Cebirsel topoloji - Algebraic topology

Cebirsel topoloji , topolojik uzayları incelemek için soyut cebir araçlarını kullanan bir matematik dalıdır . Temel amaç cebirsel bulmaktır değişmezleri sınıflandırmak topolojik boşluk kadar homeomorfizma olsa genellikle en kadar sınıflandırmak, homotopi denklik .

Cebirsel topoloji, öncelikle topolojik problemleri incelemek için cebiri kullanmasına rağmen, topolojiyi cebirsel problemleri çözmek için kullanmak da bazen mümkündür. Cebirsel topolojisi, örneğin, herhangi bir uygun bir kanıt sağlar alt grup a serbest grubun daha açık bir gruptur.

Cebirsel topolojinin ana dalları

Aşağıda cebirsel topolojide çalışılan ana alanlardan bazıları verilmiştir:

Homotopi grupları

Matematikte, cebirsel topolojide homotopi grupları topolojik uzayları sınıflandırmak için kullanılır . İlk ve en basit homotopi grubu, bir uzaydaki döngüler hakkında bilgi kaydeden temel gruptur . Sezgisel olarak, homotopi grupları, bir topolojik uzayın temel şekli veya delikleri hakkında bilgi kaydeder.

homoloji

Cebirsel topoloji ve de arka cebir , homoloji (kısmen Greek ὁμός homos "özdeş") bir ilişkilendirmek için bir belirli genel prosedür sekansı arasında değişmeli grupları ya da modülleri gibi a, belirli bir matematiksel bir nesne ile topolojik alanı veya bir grup .

kohomoloji

Gelen homoloji teorisi ve cebirsel topoloji, kohomolojisi bir için genel bir terimdir dizisi arasında değişmeli grupların bir tanımlanmış eş zincir kompleksi . Yani, kohomoloji , ortak zincirlerin , ortak döngülerin ve ortak sınırların soyut çalışması olarak tanımlanır . Kohomoloji , homolojiden daha rafine bir cebirsel yapıya sahip olan bir topolojik uzaya cebirsel değişmezleri atama yöntemi olarak görülebilir . Kohomoloji, homoloji yapısının cebirsel ikileştirilmesinden doğar. Daha az soyut bir dilde, temel anlamda ortak zincirler , homoloji teorisi zincirlerine 'nicelikler' atamalıdır .

manifoldlar

Bir manifoldu bir olan topolojik uzay her nokta benzer yakın olduğunu Öklid uzayı . Örnekler , tümü üç boyutta gerçekleştirilebilen düzlem , küre ve torus , ayrıca üç boyutta gerçekleştirilemeyen ancak dört boyutta gerçekleştirilebilen Klein şişesi ve gerçek yansıtmalı düzlemdir . Tipik olarak, cebirsel topolojinin sonuçları manifoldların global, türevlenemez yönlerine odaklanır; örneğin Poincare ikiliği .

düğüm teorisi

Düğüm teorisi , matematiksel düğümlerin incelenmesidir . Bir matematikçinin düğümü, günlük hayatta ayakkabı bağcıklarında ve ipte görülen düğümlerden ilham alırken, uçların çözülemeyecek şekilde birleştirilmesiyle farklılık gösterir. Kesin matematiksel dilinde, bir düğüm bir olan gömme a daire 3 boyutlu olarak Öklid alanı , . İki matematiksel düğüm, eğer biri kendi üzerindeki bir deformasyon yoluyla diğerine dönüştürülebiliyorsa ( ortam izotopisi olarak bilinir ); bu dönüşümler, ipin kesilmesini veya ipin kendi içinden geçirilmesini içermeyen düğümlü bir ipin manipülasyonlarına karşılık gelir. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

kompleksler

Bir simpleksel kompleks a, topolojik uzay "birlikte yapıştırma" tarafından geliştirilmiş olan bir belirli bir tür, nokta , çizgi segmentleri , üçgenler , ve n- boyutlu meslektaşları (şekle bakınız). Basit kompleksler , modern basit homotopi teorisinde ortaya çıkan daha soyut bir basit küme kavramıyla karıştırılmamalıdır . Basit bir kompleksin tamamen kombinatoryal karşılığı, soyut bir basit komplekstir .

Bir CW kompleksi , homotopi teorisinin ihtiyaçlarını karşılamak için JHC Whitehead tarafından tanıtılan bir tür topolojik uzaydır . Bu uzay sınıfı daha geniştir ve basit komplekslerden daha iyi kategorik özelliklere sahiptir , ancak yine de hesaplamaya (genellikle çok daha küçük bir kompleksle) izin veren bir kombinatoryal doğayı korur.

