Cauchy teoremi (grup teorisi) - Cauchy's theorem (group theory)

Gelen matematik , özellikle grup teorisi , Cauchy teoremi eğer bildiren $G$ a, sonlu grup ve $s$ a, asal sayı bölünmesi düzeni arasında $G$ (eleman sayısı $G$ ), daha sonra $G,$ sırası bir eleman içerir $, p$ . Kendisine, orada $X$ de $G$ öyle ki $p$ en küçük pozitif bir tamsayı olan $x$ ^$p$ = $e$ , $e$ olan kimlik elemanı arasında $G$ . Adını, 1845'te keşfeden Augustin-Louis Cauchy'den almıştır.

Teorem , sonlu bir $G$ grubunun herhangi bir alt grubunun mertebesinin $G$ mertebesini böldüğünü belirten Lagrange teoremi ile ilgilidir . Cauchy teoremi herhangi bir asal bölen için ifade eder $p$ düzenin $G$ , bir alt grubu vardır $G$ sırasıdır $s$ -the siklik grup Cauchy teoremi eleman tarafından üretilen.

Cauchy'nin teoremi, Sylow'un birinci teoremi tarafından genelleştirilir ; bu, eğer $p$ ^$n$ , $p'nin$ $G'nin$ mertebesini bölen maksimal gücü ise , o zaman $G'nin$ $p$ ^$n$ mertebesinde bir alt grubuna sahip olduğu anlamına gelir (ve bir $p$ - grubunun çözülebilir olduğu gerçeğini kullanarak , bir bu gösterilebilir $G$ sırası alt grupları vardır $s$ ^$r$ herhangi $r$ daha az veya eşit $, n$ ).

Açıklama ve kanıt

Birçok metin, teoremi güçlü tümevarım ve sınıf denklemi kullanarak ispatlar, ancak değişmeli durumda teoremi kanıtlamak için çok daha az makine gerekir . Kanıt için grup eylemleri de çağrılabilir .

Cauchy teoremi - Let $G$ bir olmak sonlu grup ve $p$ bir olmak asal . Eğer $p$ bölen düzeni arasında $G$ , ardından $G,$ sırası bir öğesi $p$ .

Kanıt 1

İlk özel durum kanıtlamak burada $G$ bir değişmeli ve daha sonra genel durum; her iki ispat da $n$ = | $G$ | ve başlangıç durumu olarak $n$ = $p'ye$ sahiptir, bu önemsizdir çünkü kimlik olmayan herhangi bir öğenin artık $p$ sıralaması vardır . Önce $G'nin$ değişmeli olduğunu varsayalım . Olmayan elementi al $a$ , ve izin $H$ olduğu siklik grup o oluşturur. Eğer $p$ böler | $H$ |, ardından $bir$ ^{| $H$ |/ $p$} , $p$ dereceli bir elemandır . Eğer $p$ bölmek yok | $H$ |, daha sonra, $G$ / $H$ bölüm grubunun [ $G$ : $H$ ] sırasını böler , bu nedenle endüktif hipotez tarafından $p$ dereceli bir öğe içerir . Bu eleman bir sınıftır $xH$ bazıları için $, x$ in $G$ ve eğer $m,$ sırası $x$ de $G$ , daha sonra $x$ ^$m$ = $E$ içinde $G$ verir ( $xH$ ) ^$m$ = $eH$ içinde $G$ / $H$ , yani $p$ bölme $m$ ; daha önce olduğu gibi $x$ ^$m$^/^$s$ hemen sipariş bir elemanıdır $p$ de $G$ değişmeli durum için kanıt tamamlayan.

Genel durumda, izin $Z$ olduğu merkezi bir $G$ bir değişmeli alt grubudur. Eğer $p$ böler | $Z$ |, daha sonra $Z$ , değişmeli gruplar durumunda $p$ düzeyinde bir öğe içerir ve bu öğe $G$ için de çalışır . O halde $p'nin$ $Z'nin$ mertebesini bölmediğini varsayabiliriz . Yana $p$ bölmek yok | $G$ | ve $G$ , $Z'nin$ ve merkezi olmayan öğelerin eşlenik sınıflarının ayrık birleşimidir , boyutu $p ile$ bölünemeyen $bir$ merkezi olmayan öğenin $bir$ eşlenik sınıfı vardır . Ancak sınıf denklemi boyutta olduğundan Şekil [ $G$ : $C$ _$G$ ( $a$ )], bu yüzden $s$ böler sırası merkezleyeni $Cı$ _$G$ ( $a$ arasında) $bir$ de $G$ için uygun bir alt-grubu olan, $bir$ merkez değildir. Bu alt grup , endüktif hipoteze göre $p$ dereceli bir öğe içerir ve işimiz bitti.

Kanıt 2

Bu ispat , bir (döngüsel) asal dereceli $p$ grubunun herhangi bir eylemi için , olası tek yörünge boyutlarının , yörünge dengeleyici teoreminden hemen olan 1 ve $p$ olduğu gerçeğini kullanır .

Döngüsel grubumuzun etki edeceği küme, kümedir.

X=\{\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\ }

ve $p$ unsurlarının -tuples $G$ ürünü (sırayla) kimlik sağlar. Böyle bir $p-$ tuple, son eleman önceki elemanların çarpımının tersi olması gerektiğinden, son eleman hariç tüm bileşenleri tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. Ayrıca, bu $p$ − 1 öğelerinin serbestçe seçilebileceğini de görüyoruz, dolayısıyla $X$ | $G$ | ^{$p$ -1} elemanları, bölünemeyen $p$ .

Şimdi bir grup halinde olmasından $ab$ = $E$ daha sonra da $ba$ = $e$ , bir elemanının bileşenlerinin herhangi bir siklik permütasyon izler $X$ tekrar bir eleman veren $X$ . Bu nedenle bir siklik grup bir işlem tanımlayabilir $Cı$ _$p$ emri $p$ ile $X$ seçilmiş bir jeneratör olan, diğer bir deyişle bileşenler, siklik permütasyon göre $Cı-$ _$p$ gönderir

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\ldots ,x_{p},x_{1})

.

Belirtildiği gibi, bu eylem altındaki $X'teki$ yörüngeler ya 1 boyutuna ya da $p$ boyutuna sahiptir . Eski olanlar tuplelar için tam olur için . $X'in$ elemanlarını yörüngelerle saymak ve modulo $p'yi$ azaltmak , tatmin eden eleman sayısının $p$ ile bölünebildiğini görür . Ancak $X$ = $E$ bu tür bir eleman, yani orada en az olmalıdır $p$ 1 - için başka çözümler $x$ ve bu çözeltiler sipariş elemanlarıdır $p$ . Bu ispatı tamamlar. ${\görüntüleme stili (x,x,\ldots ,x)}$ ${\görüntüleme stili x^{p}=e}$ ${\görüntüleme stili x^{p}=e}$

kullanır

Cauchy teoreminin pratikte dolaysız bir sonucu, $p'nin$ bir asal olduğu sonlu $p-$ gruplarının yararlı bir karakterizasyonudur . Özellikle, sonlu bir $G$ grubu bir $p$ - grubudur (yani tüm elemanları, bazı $k$ doğal sayıları için $p$ ^$k$ mertebesine sahiptir ), ancak ve ancak $G$ bazı $n$ doğal sayıları için $p$ ^$n$ mertebesine sahipse . Cauchy Teoreminin değişmeli durumu, Sylow teoremlerinin ilkinin tümevarımsal ispatında, yukarıdaki ilk ispata benzer şekilde kullanılabilir, ancak bu özel durumu ayrı ayrı yapmaktan kaçınan ispatlar da vardır.

örnek 1

Let $G$ sonlu bir grup olduğu $X 2 = E$ her eleman için $x$ ve $G$ . Sonra $G$ düzeni vardır $2 n$ olmayan bazı negatif bir tam sayı için $n$ . izin $| G |$ bir $m$ . $m'nin$ 1 olması durumunda $G = {e}$ . Durumunda $m \geq 2$ ise, $m$ tek ana faktör vardır $p$ , $G$ elemanı vardır $x$ burada $x p = e$ Cauchy teoreminden. Varsayımla çelişir. Bu nedenle $m$ $2 n$ olmalıdır . $G$ bir değişmeli gruptur ve $G'ye$ temel değişmeli 2-grup veya Boole grubu denir . İyi bilinen örnek Klein dört grubudur .

Örnek 2

Bir değişmeli basit grup ya da bir ${E}$ ya da siklik bir grup $Cı- s$ olan sipariş bir asal sayıdır $s$ . Let $G$ bir değişmeli grubu, daha sonra her alt grup $G$ olan normal alt . Dolayısıyla, $G$ basit bir grupsa, $G'nin$ yalnızca normal alt grubu vardır, bu ya ${e}$ ya da $G$ . Eğer $| G | = 1$ , daha sonra $G,$ bir ${E}$ . Uygundur. Eğer $| G | \geq 2$ , $a \in G$ $e$ değil , döngüsel grup $G'nin$ alt grubudur ve ${$ $e$ $}$ değildir , o zaman $n$ 'nin mertebesi olsun . Eğer $n$ , sonra sonsuzdur $\langle a\rangle$ $\langle a\rangle$ $G=\langle a\range .$ $\langle a\rangle$

G=\langle a\rangle \supsetneqq \langle a^{2}\rangle \supsetneqq \{e\}.

Yani bu durumda uygun değil. O zaman $n$ sonludur. Eğer $n,$ kompozit, $n,$ asal bölünemeyen $q$ az olan $n$ . Cauchy teoreminden, sırası $q$ olan $H$ alt grubu mevcut olacaktır , bu uygun değildir. Bu nedenle, $n$ bir asal sayı olmalıdır.

Notlar

Referanslar

Cauchy, Augustin-Louis (1845), "Anı düzenlemeleri que l'on peut eski avec des lettres données, et sur les permütasyonları ve ikameler à l'aide desquelles on a un autre düzenlemesi" , Alıştırmalar d' analiz et de fizik matematik , Paris, 3 : 151–252
Cauchy, Augustin-Louis (1932), Oeuvres complètes (PDF) , ikinci seri, 13 (yeniden basılmıştır.), Paris: Gauthier-Villars, s. 171–282
Jacobson, Nathan (2009) [1985], Temel Cebir , Dover Books on Mathematics, I (İkinci baskı), Dover Publications , s. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
McKay, James H. (1959), "Cauchy'nin grup teoreminin başka bir kanıtı", American Mathematical Monthly , 66 (2): 119, CiteSeerX 10.1.1.434.3544 , doi : 10.2307/2310010 , JSTOR 2310010 , MR 0098777 , Zbl 0082.02601

Dış bağlantılar

"Cauchy teoremi" . GezegenMath .
"Cauchy teoreminin kanıtı" . GezegenMath .

Languages

In other projects