Matematiksel kanıt - Mathematical proof

P. Oksi. 29 , binlerce yıldır prova yazma tekniklerini öğretmek için kullanılan bir ders kitabı olan Euclid 's Elements'in hayatta kalan en eski parçalarından biri . Diyagram, Kitap II, Önerme 5'e eşlik etmektedir.

Bir matematiksel kanıtı bir olan çıkarımsal argüman bir için matematiksel ifadesi belirtilen varsayımlar olduğunu gösteren, mantıksal sonuca garanti. Argüman, teoremler gibi önceden oluşturulmuş diğer ifadeleri kullanabilir ; ancak prensipte her kanıt , kabul edilen çıkarım kurallarıyla birlikte yalnızca aksiyomlar olarak bilinen belirli temel veya orijinal varsayımlar kullanılarak oluşturulabilir . Kanıtlar, "makul beklenti" oluşturan ampirik argümanlardan veya kapsamlı olmayan endüktif akıl yürütmeden ayırt edilmek üzere mantıksal kesinlik oluşturan kapsamlı tümdengelimli akıl yürütme örnekleridir . İfadenin geçerli olduğu birçok durum sunmak, ifadenin olası tüm durumlarda doğru olduğunu göstermesi gereken bir kanıt için yeterli değildir . Gerçek olduğuna inanılan bir kanıtlanmamış önerme bir olarak bilinen varsayım veya sık ileri matematiksel çalışma için bir varsayım olarak kullanıldığında bir hipotez.

Kanıtlar , genellikle bazı belirsizliği kabul eden doğal dil ile birlikte matematiksel sembollerle ifade edilen mantığı kullanır . Çoğu matematiksel literatürde, ispatlar katı gayri resmi mantık terimleriyle yazılır . Tamamen resmi deliller tamamen yazılı, sembolik dilin doğal dil katılımı olmaksızın, dikkate alınır kanıtı teori . Resmi ve gayri resmi kanıtlar arasındaki ayrım , mevcut ve tarihsel matematik pratiğinin , matematikte yarı-deneycilik ve halk matematiği olarak adlandırılan , ana akım matematik topluluğunda veya diğer kültürlerde sözlü geleneklerin çok fazla incelenmesine yol açmıştır . Matematik felsefesi ispatlarda dil ve mantık rolü ve ilgilenir bir dil olarak matematik .

Tarih ve etimoloji

"Kanıt" kelimesi Latince probare (test etmek) kelimesinden gelir . İlgili modern kelimeler İngilizce "probation", "deneme" ve "olasılık", İspanyolca probar (koklamak veya tatmak veya bazen dokunmak veya test etmek), İtalyanca provare (denemek) ve Almanca probieren (denemek). Hukuki terim "haklılık", otorite veya güvenilirlik, itibar veya statü sahibi kişiler tarafından verildiğinde gerçekleri kanıtlamak için tanıklık gücü anlamına gelir.

Resimler ve analojiler gibi buluşsal araçları kullanan akla yatkınlık argümanları, katı matematiksel kanıtlardan önce geldi. Bir sonucu ortaya koyma fikrinin, ilk olarak , arazi ölçümünün pratik problemlerinden kaynaklanan geometri ile bağlantılı olarak ortaya çıkmış olması muhtemeldir . Matematiksel kanıtın gelişimi, öncelikle antik Yunan matematiğinin ürünüdür ve en büyük başarılarından biridir. Thales (624-546 BCE) ve Sakızlı Hipokrat (c. 470-410 BCE) geometride teoremlerin bilinen ilk kanıtlarından bazılarını verdi. Eudoxus (408-355 M.Ö.) ve Theaetetus (417-369 M.Ö.) formüle teoremler ancak bunları ispat etmedi. Aristoteles (MÖ 384-322), tanımların, tanımlanan kavramı zaten bilinen diğer kavramlar açısından tanımlaması gerektiğini söyledi.

