişim işlemleri ortaya çıkıyor . Terimin kendisi 1950'lere veya 60'lara kadar geniş bir kullanıma girmedi. Bazen olarak bilinen bu öncesinde Faltung (ki araçlar katlanır olarak Almanca ), bileşimi, ürün , üst üste yekpare ve Carson integrali . Yine de, tanım daha eski kullanımlarda oldukça yabancı olsa da, 1903 gibi erken bir tarihte ortaya çıkıyor.
Operasyon:
1913 yılında İtalyan matematikçi Vito Volterra tarafından ele alınan kompozisyon ürünlerinin özel bir durumudur .
dairesel evrişim
Bir fonksiyon zaman gr T periyodu ile, periyodik T sonra, fonksiyonları için f bu şekilde, ön * gr , T , büklüm ayrıca düzenli ve aynı var olduğu:
burada t 0 keyfi bir seçimdir. Toplama f fonksiyonunun periyodik toplamı denir .
Tüm g T başka bir işlev, periyodik bir toplamıdır g , daha sonra f * g , T olarak bilinen bir dairesel ya da siklik evrişimi f ve g .
Yukarıdaki periyodik toplamın yerine f T konulursa, işleme f T ve g T'nin periyodik konvolüsyonu denir .
ayrık evrişim
Z tamsayıları kümesinde tanımlanan f , g karmaşık değerli fonksiyonlar için , f ve g'nin ayrık evrişimi şu şekilde verilir:
veya eşdeğer olarak ( değişmeliliğe bakınız ):
İki sonlu dizinin evrişimi, dizilerin tamsayılar kümesinde sonlu olarak desteklenen fonksiyonlara genişletilmesiyle tanımlanır. Diziler iki polinomun katsayıları olduğunda, iki polinomun sıradan ürününün katsayıları orijinal iki dizinin evrişimidir. Bu, dizilerin katsayılarının Cauchy çarpımı olarak bilinir .
Bu nedenle, g kümede sonlu bir desteğe sahip olduğunda (örneğin, sonlu bir dürtü yanıtını temsil eder ), sonlu bir toplam kullanılabilir:
Dairesel ayrık evrişim
Bir fonksiyon zaman gr , N süresi ile, periyodik N , sonra fonksiyonları için f bu şekilde, ön * g N , büklüm ayrıca düzenli ve aynı var olduğu:
k üzerindeki toplama f fonksiyonunun periyodik toplamı olarak adlandırılır .
Eğer g N başka bir işlev, periyodik bir toplamıdır g , daha sonra f * g K olarak bilinen bir dairesel kıvrım ve f ve g .
Her ikisinin de sıfır olmayan süreleri zaman f ve g aralığı ile sınırlıdır [0, N - 1] , f * g N- bu ortak biçimlerine azaltır:
-
( Denk.1 )
(Gösterim f * K g için) çevrimsel evrişim fazla O anlamına gelir evrişim siklik gruba ait tamsayı modulo N .
Dairesel evrişim, çoğunlukla hızlı Fourier dönüşümü (FFT) algoritması ile hızlı evrişim bağlamında ortaya çıkar .
Hızlı evrişim algoritmaları
Birçok durumda, ayrık evrişimler dairesel evrişimlere dönüştürülebilir, böylece bir evrişim özelliğine sahip hızlı dönüşümler hesaplamayı uygulamak için kullanılabilir. Örneğin, basamak dizilerinin evrişimi, çok basamaklı sayıların çarpılmasında çekirdek işlemidir ve bu nedenle dönüştürme teknikleri ile verimli bir şekilde uygulanabilir ( Knuth 1997 , §4.3.3.C; von zur Gathen & Gerhard 2003 , §8.2).
Denklem 1 ,çıkış değeri başına N aritmetik işlem ve N çıkışiçin N 2 işlemgerektirir. Bu, birkaç hızlı algoritmadan herhangi biriyle önemli ölçüde azaltılabilir. Dijital sinyal işleme ve diğer uygulamalar, evrişim maliyetini O( N log N ) karmaşıklığınadüşürmek için tipik olarak hızlı evrişim algoritmalarını kullanır.
En yaygın hızlı evrişim algoritmaları , dairesel evrişim teoremi aracılığıyla hızlı Fourier dönüşümü (FFT) algoritmalarını kullanır . Spesifik olarak, iki sonlu uzunluklu dizinin dairesel konvolüsyonu , her dizinin bir FFT'si alınarak, noktasal olarak çarpılarak ve ardından ters bir FFT gerçekleştirilerek bulunur. Yukarıda tanımlanan türdeki kıvrımlar, daha sonra, çıktının sıfır uzatma ve/veya atılan kısımları ile bağlantılı olarak bu teknik kullanılarak verimli bir şekilde uygulanır. Schönhage–Strassen algoritması veya Mersenne dönüşümü gibi diğer hızlı evrişim algoritmaları, diğer halkalarda hızlı Fourier dönüşümlerini kullanır .
Bir dizi diğerinden çok daha uzunsa, daha kısa dizinin sıfır uzantısı ve hızlı dairesel evrişim, hesaplama açısından mevcut en verimli yöntem değildir. Bunun yerine, daha uzun diziyi bloklara ayırmak ve her bloğu sarmak, örtüşme-kaydetme yöntemi ve örtüşme-ekleme yöntemi gibi daha hızlı algoritmalara izin verir . Blok ve FIR algoritmalarını birleştiren bir hibrit evrişim yöntemi, gerçek zamanlı evrişim hesaplamaları için faydalı olan sıfır giriş-çıkış gecikmesine izin verir.
Tanım alanı
İki karmaşık-değerli fonksiyonların evrişim R d kendisinde karmaşık değerli bir fonksiyondur R d ile tanımlanır:
ve sadece integralin var olması için f ve g sonsuzda yeterince hızlı bozunuyorsa iyi tanımlanmıştır . Bir fışkırma yana konvolüsyon varlığı için koşullar, zor olabilir g sonsuzda kolayca yeterince hızlı bir çürüme ile telafi edilebilir f . Dolayısıyla varoluş sorunu, f ve g üzerinde farklı koşullar içerebilir :
Kompakt olarak desteklenen işlevler
Eğer f ve g olan sıkılaştırılmış destekli sürekli fonksiyonları , daha sonra büklüm bulunmaktadır ve aynı zamanda kompakt (desteklenen ve sürekli bir Hörmander 1983 , Bölüm 1). Daha genel olarak, eğer işlevlerden biri (diyelim ki f ) kompakt olarak destekleniyorsa ve diğeri yerel olarak integrallenebilir ise , o zaman f ∗ g evrişimi iyi tanımlı ve süreklidir.
f ve g'nin evrişimi, her iki fonksiyon da R üzerinde yerel olarak karesel integrallenebilir olduğunda ve [ a , +∞) biçiminde bir aralıkta desteklendiğinde (veya her ikisi de [−∞, a ] üzerinde desteklendiğinde ) iyi tanımlanmıştır.
Entegre edilebilir fonksiyonlar
Evrişim f ve g ise mevcut f ve g hem de Lebesgue integre edilebilir fonksiyonları olarak L 1 ( R, d ) , ve bu durumda, f * g de integrallenebilirdir ( Stein ve Weiss 1971 , teoremi 1.3). Bu, Tonelli teoreminin bir sonucudur . Bu, aynı zamanda işlevleri için de geçerlidir L 1 için daha genel olarak farklı kıvrım altında, ya da herhangi bir grup ile kıvrım .
Benzer şekilde, eğer f ∈ L 1 ( R d ) ve g ∈ L p ( R d ) ise 1 ≤ p ≤ ∞ ise , o zaman f ∗ g ∈ L p ( R d ) ve
p = 1 özel durumunda , bu, L 1'in evrişim altında bir Banach cebiri olduğunu gösterir (ve iki tarafın eşitliği, f ve g hemen hemen her yerde negatif değilse geçerlidir ).
Daha genel olarak, Young eşitsizliği kıvrım uygun arasında sürekli bir çift doğrusal harita olduğunu ima L s boşluklar. Spesifik olarak, eğer 1 ≤ p , q , r ≤ ∞ aşağıdakileri sağlıyorsa :
sonra
böylece evrişim, L p × L q ile L r arasında sürekli bir çift doğrusal eşlemedir . Evrişim için Young eşitsizliği diğer bağlamlarda da geçerlidir (daire grubu, Z üzerinde evrişim ). Önceki eşitsizlik gerçek doğru üzerinde keskin değildir: 1 < p , q , r < ∞ olduğunda, öyle bir sabit B p , q < 1 vardır:
B p , q'nun optimal değeri 1975'te ve bağımsız olarak 1976'da keşfedildi, bkz. Brascamp-Lieb eşitsizliği .
