Nilpotent grup - Nilpotent group

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar alt grup Normal alt grup bölüm grubu (Yarı-) direkt ürün Grup homomorfizmaları çekirdek resim doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeyen dihedral nilpotent çözülebilir Grup teorisi sözlüğü grup teorisi konularının listesi
sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel dönüşümlü yalan türü sporadik Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup S n Klein dört grup V Dihedral grup D n Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dic n
ayrık gruplar kafesler Tamsayılar ( Z ) Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL(2, Z ) SL(2, Z ) aritmetik grubu kafes hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları solenoid Daire Genel doğrusal GL( n ) Özel doğrusal SL( n ) Ortogonal O( n ) Öklid E( n ) Özel ortogonal SO( n ) Üniter U( n ) Özel üniter SU( n ) Simplektik Sp( n ) G, 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz poincare konformal difeomorfizm döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O(∞) SU(∞) Sp(∞)
cebirsel gruplar Doğrusal cebir grubu indirgeyici grup değişmeli çeşit eliptik eğri
v t e

Gelen matematik , özellikle grup teori , bir üstel sıfır grubu G a, grubu , bir yer alır üst merkezi serisi ile sonlandırır G . Eşdeğer olarak, merkezi serisi sonlu uzunluktadır veya alt merkezi serisi {1} ile sona ermektedir.

Sezgisel olarak, bir nilpotent grup "neredeyse değişmeli " olan bir gruptur . Bu fikir, nilpotent grupların çözülebilir olması ve sonlu nilpotent gruplar için, göreceli olarak asal mertebelere sahip iki elemanın değişmesi gerektiği gerçeğiyle motive edilir . Sonlu nilpotent grupların süperçözülebilir olduğu da doğrudur . Konsept, 1930'larda Rus matematikçi Sergei Chernikov tarafından işe yaradı .

Nilpotent gruplar, Galois teorisinde ve grupların sınıflandırılmasında ortaya çıkar . Ayrıca Lie gruplarının sınıflandırılmasında belirgin bir şekilde görünürler .

Nilpotent , alt merkezi seri ve üst merkezi seri dahil olmak üzere Lie cebirleri ( Lie ayracı kullanılarak ) için benzer terimler kullanılır .

Tanım

Tanım, bir grup için merkezi bir dizi fikrini kullanır . Aşağıdakiler, bir nilpotent G grubu için eşdeğer tanımlardır :

• G , sonlu uzunlukta bir merkezi seriye sahiptir. Yani, bir dizi normal alt grup

${\displaystyle \{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G}$

nerede veya eşdeğeri .${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}\leq Z(G/G_{i})}$${\displaystyle [G,G_{i+1}]\leq G_{i}}$

• G , sonlu sayıda adımdan sonra önemsiz alt grupta sona eren daha düşük bir merkezi seriye sahiptir . Yani, bir dizi normal alt grup

${\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}}$

nerede .${\displaystyle G_{i+1}=[G_{i},G]}$

• G , sonlu sayıda adımdan sonra tüm grupta sona eren bir üst merkezi seriye sahiptir . Yani, bir dizi normal alt grup

${\displaystyle \{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G}$

nerede ve alt grup öyle ki .${\displaystyle Z_{1}=Z(G)}$${\displaystyle Z_{i+1}}$${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})}$

Bir nilpotentlik grubu için, küçük N şekilde G uzunluklu bir merkezi dizi n olarak adlandırılır Nilpotensi sınıfı arasında G ; ve G'nin n sınıfının nilpotent olduğu söylenir . (Tanım gereği, dizide önemsiz alt grup ve tüm grup dahil olmak üzere farklı alt gruplar varsa uzunluk n'dir .) ${\ Displaystyle n+1}$

Eşdeğer olarak, G'nin sıfır potansiyel sınıfı , alt merkezi serinin veya üst merkezi serinin uzunluğuna eşittir. Bir grup en fazla Nilpotensi sınıf varsa n , o zaman bazen denir nil- n grubu .

Önemsiz grubun, sıfır potansiyel sınıfının benzersiz grubu olduğu ve sıfır potansiyel sınıf  1 gruplarının tam olarak önemsiz olmayan değişmeli gruplar olduğu, yukarıdaki sıfır potansiyel tanımının herhangi bir biçiminden hemen çıkar  .

Örnekler

İyi bilinen bir nilpotent grup olan ayrık Heisenberg grubunun Cayley grafiğinin bir kısmı .

• Yukarıda belirtildiği gibi, her değişmeli grup nilpotenttir.
• Değişken olmayan küçük bir örnek için, değişmeli olmayan en küçük p grubu olan kuaterniyon grubu Q _8'i düşünün . 2. dereceden {1, -1} merkezi vardır ve üst merkezi serisi {1}, {1, -1}, Q ₈ ; yani 2. sınıfın nilpotentidir.
• Direkt ürün iki nilpotentlik grupların nilpotenttir.
• Tüm sonlu p- grupları aslında nilpotenttir ( kanıt ). Sipariş bir grup maksimal sınıfı p ^{, n} bir , n (örneğin, 2 seviyesinde bir grup sınıf 1 nilpotenttir). Maksimal sınıfın 2 grubu, genelleştirilmiş kuaterniyon grupları , dihedral gruplar ve semidihedral gruplardır .
• Ayrıca, her sonlu nilpotent grup, p- gruplarının doğrudan ürünüdür .
• Herhangi bir F alanı üzerindeki üst birim üçgensel n x n matrislerinin çarpımsal grubu , nilpotens sınıfı n - 1'in bir nilpotent grubudur . Özellikle, n = 3 alındığında , değişmeli olmayan sonsuz nilpotent grubun bir örneği olan Heisenberg H grubunu verir. Merkezi seri 1, Z ( H ), H ile sıfır potansiyel sınıfı 2'ye sahiptir .
• Bir F alanı üzerindeki ters çevrilebilir üst üçgen n x n matrislerinin çarpımsal grubu genel olarak sıfır potansiyelli değildir, ancak çözülebilirdir .
• Herhangi bir nonabelian grup G şekilde G / Z ( G ) değişmeli olan merkezi dizisi {1} ile Nilpotensi sınıf 2 sahiptir , Z ( G ), G .

terim açıklaması

Herhangi bir elemanın "eşlenik eylem" olduğu için Nilpotent gruplar yüzden denir nilpotenttir bir nilpotentlik grup, yani nilpotence derece ve bir element , fonksiyon tarafından tanımlanan (burada bir komütatör arasında ve bu anlamda nilpotentlik) olan inci işlevin yinelenmesi önemsizdir: herkes için . ${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili g}$${\displaystyle \operatör adı {ad} _{g}\kolon G\to G}$${\displaystyle \operatöradı {ad} _{g}(x):=[g,x]}$${\displaystyle [g,x]=g^{-1}x^{-1}gx}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle \sol(\operatöradı {ad} _{g}\sağ)^{n}(x)=e}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili G}$

Bu, nilpotent grupların tanımlayıcı bir özelliği değildir: dereceleri (yukarıdaki anlamda) nilpotent olan gruplara - Engel grupları denir ve genel olarak nilpotent olmaları gerekmez. Sonlu bir düzene sahiplerse nilpotent oldukları kanıtlanmıştır ve sonlu olarak oluşturuldukları sürece nilpotent oldukları varsayılır . ${\displaystyle \operatör adı {ad} _{g}}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili n}$

Değişken bir grup, tam olarak, birleşik eylemin yalnızca sıfır güçlü değil, önemsiz olduğu bir gruptur (1-Engel grubu).

Özellikleri

Birbirini izleyen her yana faktör grubu , Z _{i + 1} / Z _i de üst orta seri değişmeli ve seri sonlu her nilpotenttir grup bir çözülebilir grup , nispeten basit bir yapıya sahip.

n sınıfının bir nilpotent grubunun her alt grubu, en fazla n sınıfının nilpotentidir ; ek olarak, eğer f , n sınıfının bir nilpotent grubunun homomorfizmiyse , o zaman f'nin görüntüsü en fazla n sınıfının nilpotent'idir .

Aşağıdaki ifadeler, sonlu gruplar için eşdeğerdir ve sıfır potansiyelin bazı yararlı özelliklerini ortaya çıkarır:

• (a) G bir nilpotent gruptur.
• (b) Eğer lH uygun bir alt-grubu olan G , daha sonra , H uygun olan normal bir alt-grubu arasında K _G ( H ) ( normalleştirici bir H bölgesindeki G ). Buna normalleştirici özelliği denir ve basitçe "normalleştiriciler büyür" olarak ifade edilebilir.
• (c) G'nin her Sylow alt grubu normaldir.
• (d) G ise doğrudan ürünü barındırmayan Sylow alt .
• Eğer (e) d bölme düzeni arasında G , ardından G, bir sahiptir , normal bir alt grubunu düzeninin d .

Kanıt: (a)→(b): | G |. Eğer G değişmeli, daha sonra herhangi H , N _{, G} ( H ) = G . Değilse, Z ( G ) H içinde yer almıyorsa , o zaman h _Z H _Z ^-1 h ^-1 = h' H' h ^-1 = H , yani H · Z ( G ) normalleştiriciler H . Eğer Z ( G ) içinde mevcut H , daha sonra , H / Z ( G ) içinde mevcut G / Z ( G ). Not, G / Z ( G ) bir nilpotent gruptur. Böylece, G / Z ( G ) 'nin H / Z ( G ) ve H / Z ( G ) normalleştiricilerinin bunun uygun bir alt grubu olduğu bir alt grubu vardır. Bu nedenle, bu alt grubu G'deki alt gruba geri çekin ve H'yi normalleştirir . (Bu ispat, p -grupları için olan argümanın aynısıdır – ihtiyacımız olan tek gerçek, G'nin sıfır güçlü olması durumunda G / Z ( G )' nin de öyle olmasıydı – bu nedenle ayrıntılar atlanmıştır.)

(b) → (c) Let p ₁ , s ₂ , ..., p _s siparişini bölünmesi farklı asal olacak ve izin P _i içinde Syl _{p i} ( G ), 1≤ i ≤ s . Let P = P _i bazıları için i ve izin N = N _G ( P ). Yana p normal bir alt-grubu olan N , P karakteristik olan N . Yana P karakter K ve K normal bir alt-grubu olan K _G ( K ), bunu elde p normal bir alt-grubu olan K _G ( K ). Bu demektir ki , N _G ( K ) bir alt grubudur , N ve dolayısıyla K _G ( K ) = N . (b) ile bu nedenle (c)'yi veren N = G'ye sahip olmalıyız .

(c) → (d): Let p ₁ , s ₂ , ..., p _s siparişini bölünmesi farklı asal olacak ve izin P _i içinde Syl _{p i} ( G ), 1≤ i ≤ s . Herhangi bir t , 1≤ t ≤ s için P ₁ P ₂ ... P _t'nin P ₁ × P ₂ ×...× P _t ile eşbiçimli olduğunu tümevarımsal olarak gösteriyoruz . Öncelikle her P _i'nin G'de normal olduğuna dikkat edin , bu nedenle P ₁ P ₂ ... P _t , G'nin bir alt grubudur . Let , H olduğu ürün P ₁ P ₂ ... P _{, t-1} ve izin K = P _t veriş ile, H İsomeriktir için p ₁ x P ₂ x ... x P _{, t-1} . Özellikle,| H |=| P ₁ | · | P ₂ |·...·| P _t-1 |. beri | K |=| P _t |, H ve K mertebeleri nispeten asaldır. Lagrange Teoremi, H ve K'nin kesişiminin 1'e eşit olduğunu ima eder. Tanım olarak, P ₁ P ₂ ... P _t = HK , dolayısıyla HK , H × K ile izomorfiktir , bu da P ₁ × P ₂ ×...'e eşittir . x P _t . Bu indüksiyonu tamamlar. Şimdi (d)'yi elde etmek için t = s alın .

(d)→(e): p ^k düzeyindeki bir P-grubunun , tüm 1≤ m ≤ k için normal p ^m düzeyinde bir alt grubuna sahip olduğuna dikkat edin . Yana G kendi Sylow alt doğrudan bir üründür ve normallik grupların direkt bir ürün üzerine korunmaktadır, G, sırası normal bir alt grubu olan d her bölen için d | arasında G |.

(e)→(a): Herhangi bir asal p bölümü için | G |, Sylow p -alt grubu normaldir. Böylece (c)'yi uygulayabiliriz (çünkü (c)→(e)'yi zaten ispatladık).

Açıklama (d) sonsuz gruplara uzatılabilir: eğer G bir nilpotentlik grubu, daha sonra, her Sylow alt grubudur G _s arasında G normaldir ve bu Sylow alt doğrudan ürünü sonlu düzenin tüm elemanların alt grubudur G (bakınız burulma alt grubu ).

Nilpotent grupların birçok özelliği hipersantral gruplar tarafından paylaşılır .

Notlar

Referanslar

• Bechtell, Homer (1971). Gruplar Teorisi . Addison-Wesley .
• Von Haeseler, Friedrich (2002). Otomatik Sıralar . Matematikte De Gruyter Açıklamaları. 36 . Berlin: Walter de Gruyter . ISBN'si 3-11-015629-6.
• Hungerford, Thomas W. (1974). cebir . Springer-Verlag. ISBN'si 0-387-90518-9.
• Isaacs, I. Martin (2008). Sonlu Grup Teorisi . Amerikan Matematik Derneği . ISBN'si 0-8218-4344-3.
• Palmer, Theodore W. (1994). Banach Cebirleri ve *-cebirlerinin Genel Teorisi . Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 0-521-36638-0.
• Stammbach, Urs (1973). Grup Teorisinde Homoloji . Matematik Ders Notları. 359 . Springer-Verlag. gözden geçirmek
• Suprunenko, DA (1976). Matris Grupları . Providence, Rhode Island: Amerikan Matematik Derneği . ISBN'si 0-8218-1341-2.
• Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Grup Teorisinde Konular . Springer Lisans Matematik Serisi. Springer. ISBN'si 1-85233-235-2.
• Zassenhaus, Hans (1999). Gruplar Teorisi . New York: Dover Yayınları . ISBN'si 0-486-40922-8.