Bölüm (matematik) - Division (mathematics)

20 / 4 = 5, burada elmalarla gösterilmiştir. Bu sözlü olarak söylenir, "Yirmi bölü dörde eşittir beş."

Bölme , aritmetiğin dört temel işleminden biridir , yeni sayılar oluşturmak için sayıların birleştirilmesinin yolları. Diğer işlemler şunlardır eklenmesi , çıkarma ve çarpma .

Temel düzeyde, iki doğal sayının bölünmesi, diğer olası yorumların yanı sıra , bir sayının diğerinin içinde kaç kez bulunduğunu hesaplama işlemidir. Bu sayı her zaman bir tam sayı değildir (doğal sayılar üzerinde diğer aritmetik işlemler kullanılarak elde edilebilen bir sayı).

Geri kalan bölümü veya Öklid bölümü iki doğal sayılar bir tamsayıdır sağlar bölüm ikinci sayı, tamamen birinci sayıda içerdiği sayısıdır, ve geri kalan birinci sayıda parçası olan kalıntılar, zaman içinde bu bölümün hesaplanması sırasında, ikinci sayının boyutunun daha fazla tam parçası tahsis edilemez.

Bölmenin bir bölüm artı kalan yerine her zaman bir sayı vermesi için, doğal sayıların rasyonel sayılara (doğal sayılar üzerinde aritmetik kullanılarak elde edilebilen sayılar) veya gerçek sayılara genişletilmesi gerekir . Bu büyütülmüş sayı sistemlerinde bölme, çarpmanın ters işlemidir, yani a = c / b , b sıfır olmadığı sürece a × b = c anlamına gelir . Eğer b = 0 , o zaman bu bir sıfır ile bölme tanımlanmamıştır.

Her iki bölme biçimi de çeşitli cebirsel yapılarda , matematiksel yapıyı tanımlamanın farklı yollarında ortaya çıkar. Bir Öklid bölünmesinin (geri kalanıyla) tanımlandığı alanlar Öklid alanları olarak adlandırılır ve bir belirsizde polinom halkaları içerir (tek değişkenli formüller üzerinde çarpma ve toplamayı tanımlar). Tüm sıfır olmayan öğeler tarafından bir bölümün (tek bir sonuçla) tanımlandığı alanlar , alanlar ve bölme halkaları olarak adlandırılır . Bir halkada , bölmenin her zaman mümkün olduğu öğelere birimler denir (örneğin, tamsayılar halkasında 1 ve -1). Cebirsel yapılara edilen ayırımın bir başka genelleme bölüm grubu "bölüm" sonucu bir grup yerine bir sayı olduğu,.

Tanıtım

Bölmeye bakmanın en basit yolu, alıntı ve bölme açısındandır : alıntı perspektifinden, 20 / 5 , 20'yi elde etmek için eklenmesi gereken 5'lerin sayısı anlamına gelir. Bölme açısından, 20 / 5 , 5'in her birinin boyutu anlamına gelir. 20 boyutunda bir setin bölündüğü parçalar. Örneğin, 20 elma, dört elmadan oluşan beş gruba bölünür , yani yirmi bölü beş, dörde eşittir . Bu 20/5 = 4 olarak gösterilir veya 20/5= 4 . Bölünene bölen tarafından bölünen temettü denir ve sonuca bölüm denir . Örnekte 20 temettü, 5 bölen ve 4 bölümdür.

Diğer temel işlemlerden farklı olarak, doğal sayıları bölerken bazen temettüye eşit olarak gitmeyen bir kalan vardır; örneğin, 10/3 yaprak 10 olarak bir 1 kalan, bazen bu geri kalan kısmı olarak bölüm eklenir 3 bir katı değil kesirli bölümü , yani 10/3 eşittir 3+1/3veya 3.33... , ancak sayıların kesirli kısmı olmadığı tamsayılı bölme bağlamında , kalanlar ayrı tutulur (veya istisnai olarak atılır veya yuvarlanır ). Kalan kesir olarak tutulduğunda rasyonel bir sayı elde edilir . Tüm rasyonel sayılar kümesi, tamsayıları, tamsayıların bölünmesinin tüm olası sonuçlarıyla genişleterek oluşturulur.

Çarpma ve farklı olarak, bölme değildir değişmeli , yani bir / B her zaman da eşit b / a . Bölme ayrıca genel olarak ilişkisel değildir , yani birden çok kez bölerken bölme sırası sonucu değiştirebilir. Örneğin, (20/5) / 2 = 2 , ancak 20 / (5 / 2) = 8 (burada parantez kullanımı, parantez içindeki işlemlerin parantez dışındaki işlemlerden önce yapıldığını gösterir).

Bölünme geleneksel olarak sol çağrışımsal olarak kabul edilir . Yani, arka arkaya birden fazla bölme varsa, hesaplama sırası soldan sağa gider:

Bölme, toplama ve çıkarma üzerinde sağa-dağıtıcıdır , şu anlamda

Bu, çarpma için aynıdır , . Bununla birlikte, bölme sola dağıtımlı değildir , çünkü

Bu, hem sola hem de sağa dağılan ve dolayısıyla da dağıtan çarpma işlemindeki durumdan farklıdır .

gösterim

Artı ve eksiler. 2010 vergilendirme yılı için "Næringsoppgave 1" adlı resmi bir Norveç ticari beyan formundan bir alıntıda eksi işaretinin bir çeşidi olarak kullanılan bir obelus .

Bölme, genellikle cebir ve bilimde , bölenin üzerine , aralarında kesir çubuğu olarak da adlandırılan yatay bir çizgi ile temettü yerleştirilerek gösterilir . Örneğin, " a bölü b " şu şekilde yazılabilir:

hangi ayrıca "bölmek olarak yüksek sesle okunabilir bir tarafından b " ya da " bir aşkın b ". Bölmeyi tek bir satırda ifade etmenin bir yolu, temettü (veya pay), ardından bir eğik çizgi , ardından bölen (veya payda) aşağıdaki gibi yazmaktır :

Bu, çoğu bilgisayar programlama dilinde bölmeyi belirtmenin olağan yoludur , çünkü basit bir ASCII karakter dizisi olarak kolayca yazılabilir . MATLAB ve GNU Octave gibi bazı matematiksel yazılımlar , bölme operatörü olarak ters eğik çizgiyi kullanarak işlenenlerin ters sırada yazılmasına izin verir :

Bu iki formun ortasındaki bir tipografik varyasyon, bir solidus (kesir eğik çizgi) kullanır , ancak payı yükseltir ve böleni düşürür:

Bu formlardan herhangi biri bir kesri görüntülemek için kullanılabilir . Kesir, hem temettü hem de bölenin tamsayı olduğu (genellikle pay ve payda olarak adlandırılır ) bir bölme ifadesidir ve bölmenin daha fazla değerlendirilmesi gerektiği anlamına gelmez. Bölmeyi göstermenin ikinci bir yolu , aritmetikte yaygın olan bölme işaretini (÷, terimin ek anlamları olmasına rağmen obelus olarak da bilinir ) şu şekilde kullanmaktır:

Bu form, temel aritmetik dışında nadirdir. ISO 80000-2 -9.6, kullanılmaması gerektiğini belirtir. Bu bölme işareti, aynı zamanda, örneğin bir hesap makinesinin anahtarındaki bir etiket gibi, bölme işleminin kendisini temsil etmek için tek başına da kullanılır . Obelus, İsviçreli matematikçi Johann Rahn tarafından 1659'da Teutsche Cebirinde tanıtıldı . ÷ sembolü, bazı Avrupa ülkelerinde çıkarma işlemini belirtmek için kullanılır, bu nedenle kullanımı yanlış anlaşılabilir.

İngilizce konuşulmayan bazı ülkelerde, bölmeyi belirtmek için iki nokta üst üste işareti kullanılır:

Bu gösterim Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından 1684 Acta eruditorum'unda tanıtıldı . Leibniz, oran ve bölme için ayrı sembollere sahip olmaktan hoşlanmadı. Bununla birlikte, İngilizce kullanımında iki nokta üst üste , ilgili oranlar kavramını ifade etmekle sınırlıdır .

19. yüzyıldan beri, ABD ders kitapları , özellikle uzun bölmeyi tartışırken, a bölü b'yi veya bunu belirtmek için kullandı . Bu gösterimin tarihi, zamanla geliştiği için tamamen açık değildir.

Bilgi işlem

manuel yöntemler

Bölme, genellikle bir dizi nesneyi, örneğin bir şeker yığınını birkaç eşit parçaya "paylaşmak" kavramıyla tanıtılır. Nesneleri her bir paylaşım turunda her parçaya aynı anda dağıtmak, ' parçalama ' fikrine yol açar - bölenin katlarını tekrar tekrar bölenin kendisinden çıkardığı bir bölme şekli.

Belirli bir aşamada kısmi kalanın izin verdiğinden daha fazla çarpanın çıkarılmasına izin verilerek, çift yönlü parçalama varyantı gibi daha esnek yöntemler de geliştirilebilir.

Daha sistematik ve daha verimli bir şekilde, iki tam sayı , bölen küçükse kısa bölme , bölen büyükse uzun bölme yöntemiyle kalem ve kağıtla bölünebilir . Eğer temettü kesirli bir kısma sahipse ( ondalık kesir olarak ifade edilir ), birler basamağını geçerek istenildiği kadar işleme devam edilebilir. Bölen bir kesirli parçaya sahipse, bölen kesir kalmayana kadar ondalık sayıyı her iki sayıda da sağa kaydırarak problem yeniden ifade edilebilir, bu da problemin çözülmesini kolaylaştırabilir (örneğin, 10/2.5 = 100/25 = 4 ).

Bölme bir abaküs ile hesaplanabilir .

Logaritma tabloları , iki sayının logaritmasını çıkararak ve ardından sonucun antilogaritmasını arayarak iki sayıyı bölmek için kullanılabilir .

Bölme , C ölçeğindeki bölen ile D ölçeğindeki bölen aynı hizaya getirilerek bir sürgülü hesap cetveli ile hesaplanabilir. Bölüm, C ölçeğindeki sol dizinle hizalandığı D ölçeğinde bulunabilir. Bununla birlikte, ondalık noktayı zihinsel olarak takip etmekten kullanıcı sorumludur.

bilgisayar tarafından

Modern hesap makineleri ve bilgisayarlar, bölme işlemini ya uzun bölmeye benzer yöntemlerle ya da daha hızlı yöntemlerle hesaplar; bkz. Bölüm algoritması .

In modüler aritmetik (asal sayı modulo) ve için gerçek sayılar , sıfırdan farklı sayılar var çarpımsal ters . Bu gibi durumlarda, bir bölme x çarpımsal ters tarafından bir ürün olarak hesaplanabilir x . Bu yaklaşım genellikle bilgisayar aritmetiğindeki daha hızlı yöntemlerle ilişkilendirilir.

Farklı bağlamlarda bölme

Öklid bölünmesi

Öklid bölünmesi, tamsayıların olağan bölünmesi sürecinin sonucunun matematiksel formülasyonudur. İki tam sayıların, iddia bir , kar ve b , bölen bu şekilde, B ≠ 0 vardır benzersiz tamsayı q , bölüm ve r , kalan, bu şekilde , bir = bq + r , 0 ≤ r < | b |, nerede | b | temsil eder mutlak değerini ve b .

tamsayıların

Tamsayılar bölme altında kapalı değildir . Sıfıra bölmenin tanımsız olması dışında, bölünen bölenin tamsayı katı olmadığı sürece bölüm bir tamsayı değildir. Örneğin 26 bir tamsayı vermek için 11'e bölünemez. Böyle bir durumda beş yaklaşımdan biri kullanılır:

  1. 26'nın 11'e bölünemeyeceğini söyleyin; bölme kısmi bir fonksiyon haline gelir .
  2. " Gerçek " sayı olarak yaklaşık bir cevap verin . Bu genellikle sayısal hesaplamada kullanılan yaklaşımdır .
  3. Cevabı rasyonel bir sayıyı temsil eden bir kesir olarak verin , bu nedenle 26'nın 11'e bölünmesinin sonucu (veya karışık bir sayı olarak , yani ) genellikle elde edilen kesir basitleştirilmelidir: 52'nin 22'ye bölünmesinin sonucu da . Bu sadeleştirme, en büyük ortak böleni dışlayarak yapılabilir .
  4. Cevabı bir tamsayı bölümü ve bir kalan olarak verin , bu nedenle önceki durumla ayrım yapmak için, sonuç olarak iki tamsayı olan bu bölmeye bazen Öklid bölümü denir , çünkü Öklid algoritmasının temelidir .
  5. Cevap olarak tamsayı bölümünü verin, bu nedenle , bu taban işlevidir , bazen temel düzeyde tamsayı bölme olarak da adlandırılır .

Bir bilgisayar programında tam sayıları bölmek özel bir dikkat gerektirir. Bazı programlama dilleri , tamsayı bölünmesini yukarıdaki 5. durumdaki gibi ele alır, bu nedenle cevap bir tamsayıdır. MATLAB gibi diğer diller ve her bilgisayar cebir sistemi , yukarıdaki 3. durumda olduğu gibi cevap olarak rasyonel bir sayı döndürür. Bu diller ayrıca diğer durumların sonuçlarını doğrudan veya durum 3'ün sonucundan almak için işlevler sağlar.

Tamsayı bölme için kullanılan adlar ve simgeler arasında div, /, \ ve % bulunur. Tanımlar, bölen veya bölen negatif olduğunda tamsayı bölme işlemine göre değişir: yuvarlama sıfıra doğru (T-bölmesi olarak adlandırılır) veya −∞'ye (F-bölmesi) doğru olabilir; daha nadir stiller oluşabilir – ayrıntılar için Modulo işlemine bakın.

Bölünebilirlik kuralları bazen bir tamsayının tam olarak diğerine bölünüp bölünmediğini hızlı bir şekilde belirlemek için kullanılabilir.

rasyonel sayılar

Bölen 0 olmadığında iki rasyonel sayıyı bölmenin sonucu başka bir rasyonel sayıdır. İki rasyonel sayının p / q ve r / s bölümü şu şekilde hesaplanabilir.

Dört niceliğin tümü tam sayıdır ve yalnızca p 0 olabilir. Bu tanım, bölmenin çarpma işleminin ters işlemi olmasını sağlar .

gerçek sayılar

İki gerçek sayının bölünmesi, başka bir gerçek sayı ile sonuçlanır (bölen sıfır olmadığında). a / b = c şeklinde tanımlanır, ancak ve ancak a = cb ve b ≠ 0 ise.

karmaşık sayıların

İki karmaşık sayının bölünmesi (bölen sıfır olmadığında), paydanın eşleniği kullanılarak bulunan başka bir karmaşık sayı ile sonuçlanır:

Bu çarpma ve bölme işlemine 'gerçekleştirme' veya (analoji yoluyla) rasyonalizasyon denir . Dört nicelik p , q , r , s gerçek sayılardır ve r ve s her ikisi de 0 olmayabilir.

Kutup biçiminde ifade edilen karmaşık sayıların bölünmesi, yukarıdaki tanımdan daha basittir:

Yine p , q , r , s dört niceliğinin tümü gerçek sayılardır ve r 0 olmayabilir.

polinomların

Bir alan üzerinde tek bir değişkende polinomlar için bölme işlemi tanımlanabilir . O zaman, tamsayılarda olduğu gibi, bir kalanı vardır. Bkz polinomların Öklid bölümü elle yazılmış hesaplama için, ve polinom uzun bölme ya da sentetik bölümü .

matrislerin

Matrisler için bir bölme işlemi tanımlanabilir. Bunu yapmak için her zamanki gibi tanımlamaktır A / B = AB -1 , B -1 belirtmektedir tersini ait B , ancak dışarı yazmak için çok daha yaygın olduğu AB -1 açıkça önlemek karışıklığa. Bir elementwise bölümü de cinsinden tanımlanabilir Hadamard ürün .

Sol ve sağ bölme

Çünkü matris çarpım değildir değişmeli , bir de tanımlayabilir sol bölümü ya da sözde eğik çizgi-bölümü olarak bir \ B = A -1 B . Bunun iyi tanımlanabilmesi için B -1'in var olması gerekmez, ancak A -1'in var olması gerekir. Karışıklığı önlemek için, A / B = AB -1 ile tanımlanan bölme , bu bağlamda bazen sağ bölme veya eğik bölme olarak adlandırılır .

Not sol ve sağ bölünme bu şekilde tanımlanmış olan bu A / ( BC ) ile aynı değildir, genel olarak, ( A / B ) / C , ne de ( AB ) \ aynı A \ ( B \ C ) . Ancak, A /( BC ) = ( A / C )/ B ve ( AB )\ C = B \( A \ C ) olduğunu tutar .

sözde ters

A -1 ve/veya B -1 olmadığında sorun yaşamamak için bölme, sözde ters ile çarpma olarak da tanımlanabilir . Yani, A / B = AB + ve A \ B = A + B , burada A + ve B + A ve B'nin sözde-terslerini gösterir .

soyut cebir

Gelen soyut cebir , belirli bir magma ikili işlem * ile (normal olarak adlandırılır olabilir çarpma), sol bölümü ve b ile bir (yazılı bir \ b , tipik olarak çözelti olarak tanımlanmaktadır) x denklem a * X = b , bu vardır ve benzersizdir. Benzer şekilde, sağ bölümü arasında , b ile bir (yazılı b / a ) bir çözelti olan y denklem y * bir = b . Bu anlamda bölme, ∗'nin herhangi bir özel özelliğe sahip olmasını gerektirmez (değişebilirlik, çağrışımsallık veya bir özdeşlik öğesi gibi).

"İptal" anlamındaki "bölme", ​​herhangi bir magmada iptal özelliğine sahip bir element tarafından yapılabilir . Örnekler, matris cebirlerini ve kuaterniyon cebirlerini içerir. Bir yarıgrup , bölünmenin her zaman mümkün olduğu, hatta bir özdeşlik unsuru olmadan ve dolayısıyla tersi olan bir yapıdır. Her elemanın bir terse ihtiyaç duymadığı bir integral alanında , iptal edici bir elemana a bölme işlemi yine de sırasıyla sol veya sağ iptal ile ab veya ca biçimindeki elemanlar üzerinde gerçekleştirilebilir. Bir halka sonluysa ve sıfır olmayan her eleman iptal ediciyse , güvercin yuvası ilkesinin uygulanmasıyla , halkanın sıfır olmayan her elemanı tersine çevrilebilir ve sıfır olmayan herhangi bir elemanla bölme mümkündür. Cebirlerin (teknik anlamda) ne zaman bölme işlemine sahip olduğunu öğrenmek için bölme cebirleri sayfasına bakın . Özellikle Bott periyodikliği , herhangi bir gerçek normlu bölme cebirinin , R gerçek sayılarına , C karmaşık sayılarına , H kuaterniyonlarına veya O oktonyonlarına eşbiçimli olması gerektiğini göstermek için kullanılabilir .

kalkülüs

Türev iki fonksiyonların olan bölümün verilir bölüm kuralı :

Sıfıra bölüm

Tarafından herhangi bir sayı Bölümü sıfır sıfır herhangi sonlu sayıda bir daima sonuçları ile çarpılır çünkü çoğu matematiksel sistemlerde, tanımlanmamış ürünün sıfır. Çoğu hesap makinesine böyle bir ifadenin girilmesi bir hata mesajı verir. Ancak bazı üst düzey matematiklerde sıfır halkası ve tekerlek gibi cebirler ile sıfıra bölme mümkündür . Bu cebirlerde bölmenin anlamı geleneksel tanımlardan farklıdır.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar