Rastgele değişken - Random variable

İstatistikler üzerine bir serinin parçası
Olasılık teorisi
olasılık aksiyomlar determinizm sistem indeterminizm Rastgelelik
olasılık uzayı örnek uzay Etkinlik Toplu olarak kapsamlı olaylar İlköğretim etkinliği karşılıklı münhasırlık Sonuç tekton Deney Bernoulli denemesi Olasılık dağılımı Bernoulli dağılımı Binom dağılımı Normal dağılım olasılık ölçüsü Rastgele değişken Bernoulli süreci Sürekli veya ayrık Beklenen değer Markov zinciri gözlemlenen değer Rastgele yürüyüş Stokastik süreç
tamamlayıcı etkinlik Bileşik olasılık marjinal olasılık Şartlı olasılık
Bağımsızlık koşullu bağımsızlık Toplam olasılık yasası büyük sayılar yasası Bayes teoremi Boole eşitsizliği
Venn şeması Ağaç diyagramı
v T e

Olarak olasılık ve istatistik , bir rastgele değişkenin , rastgele miktar , şansa bağlı değişken ya da stokastik değişken bir şekilde gayri açıklanan , değerleri bağlı değişken ilgili sonuçların a rasgele bir olgu. Rastgele değişkenlerin resmi matematiksel tedavisi, olasılık teorisinde bir konudur . Bu bağlamda, bir rastgele değişken olarak anlaşılır ölçülebilir fonksiyon , bir tanımlanmış olasılık alanı ile ilgili harita örnek alanı için gerçek sayı .

Bu grafik, rasgele değişkenin tüm olası sonuçlardan gerçek değerlere nasıl bir fonksiyon olduğunu gösterir. Ayrıca, olasılık kütle fonksiyonlarını tanımlamak için rasgele değişkenin nasıl kullanıldığını gösterir.

Rastgele bir değişkenin olası değerleri, henüz gerçekleştirilmemiş bir deneyin olası sonuçlarını veya halihazırda var olan değeri belirsiz olan (örneğin, kesin olmayan ölçümler veya kuantum belirsizliği nedeniyle) geçmiş bir deneyin olası sonuçlarını temsil edebilir . Ayrıca kavramsal olarak ya "nesnel olarak" rastgele bir sürecin sonuçlarını (bir kalıbın yuvarlanması gibi) ya da bir miktarın eksik bilgisinden kaynaklanan "öznel" rastgeleliği temsil edebilirler. Rastgele bir değişkenin potansiyel değerlerine atanan olasılıkların anlamı, olasılık teorisinin kendisinin bir parçası değildir, bunun yerine olasılığın yorumlanması üzerine felsefi argümanlarla ilgilidir . Matematik, kullanılan belirli yorumdan bağımsız olarak aynı şekilde çalışır.

Bir fonksiyon olarak, olasılıkların potansiyel değerlerinin kümelerine atanmasına izin veren ölçülebilir olması için bir rastgele değişken gereklidir . Sonuçların tahmin edilemeyen bazı fiziksel değişkenlere bağlı olması yaygındır. Örneğin, adil bir para atıldığında, tura veya turaların nihai sonucu belirsiz fiziksel koşullara bağlıdır, dolayısıyla gözlemlenen sonuç belirsizdir. Madeni para yerdeki bir çatlağa takılabilir, ancak böyle bir olasılık dikkate alınmaz.

Alan bir rastgele değişkenin bir adlandırılan örnek uzay, bir belirli olmayan olayın olası sonuçları grubu olarak tanımlanır. Örneğin, bir yazı tura durumunda, yalnızca iki olası sonuç mümkündür: tura veya tura.

Rastgele bir değişken, aralığının Borel alt kümelerinin olasılığını belirten bir olasılık dağılımına sahiptir . Rastgele değişkenler ayrık olabilir , yani, belirli bir sonlu veya sayılabilir değerler listesinden (sayılabilir bir aralığa sahip) herhangi birini alarak , rastgele değişkenin olasılık dağılımının özelliği olan bir olasılık kütle fonksiyonuna sahip olabilir; veya sürekli , rastgele değişkenin olasılık dağılımının özelliği olan bir olasılık yoğunluk fonksiyonu aracılığıyla bir aralıkta veya aralıklar koleksiyonunda ( sayılamayan bir aralığa sahip ) herhangi bir sayısal değeri alarak ; veya her ikisinin karışımı.

Aynı olasılık dağılımına sahip iki rasgele değişken , diğer rasgele değişkenlerle ilişkileri veya onlardan bağımsızlığı açısından yine de farklılık gösterebilir . Rastgele bir değişkenin gerçekleşmelerine, yani değişkenin olasılık dağılım fonksiyonuna göre rastgele değerlerin seçilmesinin sonuçlarına rastgele değişkenler denir .

Fikir ilk olarak Christiaan Huygens tarafından ortaya atılmış olsa da , sistematik olarak rastgele değişkenler açısından düşünen ilk kişi Pafnuty Chebyshev'di .

Tanım

Bir rastgele değişkenin bir olan ölçülebilir fonksiyon mümkün bir dizi sonuçlar a ölçülebilir alan . Teknik aksiyomatik tanım , bir olasılık üçlüsünün örnek uzayı olmayı gerektirir (bkz. ölçü-teorik tanımlama ). Rastgele bir değişken genellikle , , , gibi büyük roma harfleriyle gösterilir . ${\görüntüleme stili X}$ ${\displaystyle X\kolon \Omega\to E}$ ${\görüntüleme stili\Omega }$ ${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili\Omega }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatöradı {P} )}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili Z}$${\görüntüleme stili T}$

Ölçülebilir bir kümede bir değer alan olasılık şu şekilde yazılır: ${\görüntüleme stili X}$${\ Displaystyle S\subseteq E}$

${\displaystyle \operatöradı {P} (X\in S)=\operatöradı {P} (\{\omega\in \Omega\mid X(\omega )\inS\})}$

Standart kasa

Birçok durumda, bir gerçek değerli yani . Bazı bağlamlarda, rastgele öğe terimi ( uzantılara bakın ), bu biçimde olmayan bir rastgele değişkeni belirtmek için kullanılır. ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle E=\mathbb {R} }$

Tüm görüntü (ya da aralık) olan sayılabilir , rastgele değişken olarak adlandırılır ayrık rastgele değişken ve dağılımı olan aralıklı olasılık dağılımı , diğer bir deyişle ile tarif edilebilir olasılık fonksiyonunun atar Bunun görüntüdeki her bir değeri için bir olasılık . Görüntü sayılamayan bir şekilde sonsuzsa (genellikle bir aralık ) , buna sürekli rasgele değişken denir . Kesinlikle sürekli olduğu özel durumda , dağılımı olasılıkları aralıklara atayan bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ile tanımlanabilir ; özellikle, her bir nokta, mutlak surette sürekli bir rastgele değişken için mutlaka sıfır olasılığa sahip olmalıdır. Tüm sürekli rastgele değişkenler kesinlikle sürekli değildir, karışım dağılımı böyle bir karşı örnektir; bu tür rastgele değişkenler, bir olasılık yoğunluğu veya bir olasılık kütle fonksiyonu ile tanımlanamaz. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$

Herhangi bir rastgele değişken , rastgele değişkenin belirli bir değerden küçük veya ona eşit olma olasılığını tanımlayan kümülatif dağılım işlevi ile tanımlanabilir.

Uzantılar

İstatistiklerdeki "rastgele değişken" terimi, geleneksel olarak gerçek değerli durumla ( ) sınırlıdır . Bu durumda, gerçek sayıların yapısı, rastgele bir değişkenin beklenen değeri ve varyansı , kümülatif dağılım fonksiyonu ve dağılım anları gibi niceliklerin tanımlanmasını mümkün kılar . ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$

Ancak yukarıdaki tanım herhangi bir ölçülebilir değer uzayı için geçerlidir . Böylece , rastgele boole değerleri , kategorik değerler , karmaşık sayılar , vektörler , matrisler , diziler , ağaçlar , kümeler , şekiller , manifoldlar ve işlevler gibi diğer kümelerin rastgele öğeleri düşünülebilir . Daha sonra, özel olarak türdeki bir rastgele değişkene veya değerli bir rastgele değişkene atıfta bulunulabilir . ${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili E}$ ${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili E}$

Rastgele bir öğenin bu daha genel kavramı , özellikle sayısal olmayan verilerin rastgele varyasyonunu modellemekle ilgilenilen grafik teorisi , makine öğrenimi , doğal dil işleme ve ayrık matematik ve bilgisayar bilimlerindeki diğer alanlar gibi disiplinlerde özellikle yararlıdır. yapılar . Bazı durumlarda, yine de her bir öğesini bir veya daha fazla gerçek sayı kullanarak temsil etmek uygundur . Bu durumda, bir rasgele eleman isteğe bağlı olarak gerçek değerli rasgele değişkenlerin bir vektörü olarak temsil edilebilir (tümü farklı rasgele değişkenlerin birlikte değişmesine izin veren aynı temel olasılık uzayında tanımlanır ). Örneğin: ${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili\Omega }$

• Rastgele bir sözcük, olası sözcüklerin sözcük dağarcığına bir dizin görevi gören rastgele bir tam sayı olarak temsil edilebilir. Alternatif olarak, uzunluğu pozitif olasılık sadece değerlerdir kelime, büyüklüğü eşit rastgele gösterge vektör olarak temsil edilebilir , , ve 1 pozisyonu kelime gösterir.${\ Displaystyle (1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )}$${\ Displaystyle (0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )}$${\ Displaystyle (0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )}$
• Belirli uzunluktaki rastgele bir cümle , rastgele kelimelerin bir vektörü olarak temsil edilebilir .${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili N}$
• Bir rastgele grafik üzerinde verilen köşe bir şekilde temsil edilebilir değerleri belirtmek rastgele değişkenlerin, matris bitişiklik matrisi rastgele grafiğin.${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili N\kez N}$
• Bir rasgele işlev rastgele değişkenin bir koleksiyon olarak temsil edilebilir çeşitli noktalarda fonksiyon değerleri veren, işlevin etki. Fonksiyonu gerçek değerli koşuluyla sıradan reel değerli rassal değişkenlerdir. Örneğin, stokastik bir süreç zamanın rastgele bir fonksiyonudur, rastgele bir vektör gibi bazı indeks setlerinin rastgele bir fonksiyonudur ve rastgele alan herhangi bir kümedeki (tipik olarak zaman, uzay veya ayrık bir küme) rastgele bir fonksiyondur.${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili F(x)}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili F(x)}$${\ Displaystyle 1,2,\ldots ,n}$

dağıtım fonksiyonları

Olasılık uzayında tanımlanmış bir rastgele değişken verilirse, "'nin değerinin 2'ye eşit olma olasılığı ne kadardır ?" gibi sorular sorabiliriz . Bu, genellikle veya kısaca yazılan olayın olasılığı ile aynıdır . ${\displaystyle X\kolon \Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatöradı {P} )}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \{\omega :X(\omega )=2\}\,\!}$${\görüntüleme stili P(X=2)\,\!}$${\ Displaystyle p_{X}(2)}$

Gerçek değerli rastgele değişkenin çıkış aralıklarının bu olasılıkların kayıt verir olasılık dağılımını arasında . Olasılık dağılımı, tanımlamak için kullanılan belirli olasılık uzayını "unutur" ve yalnızca çeşitli değerlerinin olasılıklarını kaydeder . Böyle bir olasılık dağılımı, her zaman kümülatif dağılım fonksiyonu tarafından yakalanabilir.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatör adı {P} (X\leq x)}$

ve bazen de bir olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanarak , . In tedbir teorisi açısından, biz rastgele değişken kullanın "itme ileri" ölçüsüne üzerinde bir ölçüye üzerinde . Temel olasılık uzayı , rastgele değişkenlerin varlığını garanti etmek, bazen onları oluşturmak ve aynı olasılık uzayında iki veya daha fazla rastgele değişkenin ortak dağılımına dayalı olarak korelasyon ve bağımlılık veya bağımsızlık gibi kavramları tanımlamak için kullanılan teknik bir cihazdır . Uygulamada, kişi genellikle alanı tamamen elden çıkarır ve sadece tüm gerçek çizgiye ölçü 1 atayan bir ölçü koyar , yani rastgele değişkenler yerine olasılık dağılımları ile çalışır. Daha kapsamlı geliştirme için nicel işlevler hakkındaki makaleye bakın . ${\görüntüleme stili p_{X}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili\Omega }$${\görüntüleme stili p_{X}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili\Omega }$${\görüntüleme stili\Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Örnekler

Ayrık rassal değişken

Bir deneyde bir kişi rastgele seçilebilir ve rastgele bir değişken kişinin boyu olabilir. Matematiksel olarak, rastgele değişken, kişiyi kişinin boyuna eşleyen bir fonksiyon olarak yorumlanır. Rastgele değişkenle ilişkili, yüksekliğin 180 ile 190 cm arasında olma olasılığı veya yüksekliğin daha az olma olasılığı gibi olası değerlerin herhangi bir alt kümesinde olma olasılığının hesaplanmasına izin veren bir olasılık dağılımıdır. 150 cm'den fazla veya 200 cm'den fazla.

Başka bir rastgele değişken, kişinin çocuk sayısı olabilir; bu, negatif olmayan tamsayı değerlerine sahip ayrı bir rastgele değişkendir. Bireysel tamsayı değerleri - olasılık kütle fonksiyonu (PMF) - veya sonsuz kümeler de dahil olmak üzere değer kümeleri için olasılıkların hesaplanmasına izin verir. Örneğin, ilgilenilen olay "çift sayıda çocuk" olabilir. Hem sonlu hem de sonsuz olay kümeleri için olasılıkları, elemanların PMF'leri toplanarak bulunabilir; yani, çift sayıda çocuk olasılığı sonsuz toplamdır . ${\displaystyle \operatöradı {PMF} (0)+\operatöradı {PMF} (2)+\operatöradı {PMF} (4)+\cdots }$

Bunun gibi örneklerde , matematiksel olarak tanımlanması zor olduğu için örnek uzay genellikle bastırılır ve rasgele değişkenlerin olası değerleri daha sonra bir örnek uzay olarak ele alınır. Ancak, aynı rastgele kişilerde hesaplanan çocukların boy ve sayısı gibi sonuçların aynı örnek uzayında iki rastgele değişken ölçüldüğünde, hem boy hem de çocuk sayısının geldiği kabul edilirse, aralarındaki ilişkiyi izlemek daha kolay olur. aynı rastgele kişiden, örneğin bu tür rastgele değişkenlerin korelasyonlu olup olmadığı sorulabilmesi için.

Eğer gerçek sayıların sayılabilir kümeler vardır, ve daha sonra, ayrı bir dağıtım fonksiyonudur. Burada için , için . Örneğin, olarak tüm rasyonel sayıların bir numaralandırması alınırsa , adım fonksiyonu veya parçalı sabit olmayan ayrık bir dağılım fonksiyonu elde edilir. ${\textstyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$${\textstyle b_{n}>0}$${\displaystyle \sum _{n}b_{n}=1}$${\displaystyle F=\sum _{n}b_{n}\delta _{a_{n}}}$${\displaystyle \delta _{t}(x)=0}$${\görüntüleme stili x<t}$${\displaystyle \delta _{t}(x)=1}$${\displaystyle x\geq t}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$

Yazı tura

Bir yazı tura için olası sonuçlar, örnek uzay ile tanımlanabilir . Tura başarılı bir bahis için 1$'lık bir getiriyi modelleyen gerçek değerli bir rastgele değişkeni aşağıdaki gibi tanıtabiliriz : ${\displaystyle \Omega =\{{\text{kafalar}},{\text{kuyruk}}\}}$${\görüntüleme stili Y}$

${\displaystyle Y(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{if }}\omega ={\text{heads}},\\[6pt]0,&{\text{if } }\omega ={\text{kuyruk}}.\end{durumlar}}}$

Madeni para adil bir madeni para ise , Y'nin şu şekilde verilen bir olasılık kütle fonksiyonu vardır : ${\görüntüleme stili f_{Y}}$

${\displaystyle f_{Y}(y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=1,\\[6pt]{\tfrac {1 }{2}},&{\text{if }}y=0,\end{durumlar}}}$

Zar atma

Örnek uzay, iki zar üzerine atılan olası sayılar kümesiyse ve ilgilenilen rastgele değişken , iki zardaki sayıların toplamı S ise, o zaman S , dağılımı çizilen olasılık kütle fonksiyonu tarafından tanımlanan ayrık bir rastgele değişkendir. burada resim sütunlarının yüksekliği olarak.

Zar atma sürecini ve olası sonuçları tanımlamak için rastgele bir değişken de kullanılabilir. İki zarlı durum için en açık temsil, örnek olarak {1, 2, 3, 4, 5, 6}'dan (iki zardaki sayıları temsil eden) n ₁ ve n ₂ sayı çiftlerini almaktır. Uzay. Döndürülen toplam sayı (her bir çiftteki sayıların toplamı), çifti toplama eşleyen fonksiyon tarafından verilen rastgele bir X değişkenidir :

${\displaystyle X((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}}$

ve (eğer zarlar adil ise ) bir olasılık kütle fonksiyonuna sahiptir ƒ _X :

${\displaystyle f_{X}(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ for }}S\in \{2,3,4, 5,6,7,8,9,10,11,12\}}$

Sürekli rastgele değişken

Biçimsel olarak, sürekli bir rasgele değişken olan rasgele bir değişkendir kümülatif dağılım fonksiyonu olan sürekli yerde. Sonlu bir meydana gelme olasılığı olan sayılara karşılık gelen " boşluklar " yoktur . Bunun yerine, sürekli rasgele değişkenler neredeyse hiçbir zaman kesin olarak belirlenmiş bir c değeri (resmen, ) almaz, ancak değerinin keyfi olarak küçük olabilen belirli aralıklarda yer alması için pozitif bir olasılık vardır . Sürekli rastgele değişkenler genellikle CDF'lerini ve olasılık ölçülerini karakterize eden olasılık yoğunluk fonksiyonlarını (PDF) kabul eder ; bu tür dağılımlara kesinlikle sürekli de denir ; ancak bazı sürekli dağılımlar tekil veya kesinlikle sürekli bir parça ile tekil bir parçanın karışımlarıdır. ${\textstyle \forall c\in \mathbb {R} :\;\Pr(X=c)=0}$

