yalan teorisi - Lie theory

In matematik , matematikçi Sophus Lie ( / lt I / LEE entegrasyonunu kapsayan çalışmanın) başlatılan hatları diferansiyel denklemler , dönüşüm gruplarına ve temas içinde küre var çağrılacak gelip Lie teorisi . Örneğin, ikinci konu Lie küre geometrisidir . Bu makale , matematiğin alanlarından biri olan ve Wilhelm Killing ve Élie Cartan tarafından geliştirilen dönüşüm gruplarına yaklaşımını ele almaktadır .

Yalan teorisinin temelidir üstel haritası ilişkin Lie cebirleri için Lie gruplarının denir Lie grubu Lie cebir yazışmalar . Lie grupları türevlenebilir manifoldlar olduğundan , konu diferansiyel geometrinin bir parçasıdır . Lie grupları kimlik (1) ve dışarısına çıkabileceği teğet vektörleri için bir parametreli alt Lie cebir üretir. Bir Lie grubunun yapısı cebirinde gizlidir ve Lie cebirinin yapısı kök sistemler ve kök verilerle ifade edilir .

Lie teorisi, standart dönüşüm gruplarını tanımladığı için matematiksel fizikte özellikle faydalı olmuştur : Galilean grubu , Lorentz grubu , Poincaré grubu ve uzay-zamanın konformal grubu .

Temel Yalan teorisi

Tek parametreli gruplar , Lie teorisinin ilk örneğidir. Kompakt durum ile ortaya çıkan Euler formül içinde , kompleks düzlemin . Diğer tek parametreli gruplar, bölünmüş karmaşık sayı düzleminde birim hiperbol olarak ortaya çıkar.

${\displaystyle \lbrace \exp(it)=\cosh(t)+i\sinh(t):t\in R\rbrace ,}$

ve çift ​​sayı düzleminde doğru olarak Bu durumlarda Lie cebir parametrelerinin adları vardır: açı , hiperbolik açı ve eğim . Bu açılar, 2 x 2 gerçek matrisin alt cebirlerini tanımlayan kutupsal ayrıştırmaları sağlamak için kullanışlıdır . ${\displaystyle \lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .}$

Klasik bir 3 parametreli Lie grubu ve cebir çifti vardır: 3 küre ile tanımlanabilen birim uzunluk kuaterniyonları . Lie cebiri, kuaterniyon vektörlerinin alt uzayıdır . ij − ji = 2k komütatörü olduğundan, bu cebirdeki Lie ayracı , sıradan vektör analizinin çapraz çarpımının iki katıdır .

Bir başka temel 3 parametreli örnek, Heisenberg grubu ve onun Lie cebiri tarafından verilmiştir . Lie teorisinin standart tedavileri genellikle klasik gruplarla başlar .

Tarihçe ve kapsam

Yalan teorinin Erken ifadeleri oluşan kitaplarda bulunan Sophus Lie ile Friedrich Engel ve Georg SCHEFFERS 1888 den 1896 kadar.

Lie'nin ilk çalışmalarında fikir, Felix Klein ve Henri Poincaré'nin ellerinde modüler formlar teorisinde gelişen ayrık gruplar teorisini tamamlamak için sürekli gruplar teorisi oluşturmaktı . Lie'nin aklındaki ilk uygulama, diferansiyel denklemler teorisiydi . Galois teorisi ve polinom denklemleri modelinde , itici fikir, simetri çalışmasıyla adi diferansiyel denklemlerin tüm alanını birleştirebilen bir teoriydi .

Tarihçi Thomas W. Hawkins'e göre, Lie teorisini bu hale getiren Élie Cartan'dı :

Lie'nin pek çok verimli fikri olsa da, Cartan, teorisinin modern matematiğin temel bir bileşeni olmasını sağlayan genişletmelerinden ve uygulamalarından öncelikle sorumluydu. Weyl'in biraz yardımıyla , Killing'in seminal, esasen cebirsel fikirlerini, günümüz Lie teorisinde böylesine temel bir rol oynayan yarı-basit Lie cebirlerinin yapısı ve temsili teorisine geliştiren oydu . Ve Lie, teorisinin geometriye uygulamalarını öngörmüş olsa da, onları, örneğin, tüm ilgili aparatlar ( hareketli çerçeveler , dış diferansiyel formlar , vb.)

Lie'nin üç teoremi

Dönüşüm grupları üzerine yaptığı çalışmada Sophus Lie, kendi adını taşıyan gruplar ve cebirlerle ilgili üç teoremi kanıtladı. İlk teorem, sonsuz küçük dönüşümler yoluyla bir cebirin temelini sergiledi . İkinci teorem , cebirdeki komütatör çarpımların sonucu olarak cebirin yapı sabitlerini sergiledi . Üçüncü teoremi bu sabitleri, anti-simetriktir ve tatmin gösterdi Jacobi kimliği . Robert Gilmore'un yazdığı gibi:

Lie'nin üç teoremi, herhangi bir Lie grubuyla ilişkili Lie cebirini oluşturmak için bir mekanizma sağlar. Ayrıca bir Lie cebirinin özelliklerini de karakterize ederler. ¶ Lie'nin üç teoreminin tersini yapar: bir Lie grubunu herhangi bir sonlu boyutlu Lie cebiriyle ilişkilendirmek için bir mekanizma sağlarlar ... Taylor'ın teoremi , Lie'den bir kanonik analitik yapı fonksiyonunun φ(β,α) oluşturulmasına izin verir. cebir. ¶ Bu yedi teorem – Lie'nin üç teoremi ve onların karşıtları ve Taylor teoremi – Lie grupları ve cebirler arasında temel bir denklik sağlar.

Yalan teorisinin yönleri

Lie teorisi sıklıkla klasik lineer cebirsel grupların incelenmesi üzerine kuruludur . Özel dallar Weyl grupları , Coxeter grupları ve binaları içerir . Klasik konu, Yalan tipi Gruplara genişletildi .

1900'de David Hilbert , Paris'teki Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde sunduğu Beşinci Problemi ile Lie teorisyenlerine meydan okudu .

Ayrıca bakınız

• Baker–Campbell–Hausdorff formülü
• Lie grupları konularının listesi
• yalan grubu entegratörü

Notlar ve referanslar

• John A. Coleman (1989) "Tüm Zamanların En Büyük Matematiksel Kağıdı", The Mathematical Intelligencer 11(3): 29–38.

daha fazla okuma

• MA Akivis & BA Rosenfeld (1993) Élie Cartan (1869–1951) , Rusça orijinalinden VV Goldberg tarafından çevrilmiş, bölüm 2: Lie grupları ve Lie cebirleri, American Mathematical Society ISBN  0-8218-4587-X .
• PM Cohn (1957) Yalan Grupları , Matematiksel Fizikte Cambridge Yolları.
  • Nijenhuis, Albert (1959). "İnceleme: Yalan grupları , PM Cohn tarafından" . Amerikan Matematik Derneği Bülteni . 65 (6): 338-341. doi : 10.1090/s0002-9904-1959-10358-x .
• JL Coolidge (1940) Geometrik Yöntemlerin Tarihi , s. 304-17, Oxford University Press (Dover Publications 2003).
• Robert Gilmore (2008) Lie grupları, fizik ve geometri: fizikçiler, mühendisler ve kimyagerler için bir giriş , Cambridge University Press ISBN  9780521884006 .
• F. Reese Harvey (1990) Döndürücüler ve kalibrasyonlar , Academic Press, ISBN  0-12-329650-1 .
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Hawkins, Thomas (2000). Yalan Grupları Teorisinin Ortaya Çıkışı: matematik tarihinde bir deneme, 1869-1926 . Springer. ISBN'si 0-387-98963-3.
• Sattinger, David H.; Weaver, OL (1986). Fizik, geometri ve mekanik uygulamaları ile Lie grupları ve cebirler . Springer-Verlag. ISBN'si 3-540-96240-9.
• Stillwell, John (2008). Naif Yalan Teorisi . Springer. ISBN'si 978-0-387-98289-2.
• Heldermann Verlag Yalan Teorisi Dergisi

Dış bağlantılar