1 < p , q , r < ∞ sağlandığında daha güçlü bir tahmin doğrudur :
burada bir zayıf L q normu. Evrişim da iki doğrusal sürekli ilk tanımlar için zayıf Genç eşitsizlikle nedeniyle:
Hızlı bozunmanın işlevleri
Kompakt olarak desteklenen fonksiyonlara ve integrallenebilir fonksiyonlara ek olarak, sonsuzda yeterince hızlı bozunmaya sahip fonksiyonlar da konvolüsyona tabi tutulabilir. Evrişimin önemli bir özelliği, f ve g'nin her ikisinin de hızla bozunması durumunda , f ∗ g'nin de hızla bozunmasıdır. Özellikle, ön ve g olan hızlı bir şekilde azalan fonksiyonlar , o zaman konvolüsyon olan f * g . Evrişimin farklılaşma ile değişip değişmediği gerçeğiyle birleştiğinde (bkz. #Özellikler ), Schwartz fonksiyonları sınıfının evrişim altında kapalı olduğu sonucu çıkar ( Stein & Weiss 1971 , Teorem 3.3).
dağıtımlar
Bazı durumlarda, bir fonksiyonun evrişimini bir dağılıma veya iki dağılıma sahip olarak tanımlamak mümkündür. Eğer f a, kompakt desteklenen fonksiyonu ve g , daha sonra bir dağıtım f * g bir dağılım formül benzer tanımlanan düz bir fonksiyonudur
Daha genel olarak, evrişim tanımını benzersiz bir şekilde genişletmek mümkündür, böylece birleştirici yasa
f'nin bir dağılım ve g'nin kompakt olarak desteklenen bir dağılım olduğu durumda geçerli kalır ( Hörmander 1983 , §4.2).
Miktar
Herhangi iki evrişim Borel önlemler ^ ı ve ν arasında sınırlı değişimli ölçüsüdür (tarafından tanımlanan 1962 Rudin )
Özellikle,
nerede ölçülebilir bir dizi ve bir gösterge işlevi arasında .
Μ ve ν dağılımları ve aynı zamanda L evrişimi olarak kabul edilir, bu, yukarıda tanımlandığı büklümü ile kabul 1 μ ve ν Lebesgue ölçümü ile ilgili olarak mutlak sürekli olduğunda fonksiyonlar.
Ölçülerin evrişimi, Young eşitsizliğinin aşağıdaki versiyonunu da karşılamaktadır.
burada norm, bir ölçünün toplam varyasyonudur . Sınırlı varyasyon ölçülerinin uzayı bir Banach uzayı olduğundan , ölçülerin evrişimi, dağılımların evrişimi için geçerli olmayabilecek standart fonksiyonel analiz yöntemleriyle ele alınabilir.
Özellikler
cebirsel özellikler
Evrişim, integrallenebilir fonksiyonların lineer uzayında bir ürünü tanımlar . Bu çarpım, aşağıdaki cebirsel özellikleri karşılar; bu, formel olarak, evrişim tarafından verilen çarpım ile integrallenebilir fonksiyonların uzayının, kimliği olmayan değişmeli bir çağrışımsal cebir olduğu anlamına gelir ( Strichartz 1994 , §3.3). Kompakt desteğin sürekli fonksiyonlarının uzayı gibi diğer doğrusal fonksiyon uzayları , evrişim altında kapalıdır ve dolayısıyla değişmeli birleştirici cebirler oluşturur.
- değişebilirlik
-
- ilişkilendirme
-
- DAĞILMA
-
- skaler çarpma ile ilişkilendirme
-
- çarpımsal kimlik
- Hiçbir fonksiyon cebiri, evrişim için bir özdeşliğe sahip değildir. Özdeşlik eksikliği tipik olarak büyük bir rahatsızlık değildir, çünkü evrişimin gerçekleştirildiği çoğu fonksiyon koleksiyonu bir delta dağılımıyla (sıfır merkezli tek bir dürtü) veya en azından (durumda olduğu gibi) kıvrılabilir. L 1 ) özdeşliğe yaklaşımları kabul eder . Bununla birlikte, kompakt olarak desteklenen dağılımların doğrusal uzayı, evrişim altında bir özdeşliği kabul eder. özellikle,
- ters eleman
- Bazı dağılımlar S , daha sonra sağlaması gereken evrişim için bir ters eleman S -1'e sahiptir.
- karmaşık çekim
- Farklılaşma ile ilişki
-
- Entegrasyon ile ilişki
- eğer ve sonra
Entegrasyon
Eğer f ve g integrallenebilir fonksiyonlarsa, o zaman tüm uzaydaki evrişimlerinin integrali, integrallerinin çarpımı olarak basitçe elde edilir:
Bu, Fubini'nin teoreminden kaynaklanmaktadır . Aynı sonuç, Tonelli teoremi tarafından f ve g'nin yalnızca negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar olduğu varsayıldığında da geçerlidir .
farklılaşma
Tek değişkenli durumda,
burada d / dx olan türevi . Daha genel olarak, birkaç değişkenli fonksiyonlar söz konusu olduğunda, kısmi türev ile benzer bir formül geçerlidir :
Bunun özel bir sonucu kıvrım, bir "düzeltme" işlemi olarak görülebilir olmasıdır: evrişim f ve g kadar pek çok kez olarak ayırt edilebilirdir f ve g toplamı bulunmaktadır.
Bu kimlikler bu kesin koşullar altında tutun f ve g kesinlikle integre edilebilir ve bunların en az bir tanesi mutlaka integre (L sahiptir 1 bir sonucu olarak), zayıf bir türevi Young evrişim eşitsizlik . Örneğin, f kompakt destekle sürekli türevlenebilir olduğunda ve g keyfi yerel olarak integrallenebilir bir fonksiyon olduğunda,
Bu özdeşlikler ayrıca, eğer f veya g'den biri hızla azalan bir temperli dağılım , bir kompakt olarak desteklenen bir temperli dağılım veya bir Schwartz fonksiyonu ise ve diğeri temperli bir dağılım ise, temperli dağılımlar anlamında çok daha geniş tutar . Öte yandan, iki pozitif integrallenebilir ve sonsuz türevlenebilir fonksiyon hiçbir yerde sürekli bir evrişime sahip olabilir.
Ayrık durumda, fark operatörü D f ( n ) = f ( n + 1) − f ( n ) benzer bir ilişkiyi sağlar:
evrişim teoremi
Büklüm teoremi devletler bu
burada belirtmektedir Fourier dönüşümü arasında , ve spesifik bağlı olan bir sabittir normalleştirme Fourier dönüşümü. Bu teoremin versiyonları ayrıca Laplace dönüşümü , iki taraflı Laplace dönüşümü , Z dönüşümü ve Mellin dönüşümü için de geçerlidir .
Diğer taraftan, bir Fourier matrisi daha sonra,
- ,
burada bir yüz bölme ürün , anlamına gelir Kronecker'in ürün , anlamına gelir Hadamard ürünü (bu sonuç, gelişen bir sayısı çizim özellikleri).
öteleme denkliği
Evrişim, çevirilerle değişir, yani
burada τ x f fonksiyonu için olan f göre x tanımlanan
Eğer f a, Schwartz işlevi , daha sonra τ x f çevrilmiş bir Dirac delta fonksiyonu ile konvolüsyon olan τ x f = m * τ x δ . Dolayısıyla, Schwartz fonksiyonlarının evrişiminin öteleme değişmezliği, evrişimin birleştirilebilirliğinin bir sonucudur.
Ayrıca, belirli koşullar altında, evrişim en genel çeviri değişmez işlemidir. Gayri resmi olarak, aşağıdakiler geçerlidir
- S'nin , ötelemelerle yer değiştiren fonksiyonlar üzerinde hareket eden sınırlı bir lineer operatör olduğunu varsayalım : tüm x için S ( τ x f ) = τ x ( Sf ) . Daha sonra S , bir fonksiyon (veya dağılım) g S ile evrişim olarak verilir ; yani Sf = g S ∗ f .
Bu nedenle, bazı çeviri değişmez işlemleri evrişim olarak temsil edilebilir. Evrişimler zamanla değişmeyen sistemlerin ve özellikle LTI sistem teorisinin incelenmesinde önemli bir rol oynar . Temsil eden fonksiyon g S , S dönüşümünün dürtü yanıtıdır .
Yukarıda alıntılanan teoremin daha kesin bir versiyonu, üzerinde evrişimin tanımlandığı fonksiyonların sınıfını belirtmeyi ve ayrıca S'nin uygun topolojiye göre sürekli bir lineer operatör olması gerektiğini varsaymayı gerektirir . Her kesintisiz yer değiştirme değişmez sürekli lineer operatörü, örneğin, bilinen L 1 bir sonlu konvolüsyon olan Borel ölçüsü . Daha genel olarak, 1 ≤ p < ∞ için L p üzerindeki her sürekli öteleme değişmez sürekli lineer operatör , Fourier dönüşümü sınırlı olan temperlenmiş bir dağılıma sahip evrişimdir. Zekâ için, hepsi sınırlı Fourier çarpanları tarafından verilir .
Gruplar üzerinde konvolüsyonlar
Eğer G bir uygun grup bir ile donatılmış ölçü X ve eğer f ve g gerçek veya karmaşık değerli integre işlevleri G , o zaman kendi kıvrım tanımlayabilir
Genel olarak değişmeli değildir. İlgi tipik durumlarda G, a, yerel kompakt Hausdorff topolojik grup ve λ bir (sol) bir Haar ölçer . Sürece durumda, G, bir unimodular , bu şekilde tanımlanan büklüm aynı değildir . Birinin diğerine tercihi, sabit g fonksiyonuna sahip evrişimin grupta sol öteleme ile değişeceği şekilde yapılır:
Ayrıca, aşağıda verilen önlemlerin evrişim tanımıyla tutarlılık için sözleşme de gereklidir. Bununla birlikte, sol Haar ölçüsü yerine sağ ile, ikinci integral birinciye göre tercih edilir.
Yerel olarak kompakt değişmeli gruplar üzerinde, evrişim teoreminin bir versiyonu geçerlidir: Bir evrişimin Fourier dönüşümü, Fourier dönüşümlerinin noktasal ürünüdür. Daire grubu T Lebesgue ölçümü ile hemen örnektir. Sabit için g olarak L 1 ( T ), aşağıdaki bilinen operatörün hareket var Hilbert alanı L 2 ( T ):
Operatör , T ise kompakt . Doğrudan bir hesaplama, ekinin T* ile evrişim olduğunu gösterir.
Yerdeğiştirme özelliği yukarıda belirtilen göre, T ise , normal : T * T = TT *. Ayrıca, T , çeviri operatörleri ile gidip gelir. Tüm bu tür evrişimlerden ve çeviri operatörlerinden oluşan operatörlerin S ailesini göz önünde bulundurun . O halde S , normal operatörlerin bir gidip gelen ailesidir. Spektral teoriye göre , aynı anda S'yi köşegenleştiren bir ortonormal temel { h k } vardır . Bu, daire üzerindeki kıvrımları karakterize eder. Spesifik olarak, bizde
bunlar tam olarak T'nin karakterleridir . Her evrişim bu temelde kompakt bir çarpma operatörüdür . Bu, yukarıda tartışılan evrişim teoreminin bir versiyonu olarak görülebilir.
Ayrık bir örnek, n mertebesinden bir sonlu döngüsel gruptur . Evrişim operatörleri burada dairesel matrislerle temsil edilir ve ayrık Fourier dönüşümü ile köşegenleştirilebilir .
Benzer bir sonuç, kompakt gruplar için de geçerlidir (mutlaka değişmeli değil): sonlu boyutlu üniter temsillerin matris katsayıları , Peter-Weyl teoremi tarafından L 2'de ortonormal bir temel oluşturur ve evrişim teoreminin bir analoğu, birçok Fourier dönüşümüne bağlı olan harmonik analizin diğer yönleri .
ölçülerin konvolüsyonu
Let G bir (çarpımsal yazılı) topolojik grubu. Μ ve ν sonlu ise Borel ölçer ile G , daha sonra büklüm μ * ν olarak tanımlanır pushforward ölçü arasında Grup etkisi ve şu şekilde yazılabilir
Her bir ölçülebilir bir alt kümesi için , E ve G . Evrişim aynı zamanda toplam varyasyonu tatmin edici olan sonlu bir ölçüdür.
