Matematiğin Nereden Geldiği -Where Mathematics Comes From

Matematik nereden geliyor
Matematiğin Nereden Geldiği.jpg
Yazar George Lakoff
Rafael E. Núñez
Ders sayısal biliş
Yayınlanan 2000
Sayfalar 492
ISBN'si 978-0-465-03771-1
OCLC 44045671

Matematik Gelen Nerede: Somutlaşan Zihin Varlığına Matematik getirir Nasıl (bundan WMCF ) tarafından bir kitap George Lakoff , bir bilişsel dilbilimci ve Rafael E. Núñez , bir psikolog . 2000'de yayımlanan WMCF bir Bulunan istiyor matematik bilişsel bilim , bir teori somutlaşan dayalı matematik kavramsal metafor .

matematiğin WMCF tanımı

Matematik, insan kavramsal sisteminin aşağıdaki şekilde özel olan bölümünü oluşturur:

"Kesin, tutarlı, zaman ve insan toplulukları arasında istikrarlı, sembolize edilebilir, hesaplanabilir, genelleştirilebilir, evrensel olarak kullanılabilir, her bir konusu içinde tutarlı ve çok sayıda günlük hayatta açıklama, açıklama ve tahmin için genel bir araç olarak etkilidir. spordan binaya, işletmeye, teknolojiye ve bilime [değişen] faaliyetler." ( WMCF , s. 50, 377)

Nikolay Lobachevsky, "Ne kadar soyut olursa olsun, bir gün gerçek dünyadaki fenomenlere uygulanamayacak olan matematiğin hiçbir dalı yoktur" dedi. Yaygın bir kavramsal harmanlama süreci türü , tüm matematiksel süreç için geçerli görünmektedir.

İnsan bilişi ve matematik

Karmaşık düzlem: karmaşık sayılar üzerindeki işlemlerin sıradan uzayda basit hareketler olarak görselleştirilmesine izin veren soyut bir karmaşık sayı fikrinin görsel bir metaforu

Lakoff ve Núñez'in açıklanmış amacı, tüm insan bilişi için ortak süreçlere dayanan, gerçekten bilimsel bir matematik anlayışının temellerini atmaya başlamaktır. Dört farklı ancak birbiriyle ilişkili sürecin temel aritmetiği mecazi olarak yapılandırdığını buluyorlar : nesne toplama, nesne oluşturma, bir ölçüm çubuğu kullanma ve bir yol boyunca hareket etme.

WMCF , Lakoff (1987) ve Lakoff ve Johnson (1980, 1999) tarafından yazılan ve ikinci nesil bilişsel bilimden bu tür metafor ve görüntü şemaları kavramlarını analiz eden daha önceki kitaplarına dayanmaktadır . Lakoff'taki (1987) ilginç teknik fikirler gibi bu önceki kitaplardaki bazı kavramlar WMCF'de yoktur .

Lakoff ve Núñez, matematiğin insan bilişsel aygıtından kaynaklandığını ve bu nedenle bilişsel terimlerle anlaşılması gerektiğini savunuyor. WMCF , matematiksel fikirleri insan deneyimleri, metaforlar, genellemeler ve bunlara yol açan diğer bilişsel mekanizmalar açısından analiz eden bir matematiğin bilişsel fikir analizini savunur (ve bazı örneklerini içerir) . Standart bir matematik eğitimi, bu tür fikir analizi teknikleri geliştirmez, çünkü A) zihnin hangi yapılarının matematik yapmasına izin verdiğini veya B) matematik felsefesini dikkate almaz .

Lakoff ve Núñez, psikoloji literatürünü gözden geçirerek işe başlarlar ve insanların 4 veya 5'e kadar sayma, toplama ve çıkarma olarak adlandırılan doğuştan gelen bir yeteneğe sahip oldukları sonucuna varırlar. on yıllar, bebek deneklerle yapılan deneyleri anlatıyor. Örneğin, bebekler, başlangıçta yalnızca iki oyuncağın bulunduğu üç oyuncağın ortaya çıkması gibi "imkansız" durumlarla karşılaşıldığında hızla heyecanlanır veya meraklanırlar.

Yazarlar, çok sayıda metaforik yapı nedeniyle matematiğin bu çok temel seviyenin çok ötesine geçtiğini savunuyorlar . Örneğin, her şeyin sayı olduğu şeklindeki Pisagor pozisyonu ve ikinin karekökünün irrasyonelliğinin keşfiyle ortaya çıkan buna bağlı güven bunalımı, yalnızca bir karenin köşegeninin uzunluğu ile köşegeninin uzunluğu arasındaki metaforik bir ilişkiden doğar. olası nesne sayısı.

WMCF'nin çoğu, sonlu bir dünyada yaşayan sonlu insanların nihayetinde gerçek sonsuzu nasıl tasavvur edebileceğini açıklamaya çalışarak, önemli sonsuzluk ve sınır süreçleri kavramlarıyla ilgilenir . Bu nedenle, WMCF'nin çoğu, aslında, hesabın epistemolojik temellerinin bir çalışmasıdır . Lakoff ve Núñez, potansiyel sonsuzun metaforik olmadığı, gerçek sonsuzun ise mecazi olduğu sonucuna varır . Dahası, gerçek sonsuzluğun tüm tezahürlerini, sürekli artan 1, 2, 3, ...

WMCF , Platoncu matematik felsefesini kesin olarak reddeder . Bildiğimiz ve bilebileceğimiz tek şeyin insan matematiği , insan aklından doğan matematik olduğunu vurgularlar . İnsan düşüncesinden bağımsız "aşkın" bir matematik olup olmadığı sorusu, renklerin insan düşüncesinin aşkın olup olmadığını sormak gibi anlamsız bir sorudur - renkler yalnızca ışığın değişen dalga boylarıdır, onları renk yapan fiziksel uyaranlara ilişkin yorumumuzdur.

WMCF (s. 81) aynı şekilde matematikçilerin kapanış kavramına verdikleri önemi eleştirir . Lakoff ve Núñez, kapanma beklentisinin, insan zihninin temelde farklı kavramları metafor yoluyla ilişkilendirme yeteneğinin bir eseri olduğunu savunuyorlar.

WMCF, esas olarak, alanı insan biyolojisi ve deneyiminin gerçeklerine dayandıran alternatif bir matematik görüşü önermek ve kurmakla ilgilenir . Teknik matematik veya felsefe eseri değildir. Lakoff ve Núñez, matematik felsefesine geleneksel yaklaşımların kusurlu olduğunu iddia eden ilk kişiler değil. Örneğin , kitap Hersh'in desteğini sıcak bir şekilde kabul etse de, Davis ve Hersh'in (1981) içeriğine pek aşina görünmüyorlar .

Lakoff ve Núñez alıntı Saunders Mac Lane (ile mucit, Samuel Eilenberg arasında kategori teorisi konumlarını desteklemek üzere). Matematik, Form ve İşlev (1986), filozoflara yönelik matematiğe genel bir bakış, matematiksel kavramların nihayetinde sıradan insan etkinliklerine, çoğunlukla fiziksel dünyayla etkileşimlere dayandığını öne sürer.

Eğitimciler, WMCF'nin matematiğin nasıl öğrenildiğine ve öğrencilerin neden bazı temel kavramları diğerlerinden daha zor bulduklarına ilişkin önerileriyle biraz ilgilendiler .

Bununla birlikte, eğitim açısından bile, WMCF hala sorunludur. Kavramsal metafor teorisinin bakış açısından, metaforlar farklı bir alanda, soyut, 'gerçek dünya'dan, somut alanda bulunur. Başka bir deyişle, matematiğin insan olduğunu iddia etmelerine rağmen, yerleşik matematik bilgisi -ki okulda öğrendiklerimizdir- soyut olarak kabul edilir ve fiziksel kökeninden tamamen kopuk olarak ele alınır. Öğrencilerin bu tür bilgilere nasıl erişebileceklerini açıklayamaz.

WMCF, tekçi yaklaşımı nedeniyle de eleştiriliyor. İlk olarak, dilsel yapımızın - dolayısıyla matematiğin - dayandığı varsayılan duyusal-motor deneyimin kültürler ve durumlar arasında değişebileceği gerçeğini göz ardı eder. İkincisi, WMCF'nin ilgilendiği matematik, "neredeyse tamamen... ders kitaplarında ve müfredatta standart ifadeler"dir ve bu, en iyi yerleşik bilgi yapısıdır. Matematik tarihinin dinamik ve çeşitli doğasına aldırış etmez.

WMCF'nin logo merkezli yaklaşımı, eleştirmenler için başka bir hedeftir. Ağırlıklı olarak dil ve matematik arasındaki ilişkiyle ilgilenirken, dilsel olmayan faktörlerin matematiksel fikirlerin ortaya çıkmasına nasıl katkıda bulunduğunu açıklamaz (örn. See Radford, 2009; Rotman, 2008).

Matematiksel metafor örnekleri

Temel Sonsuzluk Metaforuna ek olarak WMCF'de açıklanan kavramsal metaforlar şunları içerir:

Matematiksel akıl yürütme, yalnızca tikellerden ziyade genellemeler hakkında akıl yürütebilmemiz için, bazı söylem evrenleri üzerinde değişen değişkenler gerektirir . WMCF böyle değişkenlerle muhakeme örtük ne terimlerin Temel dayanır savunuyor Metonimi Cebir.

Metaforik belirsizlik örneği

WMCF (s. 151), yazarların "metaforik belirsizlik" olarak adlandırdıkları şeyin aşağıdaki örneğini içerir. Kümeyi alın Ardından, temel küme teorisinden iki bit standart terminolojiyi hatırlayın :

  1. Yinelemeli yapımında sıra doğal sayılar 0 ve böylece, ve bir
  2. Sıralı ikili ( a, b olarak tanımlanmaktadır),

(1) ile, A {1,2} kümesidir. Ama (1) ve (2) birlikte A'nın aynı zamanda (0,1) sıralı ikili olduğunu söylüyorlar . Her iki ifade de doğru olamaz; sıralı ikili (0,1) ve sırasız çift {1,2} tamamen farklı kavramdır. Lakoff ve Johnson (1999) bu durumu "metaforik olarak belirsiz" olarak adlandırır. Bu basit örnek , matematiğin Platoncu temellerini sorgular .

Yukarıdaki (1) ve (2), özellikle Zermelo-Fraenkel aksiyomatizasyonu olarak bilinen konsensüs küme teorisi içinde, kabul edilebilir bir şekilde kanonik olsa da , WMCF , bunların küme teorisinin başlangıcından bu yana önerilen birkaç tanımdan biri olduğunu söylemez. . Örneğin, Frege , Principia Mathematica ve New Foundations ( 1937'de Quine tarafından başlatılan bir aksiyomatik küme teorisi bütünü ), kardinalleri ve ordinalleri , bu bilmecenin ortaya çıkmaması için , eş sayı ve benzerlik ilişkileri altında denklik sınıfları olarak tanımlar . Quinian küme teorisinde A , basitçe 2 sayısının bir örneğidir. Teknik nedenlerden dolayı, sıralı ikiliyi yukarıda (2)'deki gibi tanımlamak Quinian küme teorisinde uygunsuzdur. İki çözüm önerilmiştir:

  • Sıralı çiftin alışılmış olandan daha karmaşık bir değişken küme-teorik tanımı;
  • Sıralı çiftleri ilkel olarak almak.

Matematiğin Romantizmi

"Matematik Romance" dir WMCF ' yazarlar açıklamaları ve ardından entelektüel efsane olarak görevden matematik hakkında bir yıllık felsefi bakış için s kaygısız vadeli:

  • Matematik aşkındır, yani insanlardan bağımsız olarak var olur ve gerçek fiziksel evrenimizi ve olası herhangi bir evreni yapılandırır . Matematik, doğanın dilidir ve eğer varsa, dünya dışı uzaylılarla ortak olan birincil kavramsal yapıdır.
  • Matematiksel kanıt , aşkın bir hakikat alanına açılan kapıdır.
  • Akıl Yürütme olan mantık ve mantık esasen matematiksel olduğunu. Dolayısıyla matematik tüm olası akıl yürütmeleri yapılandırır.
  • Matematik insanlardan bağımsız olarak var olduğundan ve akıl yürütme esasen matematiksel olduğundan, aklın kendisi cisimsizdir. Bu nedenle, en azından prensipte yapay zeka mümkündür.

WMCF'nin sonunda matematik felsefesinde yeni bir okulun başlangıcı olup olmayacağı çok açık bir sorudur . Bu nedenle, WMCF'nin şu ana kadarki ana değeri kritik olabilir: matematikte Platonizm ve romantizm eleştirisi .

kritik yanıt

Çalışan birçok matematikçi, Lakoff ve Núñez'in yaklaşımına ve sonuçlarına direniyor. Yorumlar matematikçilerin WMCF mesleki dergilerde, anlayış matematik yollar olarak kavramsal stratejileri ve metaforların üzerindeki odak çoğu zaman saygılı bazılarına istisna almış iken WMCF ' nesnel 'anlamları gerekçesiyle ın felsefi argümanlar matematiksel ifadeler kalıcı olması' . Örneğin, Fermat'ın Son Teoremi , Fermat'ın 1664'ü ilk olarak önerdiğinde tam olarak ne anlama geldiği anlamına gelir. Diğer gözden geçirenler, aynı matematiksel olarak tanımlanmış terimle bağlantılı olarak, çoğu zaman aynı kişi tarafından birden fazla kavramsal stratejinin kullanılabileceğini belirtmişlerdir (bu nokta, uyumlu bir noktadır). 'aynı' kavramı rutin olarak farklı metaforlarla anladığımız görüşüyle). Benzetme ve kavramsal bir strateji resmi ile aynı değildir tanımı işçinin alacakları matematikçilerin. Ancak WMCF , biçimsel tanımların yalnızca insan deneyimi açısından anlamı olan sözcükler ve semboller kullanılarak oluşturulduğuna dikkat çeker .

WMCF eleştirileri mizahi içerir:

"Karmaşık bir güce yükseltilmiş gerçek bir sayı için bir metafor tasarlamak benim için zor, ama eğer bir tane varsa, onu görmek isterim." — Joseph Auslander

ve fiziksel olarak bilgilendirilmiş:

"Ancak analizleri en azından birkaç soruyu yetersiz yanıtlanmış halde bırakıyor. Birincisi, yazarlar beyinlerin yalnızca doğayı gözlemlemekle kalmayıp aynı zamanda doğanın bir parçası olduğu gerçeğini görmezden geliyor. Belki de beyinlerin icat ettiği matematik, yaptığı biçimi alır çünkü matematik ilk etapta beyinleri şekillendirmede bir eli vardı (yaşamın evrimini kısıtlayan doğal yasaların işleyişi yoluyla) Ayrıca, denklemleri gerçekliğin zaten bilinen yönlerine uydurmak bir şeydir. Paul Dirac'ın elektronları tanımlayan denklemleri birden fazla çözüm ürettiğinde, doğanın şimdi antimadde olarak bilinen başka parçacıklara sahip olması gerektiğini düşündü.Fakat bilim adamları, Dirac'ın matematiği ona var olmaları gerektiğini söyleyene kadar bu tür parçacıkları keşfetmediler. Matematik bir insan icadıysa, doğa neyin icat edileceğini biliyor gibi görünüyor."

Lakoff bağlayarak ününü dilbilimleri için bilişsel bilim ve analizi metaforu . İsviçre'de eğitim gören Núñez, Jean Piaget'in mantık ve matematiğin temeli olarak bilişsel psikoloji ekolünün bir ürünüdür . Núñez, gerçek analizin temelleri , gerçek ve karmaşık sayılar ve Sonsuzluğun Temel Metaforu hakkında çok düşünmüştür . Ancak bu konular değerli olsalar da matematiğin üst yapısının bir parçasını oluştururlar. Bilişsel bilim , matematiğin temellerine daha fazla ilgi göstermelidir . Ve gerçekten de, yazarlar mantığa , Boole cebrine ve Zermelo-Fraenkel aksiyomlarına , hatta grup teorisinin biraz üzerinde kalsa bile , erkenden oldukça dikkat ediyorlar . Ancak hiçbir yazar mantık , küme teorisi felsefesi, aksiyomatik yöntem , metamatematik ve model teorisi konularında iyi eğitimli değildir . Ne de yapar WMCF derivasyon hakkında yeterli demek sayı sistemleri ( sayıların aksiyomatik sözü edilmeyen gidin), soyut cebir , denklik ve sipariş ilişkileri, mereology , topoloji ve geometri .

Lakoff ve Núñez, matematikçilerin WMCF hakkında ifade ettikleri olumsuz görüşleri reddetme eğilimindedir , çünkü onların eleştirmenleri bilişsel bilimin içgörülerini takdir etmezler. Lakoff ve Núñez, argümanlarının ancak insan beyninin dili ve anlamı işleme şekliyle ilgili son on yıllardaki keşifleri kullanarak anlaşılabileceğini savunuyorlar. Bu anlayışa dayanmayan herhangi bir argüman veya eleştirinin kitabın içeriğine hitap edemeyeceğini savunuyorlar.

WMCF'nin "akıllı uzaylı yaşamının matematiksel yeteneğe sahip olacağı" iddiasının bir efsane olduğunu ortaya koymasının hiç de net olmadığına işaret edildi . Bunu yapmak için zeka ve matematik yeteneğinin ayrılabilir olduğunu göstermek gerekir ve bu yapılmamıştır. Diğerlerinin yanı sıra Keith Devlin'in de belirttiği gibi, Dünya'da zeka ve matematiksel yetenek tüm yaşam formlarında el ele gidiyor gibi görünmektedir . WMCF'nin yazarları, bu durumun başka herhangi bir yerde nasıl farklı olacağını (hatta olabileceğini) açıklamadı.

Lakoff ve Núñez de sezgicilerin ve yapılandırmacıların (Platonik) Matematiğin Romantizmine yönelik saldırılarını ne ölçüde öngördüklerini takdir etmemiş görünüyorlar . Sezgici / yapılandırmacı bakış açısının kurucusu Brouwer , Matematiğin Temeli Üzerine tezinde , matematiğin zihinsel bir inşa, zihnin özgür bir yaratımı olduğunu ve tamamen mantık ve dilden bağımsız olduğunu savundu. Sezgisel yorum olmadan incelenen sözel yapıları inşa etmek için formalistleri azarlamaya devam ediyor. Sembolik dil matematikle karıştırılmamalıdır; matematiksel gerçekliği yansıtır, ancak içermez.

Özetliyor

WMCF (s. 378–79), birkaçı takip eden bazı kilit noktalarla sona ermektedir. Matematik, bedenlerimizden ve beyinlerimizden, günlük deneyimlerimizden ve insan toplumlarının ve kültürlerinin kaygılarından doğar. Bu:

  • Normal yetişkin bilişsel kapasitelerinin, özellikle kavramsal metafor kapasitesinin sonucu ve bu haliyle bir insan evrenselidir. Kavramsal metaforlar oluşturma yeteneği nörolojik temellidir ve insanların başka bir alanın dilini ve kavramlarını kullanarak bir alan hakkında akıl yürütmelerini sağlar. Kavramsal metafor , hem matematiğin günlük faaliyetlerden büyümesini sağlayan şeydir, hem de matematiğin sürekli bir analoji ve soyutlama süreciyle büyümesini sağlayan şeydir;
  • Sembolik , dolayısıyla kesin hesaplamayı son derece kolaylaştıran;
  • Aşkın değil , etkinliğini borçlu olduğu insan evrimi ve kültürünün sonucu . Dünya deneyimi sırasında insan zihninde matematiksel fikirlerle bir bağlantı oluşur;
  • İnsan bilişinin olağan araçlarını olağanüstü bir şekilde kullanan bir insan kavramları sistemi;
  • Onu sürdürmekten ve genişletmekten sorumlu olan açık uçlu bir insan yaratımı;
  • Kolektif insan hayal gücünün en büyük ürünlerinden biri ve insan fikirlerinin güzelliğinin, zenginliğinin, karmaşıklığının, çeşitliliğinin ve öneminin muhteşem bir örneği.

Bilişsel yaklaşım biçimsel sistemler , tarif ve uygulandığı şekliyle WMCF , matematik ile sınırlı olmak zorunda değildir, ancak biçimsel mantık uygulanır ve bu nedenle resmi felsefesine zaman da verimli sonuçlanacağı gerektiğini Edward Zalta 'ın soyut nesnelerin teorisi . Lakoff ve Johnson (1999) zihin felsefesi , epistemoloji , metafizik ve fikirler tarihini yeniden düşünmek için bilişsel yaklaşımı verimli bir şekilde kullanır .

Ayrıca bakınız

Dipnotlar

Referanslar

  • Davis, Philip J. ve Reuben Hersh , 1999 (1981). Matematiksel Deneyim . Denizci Kitapları. İlk olarak Houghton Mifflin tarafından yayınlandı.
  • George Lakoff , 1987. Kadınlar, Ateş ve Tehlikeli Şeyler . Üniv. Chicago Press'in.
  • ------ ve Mark Johnson , 1999. Ette Felsefe . Temel Kitaplar.
  • ------ ve Rafael Núñez , 2000, Matematiğin Nereden Geldiği . Temel Kitaplar. ISBN  0-465-03770-4
  • John Randolph Lucas , 2000. Matematiğin Kavramsal Kökleri . Routledge.
  • Saunders Mac Lane , 1986. Matematik: Biçim ve İşlev . Springer Verlag.

Dış bağlantılar