Sürekli rastgele değişkene bir örnek, yatay bir yön seçebilen bir döndürücüye dayanan bir değişken olabilir. Daha sonra rastgele değişken tarafından alınan değerler yönlerdir. Bu yönleri Kuzey, Batı, Doğu, Güney, Güneydoğu vb. ile temsil edebiliriz. Ancak, örnek uzayı gerçek sayılar olan değerleri alan bir rastgele değişkene eşlemek genellikle daha uygundur. Bu, örneğin, bir yönü kuzeyden saat yönünde derece olarak eşleyerek yapılabilir. Rastgele değişken daha sonra [0, 360] aralığından gerçek sayılar olan değerleri alır, aralığın tüm kısımları "eşit derecede olasıdır". Bu durumda, X = döndürülen açı. Herhangi bir gerçek sayının seçilme olasılığı sıfırdır, ancak herhangi bir değer aralığına pozitif bir olasılık atanabilir . Örneğin, [0, 180]'de bir sayı seçme olasılığı 1 ⁄ 2'dir . Bir olasılık kütle fonksiyonundan bahsetmek yerine , X'in olasılık yoğunluğunun 1/360 olduğunu söylüyoruz. [0, 360) alt kümesinin olasılığı, kümenin ölçüsünün 1/360 ile çarpılmasıyla hesaplanabilir. Genel olarak, belirli bir sürekli rastgele değişken için bir kümenin olasılığı, verilen küme üzerindeki yoğunluğun integrali alınarak hesaplanabilir.

Daha resmi olarak, herhangi bir aralık verildiğinde , bir rasgele değişken , bir alt aralıkta bir değer alma olasılığı yalnızca alt aralığın uzunluğuna bağlıysa, " sürekli düzgün rasgele değişken" (CURV) olarak adlandırılır . Bu olasılığı olduğunu ima bir alt aralık düşen bir orantılı için uzunluğu ise, bir alt-aralığın ait bir ≤ c ≤ d ≤ b , bir yer alır ${\textstyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}$${\displaystyle X_{I}\sim \operatöradı {U} (I)=\operatöradı {U} [a,b]}$${\displaystyle X_{I}}$${\displaystyle [c,d]\subseteq [a,b]}$

$${\displaystyle \Pr \sol(X_{I}\in [c,d]\sağ)={\frac {dc}{ba}}}$$

burada son eşitlik , olasılığın birlik aksiyomundan kaynaklanır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu , bir Curv arasında verilir gösterge işlevi kendi aralığının destek Interval'ın uzunluğu ile normalize:${\displaystyle X\sim \operatöradı {U} [a,b]}$

$${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle {1 \over ba},&a\leq x\leq b\\0,&{\text{aksi halde}}.\end{olgular }}}$$

yararlanır . ${\görüntüleme stili [0,1]}$ ${\görüntüleme stili \operatör adı {D} }$${\görüntüleme stili \operatör adı {D} }$

karışık tip

Bir karışık rastgele değişken olan rasgele bir değişkendir kümülatif dağılım fonksiyonu , ne olduğu parçalı-sabit (ayrı bir rasgele değişken), ne de her sürekli . Ayrık bir rastgele değişken ile sürekli bir rastgele değişkenin toplamı olarak gerçekleştirilebilir; bu durumda CDF , bileşen değişkenlerinin CDF'lerinin ağırlıklı ortalaması olacaktır.

Karışık türden bir rastgele değişkenin bir örneği, bir madeni paranın çevrildiği ve yalnızca madeni para atışının sonucu tura olduğunda döndürücünün döndürüldüğü bir deneye dayanabilir. Sonuç yazı ise, X = -1; aksi halde X = önceki örnekte olduğu gibi döndürücünün değeri. Bu rastgele değişkenin -1 değerine sahip olma olasılığı 1 ⁄ 2'dir . Diğer değer aralıkları, son örneğin olasılıklarının yarısına sahip olacaktır.

En genel olarak, gerçek çizgi üzerindeki her olasılık dağılımı, ayrık parça, tekil parça ve kesinlikle sürekli bir parçanın bir karışımıdır; bkz. Lebesgue'nin ayrıştırma teoremi § İyileştirme . Ayrık kısım sayılabilir bir küme üzerinde yoğunlaşmıştır, ancak bu küme yoğun olabilir (tüm rasyonel sayıların kümesi gibi).

Ölçü-teorik tanım

Rastgele bir değişkenin en resmi, aksiyomatik tanımı, ölçü teorisini içerir . Sürekli rastgele değişkenler, bu tür kümeleri olasılıklara eşleyen fonksiyonlarla birlikte sayı kümeleri cinsinden tanımlanır . Bu tür kümeler yeterince kısıtlanmadığında ortaya çıkan çeşitli zorluklar (örneğin Banach-Tarski paradoksu ) nedeniyle, olasılıkların tanımlanabileceği olası kümeleri sınırlamak için sigma cebiri olarak adlandırılan şeyi tanıtmak gerekir. Normal olarak, belirli bir tür sigma cebri kullanılır, Borel σ-cebir olasılıkları numaralarının sürekli aralıklarla veya bir sonlu ya doğrudan ya da elde edilebilir bir set üzerinde tanımlanmasına izin verir sayılabilir sonsuz sayısına birlikleri ve / veya bu tür aralıkların kesişimleri .

Ölçü-teorik tanım aşağıdaki gibidir.

Izin bir olmak

olan -measurable; , nerede . Bu tanım, varsayımla ölçülebilir olan ön görüntüsüne bakarak hedef uzaydaki herhangi bir alt kümeyi ölçmemizi sağlar . ${\görüntüleme stili (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\görüntüleme stili (E,{\matematiksel {E}})}$${\görüntüleme stili (E,{\matematiksel {E}})}$${\displaystyle X\kolon \Omega\to E}$${\ Displaystyle B\in {\Mathcal {E}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\displaystyle X^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega :X(\omega )\B\}}$${\ Displaystyle B\in {\Mathcal {E}}}$

Daha sezgisel terimlerle, bir üyesi olası bir sonuçtur, bir üyesi olası sonuçların ölçülebilir bir alt kümesidir, işlev bu tür ölçülebilir her bir alt kümenin olasılığını verir , rastgele değişkenin alabileceği değerler kümesini temsil eder (örneğin, gerçek sayılar kümesi) ve bir üyesi , (olasılığı belirlenebilenler) öğesinin "iyi huylu" (ölçülebilir) bir alt kümesidir . Rastgele değişken, herhangi bir sonuçtan bir niceliğe giden bir fonksiyondur, öyle ki, rastgele değişken için herhangi bir yararlı nicelik alt kümesine yol açan sonuçlar, iyi tanımlanmış bir olasılığa sahiptir. ${\görüntüleme stili\Omega }$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {E}}}$${\görüntüleme stili E}$

Ne zaman bir olan

denir . ${\görüntüleme stili E}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {E}}}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}(E)}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili (E,{\matematiksel {E}})}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili E}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Gerçek değerli rastgele değişkenler

Bu durumda gözlem uzayı gerçek sayılar kümesidir. Hatırlayın, olasılık uzayıdır. Gerçek bir gözlem uzayı için, fonksiyon gerçek değerli bir rastgele değişkendir, eğer ${\görüntüleme stili (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle X\kolon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {F}}\qquad \forall r\in \mathbb {R} .}$

Bu tanım, yukarıdakilerin özel bir durumudur, çünkü küme, gerçek sayılar kümesinde Borel σ-cebirini üretir ve herhangi bir üretici kümede ölçülebilirliği kontrol etmek için yeterlidir. Burada olduğu gerçeğini kullanarak bu jeneratör setinde ölçülebilirliği kanıtlayabiliriz . ${\displaystyle \{(-\infty ,r]:r\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}((-\infty ,r])}$

anlar

Rastgele bir değişkenin olasılık dağılımı, genellikle pratik bir yorumu da olan az sayıda parametre ile karakterize edilir. Örneğin, "ortalama değerinin" ne olduğunu bilmek çoğu zaman yeterlidir. Bu, rasgele bir değişkenin beklenen değerinin matematiksel kavramı tarafından yakalanır , gösterilir ve aynı zamanda

ile yanıtlanır . Üyeleri belirli değerlendirmeler olan sonsuz bir popülasyondan elde edilen bir ortalama olarak sezgisel olarak görülebilir . ${\displaystyle \operatöradı {E} [X]}$${\displaystyle \operatöradı {E} [f(X)]}$${\displaystyle f(\operatöradı {E} [X])}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \operatöradı {E} [X]}$${\görüntüleme stili X}$

Matematiksel olarak bu, momentlerin (genelleştirilmiş)

tam olarak karakterize edeceği bir işlevler koleksiyonu bulun . ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \{f_{i}\}}$${\displaystyle \operatöradı {E} [f_{i}(X)]}$${\görüntüleme stili X}$

Momentler sadece rasgele değişkenlerin (veya karmaşık değerli vb.) gerçek değerli fonksiyonları için tanımlanabilir. Rastgele değişkenin kendisi gerçek değerliyse, değişkenin kendi momentleri alınabilir, bunlar rasgele değişkenin kimlik fonksiyonunun momentlerine eşdeğerdir . Ancak, gerçek değerli olmayan rastgele değişkenler için bile, bu değişkenlerin gerçek değerli fonksiyonlarının momentleri alınabilir. Örneğin, "kırmızı", "mavi" veya "yeşil"

ve diğer momentleri belirlenebilir. ${\görüntüleme stili f(X)=X}$${\displaystyle [X={\metin{yeşil}}]}$${\görüntüleme stili X}$

Rastgele değişkenlerin işlevleri

Yeni bir rasgele değişken Y ,

arasında daha sonra, ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y=g(X)}$${\görüntüleme stili Y}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatör adı {P} (g(X)\leq y).}$

Fonksiyonu ise tersinir (yani , var olduğu bir 'in

, daha sonra önceki ilişki elde etmek için uzatılabilir ${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili h=g^{-1}}$${\görüntüleme stili h}$${\görüntüleme stili g}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatöradı {P} (g(X)\leq y)={\başlangıç{durumlar}\operatöradı {P} (X\leq h(y))=F_{X }(h(y)),&{\text{if }}h=g^{-1}{\text{ artan}},\\\\\operatör adı {P} (X\geq h(y)) =1-F_{X}(h(y)),&{\text{if }}h=g^{-1}{\text{ azalan}}.\end{durumlar}}}$

Aynı tersinirlik hipotezleri ile,

arasındaki ilişki , elde etmek için yukarıdaki ifadenin her iki tarafının türevini alarak bulunabilir.${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili y}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}{\bigl (}h(y){\bigr )}\left|{\frac {dh(y)}{dy}}\sağ|.}$

Orada hiçbir tersinirlik ise ancak her en kabul ediyor köklerinin sayılabilir sayısı (yani sınırlı veya sayılabilir sonsuz sayısı, bu şekilde ), daha sonra arasında önceki ilişki

ile genelleştirilebilir ${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle x_{i}}$${\görüntüleme stili y=g(x_{i})}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1 }(y)}{dy}}\sağ|}$

nerede ,

. Yoğunluk formülleri artmayı talep etmez . ${\displaystyle x_{i}=g_{i}^{-1}(y)}$${\görüntüleme stili g}$

Olasılığa ölçülü-teorik, aksiyomatik yaklaşımda , eğer bir rasgele değişken on ve bir

.) Bir olasılık alanı gitmek için bir izin verilen prosedürün aynısı için bir dağılımını elde etmek için kullanılabilir . ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili\Omega }$ ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili Y=g(X)}$${\görüntüleme stili\Omega }$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili (\Omega ,P)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,dF_{X})}$${\görüntüleme stili Y}$

örnek 1

Let gerçek değerli olmak

ve izin . ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y=X^{2}}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatöradı {P} (X^{2}\leq y).}$

Eğer öyleyse , öyleyse ${\görüntüleme stili y<0}$${\displaystyle P(X^{2}\leq y)=0}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}$

eğer , o zaman ${\görüntüleme stili y\geq 0}$

${\displaystyle \operatöradı {P} (X^{2}\leq y)=\operatöradı {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatöradı {P} (-{\sqrt { y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}$

Bu yüzden

${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{if}}\quad y\geq 0.}$

Örnek 2

Kümülatif dağılıma sahip rastgele bir değişken olduğunu varsayalım.${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\theta }}}}$

sabit bir parametre nerede . Rastgele değişkeni düşünün O zaman, ${\görüntüleme stili\teta >0}$${\displaystyle Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}).}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm {log} (1+e^{-X})\leq y)=P(X\geq -\mathrm { günlük} (e^{y}-1)).\,}$

Geçen ifadesi kümülatif dağılım açısından hesaplanabilir So ${\görüntüleme stili X,}$

${\displaystyle {\begin{hizalı}F_{Y}(y)&=1-F_{X}(-\log(e^{y}-1))\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{\log(e^{y}-1)})^{\theta }}}\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e ^{y}-1)^{\theta }}}\\[5pt]&=1-e^{-y\theta }.\end{hizalı}}}$

bu,

Örnek 3

Varsayalım ki yoğunluğu standart normal dağılıma sahip rastgele bir değişkendir.${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

Rastgele değişkeni göz önünde bulundurun Değişkenlerin değişimi için yukarıdaki formülü kullanarak yoğunluğu bulabiliriz: ${\displaystyle Y=X^{2}.}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1 }(y)}{dy}}\sağ|.}$

Bu durumda değişiklik monoton değildir , çünkü her değerin iki karşılık gelen değeri vardır (bir pozitif ve negatif). Ancak simetri nedeniyle, her iki yarı da aynı şekilde dönüşecektir, yani, ${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\sol|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\sağ| .}$

Ters dönüşüm ise

${\displaystyle x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

ve türevi

${\displaystyle {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

Sonra,

${\displaystyle f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y} }}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.}$

Bu bir ki-kare dağılımı biri ile serbestlik derecesi .

Örnek 4

Varsayalım ki yoğunluğu normal dağılıma sahip rastgele bir değişkendir.${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(x-\mu )^{2}/(2 \sigma ^{2})}.}$

Rastgele değişkeni göz önünde bulundurun Değişkenlerin değişimi için yukarıdaki formülü kullanarak yoğunluğu bulabiliriz: ${\displaystyle Y=X^{2}.}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1 }(y)}{dy}}\sağ|.}$

Bu durumda değişiklik monoton değildir , çünkü her değerin iki karşılık gelen değeri vardır (bir pozitif ve negatif). Önceki örnekten farklı olarak, bu durumda simetri yoktur ve iki farklı terimi hesaplamamız gerekir: ${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g_{1}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{1}^{-1}(y)}{ dy}}\right|+f_{X}(g_{2}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{2}^{-1}(y)}{dy}}\ sağ|.}$

Ters dönüşüm ise

${\displaystyle x=g_{1,2}^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}}$

ve türevi

${\displaystyle {\frac {dg_{1,2}^{-1}(y)}{dy}}=\pm {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

Sonra,

${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}} (e^{-({\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}+e^{-(-{\sqrt {y}}-\mu ) ^{2}/(2\sigma ^{2})}).}$

Bu, bir serbestlik derecesine sahip merkezi olmayan bir ki-kare dağılımıdır .

Bazı özellikler

• İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının olasılık dağılımı, dağılımlarının her birinin evrişimidir .
• Olasılık dağılımları bir vektör uzayı değildir -negatif olmamayı veya toplam integral 1'i korumadıkları için doğrusal kombinasyonlar altında kapalı değildirler- ancak dışbükey kombinasyon altında kapalıdırlar , böylece fonksiyonlar (veya ölçüler) uzayının dışbükey bir alt kümesini oluştururlar. ).

Rastgele değişkenlerin denkliği

Rastgele değişkenlerin eşdeğer olarak kabul edilebileceği birkaç farklı anlam vardır. İki rastgele değişken eşit, neredeyse kesin olarak eşit veya dağılımda eşit olabilir.

Artan güç sırasına göre, bu eşdeğerlik kavramlarının kesin tanımı aşağıda verilmiştir.

Dağıtımda eşitlik

Örnek alan gerçek hattının bir alt kümesi için, rastgele değişkenler X ve Y'nin olan dağıtım eşit (gösterilen ) aynı dağıtım işlevlerini varsa: ${\displaystyle X{\stackrel {d}{=}}Y}$

${\displaystyle \operatöradı {P} (X\leq x)=\operatöradı {P} (Y\leq x)\quad {\text{tüm }}x.}$

Dağılımda eşit olmak için, rastgele değişkenlerin aynı olasılık uzayında tanımlanmasına gerek yoktur. Eşit moment üreten fonksiyonlara sahip iki rastgele değişken aynı dağılıma sahiptir. Bu, örneğin, bağımsız, özdeş olarak dağıtılmış (IID) rastgele değişkenlerin belirli işlevlerinin eşitliğini kontrol etmek için yararlı bir yöntem sağlar . Ancak, moment üretme işlevi yalnızca tanımlanmış bir Laplace dönüşümüne sahip dağılımlar için mevcuttur .

Neredeyse kesin eşitlik

İki rasgele değişken X ve Y , hemen hemen kesinlikle eşittir (gösterilir ), ancak ve ancak, farklı olma olasılıkları sıfır ise : ${\displaystyle X\;{\stackrel {\metin{as}}{=}}\;Y}$

${\displaystyle \operatöradı {P} (X\neq Y)=0.}$

Olasılık teorisindeki tüm pratik amaçlar için, bu eşdeğerlik kavramı, gerçek eşitlik kadar güçlüdür. Aşağıdaki mesafe ile ilişkilidir:

${\displaystyle d_{\infty }(X,Y)=\operatör adı {ess} \sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,}$

Burada " öz sup" , ölçü teorisi anlamında temel üstünlüğü temsil eder .

eşitlik

Son olarak, iki rasgele değişkenler X ve Y'nin olan eşit onların ölçülebilir alan fonksiyonlar olarak eşit ise:

${\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{hepsi için}}\omega.}$

Pratikte ve teoride, altta yatan nedeni kavramı genellikle olasılık teorisinde az yararlıdır ölçü alan bir deney nadiren açıkça karakterize hatta tanımlanabilir özelliklerini edilir.

yakınsama

Matematiksel istatistikte önemli bir tema, belirli rastgele değişken dizileri için yakınsama sonuçları elde etmekten oluşur ; örneğin büyük sayılar yasası ve merkezi limit teoremi .

Bir rastgele değişken dizisinin bir rastgele değişkene yakınsadığı çeşitli anlamlar vardır . Bunlar rastgele değişkenlerin yakınsaması ile ilgili makalede açıklanmıştır . ${\displaystyle X_{n}}$${\görüntüleme stili X}$

Ayrıca bakınız

Referanslar

satır içi alıntılar

Edebiyat

Dış bağlantılar

• "Rastgele değişken" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Zukerman, Moshe (2014), Kuyruk Kuramı ve Stokastik Teletrafik Modellerine Giriş (PDF) , arXiv : 1307.2968
• Zukerman, Moshe (2014), Temel Olasılık Konuları (PDF)