Durumda olduğunda G olduğu yerel kompakt (sol-) ile Haar ölçü λ ve μ ve ν olan mutlak sürekli bir X ile ilgili olarak her bir yoğunluk fonksiyonu olduğunu , ve ardından helezon μ * ν aynı zamanda mutlak sürekli ve yoğunluk fonksiyonu sadece iki ayrı yoğunluk fonksiyonunun evrişimidir.
Eğer μ ve ν topolojik grup ( R ,+) üzerindeki olasılık ölçüleri ise , o zaman evrişim μ ∗ ν , ilgili dağılımları μ ve ν olan iki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin X + Y toplamının olasılık dağılımıdır .
iki cebir
Let ( X , Δ, ∇, ε , η ) bir olmak bialgebra comultiplication Ô, çarpma ∇, birim r | ve counit ile ε . Evrişim, End( X ) endomorfizm cebiri üzerinde aşağıdaki gibi tanımlanan bir üründür . Let φ , ψ ∈ sonu ( X , bir), φ , ψ : X → X tüm cebirsel yapısı saygı fonksiyonları X , daha sonra büklüm φ * ψ bileşim olarak tanımlanmaktadır
Evrişim, özellikle Hopf cebirlerinin tanımında görülür ( Kassel 1995 , §III.3). Bir antipot sahiptir, ancak ve ancak bir bialgebra bir Hopf cebir: Bir Endomorfizma S şekilde
Uygulamalar
Evrişim ve ilgili işlemler bilim, mühendislik ve matematikteki birçok uygulamada bulunur.
- In görüntü işleme
- İçinde yapılan dijital görüntü işleme konvolüsyonel filtreleme çok önemli olarak önemli bir rol oynar algoritmalar olarak kenar algılama ve ilgili işlemler.
- Gelen optik bir out-of-odak fotoğraf bir mercek işlevi ile keskin görüntünün bir büklüm olduğunu. Bunun için fotoğraf terimi bokeh'dir .
- Bulanıklaştırma ekleme gibi görüntü işleme uygulamalarında.
- Dijital veri işlemede
- Olarak analitik kimyada , Savitzky-Golay yumuşatma filtre spektroskopik verilerin analizi için kullanılır. Spektrumda minimum bozulma ile sinyal-gürültü oranını iyileştirebilirler
- Olarak istatistik , bir ağırlıklı hareketli ortalama bir kıvrım olduğu.
- İçinde akustik , yankı orijinal sesin konvolüsyon olan yankıları ses kaynağı çevreleyen nesnelerden.
- Dijital sinyal işlemede, gerçek bir odanın dürtü yanıtını bir dijital ses sinyali üzerinde eşleştirmek için evrişim kullanılır .
- Olarak elektronik müzik konvolüsyon bir empoze olan spektral bir ses ya da ritmik yapı. Çoğu zaman bu zarf veya yapı başka bir sesten alınır. İki sinyalin konvolüsyonu, birinin diğerine filtrelenmesidir.
- Gelen elektrik mühendisliği , bir fonksiyonun (evrişim giriş sinyali , ikinci bir işlev (dürtü yanıtı) ile: a) çıkış verir doğrusal zaman içinde değişmez sistemi (LTI). Herhangi bir anda çıktı, girdi fonksiyonunun tüm önceki değerlerinin birikmiş etkisidir ve en son değerler tipik olarak en fazla etkiye sahiptir (çarpım faktörü olarak ifade edilir). Darbe yanıt işlevi, bu faktörü, her bir giriş değerinin oluşmasından bu yana geçen zamanın bir işlevi olarak sağlar.
- Olarak fizik , her yerde bir orada lineer sistem bir "ile üst üste ilkesi " terimi, bir evrişim işlemi bir görünüm sağlar. Örneğin, spektroskopide Doppler etkisine bağlı olarak çizgi genişlemesi kendi başına bir Gauss spektral çizgi şekli verir ve tek başına çarpışma genişletmesi bir Lorentzian çizgi şekli verir . Her iki etki de etkin olduğunda, çizgi şekli bir Voigt işlevi olan Gauss ve Lorentzian'ın bir evrişimidir .
- Olarak zaman çözünürlüklü floresan spektroskopisi , uyarım sinyalinin ö darbelerinin bir zincir gibi muamele edilmekte ve ölçülen flüoresan her bir delta atımdan üstel bozunur bir toplamıdır edilebilir.
- Olarak sayısal akışkan dinamiği , büyük girdap simülasyon (LES) türbülans modeli bu şekilde hesaplama maliyetini azaltır hesaplama için gerekli uzunlukta ölçeklerde düşürmek için büklüm işlemini kullanır.
- Olarak olasılık teorisi , olasılık dağılımı iki toplamı bağımsız rastgele değişken bireysel dağılımlarının konvolüsyon olup.
- Olarak çekirdek yoğunluk tahmini , bir dağıtım örneğin bir izotropik Gauss olarak, bir çekirdek ile konvolüsyon örnek nokta tahmin edilir.
- Radyoterapi tedavi planlama sistemlerinde, tüm modern hesaplama kodlarının çoğu, bir evrişim-süperpozisyon algoritması uygular .
- Yapısal güvenilirlikte, evrişim teoremine dayalı olarak güvenilirlik indeksi tanımlanabilir.
- Normal olmayan dağılımlara sahip limit durum fonksiyonları için güvenilirlik indeksinin tanımı, ortak dağılım fonksiyonuna karşılık gelen şekilde oluşturulabilir . Aslında, birleşik dağılım fonksiyonu evrişim teorisi kullanılarak elde edilebilir.
- Evrişimli sinir ağları , makine görüşü ve yapay zekadaki uygulamalarla birden çok basamaklı evrişim çekirdeği uygular . Bunlar çoğu durumda kıvrımlardan ziyade aslında çapraz korelasyonlardır .
- Gelen Düzleştirilmiş parçacık hidrodinamik sıvı dinamiği simülasyonları parçacıkları çevreleyen çekirdekleri her kullanılarak hesaplanır. Herhangi bir parçacık için , bazı fiziksel nicelikler , parçacığın komşularını, yani çekirdeğinde bulunanları ifade eden bir ağırlık fonksiyonu ile bir evrişim olarak hesaplanır . Evrişim, her komşunun toplamı olarak yaklaşık olarak hesaplanır.
Ayrıca bakınız
- Analog sinyal işleme
- dolaşım matrisi
- Saçılma ortamında optik geniş ışın tepkileri için evrişim
- evrişim gücü
- dekonvolüsyon
- Dirichlet evrişim
- Genelleştirilmiş sinyal ortalaması
- Jan Mikusinski
- Olasılık dağılımlarının kıvrımlarının listesi
- LTI sistem teorisi#Dürtü tepkisi ve evrişim
- Çok boyutlu ayrık evrişim
- Ölçekli korelasyon
- Titchmarsh evrişim teoremi
- Toeplitz matrisi (kıvrımlar, her satırın evrişim çekirdeğinin kaydırılmış bir kopyası olduğu bir Toeplitz matris işlemi olarak kabul edilebilir)
Notlar
Referanslar
daha fazla okuma
- Bracewell, R. (1986), Fourier Dönüşümü ve Uygulamaları (2. baskı), McGraw–Hill, ISBN 0-07-116043-4.
- Damelin, S.; Miller, W. (2011), Sinyal İşlemenin Matematiği , Cambridge University Press, ISBN 978-1107601048
- Diggle, PJ (1985), "Nokta proses verilerini yumuşatmak için bir çekirdek yöntemi", Journal of the Royal Statistical Society, Series C , 34 (2): 138–147, doi : 10.2307/2347366 , JSTOR 2347366 , S2CID 116746157
- Dominguez-Torres, Alejandro (2 Kasım 2010). "Kökeni ve evrişim tarihi". 41 sayfa. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution . Cranfield, Bedford MK43 OAL, Birleşik Krallık. 13 Mart 2013 tarihinde alındı.
- Ghasemi, S. Hooman; Nowak, Andrzej S. (2017), "Limit Durum Fonksiyonlarının Normal Olmayan Dağılımları için Güvenilirlik İndeksi", Yapısal Mühendislik ve Mekanik , 62 (3): 365–372, doi : 10.12989/sem.2017.62.3.365
- Grinshpan, AZ (2017), "Dirichlet olasılık ölçüsüne göre çoklu konvolüsyonlar için bir eşitsizlik", Advances in Applied Mathematics , 82 (1): 102–119, doi : 10.1016/j.aam.2016.08.001
- Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979), Soyut harmonik analiz. Cilt I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Matematiksel Bilimlerin Temel İlkeleri], 115 (2. baskı), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-09434-0, MR 0551496.
- Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Soyut harmonik analiz. Cilt II: Kompakt gruplar için yapı ve analiz. Yerel olarak kompakt Abelian grupları üzerinde analiz , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, Berlin, New York: Springer-Verlag , MR 0262773.
- Hörmander, L. (1983), Lineer kısmi diferansiyel operatörlerin analizi I , Grundl. Matematik. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035.
- Kassel, Christian (1995), Kuantum grupları , Matematikte Lisansüstü Metinler, 155 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0783-2 , ISBN 978-0-387-94370-1, MR 1321145.
- Knuth, Donald (1997), Yarı Sayısal Algoritmalar (3. baskı), Reading, Massachusetts: Addison–Wesley, ISBN 0-201-89684-2.
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları . Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Basın. ISBN'si 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Modern matematiksel fizik yöntemleri. II. Fourier analizi, kendi kendine bitişiklik , New York-Londra: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, s. xv+361, ISBN 0-12-585002-6, MR 0493420
- Rudin, Walter (1962), gruplar üzerinde Fourier analizi , Saf ve Uygulamalı Matematikte Interscience Tracts, 12 , New York-Londra: Interscience Publishers, ISBN 0-471-52364-X, MR 0152834.
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları . GTM . 8 (İkinci baskı). New York, NY: Springer New York Baskı Springer. ISBN'si 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Öklid Uzayları Üzerine Fourier Analizine Giriş , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
- Sobolev, VI (2001) [1994], "Fonksiyonların evrişimi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press.
- Strichartz, R. (1994), Dağılım Teorisi ve Fourier Dönüşümleri Kılavuzu , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
- Titchmarsh, E (1948), Fourier integralleri teorisine giriş (2. baskı), New York, NY: Chelsea Pub. Co. (1986 yayınlandı), ISBN 978-0-8284-0324-5.
- Treves, François (2006) [1967]. Topolojik Vektör Uzayları, Dağılımlar ve Çekirdekler . Mineola, NY: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Uludağ, AM (1998), "Evrişim işlemi altında düzgünlüğün olası bozulması üzerine", J. Math. Anal. Uygulama , 227 (2): 335–358, doi : 10.1006/jmaa.1998.6091
- von zur Gathen, J.; Gerhard, J. (2003), Modern Bilgisayar Cebiri , Cambridge University Press, ISBN 0-521-82646-2.
Dış bağlantılar
- İlk Kullanımlar: Evrişim ile ilgili girişte bazı tarihsel bilgiler vardır.
- Evrişim , Veri Analizi Özet Kitabında
- http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Görsel evrişim Java Uygulaması
- http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Ayrık zamanlı fonksiyonlar için görsel evrişim Java Uygulaması
- https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution discre-convolution çevrimiçi hesap makinesi
- https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Javascript'te Convolution demosu ve görselleştirme
- https://phiresky.github.io/convolution-demo/ Javascript'te başka bir evrişim demosu
- Görüntü İşleme Dersleri: Vanderbilt Üniversitesi'nden pdf formatında 18 derslik bir koleksiyon. Ders 7, 2 boyutlu evrişim üzerinedir. , Alan Peters tarafından
- * https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing
- Convolution Kernel Mask Operation Etkileşimli öğretici
- Konvolusyon de MathWorld
- Freeverb3 Impulse Response Processor : VST eklentileri ile açık kaynaklı sıfır gecikmeli dürtü yanıt işlemcisi
- Stanford Üniversitesi CS 178 uzamsal evrişimin nasıl çalıştığını gösteren etkileşimli Flash demosu .
- Salman Khan tarafından verilen evrişim konusunda bir video dersi
- Örüntü tanıma (görüntü işleme) için FFT evrişim örneği
- Evrişim için Sezgisel Kılavuz Evrişimin sezgisel bir yorumu hakkında bir blog yazısı.