Yansıma (matematik) - Reflection (mathematics)

Bir eksenden (kırmızı nesneden yeşile) bir yansıma ve ardından birinciye paralel ikinci bir eksen boyunca bir yansıma (yeşilden maviye), bir öteleme olan toplam bir hareketle sonuçlanır - iki katına eşit bir miktarda iki eksen arasındaki mesafe.

Gelen matematik , bir yansıma (aynı zamanda yazıldığından yansımanın ) a, eşleme bir mesafede Öklid alan bir olan kendine izometri bir ile hiper bir dizi olarak sabit nokta ; bu kümeye yansımanın ekseni (2. boyutta) veya düzlemi (3. boyutta ) denir . Bir şeklin yansıması ile görüntüsü , yansıma eksenindeki veya düzlemindeki ayna görüntüsüdür . Örneğin küçük Latin harfli bir ayna görüntüsü p dikey eksene göre bir yansıma için nasıl görüneceğini q . Yatay bir eksende yansıma yoluyla görüntüsü b'ye benzeyecektir . Yansıma bir evrimdir : arka arkaya iki kez uygulandığında, her nokta orijinal konumuna geri döner ve her geometrik nesne orijinal durumuna geri yüklenir.

Terimi, yansıtma , bazen, kendisi için bir Öklid alanı, envolüsyonlar olan olmayan yani kimlik izometrileri gelen eşlemeler daha büyük bir sınıf için kullanılır. Bu tür izometriler, bir afin altuzay olan , ancak muhtemelen bir hiperdüzlemden daha küçük olan bir dizi sabit noktaya ("ayna") sahiptir . Örneğin , bir noktadan yansıma , sadece tek bir sabit noktaya sahip kapsayıcı bir izometridir; altındaki p harfinin görüntüsü d gibi görünür . Bu işlem aynı zamanda merkezi ters çevirme olarak da bilinir ( Coxeter 1969 , §7.2) ve Öklid uzayı simetrik bir uzay olarak sergiler . Bir Öklid vektör uzayında , başlangıç ​​noktasında bulunan noktadaki yansıma, vektör olumsuzlamasıyla aynıdır. Diğer örnekler, üç boyutlu uzayda bir çizgideki yansımaları içerir. Bununla birlikte, tipik olarak, "yansıma" teriminin niteliksiz kullanımı, bir hiper düzlemdeki yansıma anlamına gelir .

Bir yansımadan geçtikten sonra değişmeyen bir figürün yansıma simetrisine sahip olduğu söylenir .

Bazı matematikçiler " çevirme " kelimesini "yansıma" ile eşanlamlı olarak kullanırlar .

İnşaat

Nokta S noktası yansımasıdır P hattı içinden AB .

Bir düzlemde (veya sırasıyla 3 boyutlu) bir geometride, bir noktanın yansımasını bulmak için , noktadan yansıma için kullanılan çizgiye (düzleme) bir dik bırakın ve diğer tarafta da aynı mesafeyi uzatın. Bir şeklin yansımasını bulmak için şekildeki her noktayı yansıtın.

Pusula ve cetvel kullanarak P noktasını AB çizgisi boyunca yansıtmak için aşağıdaki şekilde hareket edin (şekle bakın):

  • Adım 1 (kırmızı): AB doğrusu üzerinde P'den eşit uzaklıkta olacak A ′ ve B ′ noktalarını oluşturmak için merkezi P ve bazı sabit yarıçapları r olan bir çember oluşturun .
  • Adım 2 (yeşil): yarıçapı r olan A ' ve B' merkezlerinde daireler oluşturun . P ve Q , bu iki dairenin kesişme noktaları olacaktır.

Nokta S o zaman nokta, bir yansımasıdır P hattı boyunca AB .

Özellikleri

Bir eksen boyunca bir yansıma ve ardından birinciye paralel olmayan bir ikinci eksendeki bir yansıma , eksenler arasındaki açının iki katı bir açı ile eksenlerin kesişme noktası etrafında bir dönüş olan toplam bir hareketle sonuçlanır .

Matris bir yansıması için ortogonal olan belirleyici 1 ve özdeğerler -1, 1, 1, ..., iki tür matrislerin 1. Ürün, bir dönme gösteren bir ortogonal bir matristir. Her dönüş , başlangıç ​​noktası boyunca hiper düzlemlerde çift sayıda yansımanın yansımasının sonucudur ve her uygunsuz dönüş , tek bir sayıda yansımanın sonucudur. Böylece yansımalar ortogonal grubu oluşturur ve bu sonuç Cartan-Dieudonné teoremi olarak bilinir .

Benzer şekilde, Öklid uzayının tüm izometrilerinden oluşan Öklid grubu , afin hiper düzlemlerdeki yansımalar tarafından üretilir. Genel olarak, afin hiper düzlemlerdeki yansımalar tarafından oluşturulan bir grup , bir yansıma grubu olarak bilinir . Sonlu gruplar , bu şekilde üretilen örnekleridir Coxeter grupları .

Düzlemdeki bir çizgi boyunca yansıma

İki boyutlu orijinden geçen bir doğrunun yansıması aşağıdaki formülle açıklanabilir.

burada vektör yansıtılmakta belirtir; yansıma gerçekleştirildiği boyunca doğrultusunda herhangi bir vektör, ve belirtmektedir nokta ürün arasında olan . Yukarıdaki formülün şu şekilde de yazılabileceğini unutmayın:

bir yansıması söyleyerek boyunca 2 katına eşit olan çıkıntı bir ilgili eksi vektör . Bir doğrudaki yansımaların öz değerleri 1 ve −1'dir.

N boyutlu bir alt düzlemden yansıma

Bir vektör verilen içinde Öklid alan , yansıma için, formül hiper başlangıç noktasından, ortogonal için , ile verilmektedir

burada belirtmektedir nokta ürün arasında olan . Yukarıdaki denklemdeki ikinci terimin , üzerine vektör projeksiyonunun sadece iki katı olduğuna dikkat edin . Bunu kolayca kontrol edebilirsiniz

  • Ref a ( v ) = - v , eğer paralel ise ve
  • Referans bir ( v ) = v , eğer dik olan bir .

Geometrik ürünü kullanarak formül şu şekildedir:

Bu yansımalar, kaynağı sabitleyen Öklid uzayının izometrileri olduğundan, ortogonal matrislerle temsil edilebilirler . Yukarıdaki yansımaya karşılık gelen ortogonal matris, matristir

burada belirtmektedir kimlik matrisi ve bir devrik a. Girişleri

burada δ ij olan Kronecker'in ö .

Başlangıçtaki değil , afin hiper düzlemdeki yansımanın formülü şöyledir:

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar