E ₈ (matematik) -E₈ (mathematics)

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar alt grup Normal alt grup bölüm grubu (Yarı-) direkt ürün Grup homomorfizmaları çekirdek resim doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeyen dihedral nilpotent çözülebilir eylem Grup teorisi sözlüğü grup teorisi konularının listesi
sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel dönüşümlü yalan türü sporadik Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup S n Klein dört grup V Dihedral grup D n Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dic n
ayrık gruplar kafesler Tamsayılar ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ aritmetik grubu kafes hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları solenoid Daire Genel doğrusal GL( n ) Özel doğrusal SL( n ) Ortogonal O( n ) Öklid E( n ) Özel ortogonal SO( n ) Üniter U( n ) Özel üniter SU( n ) Simplektik Sp( n ) G, 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz poincare konformal difeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O(∞) SU(∞) Sp(∞)
cebirsel gruplar Doğrusal cebir grubu indirgeyici grup değişmeli çeşit eliptik eğri
v T e

yalan grupları
Klasik gruplar
Basit Yalan grupları Klasik bir n B n C n D n olağanüstü G, 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Diğer Lie grupları Daire Lorentz poincare konformal grup difeomorfizm Döngü Öklidyen
yalan cebirleri
Yarıbasit Lie cebiri
temsil teorisi
Fizikte yalan grupları
Bilim insanları sophus yalanı Henri Poincare Wilhelm'in Öldürülmesi Elie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Sözlük Lie gruplarının tablosu
v T e

Gelen matematik , E ₈ birkaç yakından ilgili herhangi biri olağanüstü basit Lie grupları doğrusal, cebirsel gruplar veya Lie cebirlerin boyutu 248; karşılık gelen için kullanılan aynı gösterim kök kafes vardır, rank  8. E tayin ₈ gelir Cartan-öldürme sınıflandırma kompleksin basit Lie cebirlerin dört sonsuz dizi etiketli bir düşme, _n , B _{, n} , C _{, n} , D _n ve G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ ve E _{8 olarak} etiketlenmiş beş istisnai durum . E ₈ cebri, bu istisnai durumların en büyüğü ve en karmaşıkıdır.

Temel açıklama

Yalan grup E ₈ boyut 248. Onun sahip rütbe onun boyutudur, maksimal torus , sekiz.

Bu nedenle, kök sisteminin vektörleri sekiz boyutlu Öklid uzayındadır : bunlar bu makalenin ilerleyen kısımlarında açıkça anlatılacaktır. Weyl grubu E'nin ₈ olduğu, simetrileri grubu tarafından uyarılmaktadır maksimal torus conjugations tüm grupta, sipariş 2 sahip ¹⁴  3 ⁵  5 ²  7 = 696 729 600 .

Kompakt grup E ₈ , basit kompakt Lie grupları arasında benzersizdir, çünkü en küçük boyutun önemsiz temsili , Lie cebiri E _8'in kendisine etki eden birleşik temsildir (248 boyutunda) ; aynı zamanda şu dört özelliğe sahip olan benzersizdir: önemsiz merkez, kompakt, basit bağlantılı ve basit bağcıklı (tüm kökler aynı uzunluktadır).

Bir Lie cebir yoktur E _k her tamsayı için k  arasında ≥ 3. büyük değeri k E kendisi için _k sonlu boyutlu mesafesindedir k  ise = 8, E _k herhangi sonsuz boyutlu olan k  > 8.

Gerçek ve karmaşık formlar

E tipi tek bir kompleks Lie cebri bulunmaktadır ₈ kompleks Lie grubu E kompleksi boyut 248 karmaşık bir grubuna karşılık gelen, ₈ arasında karmaşık bir boyut 248 gerçek boyut 496. basit bir gerçek Lie grubu olarak kabul edilebilir bu basit bağlantılıdır maksimal sahip kompakt alt grup E (aşağıya bakınız) kompakt bir yapıya ₈ ve karmaşık konjugasyon ile üretilen 2 seviyesinde bir dış otomorfizmalarını sahiptir.

Yanı sıra E türü kompleks Lie grubu olarak ₈ (başka iki gerçek biçimleri de olmayan cebirsel çift kapaklara sahip olan iki tanesi,) Yalan cebir üç gerçek formlar, önemsiz merkezi grubunun üç gerçek biçimlerin hepsi vardır gerçek boyut 248, aşağıdaki gibi:

• Basit bir şekilde bağlantılı ve önemsiz bir dış otomorfizm grubuna sahip olan kompakt form (genellikle başka bir bilgi verilmemişse kastedilen budur).
• Maksimum kompakt alt grubu Spin(16)/( Z /2 Z ) olan bölünmüş form, EVIII (veya E ₈₍₈₎ ), 2. dereceden temel grup ( basit bağlı bir çift ​​kapağa sahip olduğunu ima eder). Gerçek grup yalan ama cebirsel değil, aşağıya bakınız ) ve önemsiz dış otomorfizm grubuna sahiptir.
• EIX (veya E _{8 (-24)} maksimal kompakt alt grup E yer alır), ₇ x SU (2) / (- 1, -1) için, 2 (yine cebirsel olmayan bir çift kapağı ima) arasında temel grup ve önemsiz dış otomorfizm grubuna sahiptir.

Basit Lie cebirlerinin gerçek formlarının tam listesi için , basit Lie gruplarının listesine bakın .

Cebirsel grup olarak E ₈

Lie cebiri için bir Chevalley temeli aracılığıyla, E ₈ tamsayılar üzerinde ve sonuç olarak herhangi bir değişmeli halka üzerinde ve özellikle herhangi bir alan üzerinde doğrusal bir cebirsel grup olarak tanımlanabilir : bu sözde bölünmeyi tanımlar (bazen de bilinir). E _8'in “bükümsüz”) formu olarak . Cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde, bu tek biçimdir; bununla birlikte, diğer alanlarda, genellikle, H ¹ ( k ,Aut(E ₈ ) kümesi tarafından Galois kohomolojisinin genel çerçevesinde ( mükemmel bir k alanı üzerinde) sınıflandırılan E _8'in birçok başka formu veya "bükümleri" vardır. )) olan, E Dynkin şeması için ₈ (bakınız aşağıda ) bir Otomorfizmalar sahiptir, H çakışmaktadır ¹ ( k , e ₈ ).

Fazla R , E, bu cebirsel bükülmüş formların kimliğinin gerçek bağlı bileşen ₈ bahsedilen üç gerçek Lie grupları ile denk yukarıda ama temel grubu ile ilgili bir incelik ile: E her türlü ₈ sadece cebirsel anlamında bağlanan geometri, yani önemsiz cebirsel kaplamaları kabul etmedikleri anlamına gelir; E _8'in kompakt olmayan ve basit bağlantılı gerçek Lie grubu biçimleri bu nedenle cebirsel değildir ve hiçbir sadık sonlu boyutlu temsili kabul etmez.

Sonlu alanlar üzerinde, Lang-Steinberg teoremi H ¹ ( k ,E ₈ )=0 olduğunu ima eder , yani E _8'in bükülmüş biçimleri yoktur: aşağıya bakınız .

Gerçek ve karmaşık Lie cebirlerinin ve Lie gruplarının sonlu boyutlu temsillerinin karakterlerinin tümü, Weyl karakter formülü ile verilir . En küçük indirgenemez temsilleri boyutları (dizisidir A121732 olarak OEIS ):

1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 266897860, 820260000, 26411008, 70680000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (iki kez), 12692520960…

248 boyutlu gösterim, birleşik gösterimdir . Boyut 8634368000 olmayan iki izomorfik indirgenemez temsilleri vardır (bu benzersiz değil, ancak, bu özelliği ile bir sonraki tam sayı 175898504162692612600853299200000 (dizisidir A181746 olarak OEIS )). Temel temsilleri sekiz düğüm karşılık gelen boyutlarda 3875, 6.696.000, 6899079264, 146.325.270, 2.450.240, 30380, 248 ve 147250 (olanlardır Dynkin diyagram için seçilen sırayla Cartan matrisi , yani, aşağıda, düğümler okunduktan önce yedi düğümlü zincir, son düğüm üçüncüye bağlanır).

Sonsuz boyutlu indirgenemez için karakter formüllerin katsayıları temsilleri E ₈ polinom oluşan bazı büyük kare matrisler bağlıdır Lusztig-Vogan polinomları , bir analog Kazhdan-Lusztig polinomları için sunulan indirgeyici grupları genel olarak , George Lusztig ve David Kazhdan ( 1983). Lusztig–Vogan polinomlarının 1'deki değerleri, standart temsilleri (karakterlerini tanımlaması kolay) indirgenemez temsillerle ilişkilendiren matrislerin katsayılarını verir.

