aritmetik - Arithmetic

Çocuklar için aritmetik tablolar, Lozan, 1835

Aritmetik (dan Yunan ἀριθμός arithmos ' sayısı ' ve τική [τέχνη] , tike [Techne] , ' sanat ' veya ' zanaat ') bir kolu olan matematik çalışma oluşur sayılar , özellikle geleneksel özelliklerine ilişkin, bunlarla ilgili işlemler - toplama , çıkarma , çarpma , bölme , üs alma ve kök çıkarma . Aritmetik, sayı teorisinin temel bir parçasıdırve sayılar teorisi, cebir , geometri ve analiz ile birlikte modern matematiğin en üst düzey bölümlerinden biri olarak kabul edilir . Aritmetik ve yüksek aritmetik terimleri , 20. yüzyılın başına kadar sayı teorisi ile eşanlamlı olarak kullanıldı ve bazen hala sayı teorisinin daha geniş bir bölümünü ifade etmek için kullanılmaktadır.

Tarih

Aritmetik tarih öncesi toplama ve çıkarma anlayışını gösterebilir eserler az sayıda, sınırlıdır, varlık en bilinen Ishango kemik gelen Orta Afrika'nın onun yorumlanması tartışmalı olmasına rağmen, 20.000 ve 18.000 yılları arasında yere kalma.

En eski yazılı kayıtlar, Mısırlıların ve Babillilerin tüm temel aritmetik işlemleri MÖ 2000 kadar erken bir tarihte kullandıklarını göstermektedir. Bu eserler her zaman problemleri çözmek için kullanılan spesifik süreci ortaya çıkarmaz, ancak belirli sayı sisteminin özellikleri , yöntemlerin karmaşıklığını güçlü bir şekilde etkiler. İçin hiyeroglif sistemi Mısırlı rakamlar , daha sonra gibi Romen rakamlarıyla , soyundan taksitli işaretleri sayımı için kullandı. Her iki durumda da, bu orijin, ondalık taban kullanan , ancak konum gösterimini içermeyen değerlerle sonuçlandı . Roma rakamlarıyla yapılan karmaşık hesaplamalar , sonuçları elde etmek için bir sayma tahtasının (veya Roma abaküsünün ) yardımını gerektiriyordu .

Konumsal gösterimi içeren ilk sayı sistemleri, Babil rakamları için altmışlık (taban 60) sistem ve Maya rakamlarını tanımlayan vigesimal (taban 20) sistem de dahil olmak üzere ondalık değildi . Bu basamak değeri kavramı nedeniyle, aynı rakamları farklı değerler için yeniden kullanma yeteneği, daha basit ve daha verimli hesaplama yöntemlerine katkıda bulunmuştur.

Modern aritmetiğin sürekli tarihsel gelişimi , Babil ve Mısır örneklerinden çok daha sonra ortaya çıkmasına rağmen, antik Yunanistan'ın Helenistik uygarlığı ile başlar . Eserleri öncesinde Euclid M.Ö. 300 yıllarında, matematik Yunan çalışmalar felsefi ve mistik inançların örtüştü. Örneğin, Nicomachus , Aritmetik'e Giriş'te sayılara daha önceki Pisagor yaklaşımının bakış açısını ve bunların birbirleriyle ilişkilerini özetledi .

Yunan rakamları tarafından kullanıldı Arşimed , Diophantus bir ve diğerleri pozisyonel gösterimde Modern gösterimde çok farklı değil. Antik Yunanlılar, Helenistik döneme kadar sıfır için bir sembolden yoksundular ve rakam olarak üç ayrı sembol seti kullandılar : bir set, birler basamağı, bir onlar basamağı ve bir de yüzlerce. Binler basamağı için, birimler basamağı için sembolleri yeniden kullanırlardı, vb. Toplama algoritmaları modern yöntemle aynıydı ve çarpma algoritmaları sadece biraz farklıydı. Uzun bölme algoritmaları aynıydı ve 20. yüzyılda yaygın olarak kullanılan basamak basamak karekök algoritması Arşimet (onu icat etmiş olabilir) tarafından biliniyordu. Bunu Hero'nun ardışık yaklaşım yöntemine tercih etti, çünkü bir kez hesaplandığında bir rakam değişmez ve 7485696 gibi tam karelerin karekökleri hemen 2736 olarak sona erer. 546.934 gibi kesirli kısmı olan sayılar için kullandılar. 0.934 kesirli kısım için 10'un negatif kuvvetleri yerine 60'ın negatif kuvvetleri.

Eski Çinliler, Shang Hanedanlığı'ndan kalma ve Tang Hanedanlığı boyunca temel sayılardan ileri cebire kadar devam eden ileri aritmetik çalışmalara sahipti. Eski Çinliler, Yunanlılarınkine benzer bir konumsal gösterim kullandılar. Onlar da sıfır için bir sembole sahip olmadıkları için, birlerler basamağı için bir sembol takımına ve onlar basamağı için ikinci bir takıma sahiptiler. Yüzlerce yer için, daha sonra birimler yerinin sembollerini yeniden kullandılar, vb. Sembolleri eski sayma çubuklarına dayanıyordu . Çinlilerin konumsal temsille hesaplamaya başladığı kesin zaman bilinmemekle birlikte, evlat edinmenin MÖ 400'den önce başladığı biliniyor. Eski Çinliler, negatif sayıları anlamlı bir şekilde keşfeden, anlayan ve uygulayan ilk kişilerdi. Bu, MÖ 2. yüzyıla tarihlenen Liu Hui tarafından yazılan Matematiksel Sanat Üzerine Dokuz Bölümde ( Jiuzhang Suanshu ) açıklanmıştır .

Hindu-Arap sayı sisteminin kademeli gelişimi, bağımsız olarak, ondalık bir taban ile hesaplamalar için daha basit yöntemleri ve 0'ı temsil eden bir rakamın kullanımını birleştiren yer-değer kavramını ve konumsal gösterimi tasarladı . Bu, sistemin hem büyük hem de küçük tamsayıları tutarlı bir şekilde temsil etmesine izin verdi - sonunda diğer tüm sistemlerin yerini alan bir yaklaşım. MS 6. yüzyılın başlarında , Hintli matematikçi Aryabhata , bu sistemin mevcut bir versiyonunu çalışmalarına dahil etti ve farklı notasyonlarla deneyler yaptı. 7. yüzyılda Brahmagupta , 0'ın ayrı bir sayı olarak kullanımını kurdu ve sıfıra bölme sonucu hariç, sıfırın ve diğer tüm sayıların çarpma, bölme, toplama ve çıkarma sonuçlarını belirledi . Çağdaşı, Süryani piskopos Severus Sebokht (MS 650), "Hintliler hiçbir kelimenin yeterince övemeyeceği bir hesaplama yöntemine sahipler. Rasyonel matematik sistemleri veya hesaplama yöntemleri. Demek istediğim, dokuz sembol kullanan sistem." Araplar da bu yeni yöntemi öğrenmişler ve buna hesab adını vermişlerdir .

Leibniz'in Kademeli Hesaplayıcısı, dört aritmetik işlemin tümünü gerçekleştirebilen ilk hesap makinesiydi.

Codex Vigilanus , MS 976'da Arap rakamlarının erken bir biçimini (0'ı atlayarak) tanımlamış olsa da, Pisa'lı Leonardo ( Fibonacci ), 1202'de Liber Abaci adlı kitabının yayınlanmasından sonra bunların kullanımını Avrupa'ya yaymaktan başlıca sorumluydu . Kızılderililerin yöntemi (Latin Modus Indorum ) bilinen herhangi bir hesaplama yöntemini geride bırakıyor. Bu harika bir yöntem. Hesaplarını dokuz rakam ve sıfır sembolü kullanarak yapıyorlar .

Orta Çağ'da aritmetik, üniversitelerde öğretilen yedi liberal sanattan biriydi .

Bayındır cebir içinde ortaçağ İslam dünyasında, hem de içinde Rönesans Avrupa , muazzam basitleştirilmesi bir koludur hesaplama yoluyla ondalık gösterimle.