Matematiksel kanıt, bugün hala kullanılan aksiyomatik yöntemi tanıtan Öklid (MÖ 300) tarafından devrim yaratmıştır . Tanımsız terimler ve aksiyomlarla , açıkça doğru olduğu varsayılan tanımsız terimlerle ilgili önermelerle başlar (Yunanca "aksios"tan, değerli bir şey). Bu temelde, yöntem tümdengelimli mantık kullanarak teoremleri kanıtlar . Öklid'in Elementler kitabı, 20. yüzyılın ortalarına kadar Batı'da eğitimli sayılan herkes tarafından okunmuştur. Gibi geometri teoremleri, ek olarak Pisagor teoremi , Elementler da kapsar sayı teorisi bir kanıtı dahil iki kare kökü olan irrasyonel ve sonsuz sayıda olduğunu bir kanıtı asal sayılar .

Ortaçağ İslami matematiğinde daha ileri gelişmeler de gerçekleşti . Daha önceki Yunan ispatları büyük ölçüde geometrik ispatlar iken, İslam matematikçileri tarafından aritmetik ve cebirin gelişimi , geometrik sezgiye bağımlı olmayan daha genel ispatlara izin verdi. MS 10. yüzyılda, Iraklı matematikçi Al-Hashimi , irrasyonel sayıların varlığı da dahil olmak üzere çarpma, bölme vb. . Bir indüktif kanıtı için aritmetik diziler tanıtıldı El-Fakhri tarafından (1000) El-Kerecî kanıtlamak için kullandı, binom teoremini ve özelliklerini Pascal üçgeni . Alhazen ayrıca Öklid paralel postülatını kanıtlamaya yönelik ilk girişim olarak çelişki yoluyla ispat yöntemini geliştirdi .

Modern ispat teorisi , ispatları , aksiyomların herhangi bir anlamda "doğru" olduğu varsayımını gerektirmeyen, tümevarımsal olarak tanımlanmış veri yapıları olarak ele alır . Bu, örneğin Aksiyomatik küme teorisi ve Öklidyen olmayan geometri gibi alternatif aksiyom kümelerine dayanan belirli bir sezgisel kavramın resmi modelleri olarak paralel matematiksel teorilere izin verir .

Doğa ve amaç

Uygulandığı gibi, bir ispat doğal dilde ifade edilir ve izleyiciyi bir ifadenin doğruluğuna ikna etmeyi amaçlayan titiz bir argümandır . Titizlik standardı mutlak değildir ve tarih boyunca değişiklik göstermiştir. Bir kanıt, hedeflenen kitleye bağlı olarak farklı şekilde sunulabilir. Bir kanıtın kabul görmesi için, ortak titizlik standartlarını karşılaması gerekir; belirsiz veya eksik kabul edilen bir argüman reddedilebilir.

İspat kavramı matematiksel mantık alanında resmileştirilmiştir . Bir resmi kanıtı bir yazıldığı resmi dili yerine doğal dilin. Resmi bir kanıtı bir dizisidir formüller bir varsayım ile başlayan bir resmi dili, ve her bir sonraki formülü ile öncekilerden mantıksal bir sonucudur. Bu tanım, ispat kavramını çalışmaya uygun hale getirir. Gerçekten de, ispat teorisi alanı, formel ispatları ve onların özelliklerini inceler, en ünlü ve şaşırtıcı olanı, neredeyse tüm aksiyomatik sistemlerin , sistem içinde kanıtlanamayan belirli karar verilemez ifadeler üretebilmesidir .

Resmi bir ispatın tanımı, matematik pratiğinde yazıldığı şekliyle ispat kavramını yakalamayı amaçlamaktadır. Bu tanımın sağlamlığı, yayınlanmış bir ispatın prensipte resmi bir ispata dönüştürülebileceği inancına tekabül eder. Bununla birlikte, otomatik ispat yardımcılarının alanı dışında , bu pratikte nadiren yapılır. Felsefedeki klasik bir soru, matematiksel kanıtların analitik mi yoksa sentetik mi olduğunu sorar . Analitik-sentetik ayrımını ortaya koyan Kant , matematiksel kanıtların sentetik olduğuna inanırken, Quine 1951 tarihli " Two Dogmas of Ampiricism " adlı eserinde böyle bir ayrımın savunulamaz olduğunu savundu .

Kanıtlar, matematiksel güzellikleri nedeniyle beğenilebilir . Matematikçi Paul Erdős , her teoremi kanıtlamak için en güzel yöntem(ler)i içeren varsayımsal bir cilt olan "Kitap"tan geldiği için özellikle zarif bulduğu kanıtları tanımlamasıyla tanınırdı. 2003 yılında yayınlanan KİTAPTAN KANITLAR kitabı , editörlerinin özellikle hoş bulduğu 32 kanıt sunmaya adanmıştır.

ispat yöntemleri

Doğrudan kanıt

Doğrudan ispatta, sonuç aksiyomları, tanımları ve önceki teoremleri mantıksal olarak birleştirerek kurulur. Örneğin, iki çift tamsayının toplamının her zaman çift olduğunu kanıtlamak için doğrudan kanıt kullanılabilir :

İki çift tamsayıyı x ve y düşünün . Çift oldukları için bazı a ve b tam sayıları için sırasıyla x  = 2 a ve y  = 2 b olarak yazılabilirler . O zaman toplam x  +  y  = 2 a  + 2 b  = 2( a + b ) olur. Bu nedenle x + y'nin çarpanı 2'dir ve tanım gereği çifttir. Bu nedenle, herhangi iki çift tamsayının toplamı çifttir.

Bu ispat çift tamsayıların tanımını, toplama ve çarpma altında kapatmanın tamsayı özelliklerini ve dağılma özelliğini kullanır .

Matematiksel tümevarımla ispat

Adına rağmen, matematiksel tümevarım, bir tümevarımsal akıl yürütme biçimi değil, bir tümdengelim yöntemidir . Matematiksel tümevarımla ispatta, tek bir "temel durum" kanıtlanır ve herhangi bir keyfi durumun bir sonraki durumu ima ettiğini belirleyen bir "tümevarım kuralı" kanıtlanır . Prensipte tümevarım kuralı tekrar tekrar uygulanabildiğinden (kanıtlanmış temel durumdan başlayarak), tüm durumların (genellikle sonsuz sayıda) kanıtlanabilir olduğu sonucu çıkar. Bu, her bir vakayı ayrı ayrı kanıtlamak zorunda kalmaktan kaçınır. Matematiksel tümevarımın bir çeşidi, örneğin ikinin karekökünün irrasyonelliğini kanıtlamak için kullanılabilen sonsuz inişle ispattır .

Matematiksel tümevarımla ispatın yaygın bir uygulaması, bir sayı için geçerli olduğu bilinen bir özelliğin tüm doğal sayılar için geçerli olduğunu kanıtlamaktır : N = {1, 2, 3, 4, ... } doğal sayılar kümesi olsun ve izin P ( n ) , doğal bir sayı içeren bir matematiksel deyimi n ait n şekildedir

  • (i) P (1) doğrudur, yani P ( n ) n = 1 için doğrudur .
  • (ii) P ( n +1) , P ( n ) doğru olduğunda doğrudur, yani, P ( n ) doğrudur, P ( n + 1)' nin doğru olduğu anlamına gelir .
  • O zaman P ( n ) tüm doğal sayılar n için doğrudur .

Örneğin, bir şekilde, tüm pozitif tam bu indüksiyon ile ispat 2 n  1 - olan tek . P ( n ) " 2 n  − 1 tektir" i temsil etsin :

(i) için, n = 1 , 2 , n  - 1 = 2 (1) - = 1: 1 ve 1 bu bir geri kalan yapraklar, çünkü tek bir , 1 ile bölündüğü zaman , 2 . Böylece P (1) doğrudur.
(ii) Herhangi bir n için , 2 n  − 1 tek ise ( P ( n ) ), o zaman (2 n  − 1) + 2 de tek olmalıdır, çünkü tek bir sayıya 2 eklemek tek bir sayı ile sonuçlanır. Ama (2 n  − 1) + 2 = 2 n  + 1 = 2( n +1) − 1 , yani 2( n +1) − 1 tek ( P ( n +1) ). Yani P ( n ) , P ( n + 1) anlamına gelir .
Böylece 2 n  − 1 , tüm n pozitif tam sayıları için tektir .

"Matematiksel tümevarımla ispat" yerine genellikle daha kısa olan "tümevarımla ispat" ifadesi kullanılır.

Karşıtlıkla ispat

, Tersine tarafından Kanıtı infers açıklamada "eğer p sonra q " kurarak mantıksal eşdeğer olumlu çelişki açıklama : "eğer değil q sonra değil p ".

Örneğin, bir tamsayı verildiğinde , eğer çift ​​ise, o zaman çift olduğunu belirlemek için çelişki kullanılabilir :

Hatta olmadığını varsayalım . Sonra garip. İki tek sayının çarpımı tektir, dolayısıyla tektir. Böylece bile değil. Böylece, olduğu bile, varsayım yani false olmalıdır hatta olmak zorundadır.

çelişkili kanıt

Latince reductio ad absurdum (absürde indirgeme) tabiriyle de bilinen çelişki yoluyla ispatta , bir ifadenin doğru kabul edilmesi durumunda mantıksal bir çelişki oluştuğu, dolayısıyla ifadenin yanlış olması gerektiği gösterilmiştir. Ünlü bir örnek kanıt içeren bir olduğunu irrasyonel sayı :

Bunun bir rasyonel sayı olduğunu varsayalım . O zaman en düşük terimlerle yazılabilir, burada a ve b ortak çarpanı olmayan sıfırdan farklı tam sayılardır . Böylece, . Her iki tarafın karesini almak 2 b 2 = a 2 verir . 2, soldaki ifadeyi böldüğü için, sağdaki eşit ifadeyi de 2 bölmelidir. Diğer bir deyişle, bir 2 anlamına gelir ki, hatta olan bir (yukarıda önermede görüldüğü gibi şart da, hatta olarak , tersine göre #Proof ). Böylece a = 2 c yazabiliriz , burada c de bir tam sayıdır. Orijinal denkleme ikame 2 b 2 = (2 c ) 2 = 4 c 2 verir . Her iki tarafı 2'ye bölmek b 2 = 2 c 2 verir . Ama sonra, öncekiyle aynı argümanla, 2 böler b 2 , bu nedenle b çift olmalıdır. Ancak a ve b'nin ikisi de çift ise ortak bölenleri 2'dir. Bu, a ve b'nin ortak çarpanı olmadığı yönündeki önceki ifademizle çelişiyor , dolayısıyla bunun bir irrasyonel sayı olduğu sonucuna varmalıyız.

Başka bir deyişle: bir kesir olarak yazılabilirse, bu kesir asla en düşük terimlerle yazılamaz, çünkü 2 her zaman pay ve paydadan alınabilir.

İnşaat kanıtı

İnşa yoluyla ispat veya örnekle ispat, o özelliğe sahip bir şeyin var olduğunu göstermek için bir özelliğe sahip somut bir örneğin inşasıdır. Joseph Liouville , örneğin, varlığını kanıtladı transandantal sayılar bir oluşturarak açık örneği . Tüm öğelerin belirli bir özelliğe sahip olduğu önermesini çürütmek için bir karşı örnek oluşturmak için de kullanılabilir .

Yorgunluk kanıtı

Tüketme yoluyla ispatta, sonuç, sonlu sayıda vakaya bölünerek ve her biri ayrı ayrı ispatlanarak kurulur. Vaka sayısı bazen çok fazla olabilir. Örneğin, dört renk teoreminin ilk ispatı, 1.936 vaka ile tükenme ispatıydı. Bu kanıt tartışmalıydı çünkü vakaların çoğu elle değil bir bilgisayar programı tarafından kontrol edildi. 2011 itibariyle dört renk teoreminin bilinen en kısa kanıtı hala 600'den fazla vakaya sahiptir.

olasılıksal kanıt

Olasılıksal bir kanıt, bir örneğin varlığının olasılık teorisi yöntemleri kullanılarak kesin olarak gösterildiği bir kanıttır . Olasılıksal kanıt, inşa yoluyla kanıt gibi, varlık teoremlerini kanıtlamanın birçok yolundan biridir .

Olasılık yönteminde, büyük bir aday kümesinden başlayarak, belirli bir özelliğe sahip bir nesne aranır. Biri seçilecek her aday için belirli bir olasılık atar ve ardından seçilen bir adayın istenen özelliğe sahip olması için sıfır olmayan bir olasılık olduğunu kanıtlar. Bu, hangi adayların özelliğe sahip olduğunu belirtmez, ancak olasılık en az biri olmadan pozitif olamaz.

Olasılıksal bir kanıt, bir teoremin "muhtemelen" doğru olduğu bir argümanla, bir "makullük argümanı" ile karıştırılmamalıdır. Collatz varsayımı üzerine yapılan çalışma, inandırıcılığın gerçek kanıttan ne kadar uzak olduğunu gösteriyor. Çoğu matematikçi gerçek matematiksel kanıtı olarak verilen bir nesne sayımlarının özellikleri için bu olasılık kanıt sanmıyorum ederken, birkaç matematikçiler ve filozoflar en az (örneğin Rabin'in olarak olasılıksal kanıt bazı türleri iddia var olasılık algoritması için test asallık ) gibidir gerçek matematiksel kanıtlar kadar iyidir.

kombinatoryal kanıt

Bir kombinatoryal ispat, aynı nesneyi farklı şekillerde saydıklarını göstererek farklı ifadelerin denkliğini kurar. Genellikle, iki küme arasındaki ifadelerin eşit olduğunu göstermek için iki küme arasında bir bijection kullanılır. Alternatif olarak, bir çift ​​sayma argümanı , tek bir kümenin boyutu için iki farklı ifade sağlar ve yine iki ifadenin eşit olduğunu gösterir.

Yapıcı olmayan kanıt

Yapıcı olmayan bir kanıt, böyle bir nesnenin nasıl bulunabileceğini açıklamadan, belirli bir özelliğe sahip matematiksel bir nesnenin var olduğunu belirler. Çoğu zaman bu, nesnenin yokluğunun imkansız olduğunun kanıtlandığı çelişkili bir kanıt biçimini alır. Buna karşılık, yapıcı bir kanıt, belirli bir nesnenin onu bulma yöntemi sağlayarak var olduğunu belirler. İki tane var olduğunu bir yapısal olmayan kanıtı gösterileri izleyen ünlü örneği irrasyonel sayılar bir ve b böyle bir olduğunu rasyonel sayı :

Ya rasyonel bir sayıdır ve işimiz biter (alırız ) ya da irrasyoneldir, böylece ve yazabiliriz . Bu daha sonra verir , bu nedenle formun rasyonel bir sayısıdır.

Saf matematikte istatistiksel kanıtlar

"İstatistiksel kanıt" ifadesi , kriptografi , kaotik seriler ve olasılıklı sayı teorisi veya analitik sayı teorisi gibi saf matematik alanlarında teknik olarak veya konuşma dilinde kullanılabilir . Matematiksel istatistik olarak bilinen matematik dalında matematiksel bir ispata atıfta bulunmak için daha az kullanılır . Ayrıca aşağıdaki " Verileri kullanarak istatistiksel kanıt " bölümüne bakın.

Bilgisayar destekli kanıtlar

Yirminci yüzyıla kadar, herhangi bir kanıtın, prensipte, geçerliliğini doğrulamak için yetkin bir matematikçi tarafından kontrol edilebileceği varsayıldı. Ancak bilgisayarlar artık hem teoremleri kanıtlamak hem de herhangi bir insan veya insan ekibinin kontrol edemeyeceği kadar uzun olan hesaplamaları yapmak için kullanılıyor; dört renk teoreminin ilk ispatı bilgisayar destekli ispatın bir örneğidir. Bazı matematikçiler, bir bilgisayar programında bir hata veya hesaplamalarında bir çalışma zamanı hatası olasılığının, bu tür bilgisayar destekli kanıtların geçerliliğini sorguladığından endişe duymaktadır. Pratikte, bilgisayar destekli bir ispatı geçersiz kılan bir hata olasılığı, hesaplamalara fazlalık ve kendi kendine kontroller dahil edilerek ve birden çok bağımsız yaklaşım ve program geliştirilerek azaltılabilir. Bir ispatın insanlar tarafından doğrulanması durumunda da, özellikle ispat doğal dil içeriyorsa ve olası gizli varsayımları ve ilgili yanlışları ortaya çıkarmak için derin matematiksel içgörü gerektiriyorsa, hatalar asla tamamen göz ardı edilemez.

kararsız ifadeler

Kümesinden ne kanıtlanabilir ne de disprovable olan bir beyan aksiyomları (bu aksiyomlarından) undecidable denir. Bir örnek, Öklid geometrisinin kalan aksiyomlarından ne kanıtlanabilir ne de reddedilebilir olan paralel varsayımdır .

Matematikçiler, matematikte küme teorisinin standart sistemi olan (ZFC'nin tutarlı olduğunu varsayarak) seçim aksiyomu (ZFC) ile Zermelo-Fraenkel küme teorisinde ne ispatlanabilir ne de reddedilemez birçok ifade olduğunu göstermiştir ; bkz . ZFC'de karar verilemeyen ifadelerin listesi .

Gödel'in (birinci) eksiklik teoremi , matematiksel ilgiye sahip birçok aksiyom sisteminin karar verilemez ifadelere sahip olacağını gösterir.

Sezgisel matematik ve deneysel matematik

Gibi erken matematikçiler iken Cnidus'lu Eudoxus gelen deliller, kullanmıyordu Euclid'e için temel matematik 19. ve 20. yüzyıllarda gelişmeleri, delilleri matematik önemli bir parçası idi. 1960'larda bilgi işlem gücünün artmasıyla deneysel matematikte ispat-teorem çerçevesi dışında matematiksel nesneleri araştıran önemli çalışmalar yapılmaya başlandı . Bu yöntemlerin ilk öncüleri, çalışmanın nihayetinde klasik bir ispat-teoremi çerçevesine gömülmesini amaçladı, örneğin , nihayetinde çok gömülü olan fraktal geometrinin erken gelişimi .

Ilgili kavramlar

Görsel kanıt

Resmi bir ispat olmasa da, bir matematik teoreminin görsel olarak gösterilmesine bazen " kelimesiz ispat " denir . Aşağıdaki soldaki resim , (3,4,5) üçgeni durumunda Pisagor teoreminin tarihi bir görsel kanıtı örneğidir .

Eksik kare bulmaca gibi bazı yanıltıcı görsel kanıtlar, varsayılan bir matematiksel gerçeği kanıtlıyor gibi görünecek şekilde oluşturulabilir, ancak bunu yalnızca küçük hataların (örneğin, gerçekte hafifçe bükülen sözde düz çizgiler) varlığında yapar. Uzunluklar ve açılar hassas bir şekilde ölçülerek veya hesaplanarak tüm resim yakından incelenene kadar farkedilmez.

Temel kanıt

Temel bir kanıt, yalnızca temel teknikleri kullanan bir kanıttır. Daha spesifik olarak, terim, sayı teorisinde karmaşık analiz kullanmayan kanıtları ifade etmek için kullanılır . Bir süredir, asal sayı teoremi gibi bazı teoremlerin ancak "yüksek" matematik kullanılarak kanıtlanabileceği düşünülüyordu. Bununla birlikte, zamanla, bu sonuçların çoğu yalnızca temel teknikler kullanılarak yeniden kanıtlanmıştır.

İki sütunlu kanıt

1913'te yayınlanan iki sütunlu bir kanıt

İki paralel sütun kullanarak bir ispat düzenlemenin özel bir yolu , Amerika Birleşik Devletleri'ndeki temel geometri sınıflarında genellikle matematiksel bir alıştırma olarak kullanılır . Kanıt, iki sütun halinde bir dizi satır olarak yazılmıştır. Her satırda, sol sütun bir önerme içerirken, sağ sütun, sol sütundaki karşılık gelen önermenin nasıl bir aksiyom, bir hipotez olduğu veya mantıksal olarak önceki önermelerden nasıl türetilebileceğine dair kısa bir açıklama içerir. . Soldaki sütun tipik olarak "İfadeler" başlığını taşır ve sağdaki sütun genellikle "Nedenler" başlıklıdır.

"Matematiksel kanıt"ın konuşma dilinde kullanımı

"Matematiksel kanıt" ifadesi , sıradan insanlar tarafından, günlük yaşam hakkında bir şeyler göstermek için veya bir argümanda kullanılan veriler sayısal olduğunda, matematiksel yöntemler kullanmak veya sayılar gibi matematiksel nesnelerle tartışmak için kullanılır. Bazen, özellikle verilerden tartışmak için kullanıldığında "istatistiksel kanıt" (aşağıda) anlamında da kullanılır .

Verileri kullanarak istatistiksel kanıt

Verilerden "İstatistiksel geçirmez" uygulanması anlamına gelir istatistik , veri analizi veya Bayes analizi ile ilgili olarak anlaması önermeleri olasılık arasında veri . İken kullanarak istatistikte teoremlerini kurmak için matematiksel kanıtı, genellikle bunda bir matematiksel kanıt değildir varsayımlar olasılık ifadeleri türetildiği doğrulamak için dışarıdan matematik çıkan verileri gerektirir. Olarak fizik , istatistik yöntemlere ek olarak, "istatistiksel bir bulgu" uzman belirtebilir fizik matematiksel yöntem bir veri analiz etmek için uygulanan parçacık fiziği deney veya gözleme çalışma içinde fiziksel kozmolojisinde . "İstatistiksel kanıt" ayrıca , veriler veya diyagram daha fazla analiz yapılmadan yeterince ikna edici olduğunda, veri veya dağılım grafikleri gibi verileri içeren ikna edici bir diyagrama da atıfta bulunabilir .

Endüktif mantık kanıtları ve Bayes analizi

Tümevarım mantığı kullanan ispatlar , doğası gereği matematiksel olarak kabul edilmekle birlikte, olasılığa benzer şekilde hareket eden ve tam kesinlikten daha az olabilen bir kesinlik derecesine sahip önermeler oluşturmaya çalışır . Tümevarımsal mantık, matematiksel tümevarımla karıştırılmamalıdır .

Bayes analizi, bir kişinin yeni kanıt veya bilgi elde edildiğinde hipotez olasılıklarına ilişkin değerlendirmesini güncellemek için Bayes teoremini kullanır .

Zihinsel nesneler olarak kanıtlar

Psikoloji, matematiksel kanıtları psikolojik veya zihinsel nesneler olarak görür. Leibniz , Frege ve Carnap gibi matematikçi filozoflar bu görüşü çeşitli şekillerde eleştirdiler ve düşünce dili olarak düşündükleri şey için bir semantik geliştirmeye çalıştılar , bu sayede matematiksel kanıt standartlarının ampirik bilime uygulanabilmesi sağlandı .

Matematiksel ispat yöntemlerinin matematik dışındaki etkisi

Spinoza gibi filozof-matematikçiler , felsefi argümanları aksiyomatik bir şekilde formüle etmeye çalıştılar , bu sayede genel felsefedeki argümantasyona matematiksel kanıt standartları uygulanabilir. Diğer matematikçi-filozoflar dışında matematik ifadeleri varmak, ampirisizm olmadan, matematiksel ispat ve aklın standartlarını kullanmaya çalıştı, ancak sahip olması kesinlik gibi bir matematiksel kanıtı çıkarılabilir önermeler ait Descartes'ın ' cogito argümanı.

Bir ispatı bitirmek

Bazen, bir ispatın sonunu belirtmek için "QED" kısaltması yazılır. Bu kısaltma anlamına gelir "quod erat demonstrandum" , olan Latince için "gösterilmelidir için olan bu" . Daha yaygın bir alternatif "olarak bilinen bu gibi ∎ olarak □ veya bir kare ya da bir dikdörtgen, kullanmaktır kaldırıldı işareti onun sonra" ya da "Halmos" eponym Paul Halmos . Sözlü bir sunum sırasında "QED", "□" veya "∎" yazarken genellikle "hangisi gösterilecekti" sözlü olarak belirtilir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar