Sonlu basit grupların sınıflandırılması - Classification of finite simple groups

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar alt grup Normal alt grup bölüm grubu (Yarı-) direkt ürün Grup homomorfizmaları çekirdek resim doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeyen dihedral nilpotent çözülebilir eylem Grup teorisi sözlüğü grup teorisi konularının listesi
sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel dönüşümlü yalan türü sporadik Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup S n Klein dört grup V Dihedral grup D n Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dic n
ayrık gruplar kafesler Tamsayılar ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ aritmetik grubu kafes hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları solenoid Daire Genel doğrusal GL( n ) Özel doğrusal SL( n ) Ortogonal O( n ) Öklid E( n ) Özel ortogonal SO( n ) Üniter U( n ) Özel üniter SU( n ) Simplektik Sp( n ) G, 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz poincare konformal difeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O(∞) SU(∞) Sp(∞)
cebirsel gruplar Doğrusal cebir grubu indirgeyici grup değişmeli çeşit eliptik eğri
v T e

Gelen matematik , sonlu sınıflandırılması basit gruplar her belirten bir teoremi sonlu basit bir grup ya da bir siklik ya da alternatif , ya da adı geniş bir sonsuz sınıfa ait Yalan tip gruplarını , ya da başka yirmi altı biridir veya sporadik olarak adlandırılan yirmi yedi istisna . Grup teorisi , saf ve uygulamalı matematiğin birçok alanının merkezinde yer alır ve sınıflandırma teoremi, insanlığın en büyük entelektüel başarılarından biri olarak anılır. Kanıt, çoğunlukla 1955 ve 2004 yılları arasında yayınlanan yaklaşık 100 yazar tarafından yazılmış birkaç yüz dergi makalesinde on binlerce sayfadan oluşuyor.

Basit gruplar, tüm sonlu grupların temel yapı taşları olarak görülebilir; bu , asal sayıların doğal sayıların temel yapı taşları olma şeklini anımsatır . Jordan-Hölder teoremi sonlu gruplar hakkında bu gerçeği dile daha kesin bir yoldur. Bununla birlikte, tamsayı çarpanlarına ayırmadan önemli bir fark , aynı bileşim serisine sahip birçok izomorfik olmayan grup olabileceğinden veya başka bir deyişle, genişleme probleminin sahip olmadığı bir çok izomorfik olmayan grup olabileceğinden, bu tür "yapı taşlarının" mutlaka benzersiz bir grup belirlememesidir. benzersiz bir çözüm.

Gorenstein (d.1992), Lyons ve Solomon yavaş yavaş ispatın basitleştirilmiş ve gözden geçirilmiş bir versiyonunu yayınlıyorlar.

Sınıflandırma teoreminin ifadesi

Sınıflandırma teoreminin matematiğin birçok dalında uygulamaları vardır, çünkü sonlu grupların yapısı (ve diğer matematiksel nesneler üzerindeki etkileri) hakkındaki sorular bazen sonlu basit gruplar hakkındaki sorulara indirgenebilir. Sınıflandırma teoremi sayesinde, bu tür sorular bazen basit grupların her bir ailesini ve her bir sporadik grubu kontrol ederek cevaplanabilir.

Daniel Gorenstein 1983'te sonlu basit grupların hepsinin sınıflandırıldığını duyurdu, ancak bu, quasithin gruplarının sınıflandırılmasının kanıtı hakkında yanlış bilgilendirildiği için erkendi . Aschbacher ve Smith, kayıp quasithin vakası için 1221 sayfalık bir kanıt yayınladıktan sonra , sınıflandırmanın tamamlanmış kanıtı Aschbacher (2004) tarafından açıklandı .

Sınıflandırma teoreminin ispatına genel bakış

Gorenstein ( 1982 , 1983 ) , ispatın düşük dereceli ve tuhaf karakteristik kısmını özetleyen iki cilt yazdı ve Michael Aschbacher , Richard Lyons ve Stephen D. Smith ve diğerleri. ( 2011 ) kalan karakteristik 2 vakayı kapsayan bir 3. cilt yazdı. Kanıt aşağıdaki gibi birkaç ana parçaya bölünebilir:

Küçük 2 sıralı gruplar

Düşük 2-dereceli basit gruplar , çoğunlukla, beş değişken ve yedi karakteristik 2 tip ve dokuz sporadik grupla birlikte, tek karakteristik alanlar üzerindeki Lie tipi küçük rütbe gruplarıdır.

Küçük 2 sıralı basit gruplar şunları içerir:

• Hepsi tek düzenin diğer kelimeler gruplarında, 2-rank 0 oluşan gruplar, çözülebilir tarafından Feit-Thompson teoremi .
• 2-dereceli 1. Gruplar Sylow 2-alt grupları ya döngüseldir, bu transfer haritası kullanılarak kullanımı kolaydır ya da Brauer-Suzuki teoremi ile ele alınan genelleştirilmiş kuaterniyondur : özellikle 2'lik basit gruplar yoktur. ikinci dereceden döngüsel grup hariç 1. sıra.
• 2-sıralı 2. Gruplar Alperin, Sylow alt grubunun dihedral, quasidihedral, wreathed veya U _3'ün bir Sylow 2-alt grubu olması gerektiğini gösterdi (4). İlk durum ile yapıldı Gorenstein-Walter teoremi sadece basit gruplar izomorf olduğunu göstermiştir L ₂ ( q için) q tek veya A ₇ , ikinci ve üçüncü olgu tarafından yapıldı Alperin-Brauer-Gorenstein teoremi ima tek basit grupların q tek veya M ₁₁ için L ₃ ( q ) veya U ₃ ( q ) ile izomorfik olduğu ve son durum, U ₃ (4)'ün tek basit olasılık olduğunu gösteren Lyons tarafından yapılmıştır .
• Gorenstein-Harada teoremi tarafından sınıflandırılan, en fazla 4 dereceli kesitsel gruplar .

Küçük 2-dereceli grupların, özellikle en fazla 2'nci sıraların sınıflandırılması, sınıflandırmanın başka bir yerinde neredeyse hiçbir zaman doğrudan kullanılmayan sıradan ve modüler karakter teorisini yoğun bir şekilde kullanır.

Küçük 2 dereceli olmayan tüm gruplar iki ana sınıfa ayrılabilir: bileşen tipi gruplar ve karakteristik 2 tip gruplar. Bunun nedeni, eğer bir grup en az 5 kesit 2-derecesine sahipse, o zaman MacWilliams, Sylow 2-alt gruplarının bağlı olduğunu göstermiştir ve denge teoremi , bağlı Sylow 2-alt gruplarına sahip herhangi bir basit grubun ya bileşen tipinde ya da karakteristik 2 tipinde olduğunu ima eder. . (Düşük 2 seviyeli gruplar için bunun kanıtı bozulur, çünkü sinyalleştirici functor teoremi gibi teoremler yalnızca en az 3 sıralı temel değişmeli alt grupları olan gruplar için çalışır.)

Bileşen türü grupları

Bir involüsyonun bazı merkezileştiricisi C için , C / O ( C ) bir bileşene sahipse (burada O ( C ), tek sıralı maksimal normal alt grup olan C'nin çekirdeğidir) bir grubun bileşen tipi olduğu söylenir . Bunlar, az ya da çok, bazı sporadik gruplarla birlikte, büyük sıralı ve alternatif grupların Lie tipi tuhaf karakteristiği gruplarıdır. Bu durumda önemli bir adım, bir involüsyonun çekirdeğinin önündeki engeli ortadan kaldırmaktır. Bu gerçekleştirilir B teoremi belirtmektedir, bu her bileşeni, C / O ( Cı ) bir bileşeninin bir resimdir C .

Buradaki fikir, bu grupların, zaten tümevarımla bilindiği varsayılabilen, daha küçük yarı basit bir grup olan bir bileşene sahip bir involüsyonun bir merkezileştiricisine sahip olmalarıdır. Bu yüzden bu grupları sınıflandırmak için bilinen her sonlu basit grubun her merkezi uzantısı alınır ve bir bileşen olarak bununla birlikte bir involüsyonun merkezileştiricisi olan tüm basit gruplar bulunur. Bu, kontrol edilecek oldukça fazla sayıda farklı durum sağlar: sadece 26 sporadik grup ve 16 Lie tipi grup ailesi ve alternatif gruplar değil, aynı zamanda küçük rütbeli veya küçük alanlar üzerindeki grupların çoğu genelden farklı davranır. durum ve ayrı ayrı ele alınması gerekir ve Lie tipi çift ve tek karakteristik grupları da oldukça farklıdır.

Karakteristik 2 tip grupları

Her 2 yerel alt grup Y'nin genelleştirilmiş Uydurma alt grubu F *( Y ) bir 2 grup ise, bir grup karakteristik 2 tipindedir . Adından da anlaşılacağı gibi, bunlar kabaca karakteristik 2'nin alanları üzerindeki Lie tipi gruplardır, artı değişken veya düzensiz veya tek karakteristik olan bir avuç diğerleri. Sınıflandırmaları, küçük ve büyük sıra durumlarına bölünmüştür; burada sıra, önemsiz bir 2-alt grubu normalleştiren tek değişkenli bir alt grubun en büyük sırasıdır; bu, genellikle (ancak her zaman değil) bir Cartan alt cebirinin sırası ile aynıdır. grup, karakteristik 2'deki Lie tipi bir gruptur.

Sıra 1 grupları, Aschbacher tarafından sınıflandırılan ince gruplardır ve sıra 2 olanlar, Aschbacher ve Smith tarafından sınıflandırılan kötü şöhretli quasithin gruplarıdır . Bunlar kabaca, karakteristik 2 alanları üzerindeki Lie tipi sıra 1 veya 2 gruplarına karşılık gelir.

En az 3 olan gruplar, Aschbacher tarafından sıra 3 için ve Gorenstein ve Lyons tarafından en az 4 için kanıtlanan trikotomi teoremi tarafından ayrıca 3 sınıfa ayrılır . Üç sınıf, GF(2) tipi gruplardır (esas olarak Timmesfeld tarafından sınıflandırılır). ), bazı tek asal sayılar için "standart tip" grupları (Gilman–Griess teoremi tarafından sınıflandırılır ve diğerleri tarafından çalışır) ve Aschbacher'ın bir sonucunun basit grupların olmadığını ima ettiği benzersizlik tipi grupları. Genel yüksek dereceli durum, çoğunlukla, en az 3 veya 4 sıradaki karakteristik 2'nin alanları üzerindeki Lie tipi gruplardan oluşur.

Basit grupların varlığı ve benzersizliği

Sınıflandırmanın ana kısmı, her basit grubun bir karakterizasyonunu üretir. Daha sonra her karakterizasyon için basit bir grup olup olmadığını ve benzersiz olduğunu kontrol etmek gerekir. Bu, çok sayıda ayrı sorun verir; örneğin, canavar grubunun varlığının ve benzersizliğinin orijinal kanıtları yaklaşık 200 sayfaydı ve Ree gruplarının Thompson ve Bombieri tarafından tanımlanması , sınıflandırmanın en zor kısımlarından biriydi. Sporadik gruplar için varlık kanıtlarının çoğu ve bazı benzersizlik kanıtları başlangıçta bilgisayar hesaplamalarını kullandı ve çoğu o zamandan beri daha kısa el kanıtlarıyla değiştirildi.

Kanıtın tarihi

Gorenstein'ın programı

1972'de Gorenstein (1979 , Ek), sonlu basit grupların sınıflandırmasını tamamlamak için aşağıdaki 16 adımdan oluşan bir program duyurdu:

1. Düşük 2 sıralı gruplar. Bu, esas olarak, en fazla 2 dereceli kesitli grupları sınıflandıran Gorenstein ve Harada tarafından yapılmıştır. En fazla 2 dereceli vakaların çoğu, Gorenstein programını açıkladığı zaman yapılmıştı.
2. 2 katmanın yarı basitliği. Sorun, basit bir grupta bir involüsyonun merkezileştiricisinin 2 katmanının yarı basit olduğunu kanıtlamaktır.
3. Tek karakteristikte standart form. Eğer bir grup, Lie tipi tek karakterli bir grup olan 2 bileşenli bir involüsyona sahipse, amaç, onun "standart formda" bir involüsyon merkezileştiricisine sahip olduğunu göstermektir, yani bir involüsyon merkezileştiricisinin bir bileşene sahip olduğu anlamına gelir. Tek karakteristikte Lie tipi ve ayrıca 2 sıra 1'lik bir merkezleyiciye sahiptir.
4. Tek tip grupların sınıflandırılması. Sorun, bir grubun "standart formda" bir involüsyon merkezileştiricisi varsa, o zaman bunun bir Lie tipi tek karakteristik grubu olduğunu göstermektir. Bu, Aschbacher'in klasik involüsyon teoremi ile çözüldü .
5. Yarı standart form
6. Merkezi involüsyonlar
7. Alternatif grupların sınıflandırılması.
8. Bazı sporadik gruplar
9. İnce gruplar. Basit ince sonlu gruplar , tek asal sayılar p için 2 yerel p -rank en fazla 1 olanlar , 1978'de Aschbacher tarafından sınıflandırıldı.
10. p tek için güçlü bir p gömülü alt grubu olan gruplar
11. Tek asal sayılar için sinyalleştirici işlev yöntemi. Ana problem, çözülemeyen sinyalleştirici işlevler için bir sinyalleştirici işlev teoreminin kanıtlanmasıdır . Bu, 1982'de McBride tarafından çözüldü.
12. Karakteristik p tipi grupları. Bu, Aschbacher tarafından ele alınan, güçlü bir p -gömülü 2-yerel alt grubu olan ve p tekli grupların sorunudur .
13. Quasithin grupları. Bir quasithin grubu olan 2-yerel alt grupları vardır biri s -rank tüm tek asal için en fazla 2 p ve sorun karakteristik 2 Çeşidi küçük olanlar sınıflandırmaktır. Bu, 2004 yılında Aschbacher ve Smith tarafından tamamlandı.
14. Düşük 2 yerel 3 sıralı gruplar. Bu esasen Aschbacher'in e ( G )=3 olan gruplar için trikotomi teoremi ile çözüldü . Ana değişiklik, tek asal sayılar için 2-yerel 3-sıranın yerini 2-yerel p -rank almasıdır.
15. Standart formda 3 elemanlı merkezleyiciler. Bu esasen Trichotomy teoremi tarafından yapıldı .
16. Karakteristik 2 tip basit grupların sınıflandırılması. Bu, Gilman-Griess teoremi tarafından , tek asal sayılar için 3-elemanların p -elemanları ile değiştirildiği şekilde ele alındı .

Kanıtın zaman çizelgesi

Aşağıdaki listedeki öğelerin çoğu Solomon'dan (2001) alınmıştır . Verilen tarih genellikle bir sonucun tam kanıtının yayın tarihidir, bu bazen sonucun kanıtından veya ilk duyurusundan birkaç yıl sonradır, bu nedenle bazı öğeler "yanlış" sırada görünür.

Yayın tarihi
1832	Galois normal alt grupları tanıtır ve A n ( n ≥ 5) ve PSL 2 ( F p ) ( p ≥ 5) basit gruplarını bulur
1854	Cayley soyut grupları tanımlar
1861	Mathieu ilk iki Mathieu grubunu M 11 , M 12 , ilk sporadik basit grupları tanımlar ve M 24'ün varlığını duyurur .
1870	Jordan bazı basit grupları listeler: dönüşümlü ve projektif özel doğrusal gruplar ve basit grupların önemini vurgular.
1872	Sylow, Sylow teoremlerini kanıtlıyor
1873	Mathieu üç tane daha Mathieu grubu M 22 , M 23 , M 24 tanıtıyor .
1892	Hölder, herhangi bir abelian olmayan sonlu basit grubun mertebesinin en az dört (mutlaka farklı olmak zorunda olmayan) asal sayının bir ürünü olması gerektiğini kanıtlar ve sonlu basit grupların bir sınıflandırmasını ister.
1893	Cole, 660'a kadar basit düzen gruplarını sınıflandırır
1896	Frobenius ve Burnside, sonlu grupların karakter teorisi çalışmasına başlar.
1899	Burnside, basit grupları, her evrimin merkezileştiricisi önemsiz olmayan bir temel değişmeli 2-grup olacak şekilde sınıflandırır.
1901	Frobenius, bir Frobenius grubunun bir Frobenius çekirdeğine sahip olduğunu kanıtlar , bu nedenle özellikle basit değildir.
1901	Dickson, klasik grupları keyfi sonlu alanlar üzerinde ve G 2 tipi istisnai grupları tek karakteristikli alanlar üzerinde tanımlar .
1901	Dickson, E 6 tipi istisnai sonlu basit grupları tanıtır .
1904	Burnside, Burnside'ın herhangi bir değişmeli olmayan sonlu basit grubun sırasının en az 3 farklı asal sayı ile bölünebilir olması gerektiği teoremini kanıtlamak için karakter teorisini kullanır .
1905	Dickson , eşit karakteristikli alanlar üzerinde G 2 tipi basit grupları tanıtır.
1911	Burnside, her değişmeli olmayan sonlu basit grubun çift sıralı olduğu varsayımı
1928	Hall , çözülebilir grupların Hall alt gruplarının varlığını kanıtlıyor
1933	Hall, p- grupları çalışmasına başlar.
1935	Brauer modüler karakterler üzerinde çalışmaya başlar .
1936	Zassenhaus, sonlu keskin 3-geçişli permütasyon gruplarını sınıflandırır
1938	Fitting, Fitting alt grubunu tanıtır ve Fitting'in çözülebilir gruplar için Fitting alt grubunun kendi merkezleyicisini içerdiği teoremini kanıtlar.
1942	Brauer, birinci kuvvete bir asal ile bölünebilen bir grubun modüler karakterlerini tanımlar.
1954	Brauer, basit grupları bir involüsyonun merkezileştiricisi olarak GL 2 ( F q ) ile sınıflandırır .
1955	Brauer-Fowler teoremi involüsyonunun verilen merkezleyeni ile basit sonlu grupların sayısı involutions arasında merkezlendirmesi kullanılarak sınıflandırmaya bir saldırı düşündüren, sonlu olduğunu ima eder.
1955	Chevalley Chevalley gruplarını tanıtır, özellikle F 4 , E 7 ve E 8 tiplerinin istisnai basit gruplarını tanıtır .
1956	Hall-Higman teoremi
1957	Suzuki, tek sıralı tüm sonlu basit CA gruplarının döngüsel olduğunu gösterir.
1958	Brauer-Suzuki-Duvar teoremi yansıtmalı özel lineer rank 1 gruplarını ve sınıflandırıyor basit karakterize CA grupları .
1959	Steinberg , 3 D 4 ve 2 E 6 tiplerinden bazı yeni sonlu basit gruplar vererek Steinberg gruplarını tanıtır (ikincisi, Göğüsler tarafından yaklaşık aynı zamanda bağımsız olarak bulunmuştur).
1959	Brauer Suzuki teoremi bunların hiçbiri basit olduğu, özellikle genelleştirilmiş Dördey Sylow 2-alt grupları gösterir gruplar hakkında.
1960	Thompson, sabit noktadan bağımsız asal mertebeden otomorfizme sahip bir grubun nilpotent olduğunu kanıtlıyor.
1960	Feit, Marshall Hall ve Thompson , tek sıralı tüm sonlu basit CN gruplarının döngüsel olduğunu gösteriyor.
1960	Suzuki, Suzuki gruplarını 2 B 2 tipleriyle tanıtır .
1961	Ree , 2 F 4 ve 2 G 2 tipleriyle Ree gruplarını tanıtır .
1963	Feit ve Thompson tek sıra teoremini ispatlıyor .
1964	Tits, Lie tipi gruplar için BN çiftlerini tanıtır ve Tits grubunu bulur
1965	Gorenstein-Walter teoremi bir dihedral Sylow 2-alt grubu ile sınıflandırır grupları.
1966	Glauberman Z* teoremini kanıtlıyor
1966	Janko , yaklaşık bir asırdır ilk yeni sporadik grup olan Janko grubu J1'i tanıtıyor .
1968	Glauberman ZJ teoremini kanıtlıyor
1968	Higman ve Sims, Higman-Sims grubunu tanıtıyor
1968	Conway , Conway gruplarını tanıtıyor
1969	Walter'ın teoremi, grupları değişmeyen Sylow 2 alt gruplarıyla sınıflandırır
1969	Suzuki sporadik grubu , Janko grubu J2 , Janko grubu J3 , McLaughlin grubu ve Held grubu tanıtımı .
1969	Gorenstein , Thompson'ın fikirlerine dayalı sinyalleştirici işlevler sunar .
1970	MacWilliams, sıra 3'ün normal değişmeli alt grubu olmayan 2 grubun en fazla 4 kesitli 2 sıraya sahip olduğunu gösterir (Sylow alt gruplarının ikinci koşulu sağlayan basit grupları daha sonra Gorenstein ve Harada tarafından sınıflandırılmıştır.)
1970	Bender, genelleştirilmiş Fitting alt grubunu tanıttı
1970	Alperin-Brauer-Gorenstein teoremi en fazla 2 2-rank basit gruplarının sınıflandırılmasını tamamlayan yarı-V-açısı veya Sylow wreathed 2-alt grubuna sınıflandırır gruplan,
1971	Fischer, üç Fischer grubunu tanıtıyor
1971	Thompson ikinci dereceden çiftleri sınıflandırır
1971	Bender, grubu güçlü bir şekilde gömülü bir alt grupla sınıflandırır
1972	Gorenstein, sonlu basit grupları sınıflandırmak için 16 adımlı bir program önermektedir; son sınıflandırma onun ana hatlarını oldukça yakından takip ediyor.
1972	Lyons, Lyons grubunu tanıtıyor
1973	Rudvalis, Rudvalis grubunu tanıtıyor
1973	Fischer keşfeder bebek canavar grubu , Fischer ve Griess kullanımı keşfetmek için (yayınlanmamış), canavar grubu da üzere Thompson yol açar, Thompson, sporadik grubu ve Norton Harada-Norton grubu (aynı zamanda Harada göre farklı bir şekilde bulunur).
1974	Thompson , tüm yerel alt grupları çözülebilir olan N-gruplarını sınıflandırır .
1974	Gorenstein Harada teoremi bileşen tipte olanlar ve karakteristik 2 tipte olanlar Kalan sonlu basit grupları bölen, 4 en kesit 2-değerde basit gruplar sınıflandırır.
1974	Göğüsler, BN çiftleri en az 3 olan grupların Lie tipi gruplar olduğunu gösterir.
1974	Aschbacher, grupları uygun 2 oluşturulmuş bir çekirdekle sınıflandırır
1975	Gorenstein ve Walter L dengesi teoremini kanıtlıyor
1976	Glauberman, çözülebilir sinyalleştirici functor teoremini kanıtlıyor
1976	Aschbacher , bazı koşulları sağlayan tek tipli grupların standart biçimde bir bileşene sahip olduğunu kabaca göstererek bileşen teoremini kanıtlar . Standart form bileşenine sahip gruplar, birçok yazar tarafından geniş bir makale koleksiyonunda sınıflandırıldı.
1976	O'Nan, O'Nan grubunu tanıtıyor
1976	Janko , keşfedilen son sporadik grup olan Janko grubu J4'ü tanıttı
1977	Aschbacher, klasik involüsyon teoreminde , Lie tipi tek karakteristikli grupları karakterize eder . Bir anlamda basit grupların "çoğu"nu ele alan bu teoremden sonra, genellikle sınıflandırmanın sonunun yakın olduğu hissedildi.
1978	Timmesfeld kanıtlar O 2 extraspecial teoremi, sınıflandırma kırılma GF (2) tipi grupları birkaç küçük sorunlar.
1978	Aschbacher , çoğunlukla Lie tipinin 1. sıra grupları olan ince sonlu grupları , hatta karakteristik alanlar üzerinde sınıflandırır .
1981	Bombieri , sınıflandırmanın en zor adımlarından biri olan Ree gruplarının karakterizasyonu üzerine Thompson'ın çalışmasını tamamlamak için eleme teorisini kullanıyor .
1982	McBride, tüm sonlu gruplar için sinyalleştirici functor teoremini kanıtlar .
1982	Griess canavar grubunu elle oluşturuyor
1983	Gilman-Griess teoremi karakteristik 2 Çeşidi ve standart bileşenlerle rank en az 4 sınıflandırır grupları kısma bölünen teoremi üç durumda bir.
1983	Aschbacher, hiçbir sonlu grubun , karakteristik 2 tipi gruplar için trikotomi teoremi tarafından verilen üç durumdan biri olan benzersizlik durumu hipotezini karşılamadığını kanıtlar .
1983	Gorenstein ve Lyons , karakteristik 2 tip ve en az 4 sıralı gruplar için trikotomi teoremini kanıtlarken Aschbacher sıra 3 durumunu yapar. Bu, bu grupları 3 alt duruma ayırır: benzersizlik durumu, GF(2) tipi gruplar ve gruplar standart bir bileşen ile.
1983	Gorenstein, quasithin vakasının kanıtı eksik olduğu için, biraz erken, sınıflandırma kanıtının tamamlandığını duyurdu.
1994	Gorenstein, Lyons ve Solomon gözden geçirilmiş sınıflandırmayı yayınlamaya başladı
2004	Aschbacher ve Smith, quasithin grupları (çoğunlukla Lie tipinde en fazla 2 üzerinde hatta karakteristik alanlar olan gruplardır) üzerine çalışmalarını yayınlayarak , o sırada bilinen sınıflandırmadaki son boşluğu doldururlar.
2008	Harada ve Solomon, grupları Mathieu grubu M22'nin kapsamı olan standart bir bileşenle tanımlayarak sınıflandırmadaki küçük bir boşluğu doldurur; bu durum Schur çarpanının hesaplanmasındaki bir hata nedeniyle sınıflandırmanın ispatından yanlışlıkla çıkarılmıştır. M22.
2012	Gonthier ve işbirlikçileri , Coq ispat yardımcısını kullanarak Feit–Thompson teoreminin bilgisayar kontrollü bir versiyonunu duyurdular .

İkinci nesil sınıflandırma

Teoremin ispatı, 1985 civarında olduğu gibi, birinci nesil olarak adlandırılabilir . Birinci nesil ispatın aşırı uzunluğu nedeniyle, ikinci nesil sınıflandırma ispatı olarak adlandırılan daha basit bir ispat bulmak için çok çaba harcanmıştır . "Revizyonizm" olarak adlandırılan bu çaba, ilk olarak Daniel Gorenstein tarafından yönetildi .

2021 itibariyle, ikinci nesil ispatın dokuz cildi yayınlandı (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021). 2012'de Solomon, projenin 5 cilde daha ihtiyaç duyacağını tahmin etti, ancak ilerlemenin yavaş olduğunu söyledi. Yeni kanıtın sonunda yaklaşık 5.000 sayfayı dolduracağı tahmin ediliyor. (Bu uzunluk, kısmen ikinci nesil kanıtın daha rahat bir tarzda yazılmasından kaynaklanmaktadır.) Ancak, GLS serisinin 9. cildinin yayınlanmasıyla ve Aschbacher-Smith'in katkısı da dahil olmak üzere, bu tahmine daha önce ulaşılmıştı. ciltler hala hazırlık aşamasındadır (başlangıçta cilt 9 için tasarlananların geri kalanı artı öngörülen 10 ve 11 ciltler). Aschbacher ve Smith, quasithin durumuna ayrılmış iki ciltlerini, bu ciltler ikinci nesil kanıtın bir parçası olabilecek şekilde yazdılar.

Gorenstein ve işbirlikçileri, neden daha basit bir kanıtın mümkün olduğuna dair birkaç neden verdiler.

• En önemli şey, teoremin doğru, son ifadesinin artık biliniyor olmasıdır. Sonlu basit olduğunu bildiğimiz grup türleri için yeterli olduğu bilinen daha basit teknikler uygulanabilir. Buna karşılık, birinci nesil ispat üzerinde çalışanlar kaç tane sporadik grup olduğunu bilmiyorlardı ve aslında bazı sporadik gruplar (örneğin Janko grupları ) sınıflandırma teoreminin diğer durumlarını ispatlarken keşfedildi. Sonuç olarak, teoremin birçok parçası aşırı genel teknikler kullanılarak kanıtlandı.
• Sonuç bilinmediği için, birinci nesil ispat, önemli özel durumlarla ilgilenen birçok bağımsız teoremden oluşur. Bu teoremleri kanıtlama işinin çoğu, çok sayıda özel durumun analizine ayrılmıştı. Daha büyük, düzenlenmiş bir kanıt göz önüne alındığında, bu özel durumların birçoğunun ele alınması, en güçlü varsayımlar uygulanıncaya kadar ertelenebilir. Bu revize edilmiş strateji kapsamında ödenen bedel, bu birinci nesil teoremlerin artık nispeten kısa ispatlara sahip olmaması, bunun yerine tam sınıflandırmaya dayanmasıdır.
• Birçok birinci nesil teorem örtüşür ve bu nedenle olası durumları verimsiz yollarla böler. Sonuç olarak, sonlu basit grupların aileleri ve alt aileleri birçok kez tanımlandı. Gözden geçirilmiş kanıt, davaların farklı bir alt bölümüne dayanarak bu fazlalıkları ortadan kaldırır.
• Sonlu grup teorisyenleri bu tür alıştırmalarda daha fazla deneyime sahiptir ve ellerinde yeni teknikler vardır.

Aschbacher (2004) , Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth ve diğer birkaç kişinin sınıflandırma problemi üzerine çalışmasını üçüncü nesil bir program olarak adlandırmıştır . Bunun bir amacı, amalgam yöntemini kullanarak karakteristik 2'deki tüm grupları tek tip olarak ele almaktır.

Kanıt neden bu kadar uzun?

Gorenstein, kompakt Lie gruplarının sınıflandırmasına benzer bir sınıflandırmanın kısa bir kanıtı olmamasının bazı nedenlerini tartıştı .

• Bunun en belirgin nedeni, basit grupların listesinin oldukça karmaşık olmasıdır: 26 sporadik grupla, herhangi bir ispatta dikkate alınması gereken birçok özel durum olması muhtemeldir. Şimdiye kadar hiç kimse, Dynkin diyagramları ile kompakt Lie gruplarının parametreleştirilmesine benzer sonlu basit grupların temiz ve tek tip bir tanımını bulamadı .
• Atiyah ve diğerleri, grupların hareket ettiği bazı geometrik nesneler oluşturularak ve daha sonra bu geometrik yapılar sınıflandırılarak sınıflandırmanın basitleştirilmesi gerektiğini öne sürmüşlerdir. Sorun şu ki, hiç kimse basit bir grupla ilişkili böyle bir geometrik yapıyı bulmanın kolay bir yolunu önerememiştir. Bir anlamda sınıflandırma, BN-çiftleri gibi geometrik yapılar bularak işe yarar , ancak bu yalnızca sonlu basit bir grubun yapısının çok uzun ve zor bir analizinin sonunda gelir.
• İspatı basitleştirmek için başka bir öneri de temsil teorisinden daha fazla yararlanmaktır . Buradaki sorun, temsil teorisinin iyi çalışması için bir grubun alt grupları üzerinde çok sıkı kontrol gerektirmesidir. Küçük sıralı gruplar için böyle bir kontrol vardır ve temsil teorisi çok iyi çalışır, ancak daha büyük sıralı gruplar için hiç kimse bunu sınıflandırmayı basitleştirmek için kullanmayı başaramadı. Sınıflandırmanın ilk günlerinde, temsil teorisini kullanmak için büyük çaba sarf edildi, ancak bu, daha yüksek dereceli durumda hiçbir zaman fazla başarı sağlamadı.

Sınıflandırmanın sonuçları

Bu bölüm, sonlu basit grupların sınıflandırılması kullanılarak ispatlanmış bazı sonuçları listeler.

• Schreirer varsayım
• Signalizer funktoru teoremi
• B varsayım
• Schur-Zassenhaus teoremi tüm gruplar için (bu yalnızca kullanır olsa Feit-Thompson teoremini ).
• 1'den fazla elemanlı sonlu bir kümedeki geçişli bir permütasyon grubu, sabit nokta içermeyen bir asal güç mertebesine sahip elemana sahiptir.
• 2-geçişli permütasyon gruplarının sınıflandırılması .
• Sıra 3 permütasyon gruplarının sınıflandırılması .
• Sims varsayım
• Frobenius'un x ⁿ = 1 çözümlerinin sayısıyla ilgili varsayımı .

Ayrıca bakınız

• O'Nan-Scott teoremi

Notlar

Referanslar

• Aschbacher, Michael (2004). "Sonlu Basit Grupların Sınıflandırılmasının Durumu" (PDF) . Amerikan Matematik Derneği Bildirimleri . 51 (7). s. 736-740.
• Aschbacher, Michael ; Lyon, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011), Sonlu Basit Grupların Sınıflandırılması: Karakteristik Gruplar 2 Tip , Matematiksel Anketler ve Monograflar, 172 , ISBN 978-0-8218-5336-8
• Conway, John Horton ; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips ; Parker, Richard A ; Wilson, Robert Arnott (1985), Sonlu Gruplar Atlası: Basit Gruplar için Maksimal Alt Gruplar ve Sıradan Karakterler , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9
• Gorenstein, D. (1979), "Sonlu basit grupların sınıflandırılması. I. Basit gruplar ve yerel analiz", Amerikan Matematik Derneği Bülteni , Yeni Seri, 1 (1): 43–19, doi : 10.1090/S0273- 0979-1979-14551-8 , ISSN  0002-9904 , MR  0513750
• Gorenstein, D. (1982), Sonlu basit gruplar , Matematikte Üniversite Dizileri, New York: Plenum Publishing Corp., ISBN 978-0-306-40779-6, MR  0698782
• Gorenstein, D. (1983), Sonlu basit grupların sınıflandırılması. Cilt 1. Karakteristik olmayan 2 tip gruplar, Matematikte Üniversite Serisi, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6, MR  0746470
• Daniel Gorenstein (1985), "The Muazzam Teorem", Scientific American , 1 Aralık 1985, cilt. 253, hayır. 6, s. 104–115.
• Gorenstein, D. (1986), "Sonlu basit grupların sınıflandırılması", Amerikan Matematik Derneği Bülteni , Yeni Seri, 14 (1): 1–98 , doi : 10.1090/S0273-0979-1986-15392-9 , ISSN  0002-9904 , MR  0818060
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard; Solomon, Ronald (1994), Sonlu basit grupların sınıflandırılması , Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 40 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0334-9, MR  1303592
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard; Solomon, Ronald (1996), Sonlu basit grupların sınıflandırılması, Sayı 2 , Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 40 , Providence, RI: Amerikan Matematik Topluluğu , ISBN 978-0-8218-0390-5, MR  1358135
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard; Solomon, Ronald (1998), Sonlu basit grupların sınıflandırılması, Sayı 3 , Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 40 , Providence, RI: Amerikan Matematik Topluluğu , ISBN 978-0-8218-0391-2, MR  1490581
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard; Solomon, Ronald (1999), Sonlu basit grupların sınıflandırılması, Sayı 4. Kısım II, Bölüm 1-4: Teklik Teoremleri , Matematiksel Anketler ve Monograflar, 40 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1379-9, MR  1675976
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard; Solomon, Ronald (2002), Sonlu basit grupların sınıflandırılması, Sayı 5 , Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 40 , Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği , ISBN 978-0-8218-2776-5, MR  1923000
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard; Solomon, Ronald (2005), Sonlu basit grupların sınıflandırılması, Number 6: Part IV: The Special Odd Case , Mathematical Surveys and Monographs, 40 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2777-2, MR  2104668
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard; Solomon, Ronald (2018), Sonlu basit grupların sınıflandırılması, Sayı 7: Kısım III, Bölüm 7-11: Genel Durum, Aşama 3b ve 4a , Matematiksel Anketler ve Monograflar, 40 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN'si 978-0-8218-4069-6, MR  3752626
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard; Solomon, Ronald (2018), The Classification of the Finite Simple Groups, Number 8: Part III, Chapters 12-17: The Generic Case, Completed , Mathematical Surveys and Monographs, 40 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-1-4704-4189-0
• Mark Ronan , Simetri ve Canavar , ISBN  978-0-19-280723-6 , Oxford University Press, 2006. (Medeni olmayan okuyucu için kısa giriş)
• Marcus du Sautoy , Finding Moonshine , Fourth Estate, 2008, ISBN  978-0-00-721461-7 (meslekten olmayan okuyucu için başka bir giriş)
• Ron Solomon (1995) " Sonlu Basit Gruplar ve Sınıflandırılması Üzerine " , Amerikan Matematik Topluluğunun Bildirimleri . (Tarihte çok teknik ve iyi değil)
• Solomon, Ronald (2001), "Sonlu basit grupların sınıflandırılmasının kısa bir tarihi" (PDF) , Amerikan Matematik Derneği Bülteni , Yeni Seri, 38 (3): 315–352, doi : 10.1090/S0273-0979 -01-00909-0 , ISSN  0002-9904 , MR  1824893- makale , sergi için Levi L. Conant ödülünü kazandı
• Thompson, John G. (1984), "Sonlu çözülemeyen gruplar", Gruenberg, KW'de; Roseblade, JE (ed.), Grup teorisi. Philip Hall için Denemeler , Boston, MA: Academic Press , s. 1–12, ISBN 978-0-12-304880-6, MR  0780566
• Wilson, Robert A. (2009), The sonlu basit gruplar , Graduate Texts in Mathematics 251, 251 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012

Dış bağlantılar

• Sonlu Grup Temsillerinin ATLAS'ı. Birçok sonlu basit grup içinaranabilir temsiller ve diğer verilerveritabanı.
• Elwes, Richard, " Muazzam bir teorem: sonlu basit grupların sınıflandırılması ," Plus Magazine , Sayı 41, Aralık 2006. Sıradan insanlar için.
• Madore, David (2003) Belirsiz basit grupların emirleri. 2005-04-04 tarihinde Wayback Machine'de arşivlendi 10 ¹⁰ sırasına kadar olan tüm nobelian olmayan basit grupların bir listesini içerir .
• Tüm sonlu grupların sınıflandırılması hangi anlamda “imkânsız”dır?
• Ornes, Stephen (2015). "Araştırmacılar Dev Kanıtı Yok Olmadan Muazzam Teoremi Kurtarmak İçin Yarışıyor" . Bilimsel Amerikalı . doi : 10.1038/scientificamerican0715-68 .