Sayısal hesaplamalara yardımcı olmak için çeşitli araçlar icat edildi ve yaygın olarak kullanıldı. Rönesans'tan önce, bunlar çeşitli abaci türleriydi . Daha yeni örnekler arasında slayt kuralları , nomogramlar ve Pascal'ın hesap makinesi gibi mekanik hesaplayıcılar bulunur . Günümüzde bunların yerini elektronik hesap makineleri ve bilgisayarlar almıştır .

Aritmetik işlemler

Temel aritmetik işlemler toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedir. Aritmetik ayrıca manipülasyonları gibi daha ileri işlemleri içerir, ancak yüzdeleri , karekök , üs , logaritmik fonksiyonlar ve hatta trigonometrik fonksiyonlar logaritma (aynı şekilde, prosthaphaeresis ). Aritmetik ifadeler, amaçlanan işlem sırasına göre değerlendirilmelidir. Bunu belirtmenin birkaç yöntemi vardır; en yaygın olanı, ek notasyonuyla birlikte, açıkça parantez kullanarak ve öncelik kurallarına dayanarak veya yürütme sırasını benzersiz bir şekilde kendi başlarına sabitleyen bir önek veya sonek notasyonu kullanarak . Üzerinde dört aritmetik işlemin tümünün ( sıfıra bölme hariç ) gerçekleştirilebildiği ve bu dört işlemin olağan yasalara uyduğu (dağılım dahil) herhangi bir nesne kümesine alan adı verilir .

Ek

Sembolü ile gösterilen toplama , aritmetiğin en temel işlemidir. Basit biçiminde toplama, iki sayıyı, ekleri veya terimleri tek bir sayı halinde birleştirir , sayıların toplamı ( 2 + 2 = 4 veya 3 + 5 = 8 gibi ).

Sonlu sayıda sayı eklemek, tekrarlanan basit toplama olarak görülebilir; Bu prosedür toplama olarak bilinir ve sonsuz bir seride "sonsuz sayıda sayı ekleme" tanımını belirtmek için de kullanılan bir terimdir . 1 sayısının tekrar tekrar eklenmesi  , saymanın en temel şeklidir ; 1 eklemenin sonucu genellikle orijinal sayının ardılı olarak adlandırılır .

Toplama değişmeli ve ilişkiseldir , bu nedenle sonlu sayıda terimin eklenme sırası önemli değildir.

Sayı 0 , herhangi bir sayıda ilave edildiği zaman, bu, aynı sayıda verimleri özelliğine sahiptir; yani, eklemenin kimlik öğesi veya eklemeli kimliktir .

Her x sayısı için - x ile gösterilen ve x'in tersi olarak adlandırılan bir sayı vardır , öyle ki x + (– x ) = 0 ve (– x ) + x = 0 olur . Bu yüzden, ters x olan ters bir x ek ile ilgili olarak, ya da ilave ters bir x . Örneğin, karşıt , 7 olan -7 beri 7 + (-7) = 0 .

Toplama, aşağıdaki örnekte olduğu gibi geometrik olarak da yorumlanabilir. 2 ve 5 uzunluğunda iki çubuğumuz varsa, çubuklar birbiri ardına hizalanırsa , 2 + 5 = 7 olduğundan birleşik çubuğun uzunluğu 7 olur .

Çıkarma

Sembolü ile gösterilen çıkarma, toplama işleminin tersidir. Çıkarma bulur farkı iki sayı arasındaki çıkartılan eksi çıkanın : D = E - S . Daha önce belirlenmiş toplamaya başvurulursa, bu, farkın, çıkarılana eklendiğinde eksi ile sonuçlanan sayı olduğunu söylemektir: D + S = M .

Pozitif argümanlar için M ve S şunları tutar:

Eksi, çıkandan daha büyükse, D farkı pozitiftir.
Eksi , çıkandan daha küçükse, D farkı negatiftir.

Her durumda, eksi ve çıkan eşitse, fark D = 0 olur.

