Yansıma (matematik) - Reflection (mathematics)
Gelen matematik , bir yansıma (aynı zamanda yazıldığından yansımanın ) a, eşleme bir mesafede Öklid alan bir olan kendine izometri bir ile hiper bir dizi olarak sabit nokta ; bu kümeye yansımanın ekseni (2. boyutta) veya düzlemi (3. boyutta ) denir . Bir şeklin yansıması ile görüntüsü , yansıma eksenindeki veya düzlemindeki ayna görüntüsüdür . Örneğin küçük Latin harfli bir ayna görüntüsü p dikey eksene göre bir yansıma için nasıl görüneceğini q . Yatay bir eksende yansıma yoluyla görüntüsü b'ye benzeyecektir . Yansıma bir evrimdir : arka arkaya iki kez uygulandığında, her nokta orijinal konumuna geri döner ve her geometrik nesne orijinal durumuna geri yüklenir.
Terimi, yansıtma , bazen, kendisi için bir Öklid alanı, envolüsyonlar olan olmayan yani kimlik izometrileri gelen eşlemeler daha büyük bir sınıf için kullanılır. Bu tür izometriler, bir afin altuzay olan , ancak muhtemelen bir hiperdüzlemden daha küçük olan bir dizi sabit noktaya ("ayna") sahiptir . Örneğin , bir noktadan yansıma , sadece tek bir sabit noktaya sahip kapsayıcı bir izometridir; altındaki p harfinin görüntüsü d gibi görünür . Bu işlem aynı zamanda merkezi ters çevirme olarak da bilinir ( Coxeter 1969 , §7.2) ve Öklid uzayı simetrik bir uzay olarak sergiler . Bir Öklid vektör uzayında , başlangıç noktasında bulunan noktadaki yansıma, vektör olumsuzlamasıyla aynıdır. Diğer örnekler, üç boyutlu uzayda bir çizgideki yansımaları içerir. Bununla birlikte, tipik olarak, "yansıma" teriminin niteliksiz kullanımı, bir hiper düzlemdeki yansıma anlamına gelir .
Bir yansımadan geçtikten sonra değişmeyen bir figürün yansıma simetrisine sahip olduğu söylenir .
Bazı matematikçiler " çevirme " kelimesini "yansıma" ile eşanlamlı olarak kullanırlar .
İnşaat
Bir düzlemde (veya sırasıyla 3 boyutlu) bir geometride, bir noktanın yansımasını bulmak için , noktadan yansıma için kullanılan çizgiye (düzleme) bir dik bırakın ve diğer tarafta da aynı mesafeyi uzatın. Bir şeklin yansımasını bulmak için şekildeki her noktayı yansıtın.
Pusula ve cetvel kullanarak P noktasını AB çizgisi boyunca yansıtmak için aşağıdaki şekilde hareket edin (şekle bakın):
- Adım 1 (kırmızı): AB doğrusu üzerinde P'den eşit uzaklıkta olacak A ′ ve B ′ noktalarını oluşturmak için merkezi P ve bazı sabit yarıçapları r olan bir çember oluşturun .
- Adım 2 (yeşil): yarıçapı r olan A ' ve B' merkezlerinde daireler oluşturun . P ve Q , bu iki dairenin kesişme noktaları olacaktır.
Nokta S o zaman nokta, bir yansımasıdır P hattı boyunca AB .
Özellikleri
Matris bir yansıması için ortogonal olan belirleyici 1 ve özdeğerler -1, 1, 1, ..., iki tür matrislerin 1. Ürün, bir dönme gösteren bir ortogonal bir matristir. Her dönüş , başlangıç noktası boyunca hiper düzlemlerde çift sayıda yansımanın yansımasının sonucudur ve her uygunsuz dönüş , tek bir sayıda yansımanın sonucudur. Böylece yansımalar ortogonal grubu oluşturur ve bu sonuç Cartan-Dieudonné teoremi olarak bilinir .
Benzer şekilde, Öklid uzayının tüm izometrilerinden oluşan Öklid grubu , afin hiper düzlemlerdeki yansımalar tarafından üretilir. Genel olarak, afin hiper düzlemlerdeki yansımalar tarafından oluşturulan bir grup , bir yansıma grubu olarak bilinir . Sonlu gruplar , bu şekilde üretilen örnekleridir Coxeter grupları .
Düzlemdeki bir çizgi boyunca yansıma
İki boyutlu orijinden geçen bir doğrunun yansıması aşağıdaki formülle açıklanabilir.
burada vektör yansıtılmakta belirtir; yansıma gerçekleştirildiği boyunca doğrultusunda herhangi bir vektör, ve belirtmektedir nokta ürün arasında olan . Yukarıdaki formülün şu şekilde de yazılabileceğini unutmayın:
bir yansıması söyleyerek boyunca 2 katına eşit olan çıkıntı bir ilgili eksi vektör . Bir doğrudaki yansımaların öz değerleri 1 ve −1'dir.
N boyutlu bir alt düzlemden yansıma
Bir vektör verilen içinde Öklid alan , yansıma için, formül hiper başlangıç noktasından, ortogonal için , ile verilmektedir
burada belirtmektedir nokta ürün arasında olan . Yukarıdaki denklemdeki ikinci terimin , üzerine vektör projeksiyonunun sadece iki katı olduğuna dikkat edin . Bunu kolayca kontrol edebilirsiniz
- Ref a ( v ) = - v , eğer paralel ise ve
- Referans bir ( v ) = v , eğer dik olan bir .
Geometrik ürünü kullanarak formül şu şekildedir:
Bu yansımalar, kaynağı sabitleyen Öklid uzayının izometrileri olduğundan, ortogonal matrislerle temsil edilebilirler . Yukarıdaki yansımaya karşılık gelen ortogonal matris, matristir
burada belirtmektedir kimlik matrisi ve bir devrik a. Girişleri
burada δ ij olan Kronecker'in ö .
Başlangıçtaki değil , afin hiper düzlemdeki yansımanın formülü şöyledir:
Ayrıca bakınız
- Koordinat rotasyonları ve yansımaları
- Hane halkı dönüşümü
- Ters geometri
- Nokta yansıması
- Dönme düzlemi
- Yansıma haritalama
- Yansıma grubu
- Speküler yansıma
Notlar
Referanslar
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Geometriye Giriş (2. baskı), New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0 , MR 0123930
- Popov, VL (2001) [1994], "Yansıma" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
- Weisstein, Eric W. "Yansıma" . MathWorld .
Dış bağlantılar
- Hattı Yansıma de kesme-düğüm
- 2B Yansımayı Anlama ve 3B Yansımayı Anlama , Roger Germundsson, Wolfram Gösteriler Projesi .