Döngü grubu - Loop group

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar Alt grup Normal alt grup Bölüm grubu (Yarı-) direkt ürün Grup homomorfizmleri çekirdek görüntü doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeli dihedral üstelsıfır çözülebilir Grup teorisi sözlüğü Grup teorisi konularının listesi
Sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel değişen Yalan türü ara sıra Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup S n Klein dört grup V Dihedral grubu D n Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dic n
Ayrık gruplar Kafesler Tamsayılar ( Z ) Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL (2; Z ) SL (2; Z ) Aritmetik grup Kafes Hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları Solenoid Daire Genel doğrusal GL ( n ) Özel doğrusal SL ( n ) Ortogonal O ( n ) Öklid E ( n ) Özel ortogonal SO ( n ) Üniter U ( n ) Özel üniter SU ( n ) Semplektik Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Uygun Diffeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Cebirsel gruplar Doğrusal cebirsel grup İndirgeyici grup Abelian çeşitliliği Eliptik eğri
v t e

Lie grupları
Klasik gruplar
Basit Lie grupları Klasik A n B n C n D n Olağanüstü G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Diğer Lie grupları Daire Lorentz Poincaré Uygun grup Diffeomorfizm Döngü Öklid
Lie cebirleri
Yarıbasit Lie cebiri
Temsil teorisi
Fizikte yalan grupları
Bilim insanları Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Öldürme Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Sözlük Lie grupları tablosu
v t e

Gelen matematik , bir döngü grubu a, bir grup içinde halkaların bir de topolojik grup G çarpma tanımlandığı ile izlemeli .

Tanım

En genel biçiminde bir döngü grubu, bir M manifoldundan bir topolojik grup G'ye bir sürekli eşleme grubudur .

Daha özel olarak, izin M = S ¹ içinde daire kompleks düzlemde ve izin LG ifade alanı arasında sürekli dönüşümler S ¹ → G , yani

${\ displaystyle LG = \ {\ gamma: S ^ {1} \ - G | \ gamma \ C (S ^ {1}, G) \},}$

kompakt açık topoloji ile donatılmıştır . Bir eleman LG bir adlandırılan döngü bölgesi G . Bu tür döngülerin noktasal çarpımı LG'ye bir topolojik grubun yapısını verir . S ^1'i θ ile parametrelendirin ,

${\ displaystyle \ gamma: \ theta \ in S ^ {1} \ mapsto \ gamma (\ theta) \, G içinde}$

ve çarpma tanımlar LG tarafından

${\ displaystyle (\ gamma _ {1} \ gamma _ {2}) (\ theta) \ equiv \ gamma _ {1} (\ theta) \ gamma _ {2} (\ theta).}$

İlişkisellik, G'deki birliktelikten kaynaklanır . Tersi verilir

${\ displaystyle \ gama ^ {- 1}: \ gama ^ {- 1} (\ teta) \ eşdeğeri \ gama (\ teta) ^ {- 1},}$

ve kimlik

$G'de {\ displaystyle e: \ theta \ mapsto e \}$

Uzay LG denir serbest döngü grubunu üzerinde G . Bir döngü grubu, serbest döngü grubu LG'nin herhangi bir alt grubudur .

Örnekler

Döngü grubunun önemli bir örneği gruptur

${\ displaystyle \ Omega G \,}$

G'ye dayalı döngülerin sayısı . Değerlendirme haritasının çekirdeği olarak tanımlanır

${\ displaystyle e_ {1}: LG \'den G'ye, \ gamma \ mapsto \ gamma (1)}$ ,

ve bu nedenle bir kapalı normal alt bölgesinin LG . (Burada E ₁ de değerine bir döngü gönderir haritasıdır .) Not biz gömmek ki G içine LG sabit döngü alt grubu olarak. Sonuç olarak, bölünmüş bir kesin sıraya ulaşıyoruz${\ displaystyle 1 \ in S ^ {1}}$

${\ displaystyle 1 \ ila \ Omega G \ ila LG \ ila G \ ila 1}$ .

LG'nin yarı doğrudan bir ürün olarak ikiye ayırdığı alan ,

${\ displaystyle LG = \ Omega G \ rtimes G}$ .

Biz de düşünebilirler Ω G olarak döngü alanı üzerinde G . Bu bakış açısından, Ω G , döngülerin birleştirilmesine göre bir H-uzayıdır . Görünüşe bakılırsa, bu Ω G'ye çok farklı iki ürün haritası sağlıyor gibi görünüyor . Bununla birlikte, birleştirme ve noktasal çarpmanın homotopik olduğu gösterilebilir . Dolayısıyla, Ω G'nin homotopi teorisi açısından , bu haritalar birbirinin yerine kullanılabilir.

Döngü grupları fenomeni açıklamak için kullanılmıştır Bäcklund dönüşümler de Soliton göre denklem Chuu-Lian Terng ve Karen Uhlenbeck .

Notlar

Referanslar

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1997). A. van Groesen; EM de Jager; APE Ten Kroode (editörler). Sonlu ve sonsuz boyutlu Lie cebirleri ve fizikteki uygulamaları . Matematiksel fizik üzerine çalışmalar. 7 . Kuzey-Hollanda. ISBN   978-0-444-82836-1 - ScienceDirect aracılığıyla .
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), Döngü grupları , Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications, New York: Oxford University Press , ISBN   978-0-19-853535-5 , MR   0900587 CS1 Maint: önerilmeyen parametre ( bağlantı )

Ayrıca bakınız

• Döngü alanı
• Döngü cebiri
• Quasigroup