Çıkarma ne değişmeli ne de birleştiricidir . Bu nedenle, modern cebirde bu ters işlemin yapısı, genellikle ters elemanlar kavramının getirilmesi lehine atılır ( § Toplama altında çizildiği gibi ), burada çıkarma, çıkarılanın toplamalı tersini minuend'e eklemek olarak kabul edilir. , a - b = a + (− b ) . İkili çıkarma işlemini bir kenara bırakmanın ilk fiyatı, (önemsiz) birli işlemin getirilmesi , herhangi bir belirli sayı için toplamsal tersinin verilmesi ve olumsuz argümanlar söz konusu olduğunda potansiyel olarak yanıltıcı olan fark kavramına anında erişimin kaybedilmesidir. .

Sayıların herhangi bir temsili için, sonuçların hesaplanmasına yönelik yöntemler vardır, bunlardan bazıları prosedürlerden yararlanmada özellikle avantajlıdır, bir işlem için mevcut, diğerleri için de küçük değişiklikler yaparak. Örneğin, dijital bilgisayarlar, donanımda uygulanması son derece kolay olan toplamsal tersleri temsil etmek için ikinin tümleyeni yöntemini kullanarak, mevcut toplama devresini yeniden kullanabilir ve bir çıkarma uygulamak için ek devreleri kaydedebilir ( olumsuzlama ). Takas, sabit bir kelime uzunluğu için sayı aralığının yarıya bölünmesidir.

Vadesi gelen ve verilen tutarları bilerek, doğru bir değişiklik tutarı elde etmek için eskiden yaygın olarak kullanılan bir yöntem , farkın değerini açıkça oluşturmayan sayım yöntemidir . Gerekli Q miktarını ödemek için bir P miktarı verildiğini ve P'nin Q'dan büyük olduğunu varsayalım . Aksine, açıkça çıkarma performans daha P - S = C miktardır üzerinden ve sayma C değişikliği, para halefi ile başlanarak sayılır Q ve kadar para adımda devam P ulaşılır. Sayılan miktarın P - Q çıkarma işleminin sonucuna eşit olması gerekse de, çıkarma hiçbir zaman gerçekten yapılmamıştır ve P - Q değeri bu yöntemle sağlanmaz.

Çarpma işlemi

veya sembolleri ile gösterilen çarpma, aritmetiğin ikinci temel işlemidir. Çarpma aynı zamanda tek bir sayıya iki sayıyı, birleştirir ürünü . İki orijinal numaralar denir çarpan ve çarpılan , çoğunlukla hem basitçe denir faktörleri .

Çarpma, bir ölçekleme işlemi olarak görülebilir. Sayıların bir çizgi üzerinde olduğu düşünülürse, 1'den büyük bir sayı ile çarpma, diyelim x , her şeyi 0'dan düzgün bir şekilde uzağa germekle aynıdır, öyle ki 1 sayısı x'in olduğu yere gerilir . Benzer şekilde, 1'den küçük bir sayı ile çarpma, 1 çarpana gidecek şekilde 0'a doğru sıkma olarak düşünülebilir.

Tamsayıların çarpımına ilişkin bir başka görüş (rasyonel sayılara genişletilebilir, ancak gerçek sayılar için pek erişilebilir değildir), bunu tekrarlanan toplama olarak düşünmektir. Örneğin. 3 x 4 karşılık ya da ilave edilmeden 3 kez 4 ya da 4 kez 3 aynı sonucu verir. Bu paradigmaların matematik eğitimindeki avantajları konusunda farklı görüşler bulunmaktadır .

Çarpma değişmeli ve birleştiricidir; ayrıca, toplama ve çıkarma üzerinde dağıtıcıdır . Çarpımsal kimlik aynı sayıda bu 1 verimleri ile herhangi bir sayıda çarparak bu yana, 1'dir. Çarpımsal ters dışında herhangi bir sayı için  , 0 olan karşılıklı sayısının kendisine göre herhangi bir sayıda devrik çarpılması çarpımsal kimlik verir, çünkü, bu sayı 1 . 0  , çarpımsal tersi olmayan tek sayıdır ve herhangi bir sayı ile 0'ın çarpılmasının sonucu yine 0'dır. Biri , sayıların çarpımsal grubunda 0'ın bulunmadığını söylüyor .

a ve b'nin çarpımı a × b veya a · b olarak yazılır . Ne zaman bir veya b değil hanesiyle sadece yazılı ifadelerdir, aynı zamanda basit dizilimi ile yazılır:  ab . Bilgisayar programlama dillerinde ve yazılım paketlerinde (sadece klavyede bulunan karakterlerin kullanılabildiği), genellikle bir yıldız işaretiyle yazılır:  a * b.

Sayıların çeşitli temsilleri için çarpma işlemini uygulayan algoritmalar, toplama işlemlerinden çok daha maliyetli ve zahmetlidir. El ile hesaplama için erişilebilir olanlar, ya faktörleri tek basamaklı değerlere ayırmaya ve tekrarlanan toplama uygulamaya ya da tablolar veya slayt kuralları kullanmaya , böylece çarpmayı toplamaya eşlemeye ve bunun tersini yapmaya dayanır . Bu yöntemler eskidir ve yavaş yavaş mobil cihazlarla değiştirilir. Bilgisayarlar, sistemlerinde desteklenen çeşitli sayı biçimleri için çarpma ve bölme uygulamak için çeşitli karmaşık ve yüksek düzeyde optimize edilmiş algoritmalar kullanır.

Bölüm

veya sembolleri ile gösterilen bölme, esasen çarpma işleminin tersidir. Bölüm bulur katsayısı iki sayıdan ait temettü bölü bölen . Sıfıra bölünen herhangi bir temettü tanımsızdır. Farklı pozitif sayılar için, temettü bölenden büyükse, bölüm 1'den büyüktür, aksi takdirde 1'den küçüktür veya 1'e eşittir (negatif sayılar için benzer bir kural geçerlidir). Bölen ile çarpılan bölüm her zaman temettü verir.

Bölünme ne değişmeli ne de birleştiricidir. § Çıkarma'da açıklandığı gibi , modern cebirde bölmenin yapısı, § Çarpma'da tanıtıldığı gibi, çarpmaya göre ters elemanların oluşturulması lehine atılır . Dolayısıyla bölme, bölenin bölenin tersi ile çarpan olarak çarpımıdır , yani a ÷ b = a × 1/B.

Doğal sayılar içinde, aynı zamanda , doğal bir N'yi (pay) doğal bir D'ye (payda) "böldükten" sonra iki sayı veren Öklid bölünmesi adı verilen farklı ama ilgili bir kavram vardır : ilk olarak doğal bir Q (bölüm) ve ikinci a N = D × Q + R ve 0 ≤ R < Q olacak şekilde doğal R (kalan) .

Bilgisayar programlama ve gelişmiş aritmetik dahil olmak üzere bazı bağlamlarda, bölme, kalanlar için başka bir çıktı ile genişletilir. Bu genellikle ayrı bir işlem olarak ele alınır, Modulo işlemi , sembolü veya kelimesi ile gösterilir , ancak bazen bir "divmod" işlemi için ikinci bir çıktı. Her iki durumda da Modüler aritmetiğin çeşitli kullanım durumları vardır. Farklı bölme uygulamaları (döşemeli, budanmış, Öklid vb.) farklı modül uygulamalarına karşılık gelir.

aritmetiğin temel teoremi

Aritmetiğin temel teoremi, 1'den büyük herhangi bir tamsayının, faktörlerin sırası hariç, benzersiz bir asal çarpanlara ayırmaya (bir sayının asal faktörlerin çarpımı olarak temsili) sahip olduğunu belirtir. Örneğin, 252'nin yalnızca bir asal çarpanlara ayırması vardır:

252 = 2 2 × 3 2 × 7 1

Öklid'in Elemanları ilk önce bu teoremi tanıttı ve kısmi bir kanıt verdi (buna Öklid'in lemması denir ). Aritmetiğin temel teoremi ilk olarak Carl Friedrich Gauss tarafından kanıtlandı .

Aritmetiğin temel teoremi, 1'in asal sayı olarak kabul edilmemesinin nedenlerinden biridir . Diğer nedenler arasında Eratosthenes'in eleği ve bir asal sayının tanımı (iki küçük doğal sayının çarpılmasıyla oluşturulamayan 1'den büyük bir doğal sayı) sayılabilir.

ondalık aritmetik

Ondalık temsil yazılı için yaygın olarak kullanılan, özel olarak atıfta rakam sistemi kullanılarak , Arap rakamları olarak basamak bir için tabanda 10 ( "ondalık") konumsal gösterimde ; bununla birlikte,örneğin Yunan , Kiril , Roma veya Çin rakamları gibi10'un katlarına dayananherhangi bir sayı sistemi kavramsal olarak "ondalık gösterim" veya "ondalık gösterim" olarak tanımlanabilir.

Dört temel işlem (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) için modern yöntemler ilk olarak Hindistanlı Brahmagupta tarafından geliştirilmiştir . Bu, ortaçağ Avrupa'sında "Modus Indorum" veya Kızılderililerin Metodu olarak biliniyordu. Konumsal gösterim ("yer-değer gösterimi" olarak da bilinir) , farklı büyüklük sıraları için aynı sembolü kullanan sayıların gösterimi veya kodlanması anlamına gelir (örneğin, "birler hanesi", "onlar hanesi", "yüzler hanesi") ve kesirleri temsil etmek için aynı sembolleri kullanarak bir sayı tabanı noktası ile (örneğin, "onuncular basamağı", "yüzüncüler basamağı"). Örneğin, 507.36 5 yüz (10 2 ), artı 0 onluk (10 1 ), artı 7 birim (10 0 ), artı 3 ondalık (10 -1 ) artı 6 yüzdelik (10 -2 ) anlamına gelir.

Kavramı , 0 , bir tutucu olarak 0 'kullanım kavramdır ve şekilde çoğalması ve 0, bir tutucu olarak 0 kullanımı ile ilave tanımıdır gibi diğer temel basamağı ile karşılaştırılabilir bir sayı olarak, bu gösterimde esastır Bu nedenle, konumsal gösterimin kullanımı ilk olarak MS 458 tarihli Lokavibhâga başlıklı Hindistan'dan Jain metninde onaylanmıştır ve Arap dünyasının ilmiyle aktarılan bu kavramların tanıtılması ancak 13. yüzyılın başlarında olmuştur. içine Avrupa'ya tarafından Fibonacci Hint-Arap rakam sistemi kullanan.

Algorizma , bu tür yazılı sayıları kullanarak aritmetik hesaplamalar yapmak için tüm kuralları içerir. Örneğin, toplama, rastgele iki sayının toplamını üretir. Sonuç, sağdan sola doğru ilerleyerek aynı konumu kaplayan her sayıdan tek hanelerin tekrar tekrar eklenmesiyle hesaplanır. On satır ve on sütun içeren bir toplama tablosu, her toplam için olası tüm değerleri görüntüler. Tek bir toplam 9 değerini aşarsa, sonuç iki basamakla gösterilir. En sağdaki basamak, geçerli konumun değeridir ve basamakların daha sonra sola eklenmesinin sonucu, her zaman bir olan (sıfır değilse) ikinci (en soldaki) basamak değeri kadar artar. Bu ayarlama, 1 değerinin taşınması olarak adlandırılır .

İki rastgele sayıyı çarpma işlemi toplama işlemine benzer. On satır ve on sütundan oluşan bir çarpım tablosu, her bir rakam çifti için sonuçları listeler. Bir basamak çiftinin tek bir çarpımı 9'u aşarsa, taşıma ayarlaması, basamaklardan sola doğru herhangi bir sonraki çarpmanın sonucunu, 1'den 8'e kadar herhangi bir değer olan ikinci (en soldaki) basamağa eşit bir değerle artırır ( 9 × 9 = 81 ). Ek adımlar nihai sonucu tanımlar.

Çıkarma ve bölme için benzer teknikler mevcuttur.

Çarpma için doğru bir işlemin oluşturulması, bitişik rakamların değerleri arasındaki ilişkiye dayanır. Sayıdaki herhangi bir tek basamağın değeri, konumuna bağlıdır. Ayrıca, soldaki her konum, sağdaki konumdan on kat daha büyük bir değeri temsil eder. Matematiksel olarak, üs için tabanda (sola doğru), 1 10 artar (baz) ya da (sağa doğru) 1 ile azalır. Bu nedenle, herhangi bir keyfi basamak için bir şekilde 10 bir değeri ile çarpılır n ile tam sayı  n . Tek bir basamak için olası tüm konumlara karşılık gelen değerlerin listesi {..., 10 2 , 10, 1, 10 -1 , 10 -2 , ...} şeklinde yazılır .

Bu listedeki herhangi bir değerin tekrar tekrar 10 ile çarpılması, listede başka bir değer üretir. Matematiksel terimler, bu durum, olarak tanımlanır kapağın ve önceki liste açıklanan çarpma altında kapalı . Önceki tekniği kullanarak çarpma sonuçlarını doğru bir şekilde bulmanın temelidir. Bu sonuç, sayı teorisinin kullanımlarına bir örnektir .

Bileşik birim aritmetiği

Bileşik birim aritmetiği, fit ve inç gibi karışık sayı tabanı miktarlarına aritmetik işlemlerin uygulanmasıdır ; galon ve pint; pound, şilin ve peni; ve bunun gibi. Ondalık tabanlı para ve ölçü birimleri sistemlerinden önce, ticaret ve sanayide bileşik birim aritmetiği yaygın olarak kullanılıyordu.

Temel aritmetik işlemler

Bileşik birim aritmetiğinde kullanılan teknikler yüzyıllar boyunca geliştirildi ve birçok farklı dilde birçok ders kitabında iyi bir şekilde belgelendi. Ondalık aritmetikte karşılaşılan temel aritmetik işlevlere ek olarak, bileşik birim aritmetiği üç işlev daha kullanır:

  • İndirgeme , bir bileşik miktarı düşürülür ki burada, tek bir miktarı örneğin, inç cinsinden ifade edilen birine kilometre, ayak ve inç cinsinden ifade edilen bir mesafe dönüştürülmesi.
  • Genişleme , indirgemenin ters işlevi , tek bir ölçü birimi olarak ifade edilen bir miktarın, 24 oz'dan 1 libre 8 oz'a genişletme gibi bir bileşik birime dönüştürülmesidir .
  • Normalleştirme , bir dizi bileşik birimin standart bir forma dönüştürülmesidir - örneğin, " 1 ft 13 inç " "in " 2 ft 1 inç " olarak yeniden yazılması .

Çeşitli ölçü birimleri, bunların katları ve alt katları arasındaki ilişkinin bilgisi, bileşik birim aritmetiğinin önemli bir bölümünü oluşturur.

Bileşik birim aritmetiğinin ilkeleri

Bileşik birim aritmetiği için iki temel yaklaşım vardır:

  • Tüm bileşik birim değişkenlerinin tek birim değişkenlere indirgendiği, hesaplamanın yapıldığı ve sonucun tekrar bileşik birimlere genişletildiği indirgeme-genişletme yöntemi . Bu yaklaşım otomatik hesaplamalar için uygundur. Tipik bir örnek, tüm zaman aralıklarının dahili olarak gün ve günün ondalık kesirleri olarak işlendiği Microsoft Excel tarafından zamanın işlenmesidir.
  • Her birimin ayrı ayrı ele alındığı ve çözüm geliştikçe problemin sürekli olarak normalleştirildiği devam eden normalleştirme yöntemi . Klasik metinlerde yaygın olarak açıklanan bu yaklaşım, en çok manuel hesaplamalar için uygundur. Eklemeye uygulanan devam eden normalleştirme yönteminin bir örneği aşağıda gösterilmiştir.
MixedUnitAddition.svg

Ekleme işlemi sağdan sola doğru yapılır; bu durumda önce pens, ardından şilin ve ardından pound işlenir. "Cevap satırının" altındaki sayılar ara sonuçlardır.

Peni sütunundaki toplam 25'tir. Bir şilin içinde 12 peni olduğu için 25'i 12'ye bölerek 2'yi ve kalan 1'i verir. Daha sonra cevap satırına "1" değeri yazılır ve "2" değeri yazılır. şilin sütununa taşındı. Bu işlem, şilin sütunundaki değerler kullanılarak, penni sütunundan ileriye taşınan değerin eklenmesi ek adımıyla tekrarlanır. Bir poundda 20 şilin olduğu için ara toplam 20'ye bölünür. Daha sonra pound sütunu işlenir, ancak pound dikkate alınan en büyük birim olduğu için pound sütunundan hiçbir değer ileriye taşınmaz.

