Matematik Alanları - Areas of mathematics

Matematik
0-9 A B C NS E F G H ben J K L m n Ö P Q r S T sen V W x Y Z
matematikçiler
A B C NS E F G H ben J K L m n Ö P Q r S T sen V W x Y Z
Navigasyon
Listeler anahat portal Alanlar
v T e

Matematik , tarihi boyunca giderek artan çeşitlilikte ve derinlikte konuları kapsar ve onun anlaşılması, bu çeşitli konuları matematiğin daha genel alanlarında kategorize edecek ve organize edecek bir sistem gerektirir . Bir dizi farklı sınıflandırma şeması ortaya çıkmıştır ve bazı benzerlikleri paylaşsalar da, kısmen hizmet ettikleri farklı amaçlara bağlı olarak farklılıklar vardır.

Matematiğin geleneksel bir bölümü saf matematiktir ; matematik, özündeki ilgi için çalışıldı ve uygulamalı matematik ; gerçek dünya problemlerine doğrudan uygulanabilen matematik. Bu ayrım her zaman net değildir ve birçok konu daha sonra beklenmedik uygulamalar bulmak için saf matematik olarak geliştirilmiştir. Ayrık matematik , hesaplamalı matematik ve benzeri gibi geniş bölümler daha yakın zamanda ortaya çıkmıştır.

İdeal bir sınıflandırma sistemi, önceki bilgilerin organizasyonuna yeni alanlar eklemeye ve şaşırtıcı keşifleri ve beklenmedik etkileşimleri ana hatlara uydurmaya izin verir. Örneğin, Langlands programı önceden bağlantısız olduğu düşünülen alanlar, en azından Galois grupları , Riemann yüzeyleri ve sayı teorisi arasında beklenmedik bağlantılar buldu .

sınıflandırma sistemleri

• Wikipedia , makalelerinde bir Kategori: Matematik sistemi kullanır ve ayrıca bir matematik listeleri listesine sahiptir .
• Matematik Konu Sınıflandırması (MSC) yorum personeli tarafından üretilen veri tabanları Matematiksel Yorumlar ve Zentralblatt MATH . Birçok matematik dergisi yazarlardan makalelerini MSC konu kodlarıyla etiketlemelerini ister. MSC, matematiği, her alanda daha fazla alt bölümle birlikte 60'tan fazla alana böler.
• In Kongre Sınıflandırma Kütüphanesi , matematik sınıfı Q (Bilim) içinde birçok alt sınıf QA atanır. LCC, geniş bölümleri tanımlar ve bireysel konulara belirli sayısal değerler atanır.
• Konusal sınıflama için alt bölümleri ile bölünmesi 510 atar matematik, cebir ve sayısı teori , aritmetik , Topoloji , Analiz , Geometri , Sayısal analiz , ve Olasılıklar ve Uygulamalı matematik .
• Matematik içinde Kategoriler listesinde tarafından kullanılan arXiv kategorize Makalelerini . MSC'den farklıdır; örneğin, Kuantum cebiri gibi şeyleri içerir .
• IMU onun kullandığı programın yapısını onun dersler organize ICM dört yılda. MSC'nin sahip olmadığı bir üst düzey bölüm, Yalan teorisidir .
• ACM Hesaplama Sınıflandırma Sistemi matematiksel bir çift içeren kategoriler Hesaplama F. Teorisi ve Bilgisayar G. Matematik.
• MathOverflow bir etiket sistemine sahiptir .
• Springer ( alt disiplinler ), Cambridge ( Matematik ve istatistiklere göz atın ) ve AMS ( konu alanı ) gibi matematik kitabı yayıncıları , müşterilerin kitaplara göz atmasını veya matematiksel biyoloji gibi konular da dahil olmak üzere aramaları alt disiplinlere göre filtrelemesini sağlamak için web sitelerinde kendi konu listelerini kullanır. ve üst düzey başlıklar olarak matematiksel finans .
• Okulların ve diğer eğitim kurumlarının müfredatları vardır .
• SIAM , uygulamalı matematik alanlarını etkinlik gruplarına ayırır .

Matematiğin ana bölümleri

saf matematik

Vakıflar

Matematikçiler her zaman mantık ve sembollerle çalıştılar, ancak yüzyıllar boyunca mantığın temel yasaları kabul edildi ve asla sembolik olarak ifade edilmedi. Sembolik mantık olarak da bilinen matematiksel mantık , insanlar nihayet matematik araçlarının mantığın yapısını incelemek için kullanılabileceğini anladıklarında geliştirildi. Bu alandaki araştırma alanları hızla genişlemiştir ve genellikle birkaç farklı alt alana bölünmüştür.

• İspat teorisi ve yapıcı matematik  : İspat teorisi, David Hilbert'in matematikteki tüm ispatları resmileştirmeye yönelik iddialı programından doğdu . Alandaki en ünlü sonuç Gödel'in eksiklik teoremlerinde özetlenmiştir . Yakından ilişkili ve şimdi oldukça popüler bir kavram, Turing makineleri fikridir . Konstrüktivizm , Brouwer'ın mantığın doğasına ilişkin alışılmışın dışında olan görüşünün bir ürünü; yapıcı bir şekilde konuşursak, matematikçiler gerçekten bir daire sergileyene ve yuvarlaklığını ölçene kadar "Daire yuvarlaktır ya da değildir" iddiasında bulunamazlar.

• Model teorisi  : Model teorisi, matematiksel yapıları genel bir çerçevede inceler . Ana aracı birinci dereceden mantıktır .

• Küme teorisi  : Bir dizi bazı ortak özelliği birleştirdiği farklı şeylerin bir koleksiyon olarak düşünülebilir. Küme teorisi üç ana alana bölünmüştür. Naif küme teorisi , 19. yüzyılın sonunda matematikçiler tarafından geliştirilen orijinal küme teorisidir. Aksiyomatik küme teorisi , naif küme teorisinde ciddi kusurların ( Russell'ın paradoksu gibi ) keşfedilmesine yanıt olarak geliştirilen titiz bir aksiyomatik teoridir. Kümeleri "aksiyomları karşılayan her şey" olarak ele alır ve şeylerin koleksiyonları kavramı yalnızca aksiyomlar için motivasyon görevi görür. İç küme teorisi küme kuramı bir aksiyomatik uzantısıdır destekleyen bir mantıksal tutarlı belirlenmesi illimited (muazzam büyük) ve son derece küçük olan (hayal edilemeyecek küçük) elemanları gerçek sayılar . Ayrıca bkz . Küme teorisi konularının listesi .

Tarih ve biyografi

Matematik tarihi, konunun kendisiyle ayrılmaz bir şekilde iç içedir. Bu son derece doğaldır: matematiğin daha önce gelenlerden yeni teoremler türeten içsel bir organik yapısı vardır. Her yeni nesil matematikçi, atalarının başarıları üzerine inşa ettikçe, konunun kendisi bir soğan gibi genişler ve yeni katmanlar oluşturur.

eğlence matematik

Gönderen sihirli kareler için Mandelbrot kümesi , sayı eğlence kaynağı olmuştur ve çağlar boyunca milyonlarca insan için zevk. "Ciddi" matematiğin birçok önemli dalının kökleri, bir zamanlar sadece bir bulmaca ve/veya oyun olan şeye sahiptir.

Sayı teorisi

Sayı teorisi , sayıların ve aralarındaki işlemlerin özelliklerinin incelenmesidir. Sayı teorisi geleneksel olarak tamsayıların özellikleriyle ilgilenir , ancak daha yakın zamanlarda, tamsayıların incelenmesinden doğal olarak ortaya çıkan daha geniş problem sınıflarıyla ilgilenmeye başlamıştır.

• Aritmetik  : Öncelikle doğal sayılar , tamsayılar , kesirler ve ondalık sayıların yanı sıra bunlarla ilgili geleneksel işlemlerin özelliklerine odaklanan sayı teorisinin temel bir parçasıdır : toplama , çıkarma , çarpma ve bölme . 19. yüzyıla kadar aritmetik ve sayı teorisi eş anlamlıydı, ancak alanın evrimi ve büyümesi, aritmetiğin yalnızca sayılar teorisinin temel dalına atıfta bulunmasıyla sonuçlandı.

• Temel sayı teorisi: Burada 'temel' teriminin diğer matematiksel alanlardan hiçbir tekniğin kullanılmadığı gerçeğine atıfta bulunduğu, aritmetikten daha yüksek bir düzeyde tamsayıların incelenmesi .

• Analitik sayı teorisi  : Matematik ve karmaşık analiz , tam sayıları incelemek için araçlar olarak kullanılır.

• Cebirsel sayı teorisi  : Soyut cebir teknikleri , tam sayıların yanı sıra cebirsel sayıları , tamsayı katsayılı polinomların köklerini incelemek için kullanılır .

• Diğer sayı teorisi alt alanları: Geometrik sayı teorisi ; kombinatoryal sayı teorisi ; aşkın sayılar teorisi ; ve hesaplamalı sayılar teorisi . Ayrıca sayı teorisi konularının listesine bakın .

Cebir

Yapı çalışması sayılarla başlar , ilk olarak bilinen doğal sayılar ve tamsayılar ve bunların temel cebirde kaydedilen aritmetik işlemleri . Bu sayıların daha derin özellikleri sayı teorisinde incelenir . Denklemleri çözme yöntemlerinin araştırılması, diğer şeylerin yanı sıra, günlük sayıların sahip olduğu özellikleri genelleştiren yapılar olan halkaları ve alanları inceleyen soyut cebir alanına götürür . Pusula ve cetvel yapıları hakkında uzun süredir devam eden sorular , sonunda Galois teorisi tarafından çözüldü . Vektör uzaylarına genelleştirilmiş fiziksel olarak önemli vektör kavramı lineer cebirde incelenir . Tüm cebirsel yapılarda ortak olan temalar evrensel cebirde incelenir .

• Sıra teorisi  : Herhangi iki farklı reel sayı için biri diğerinden büyük olmalıdır. Düzen teorisi bu fikri genel olarak kümelere genişletir. Kafesler ve sıralı cebirsel yapılar gibi kavramları içerir . Ayrıca sipariş teorisi sözlüğüne ve sipariş konuları listesine bakın .

• Genel cebirsel sistemler  : Bir küme verildiğinde , o kümenin üyelerini birleştirmenin veya ilişkilendirmenin farklı yolları tanımlanabilir. Bunlar belirli kurallara uyarsa, belirli bir cebirsel yapı oluşur. Evrensel cebir , bu yapıların ve sistemlerin daha resmi çalışmasıdır.

• Alan teorisi ve polinomlar: Alan teorisi, alanların özelliklerini inceler . Alan, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin iyi tanımlandığı matematiksel bir varlıktır . Bir polinom, sabitlerin ve değişkenlerin yalnızca toplama, çıkarma ve çarpma kullanılarak birleştirildiği bir ifadedir.

• Değişmeli halkalar ve cebirler  : Soyut cebirin bir dalı olan halka teorisinde , değişmeli halka, çarpma işleminin değişme yasasına uyduğu bir halkadır . Bu, eğer a ve b halkanın herhangi bir elemanıysa , o zaman a × b  =  b × a anlamına gelir . Değişmeli cebir, değişmeli halkalar ve bunların idealleri , modülleri ve cebirlerinin çalışma alanıdır . Hem cebirsel geometri hem de cebirsel sayı teorisi için temeldir . Değişmeli halkaların en belirgin örnekleri polinom halkalarıdır .

kombinatorik

Kombinatorik, belirli kriterleri karşılayan sonlu veya ayrık nesne koleksiyonlarının incelenmesidir. Özellikle, bu koleksiyonlardaki nesneleri "saymak" ( sayılayıcı kombinatorik ) ve belirli "optimal" nesnelerin var olup olmadığına karar vermekle ( aşırı kombinatorik ) ilgilenir . Birbirine bağlı nesneleri tanımlamak için kullanılan grafik teorisini içerir (bu anlamda bir grafik bir ağ veya bağlantılı noktaların toplamıdır). Ayrıca bkz Kombinatorik konuların listesini , grafik teorisi konu listesinden ve grafik teorisinin sözlüğü . Bir kombinatoryal tat birçok yerinde mevcut olan sorun çözme .

Geometri

Geometri, temel nitelikleri veya aksiyomları kullanarak uzamsal ilişkilerle ilgilenir . Bu tür aksiyomlar, mantıksal sonuçlar çıkarmak için noktalar , düz çizgiler , eğriler , yüzeyler ve katılar için matematiksel tanımlarla birlikte kullanılabilir . Ayrıca bkz . Geometri konularının listesi .

• Dışbükey geometri : Politoplar ve çokyüzlüler gibi nesnelerin incelenmesini içerir . Ayrıca bkz . Dışbükeylik konularının listesi .

• Ayrık geometri ve birleşimsel geometri : Doğaları veya temsilleri gereği ayrık veya birleşimsel olan geometrik nesneler ve özelliklerin incelenmesi . Platonik katılar ve mozaikleme kavramı gibi şekillerin incelenmesini içerir .

• Diferansiyel geometri : Kalkülüs kullanarak geometri çalışması. Diferansiyel topoloji ile çok yakından ilgilidir . Riemann geometrisi , eğrilik ve eğrilerin diferansiyel geometrisi gibi alanları kapsar . Ayrıca diferansiyel geometri ve topoloji sözlüğüne bakın .

• Cebirsel geometri : İki gerçek değişkenli bir polinom verildiğinde , bir düzlemde bu fonksiyonun sıfır olduğu noktalar bir eğri oluşturacaktır. Bir cebirsel eğri bir fazla polinomları bu durumu uzanan alan değişkenler, belirli bir sayıda olmasıdır. Cebirsel geometri, bu eğrilerin incelenmesi olarak görülebilir. Ayrıca bkz cebirsel geometri konular listesini ve cebirsel yüzeylerin listesi .
  • Gerçek cebirsel geometri : Yarı cebirsel kümelerin incelenmesi , yani cebirsel eşitsizliklerin gerçek sayı katsayıları ile gerçek sayı çözümleri ve bunlar arasındaki eşlemeler.

• Aritmetik geometrisi : çalışma programları üzerinde sonlu Çeşidi spektrumunun arasında tamsayılar halkası . Alternatif olarak, cebirsel geometri tekniklerinin sayılar teorisindeki problemlere uygulanması olarak tanımlanır .

• Diofant geometrisi : noktaları çalışma cebirsel çeşitleri koordinatlar ile alanları olmayan cebirsel kapalı ve meydana cebirsel sayı teorisi bu alanı olarak, rasyonel sayı , sayı alanları , sonlu cisimler , işlev alanları ve p -adic alanları , ama gerçek sayılar dahil değil .

topoloji

Şekil sürekli deforme olduğunda değişmeyen bir şeklin özellikleriyle ilgilenir. Ana alanlar, aşağıda tanımlanan nokta küme topolojisi (veya genel topoloji ), cebirsel topoloji ve manifoldların topolojisidir .

• Genel topoloji : Nokta kümesi topolojisi de denir . Özellikleri Topolojik uzaylarda . Açık ve kapalı kümeler , kompakt uzaylar , sürekli fonksiyonlar , yakınsama , ayırma aksiyomları , metrik uzaylar , boyut teorisi gibi kavramları içerir . Ayrıca genel topoloji sözlüğüne ve genel topoloji konularının listesine bakın .

• Cebirsel topoloji : Bir topolojik uzayla ilişkili cebirsel nesnelerin özellikleri ve bu cebirsel nesnelerin bu tür uzayların özelliklerini nasıl yakaladığı. (Bu cebirsel nesnelerden bazıları functor örnekleridir .) Homoloji teorisi , kohomoloji teorisi , homotopi teorisi ve homolojik cebir gibi alanları içerir . Homotopi, homotopi grupları ( temel grup dahil ) ile basit kompleksler ve CW kompleksleri ( hücre kompleksleri olarak da adlandırılır ) ile ilgilenir . Cebirsel topoloji konularının listesine de bakın .

• Diferansiyel topoloji : Diferansiyellenebilir manifoldlar üzerinde türevlenebilir fonksiyonlarla ilgilenen ve olağan 3 boyutlu Öklid uzayında bir yüzeyin n : boyutlu genellemesi olarak düşünülebilen alan .

analiz

Matematikte analiz , değişim oranlarına (türevler) , integrallere ve birbirine göre (veya birbirinden bağımsız olarak) değişen çok sayıda şeye odaklanan daldır .

Modern analiz, sayı teorisi , kriptografi ve soyut cebir gibi çeşitli konularda doğrudan ve dolaylı uygulamalar bulan, disiplinin hemen hemen tüm diğer alt bölümlerine dokunan, matematiğin geniş ve hızla genişleyen bir dalıdır . Aynı zamanda bilimin kendisinin dildir ve genelinde kullanılan kimya , biyoloji ve fiziği gelen, astrofizik için X-ışını kristalografisi .

Uygulamalı matematik

Olasılık ve istatistik

• Olasılık teorisi : Rastgele fenomenlerin matematiksel teorisi . Olasılık teorisi , deterministik olmayan olayların veya ölçülen niceliklerin matematiksel soyutlamaları olan rastgele değişkenleri ve olayları inceler . Ayrıca bkz. Kategori:olasılık teorisi ve olasılık konularının listesi .
  • Stokastik süreçler : Zaman serileri veya uzamsal süreçler gibi rastgele değişkenlerin koleksiyonlarını inceleyen olasılık teorisinin bir uzantısı . Ayrıca bkz . Stokastik süreçler konu listesi ve Kategori:Stokastik süreçler .
• İstatistik : Deneylerden veya birey popülasyonlarından elde edilen sayısal verileri etkili bir şekilde kullanma bilimi . İstatistik, yalnızca bu tür verilerin toplanması, analizi ve yorumlanmasını değil, aynı zamanda anket ve deneylerin tasarımı açısından verilerin toplanmasının planlanmasını da içerir . Ayrıca istatistiksel konuların listesine bakın .

hesaplamalı bilimler

• Sayısal analiz : Matematikteki birçok problem genel olarak tam olarak çözülemez. Sayısal analiz, sorunları belirli bir hata sınırına yaklaşık olarak çözmek için yinelemeli yöntemler ve algoritmaların incelenmesidir . İçerir sayısal farklılaşma , sayısal entegrasyonu ve sayısal yöntemler ; bkz. bilimsel hesaplama . Ayrıca bkz . Sayısal analiz konularının listesi .

• Bilgisayar cebiri : Bu alana sembolik hesaplama veya cebirsel hesaplama da denir . Kesin hesaplama ile ilgilenir, örneğin keyfi boyuttaki tamsayılar, polinomlar veya sonlu alanların elemanları ile. Ayrıca polinom idealleri veya seriler gibi sayısal olmayan matematiksel nesnelerle hesaplamayı da içerir .

matematiksel fizik

• Klasik Mekanik : Mermilerden makine parçalarına kadar makroskopik nesnelerin ve uzay aracı, gezegenler, yıldızlar ve galaksiler gibi astronomik nesnelerin hareketini ele alır ve tanımlar.

• Yapı mekaniği : Yapıların mekaniği, bir kirişin bükülmesi, bir kolonun burkulması, bir şaftın burulması, ince bir kabuğun bükülmesi ve titreşim gibi mekanik yükler altındaki yapıların davranışını araştıran uygulamalı mekanik içinde bir çalışma alanıdır. bir köprünün.

• Deforme olabilen katıların mekaniği : Gerçek dünya nesnelerinin çoğu nokta benzeri veya tamamen katı değildir. Daha da önemlisi, cisimler kuvvetlere maruz kaldıklarında şekil değiştirirler. Bu konunun, sürekli madde ile ilgili olan sürekli ortam mekaniği ile çok güçlü bir örtüşmesi vardır . Gerilme , gerinim ve esneklik gibi kavramlarla ilgilenir .

• Akışkanlar mekaniği : Sıvılar bu anlamda sadece içeren sıvıları , ancak akan gazlar ve hatta katı belirli durumlar altında. (Örneğin, kuru kum bir sıvı gibi davranabilir). Viskozite , türbülanslı akış ve laminer akış (tersi) gibi kavramları içerir .

• Parçacık mekaniği : Matematikte parçacık , nokta benzeri, tamamen katı, katı bir nesnedir. Parçacık mekaniği, parçacıkların kuvvetlere maruz bırakılmasının sonuçlarıyla ilgilenir. Bu içerir gök mekaniği gökcisimlerinin hareket -the çalışma.

Diğer uygulamalı matematik

• Yöneylem araştırması (VEYA): Yöneylem araştırması olarak da bilinen VEYA, karmaşık sorunlara optimal veya optimale yakın çözümler sağlar. VEYA matematiksel modelleme , istatistiksel analiz ve matematiksel optimizasyon kullanır .

• Matematiksel programlama : Matematiksel programlama (veya matematiksel optimizasyon), genellikle değişkenler üzerindeki kısıtlamalarla belirtilen bir etki alanı üzerinde gerçek değerli bir işlevi en aza indirir (veya en üst düzeye çıkarır). Matematiksel programlama bu sorunları inceler ve çözümleri için yinelemeli yöntemler ve algoritmalar geliştirir .

• hesaplamalı biyoloji

• Hesaplamalı dilbilimleri

Ayrıca bakınız

• Matematik Konu Sınıflandırması
• Matematik alanları sözlüğü
• matematiğin ana hatları

Notlar

Dış bağlantılar

• Matematik Bölümleri [Web Arşivinden; Son değiştirilen 2006/01/25]