Bu matrisler, Jeffrey Adams tarafından yönetilen 18 matematikçi ve bilgisayar bilimciden oluşan bir grup tarafından dört yıllık işbirliğinden sonra ve programlamanın çoğu Fokko du Cloux tarafından yapıldıktan sonra hesaplandı . En zor durum (istisnai gruplar için ), en büyük matrisin 453060×453060 boyutunda olduğu E _8'in bölünmüş gerçek biçimidir (yukarıya bakın). Diğer tüm istisnai basit gruplar için Lusztig-Vogan polinomları bir süredir bilinmektedir; E _8'in bölünmüş formu için hesaplama, diğer tüm durumlardan çok daha uzundur. Sonuçların Mart 2007'de duyurulması, üzerinde çalışan matematikçilerin şaşkınlığına, medyadan (dış bağlantılara bakınız) olağanüstü ilgi gördü.

E ₈ gruplarının sonlu alanlar üzerindeki temsilleri Deligne-Lusztig teorisi ile verilmiştir .

İnşaatlar

E ₈ grubu (kompakt formu) karşılık gelen e ₈ Lie cebirinin otomorfizm grubu olarak oluşturulabilir . Bu cebri 120 boyutlu altcebirine sahip çok tarafından üretilen (16) J _ij olarak 128 yeni jeneratörler S _bir bir şekilde transform Weyl-Majorana spinor arasında bir dönüş (16). Bu ifadeler komütatörleri belirler

${\displaystyle \sol[J_{ij},J_{k\ell }\sağ]=\delta _{jk}J_{i\ell }-\delta _{j\ell }J_{ik}-\delta _ {ik}J_{j\ell}+\delta _{i\ell }J_{jk}}$

birlikte

${\displaystyle \left[J_{ij},Q_{a}\sağ]={\frac {1}{4}}\left(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j }\gamma _{i}\sağ)_{ab}Q_{b},}$

spinor jeneratörler arasında kalan komütatörler (antikomütatörler değil!)

${\displaystyle \left[Q_{a},Q_{b}\sağ]=\gamma _{ac}^{[i}\gamma _{cb}^{j]}J_{ij}.}$

Daha sonra Jacobi kimliğinin karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmek mümkündür .

Geometri

E kompakt gerçek formu ₈ olan izometri grubu 128 boyutlu olağanüstü kompakt Riemann simetrik alan (Cartan olarak EVIII sınıflandırması ). O, oktonyonların kendileriyle tensör ürünü olan bir cebir kullanılarak oluşturulabildiğinden gayrı resmi olarak " oktooktoniyonik yansıtmalı düzlem " olarak bilinir ve aynı zamanda Rosenfeld yansıtmalı düzlem olarak da bilinir , ancak bir projektif düzlem. Bu, Hans Freudenthal ve Jacques Tits'e bağlı olarak sihirli kare olarak bilinen bir yapı kullanılarak sistematik olarak görülebilir ( Landsberg & Manivel 2001 ).

E ₈ kök sistemi

Üç uzaya yansıtılan ve 4 ₂₁ politopunun köşeleriyle temsil edilen E ₈ kök sisteminin zon modeli ,

H3 simetrisini veren [u,v,w] temel vektörleri kullanılarak 3B projeksiyonda gösterilmiştir: Öngörülen 4 ₂₁ politop tepe noktası, her bir sayılan norm kümesinin giderek daha şeffaf gövdelerini oluşturan 3B normlarına göre sıralanır ve sıralanır. Bunlar şunları gösterir:

1. orijinde 4 nokta
2. 2 ikosahedron
3. 2 dodekahedron
4. 4 ikosahedron
5. 1 ikosadodekahedron
6. 2 dodekahedron
7. 2 ikosahedron
8. 1 ikosadodekahedron

240 köşe için. Bunlar , altın oranla ölçeklendirilmiş 600 hücreli H4 simetrisinden iki eşmerkezli gövde kümesidir .

R dereceli bir kök sistemi , r -boyutlu bir Öklid uzayını kapsayan ve belirli geometrik özellikleri karşılayan , kök adı verilen vektörlerin belirli bir sonlu konfigürasyonudur . Özellikle, kök sistemi , herhangi bir köke dik olan hiperdüzlem boyunca yansıma altında değişmez olmalıdır .

E ₈ kök sistemi kapsayan 240 kök vektörleri ihtiva eden bir seviye 8 kök sistemi R ⁸ . Daha küçük rütbeli kök sistemlerinden inşa edilememesi anlamında indirgenemez . E _8'deki tüm kök vektörler aynı uzunluğa sahiptir. Uzunluğu √ 2 olacak şekilde normalize etmek bir dizi amaç için uygundur . Bu 240 vektörleri noktalar vardır yarı normal bir politop tarafından keşfedilen Thorold Gosset olarak da bilinmektedir 1900 yılında, 4 ₂₁ politop .

Yapı

Sözde olarak da koordinat sisteminin , E ₈ Tüm vektörlerin grubu olarak verilir R ⁸ uzunlukta koordinatları ya tüm olacak şekilde 2'ye eşit karesi tamsayı veya tüm yarım tamsayı ve koordinatlar toplamı da bir.

Açıkça, tamsayı girişli 112 kök vardır.

${\displaystyle \sol(\pm 1,\pm 1,0,0,0,0,0,0\sağ)\,}$

keyfi bir işaret kombinasyonu ve keyfi bir koordinat permütasyonu ve elde edilen yarı tamsayı girişleriyle 128 kök alarak

${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm { \tfrac {1}{2}}\sağ)\,}$

çift ​​sayıda eksi işareti alarak (veya eşdeğer olarak, tüm sekiz koordinatın toplamının çift olmasını gerektirerek). Toplamda 240 kök vardır.

Elle yapılmış iplik ile E8 2d projeksiyon

Tamsayı girişli 112 kök, bir D ₈ kök sistemi oluşturur. E ₈ kök sistemi ayrıca A _8'in (72 kökü olan) bir kopyasını ve E ₆ ve E _7'yi (aslında son ikisi genellikle E _8'in alt kümeleri olarak tanımlanır ) içerir.

İçinde tek bir koordinat sistemi , e ₈ bile koordinat sisteminde kökleri alarak ve koordinat herhangi birine ait bir işaret değiştirme verilir. Tamsayı girişleri olan kökler aynıdır, yarım tamsayı girişleri ise çift sayı yerine tek sayıda eksi işaretine sahiptir.

Dynkin diyagramı

Dynkin şeması E ₈ ile verilmektedir .

Bu diyagram, kök yapısının kısa bir görsel özetini verir. Bu diyagramın her düğümü basit bir kökü temsil eder. İki basit kökü birleştiren bir çizgi, bunların birbirine 120°'lik bir açıda olduğunu gösterir. Bir çizgiyle birleştirilmeyen iki basit kök ortogonaldir .

kartan matrisi

Cartan matris bir seviye arasında r kök sistemi bir bir R x r matris Girişleri basit köklerinden elde edilir. Spesifik olarak, Cartan matrisinin girişleri şu şekilde verilir:

${\displaystyle A_{ij}=2{\frac {\sol(\alpha _{i},\alpha _{j}\sağ)}{\left(\alpha _{i},\alpha _{i} \sağ)}}}$

burada (,) Euklides iç çarpım ve α _i basit kökleridir. Girişler, basit köklerin seçiminden bağımsızdır (sıraya kadar).

E ₈ için Cartan matrisi şu şekilde verilir:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}2&-1&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2 -1&2&-1&0\\0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&0&0&-1&0&0&2\end{dizi}}\sağ].}$

Belirleyici bu matrisin 1'e eşittir.

Basit kökler

Eklenen basit kök konumunu tanımlayan kenar etiketleri ile E8 kök pozunun Hasse diyagramı .

Bir kök sistemi için basit kökler kümesi Φ, Φ tarafından yayılan Öklid uzayı için bir temel oluşturan bir kök kümesidir ve her bir kökün bu temele göre tümü negatif olmayan veya tümü pozitif olmayan bileşenlere sahip olması özel özelliği vardır.

E ₈ Cartan matrisi (yukarıda) ve bir Dynkin diyagramı düğüm sıralaması göz önüne alındığında :

Basit köklerin bir seçimi aşağıdaki matrisin satırlarında verilmiştir:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}1&-1&0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&1&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1{\&0&0&1 {2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2 }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0&0&0&0&1&-1&0\\\end{dizi} }\sağ].}$

Weyl grubu

Weyl grubu E'nin ₈ için 696.729.600 sahiptir ve O gibi tanımlanabilir⁺
₈(2): Bu şekilde 2 ait G .2 (olduğunu, bir kök uzantısı bir grup ile 2 seviyesinde bir siklik grubun bir uzantısı 2 seviyesinde bir siklik grubu ile G ) G, benzersiz basit bir grup sipariş 174182400 (PSΩ ₈ ⁺ (2) olarak tanımlanabilir ).

E ₈ kök kafes

E ayrılmaz yayılma ₈ kök sistemi bir oluşturan kafes içinde R ⁸ , doğal olarak adlandırılan e ₈ kök kafes . Bu kafes, rankı 16'dan az olan tek (önemsiz) çift, unimodüler kafes olması bakımından oldukça dikkat çekicidir .

E _8'in basit alt cebirleri

E _8'in tamamlanmamış basit bir alt grup ağacı

Lie cebiri E8, tüm istisnai Lie cebirlerinin yanı sıra matematik ve fizikteki diğer birçok önemli Lie cebirlerini alt cebir olarak içerir . Lie cebirinin diyagramdaki yüksekliği yaklaşık olarak cebirin derecesine karşılık gelir. Cebirden alt cebire doğru bir çizgi, alt cebirin yüksek cebirin bir alt cebiri olduğunu gösterir.

E ₈ tipi Chevalley grupları

Chevalley (1955) (split) noktaları cebirsel E grubu gösterdi ₈ (bkz yukarıdaki bir fazla) sonlu alanı ile q elemanları sonlu meydana Chevalley grubu , genel olarak E, yazılı ₈ ( q, herhangi bir basit olan), q ve sonlu basit grupların sınıflandırılmasıyla ele alınan sonsuz ailelerden birini oluşturur . Elemanlarının sayısını, formül (dizi ile verilir A008868 içinde OEIS ):

${\displaystyle q^{120}\sol(q^{30}-1\sağ)\sol(q^{24}-1\sağ)\sol(q^{20}-1\sağ)\sol( q^{18}-1\sağ)\sol(q^{14}-1\sağ)\sol(q^{12}-1\sağ)\sol(q^{8}-1\sağ)\ sol(q^{2}-1\sağ)}$

Bu dizideki ilk terim, E ₈ (2) mertebesi , yani 337 804 753 143 634 806 261 388 190 614 085 595 079 991 692 242 467 651 576 160 959 909 068 800 000 ≈ 3.38×10 ⁷⁴ , zaten Canavar grubunun boyutundan daha büyük . Bu grup E ₈ (2), Sonlu Grupların ATLAS'ında açıklanan (ancak karakter tablosu olmadan) son gruptur .

Schur çarpanı E ₈ ( q ) sıfır olduğu ve dış otomorfizm grubu olduğu alan automorphisms (yani, sipariş siklik f eğer q = p ^f burada p asal).

(1979) Lusztig tipi sonlu grupların unipotent temsillerini tarif E ₈ .

alt gruplar

Daha küçük istisnai gruplar E ₇ ve E _6, E _8'in içinde yer alır . Kompakt grupta, hem E ₇ ×SU(2)/(−1,−1) hem de E ₆ ×SU(3)/( Z /3 Z ), E _8'in maksimum alt gruplarıdır .

E _8'in 248 boyutlu birleşik gösterimi , bu alt grupların ilkiyle sınırlı gösterimi açısından düşünülebilir . E ₇ × SU(2) altında , (3,1) + (1,133) + (2,56) şeklinde bir boyut çifti olarak etiketlenebilen tensör çarpım temsillerinin bir toplamı olarak dönüşür (çünkü çarpım, bu gösterimler kesinlikle sonsuz küçük (Lie cebiri) temsillerini gösteriyor olarak alınabilir). Kartan alt cebirindeki jeneratörler ile birlikte kökler ile birleşik gösterim tanımlanabildiğinden , bunlara bakarak bu ayrışmayı görebiliriz. Bu açıklamada,

• (3.1), (0,0,0,0,0,0,1,-1), (0,0,0,0,0,0,-1,1) köklerinden ve Cartan üretecinden oluşur son boyuta karşılık gelen;
• (1,133), (1,1), (−1,−1), (0,0), (− 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ) veya ( 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) olan tüm köklerden oluşur. son iki boyut, ilk yedi boyuta karşılık gelen Cartan jeneratörleri ile birlikte;
• (2,56) , son iki boyutta (1,0), (−1,0) veya ( 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ) permütasyonlu tüm köklerden oluşur .

E 248 boyutlu eş gösterimi ₈ , benzer şekilde sınırlanmış, E, altında dönüşümler ₆ olarak × SU (3): (8,1) + (1,78) + (3,27) + ( 3 , 27 ). Cartan alt cebirindeki üreteçlerle birlikte köklere bakarak da ayrışmayı görebiliriz. Bu açıklamada,

• (8,1) son iki boyuta karşılık gelen Cartan üreteci ile birlikte son üç boyutta (1,−1,0) permütasyonlu köklerden oluşur;
• (1,78), (0,0,0), (− 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ) veya ( 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) olan tüm köklerden oluşur. ilk altı boyuta karşılık gelen Cartan jeneratörleri ile birlikte son üç boyut;
• (3,27) , son üç boyutta (1,0,0), (1,1,0) veya (− 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) permütasyonlu tüm köklerden oluşur .
• ( 3 , 27 ) son üçteki (-1,0,0), (-1,−1,0) veya ( 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ) permütasyonlu tüm köklerden oluşur boyutlar.

E _8'in (kompakt formu) içine gömülebilen sonlu yarı basit gruplar Griess & Ryba (1999) tarafından bulundu .

Dempwolff grubu (kompakt formda) E bir alt grubudur ₈ . Bu içerdiği Thompson sporadik grubu Lie E grubuna ait alttaki vektör alan üzerinde hareket eder, ₈ ama Lie korumaz. Thompson grubu bir kafes sabitler ve bu kafes mod 3'ün Lie braketini koruyarak Thompson grubunun E _8'e ( F ₃ ) gömülmesini sağlar .

Uygulamalar

E ₈ Lie grubunun teorik fizikte ve özellikle sicim teorisi ve süper yerçekiminde uygulamaları vardır . E ₈ ×E ₈ , iki heterotik sicim türünden birinin ayar grubudur ve  on boyutta N = 1 süper yerçekimine bağlanabilen iki anormallik içermeyen ayar grubundan biridir. E ₈ , sekiz torus (bölünmüş biçiminde) üzerindeki süper yerçekiminin U-dualite grubudur.

Dahil bir yolu, standart model heterotik dize teoriye parçacık fiziği olan simetri kırılması E ₈ maksimal altcebirine SU için (3) x E ₆ .

1982 yılında, Michael Freedman kullanılan e ₈ kafes bir örneğini oluşturmak için topolojik 4-manifold , E ₈ manifold bir sahiptir, yumuşak bir yapı .

Antony Garrett Lisi'nin tamamlanmamış " Her Şeyin Olağanüstü Basit Bir Teorisi " , fizikte bilinen tüm temel etkileşimleri E ₈ Lie cebirinin bir parçası olarak tanımlamaya çalışır .

R. Coldea, DA Tennant ve EM Wheeler ve ark. ( 2010 ) , bir kobalt - niyobyum kristalinin elektron spinlerinin , belirli koşullar altında, Zamolodchikov (1989) tarafından tahmin edilen E ₈ ile ilgili sekiz tepe noktasından ikisini sergilediği bir deney bildirdi .

Tarih

Wilhelm Killing  ( 1888a , 1888b , 1889 , 1890 ) , basit kompakt Lie cebirlerini sınıflandırması sırasında karmaşık Lie cebiri E _8'i keşfetti , ancak varlığını kanıtlamadı, ki bu ilk olarak Élie Cartan tarafından gösterildi . Cartan, E ₈ tipi karmaşık bir basit Lie cebirinin üç gerçek formu kabul ettiğini belirledi . Bunların her biri , tam olarak biri (herhangi bir karmaşık basit Lie cebirinde olduğu gibi) kompakt olan 248 boyutunda basit bir Lie grubuna yol açar . Chevalley (1955) , cebirsel grupları ve E ₈ tipi Lie cebirlerini diğer alanların üzerine tanıttı : örneğin, sonlu alanlar durumunda bunlar , Lie tipinde sonsuz bir sonlu basit grup ailesine yol açar .

Ayrıca bakınız

• E _n

Notlar

Referanslar

• Adams, J. Frank (1996), İstisnai Lie grupları üzerine dersler , Chicago Matematik Dersleri, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00526-3, MR  1428422
• Baez, John C. (2002), "Oktonyonlar" , Amerikan Matematik Derneği Bülteni , Yeni Seri, 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934 -X , MR  1886087
• Chevalley, Claude (1955), "Sur belirli gruplar basitleri" , Tohoku Matematik Dergisi , İkinci Seri, 7 : 14–66, doi : 10.2748/tmj/1178245104 , ISSN  0040-8735 , MR  0073602
• Coldea, R.; Tennant, DA; Wheeler, EM; Wawrzynska, E.; Prabhakaran, D.; Anlatan, M.; Habicht, K.; Smeibidl, P.; Kiefer, K. (2010), "Bir Ising Zincirinde Kuantum Kritikliği: Emergent E ₈ Simetrisi için Deneysel Kanıt ", Science , 327 (5962): 177–180, arXiv : 1103.3694 , Bibcode : 2010Sci...327..177C , doi : 10.1126/science.1180085
• Garibaldi, Skip (2016), "E ₈ , en istisnai grup", Bülten of the American Mathematical Society , 53 : 643–671, arXiv : 1605.01721 , doi : 10.1090/bull/1540
• Griess, Robert L.; Ryba, AJE (1999), "İstisnai bir Lie grubuna projektif olarak gömülen sonlu basit gruplar sınıflandırılır!" , Amerikan Matematik Derneği Bülteni , Yeni Seri, 36 (1): 75–93, doi : 10.1090/S0273-0979-99-00771-5 , MR  1653177
• Killing, Wilhelm (1888a), "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen" , Mathematische Annalen , 31 (2): 252–290, doi : 10.1007/BF01211904
• Killing, Wilhelm (1888b), "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen" , Mathematische Annalen , 33 (1): 1-48, doi : 10.1007/BF01444109
• , Wilhelm Killing (1889), "Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen Die" , Mathematische Annalen , 34 57-122: (1) DOI : 10.1007 / BF01446792 arşivlenmiş, orijinal 2015-02-21 tarihinde , alınan 2013-09- 12
• Killing, Wilhelm (1890), "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen" , Mathematische Annalen , 36 (2): 161–189, doi : 10.1007/BF01207837
• Landsberg, Joseph M.; Manivel, Laurent (2001), "Freudenthal'in sihirli karesinin projektif geometrisi", Journal of Algebra , 239 (2): 477–512, arXiv : math/9908039 , doi : 10.1006/jabr.2000.8697 , MR  1832903
• Lusztig, George (1979), "E8 tipi bir sonlu Chevalley grubunun unipotent temsilleri", The Quarterly Journal of Mathematics , Second Series, 30 (3): 315–338, doi : 10.1093/qmath/30.3.301 , ISSN  0033 -5606 , MR  0545068
• Lusztig, George ; Vogan, David (1983), "bayrak manifoldlarında K-yörüngelerinin kapanmalarının tekillikleri", Inventiones Mathematicae , Springer-Verlag , 71 (2): 365–379, Bibcode : 1983InMat..71..365L , doi : 10.1007/ BF01389103
• Zamolodchikov, AB (1989), " Manyetik alanlı (ölçeklendirilmiş) T=T _c Ising modelinin hareket integralleri ve S matrisi ", International Journal of Modern Physics A , 4 (16): 4235–4248, Bibcode : 1989IJMPA ...4.4235Z , doi : 10.1142/S0217751X8900176X , MR  1017357

Dış bağlantılar

Lusztig–Vogan polinom hesaplaması

• Yalan Atlası grupları
• E ₈ için Kakhdan–Lusztig–Vogan Polinomları
• E ₈ için Kazhdan-Lusztig Polinomlarını Hesaplama Projesinin Anlatımı
• Amerikan Matematik Enstitüsü (Mart 2007), Matematikçiler Haritası E ₈
• N -Kategoriler Kafe , bir Teksas Üniversitesi tarafından günlüğü gönderme John Baez E ₈ .

Diğer bağlantılar

• E ₈ kök sisteminin grafik gösterimi .
• E _8'in karmaşık formunun indirgenemez temsillerinin boyutlarının listesi , OEIS'deki A121732 dizisidir .