Basitlik adına, seçilen örnekte farthing yoktu.

Uygulamadaki işlemler

İlişkili bir maliyet gösterimi ile emperyal birimlerde kalibre edilmiş bir ölçek.

19. ve 20. yüzyıllarda, özellikle ticari uygulamalarda, bileşik birimlerin manipülasyonuna yardımcı olmak için çeşitli yardımcılar geliştirildi. En yaygın yardımcılar, Birleşik Krallık gibi ülkelerde pound, şilin, peni ve farthing'i yerleştirmek için uyarlanan mekanik kasalar ve yüzdeler veya yüzdeler gibi çeşitli rutin hesaplamaların sonuçlarını kataloglayan tüccarlara yönelik kitaplar olan hazır hesap makineleriydi. çeşitli paraların katları. 150 sayfaya ulaşan tipik bir kitapçık, "bir farthing'den bir pound'a kadar çeşitli fiyatlarda birden on bine kadar" katları tablolaştırdı.

Bileşik birim aritmetiğin hantal doğası uzun yıllardır kabul görmüştür - 1586'da Flaman matematikçi Simon Stevin , ondalık madeni paraların, ölçülerin ve ağırlıkların evrensel girişini ilan ettiği De Thiende ("onuncu") adlı küçük bir broşür yayınladı. sadece bir zaman meselesi olmak. Modern çağda, Microsoft Windows 7 işletim sistemi hesaplayıcısında bulunanlar gibi birçok dönüştürme programı, bileşik birimleri genişletilmiş bir biçim kullanmak yerine indirgenmiş ondalık biçimde görüntüler (örneğin, "2 ft 6 yerine "2,5 ft" görüntülenir). içinde" ).

Sayı teorisi

19. yüzyıla kadar sayı teorisi "aritmetik" ile eşanlamlıydı. Ele alınan problemler, temel işlemler ve ilgili asallık , bölünebilirlik ve Fermat'ın Son Teoremi gibi tamsayılardaki denklemlerin çözümü ile doğrudan ilgilidir . Bu problemlerin çoğunun, ifade edilmesi çok temel olmasına rağmen, çok zor olduğu ve matematiğin diğer birçok dalından kavramları ve yöntemleri içeren çok derin matematik olmadan çözülemeyeceği ortaya çıktı. Bu, analitik sayılar teorisi , cebirsel sayılar teorisi , Diophantine geometrisi ve aritmetik cebirsel geometri gibi sayı teorisinin yeni dallarına yol açtı . Wiles'in Fermat'ın Son Teoreminin kanıtı, basit aritmetikte ifade edilebilecek problemlerin çözümü için klasik aritmetik yöntemlerinin çok ötesine geçen karmaşık yöntemlerin gerekliliğinin tipik bir örneğidir.

eğitimde aritmetik

Matematikte ilköğretim genellikle doğal sayıların , tam sayıların , kesirlerin ve ondalık sayıların aritmetiği için algoritmalara güçlü bir şekilde odaklanır (ondalık basamak değeri sistemini kullanarak). Bu çalışma bazen algorizm olarak bilinir.

Bu algoritmaların zorluğu ve isteksiz görünümü, eğitimcileri uzun süredir bu müfredatı sorgulamaya, daha merkezi ve sezgisel matematiksel fikirlerin erken öğretimini savunmaya yöneltmiştir. Bu yönde dikkate değer bir hareket , 1960'ların ve 1970'lerin Yeni Matematik'iydi ; bu, aritmetiği küme teorisinden aksiyomatik gelişme ruhu içinde öğretmeye çalıştı, yüksek matematikteki hakim eğilimin bir yankısı.

Ayrıca zekat ve irth ile ilgili hükümlerin uygulanmasını öğretmek için İslam alimleri tarafından aritmetik kullanılmıştır . Bu, Abd-al-Fattah-al-Dumyati'nin Aritmetiğin En İyisi adlı kitabında yapıldı.

Kitap, matematiğin temelleri ile başlar ve sonraki bölümlerde uygulanmasına devam eder.

Ayrıca bakınız

İlgili konular

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar