Salon alt grubu - Hall subgroup

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar Alt grup Normal alt grup Bölüm grubu (Yarı-) direkt ürün Grup homomorfizmleri çekirdek görüntü doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeli dihedral üstelsıfır çözülebilir Grup teorisi sözlüğü Grup teorisi konularının listesi
Sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel değişen Yalan türü ara sıra Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup S n Klein dört grup V Dihedral grubu D n Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dic n
Ayrık gruplar Kafesler Tamsayılar ( Z ) Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL (2; Z ) SL (2; Z ) Aritmetik grup Kafes Hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları Solenoid Daire Genel doğrusal GL ( n ) Özel doğrusal SL ( n ) Ortogonal O ( n ) Öklid E ( n ) Özel ortogonal SO ( n ) Üniter U ( n ) Özel üniter SU ( n ) Symplectic Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Uygun Diffeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Cebirsel gruplar Doğrusal cebirsel grup İndirgeyici grup Abelian çeşitliliği Eliptik eğri
v t e

Gelen matematik , bir Hall alt grubu sonlu bir grup G olan bir alt grubudur sırası olan göreceli asal onun için indeks . Grup teorisyeni Philip Hall  ( 1928 ) tarafından tanıtıldılar .

Tanımlar

Bir Hall bölen (aynı zamanda adı verilen yekpare bölen bir tamsayı) , n bir bölenin d arasında N , öyle ki d ve n / d olan asal. Hall bölenleri bulmanın en kolay yolu , söz konusu sayı için asal çarpanlara ayırmayı yazmak ve çarpım terimlerinin herhangi bir ürününü almaktır (asal çarpanlardan herhangi birinin tam gücü), bunlardan 0 tanesi 1 veya tümü için orijinal numaraya eşit bir ürün için bunlardan. Örneğin, Hall bölen 60'ı bulmak için, asal çarpanlara ayırmanın 2 ² · 3 · 5 olduğunu gösterin ve herhangi bir {3,4,5} çarpımını alın. Böylece, 60'ın Hall bölenleri 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20 ve 60'tır.

Bir Hall alt grup arasında G olan sipariş düzeyinde bir Hall bölen bir alt grubudur , G . Başka bir deyişle, sırası endeksine eş prime olan bir alt gruptur.

Eğer π asal bir dizi, daha sonra Hall π -subgroup kimin emri içinde asal bir ürün olan bir alt gruptur tt , ve kimin endeks herhangi asal tarafından bölünebilir değildir tt .

Örnekler

• Bir grubun herhangi bir Sylow alt grubu, bir Hall alt grubudur.
• Alternatif grubu bir ₄ için 12 ait çözülebilir ama düzenin bir alt gruplar Hall teoremi (aşağıya bakınız), bir çözülebilir grup için her bölmelere kadar uzatılamaz gösteren 6 da 6 da bölme 12 vardır.
• Eğer G = A _{5 ise} , 60. sıradaki tek basit grup , 15 ve 20, G sırasının Hall bölenleridir , ancak G'nin bu sıraların alt grupları yoktur.
• (Bunlar, bir ile bağlı olsa da sırayla 168 basit bir grup için 24 Hall alt iki farklı eşlenik sınıfları vardır dış otomorfizm ait G ).
• 660 düzeninin basit grubu, izomorfik bile olmayan (ve bu nedenle, bir dış otomorfizm altında bile kesinlikle eşlenik olmayan) düzen 12'nin iki Hall alt grubuna sahiptir. Normalleştirici için 4 bir Sylow 2-bir alt grubu, alternatif grubu izomorf A ₄ için 2 ya da 3'ün bir alt grubun normalleştirici izomorf ise, sırayla 12 dihedral grup için 12.

Hall teoremi

Hall (1928) , G sonlu bir çözülebilir grupsa ve π herhangi bir asal kümesiyse, G'nin bir Hall π alt grubuna sahip olduğunu ve herhangi iki Hall π alt grubunun eşlenik olduğunu kanıtladı. Ayrıca, sırasını herhangi bir alt grubu içinde asal bir ürünüdür tt bir Hall içerdiği π -subgroup. Bu sonuç, Sylow Teoreminden Hall alt gruplarına bir genelleme olarak düşünülebilir, ancak yukarıdaki örnekler, grup çözülebilir olmadığında böyle bir genellemenin yanlış olduğunu göstermektedir.

Hall alt gruplarının varlığı, her sonlu çözülebilir grubun normal bir temel değişmeli alt gruba sahip olduğu gerçeği kullanılarak, G sırasına göre tümevarımla kanıtlanabilir . Daha doğrusu, bir π grubu veya G π ayrılabilir olduğu için π ' grubu olan minimal bir normal alt grup A'yı sabitleyin. İndüksiyon ile bir alt grubu vardır , H ve G ihtiva eden bir şekilde , H / A bir Hall π arasında -subgroup G / A . Eğer bir a, π -grubu daha sonra , H , bir salon π arasında -subgroup G . Öte yandan, eğer A bir π ' grubu ise, Schur – Zassenhaus teoremine göre A , G'nin bir Hall π alt grubu olan H'de bir tamamlayıcıya sahiptir .

Hall teoremine bir sohbet

Her asal π kümesi için bir Hall π alt grubuna sahip herhangi bir sonlu grup çözülebilir. Bu, Burnside teoreminin bir genellemesidir , sıralaması p ve q asalları için p ^a q ^b şeklinde olan herhangi bir grup çözülebilirdir, çünkü Sylow'un teoremi tüm Hall alt gruplarının var olduğunu ima eder. Bu, (şu anda) Burnside teoreminin başka bir kanıtını vermiyor, çünkü Burnside teoremi bu konuyu kanıtlamak için kullanılıyor.

Sylow sistemleri

Bir Sylow sistemi Sylow bir dizi P -subgroups S _p her bir taban için , p , öyle ki S _p S _q = S _q S _s tüm p ve q . Bir Sylow sistemi, daha sonra grupları tarafından oluşturulan bir alt grup G _p için p de tt bir Hall π -subgroup. Hall teoreminin daha kesin bir versiyonu, herhangi bir çözülebilir grubun bir Sylow sistemine sahip olduğunu ve herhangi iki Sylow sisteminin eşlenik olduğunu söylüyor.

Normal Hall alt grupları

Normal bir Hall alt grup H sonlu grup G bir sahiptir tamamlayıcı olduğunu, bir alt grup vardır K arasında G bu kesişen H trivially ve bu şekilde HK  =  G (böylece G a, semidirect ürün arasında H ve K ). Bu, Schur – Zassenhaus teoremidir .

Ayrıca bakınız

• Oluşumu

Referanslar

• Gorenstein, Daniel (1980), Sonlu gruplar , New York: Chelsea Publishing Co., ISBN   0-8284-0301-5 , MR   0569209 .
• Hall, Philip (1928), "Çözünür gruplar hakkında bir not", Journal of the London Mathematical Society , 3 (2): 98–105, doi : 10.1112 / jlms / s1-3.2.98 , JFM   54.0145.01 , MR   1574393