Cebirsel değişmezler yöntemi

Konu için daha eski bir isim , bir X uzayının daha basit olanlardan nasıl inşa edildiğine vurgu yapan kombinatoryal topoloji idi (bu tür inşaat için modern standart araç CW kompleksidir ). 1920'lerde ve 1930'larda, topolojik uzaylardan cebirsel gruplara yazışmalar bularak araştırma konusuna artan bir vurgu yapıldı , bu da ismin cebirsel topolojiye değişmesine yol açtı. Birleşimsel topoloji adı hala bazen boşlukların ayrıştırılmasına dayalı algoritmik bir yaklaşımı vurgulamak için kullanılmaktadır.

Cebirsel yaklaşımda, uzayların homeomorfizmi (veya daha genel homotopi ) ilişkisine saygı duyan uzaylar ve gruplar arasında bir denklik bulunur . Bu, topolojik uzaylar hakkındaki ifadeleri, büyük ölçüde yönetilebilir yapıya sahip olan gruplar hakkındaki ifadelere dönüştürmeye izin verir ve çoğu zaman bu ifadelerin kanıtlanmasını kolaylaştırır. Bunun yapılabileceği iki ana yol, temel gruplar veya daha genel olarak homotopi teorisi ve homoloji ve kohomoloji grupları aracılığıyladır . Temel gruplar bize bir topolojik uzayın yapısı hakkında temel bilgiler verir, ancak bunlar genellikle belirsizdir ve birlikte çalışmak zor olabilir. Bir (sonlu) basit kompleksin temel grubu, sonlu bir sunuma sahiptir .

Homoloji ve kohomoloji grupları ise değişmeli ve birçok önemli durumda sonlu olarak oluşturulmuştur. Sonlu olarak oluşturulmuş değişmeli gruplar tamamen sınıflandırılır ve özellikle çalışmak kolaydır.

Kategori teorisinde ayar

Genel olarak, cebirsel topolojinin tüm yapıları işlevseldir ; kategori , işlev ve doğal dönüşüm kavramları burada ortaya çıktı. Temel gruplar ve homoloji ve kohomoloji grupları, homeomorfik olan iki topolojik uzayın aynı ilişkili gruplara sahip olması anlamında, yalnızca temel topolojik uzayın değişmezleri değildir , ancak ilişkili morfizmleri de karşılık gelir - sürekli bir uzay haritalaması, üzerinde bir grup homomorfizmasına neden olur . ilişkili gruplar ve bu homomorfizmalar, eşlemelerin yokluğunu (veya daha derinden, varlığını) göstermek için kullanılabilir.

Farklı kohomoloji türleri ile çalışan ilk matematikçilerden biri Georges de Rham'dı . Söz konusu manifold üzerinde tanımlanan diferansiyel denklemlerin çözülebilirliğini araştırmak için de Rham kohomolojisi veya Čech veya demet kohomolojisi yoluyla düz manifoldların diferansiyel yapısı kullanılabilir . De Rham, tüm bu yaklaşımların birbiriyle ilişkili olduğunu ve kapalı, yönlendirilmiş bir manifold için basit homoloji yoluyla türetilen Betti sayılarının, de Rham kohomolojisi yoluyla türetilen Betti sayılarıyla aynı olduğunu gösterdi. Bu, 1950'lerde Samuel Eilenberg ve Norman Steenrod'un bu yaklaşımı genelleştirmesiyle genişletildi . Homoloji ve kohomolojiyi, belirli aksiyomlara tabi olan doğal dönüşümlerle donatılmış işlevler olarak tanımladılar (örneğin, uzayların zayıf bir denkliği , homoloji gruplarının bir izomorfizmine geçer), mevcut tüm (ko)homoloji teorilerinin bu aksiyomları karşıladığını doğruladılar ve sonra böyle olduğunu kanıtladılar. teoriyi benzersiz bir şekilde karakterize eden bir aksiyomatizasyon.

Cebirsel topoloji uygulamaları

Cebirsel topolojinin klasik uygulamaları şunları içerir:

• Brouwer sabit nokta teoremi : Her kesintisiz üniteden haritası n -Disk kendisine sabit bir nokta vardır.
• Serbest seviye n bir inci homoloji grubu simpleksel kompleks olup , n inci Betti sayısı bir hesaplamasına olanak verir Euler-Poincare özelliği .
• Söz konusu manifold üzerinde tanımlanan diferansiyel denklemlerin çözülebilirliğini araştırmak için de Rham kohomolojisi veya Čech veya demet kohomolojisi yoluyla düz manifoldların diferansiyel yapısı kullanılabilir .
• Bir manifold olup yönlendirilebilir üst boyutlu entegre homoloji grubu tamsayı olduğunda, ve 0 olduğunda olmayan cihaz olup.
• N -sphere bir yerde ufuk sürekli birim kabul vektör alanı , ancak ve ancak , n garip. ( n  = 2 için buna bazen " kıllı top teoremi " denir .)
• Borsuk-Ulam teoremi : 'den herhangi bir sürekli n Öklid için -sphere n antipot noktaları en az bir çifti ile uzay tanımlar.
• Ücretsiz bir grubun herhangi bir alt grubu ücretsizdir. Bu sonuç oldukça ilginçtir, çünkü ifade tamamen cebirseldir, ancak bilinen en basit kanıt topolojiktir. Yani, herhangi bir serbest grup G , bir X grafiğinin temel grubu olarak gerçekleştirilebilir . Örtü uzaylarıyla ilgili ana teorem bize , G'nin her H alt grubunun , X'in Y örtü uzayının temel grubu olduğunu söyler ; ama böyle her Y yine bir grafiktir. Bu nedenle, temel H grubu serbesttir. Öte yandan, bu tür bir uygulama, grupoidlerin örtü morfizmlerinin kullanılmasıyla da daha basit bir şekilde ele alınır ve bu teknik, cebirsel topoloji yöntemleriyle henüz kanıtlanmamış alt grup teoremlerini vermiştir; bkz. Higgins (1971) .
• Topolojik birleştiriciler .

Önemli cebirsel topologlar

Cebirsel topolojide önemli teoremler

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

• Allegretti, Dylan GL (2008), Basit Kümeler ve van Kampen Teoremi (Topolojik uzaylara ve basit kümelere uygulanan van Kampen teoreminin genelleştirilmiş versiyonlarını tartışır).
• Bredon, Glen E. (1993), Topoloji ve Geometri , Matematikte Lisansüstü Metinleri, 139 , Springer, ISBN 0-387-97926-3.
• Brown, R. (2007), Yüksek boyutlu grup teorisi (Birden çok grupoid içeren daha yüksek boyutlu van Kampen teoremlerinin geniş bir görünümünü verir) .
• Brown, R.; Razak, A. (1984), "Bağlantısız uzayların birleşimleri için bir van Kampen teoremi", Arch. Matematik. , 42 : 85–88, doi : 10.1007/BF01198133. " Açık kümelerin birleşimi olan bir uzayın taban noktaları kümesiyle temel grupoid hakkında genel bir teorem verir ."
• Brown, R.; Hardi, K.; Kamps, H.; Porter, T. (2002), "Bir Hausdorff uzayının homotopi çift grupoidi" , Theory Appl. Kategoriler , 10 (2): 71–93.
• Brown, R.; Higgins, PJ (1978), "Bazı ilgili uzayların ikinci göreli homotopi grupları arasındaki bağlantı üzerine", Proc. Londra Matematik. Soc. , S3-36 (2): 193–212, doi : 10.1112/plms/s3-36.2.193. "Van Kampen teoreminin ilk 2 boyutlu versiyonu."
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011), Nonabelian Cebirsel Topoloji: Filtrelenmiş Uzaylar, Çapraz Kompleksler, Kübik Homotopi Grupoidleri , Avrupa Matematik Derneği Yolları Matematikte, 15 , Avrupa Matematik Topluluğu, arXiv : math/0407275 , ISBN 978-3-03719-083-8, orijinalinden 2009-06-04 tarihinde arşivlendi Bu, tekil homolojide bir temele veya basit yaklaşım yöntemine ihtiyaç duymadan, temel cebirsel topolojiye homotopi teorik bir yaklaşım sağlar . Çapraz modüller hakkında çok fazla materyal içerir .
• Fraleigh, John B. (1976), Soyut Cebirde İlk Ders (2. baskı), Okuma: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Greenberg, Marvin J .; Harper, John R. (1981), Cebirsel Topoloji: İlk Ders, Gözden Geçirilmiş Baskı , Matematik Ders Notu Serisi, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576. Harper tarafından eklenen geometrik tatlandırma ile orijinal olarak Greenberg tarafından işlevsel, cebirsel bir yaklaşım.
• Hatcher, Allen (2002), Cebirsel Topoloji , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Cebirsel topolojiye modern, geometrik olarak tatlandırılmış bir giriş.
• Higgins, Philip J. (1971), Kategoriler ve grupoidler üzerine notlar , Van Nostrand Reinhold, ISBN 9780442034061
• Maunder, CRF (1970), Cebirsel Topoloji , Londra: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4.
• tom Dieck, Tammo (2008), Cebirsel Topoloji , Matematikte EMS Ders Kitapları, Avrupa Matematik Derneği, ISBN 978-3-03719-048-7
• van Kampen, Egbert (1933), "Bazı ilgili uzayların temel grupları arasındaki bağlantı üzerine", American Journal of Mathematics , 55 (1): 261–7, JSTOR  51000091

daha fazla okuma

• Hatcher, Allen (2002). Cebirsel topoloji . Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 0-521-79160-X.ve ISBN  0-521-79540-0 .
• "Cebirsel topoloji" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Mayıs JP (1999). Cebirsel Topolojide Kısa Bir Kurs (PDF) . Chicago Üniversitesi Yayınları . 2008-09-27 alındı . Bölüm 2.7, grupoidler kategorisinde bir colmit olarak teoremin kategori-teorik bir sunumunu sağlar.